Kurt Gödel, ce nom vous dit quelque chose ?

A mon avis, si vous êtes un matheux, sans doute...

https://theconversation.com/kurt-godel-ses-theoremes-dincompletude-ont-ebranle-les-mathematiques-227074

Bonne lecture !

Syllogisme de Quintilien

"Socrate a dit que  tous les grecs sont des menteurs.

Socrate est Grec, donc il a menti.

Donc les Grecs ne sont pas des menteurs.

Donc Socrate a dit vrai : les Grecs sont des menteurs.

Ce que je trouve assez consternant, c'est que ses théorèmes ne fassent pas partie de la culture générale. Sans doute car ses théorèmes prouvent à quel point la science n'est pas toute puissante.

Il y a 4 heures, Talon 1 a dit :

Syllogisme de Quintilien

"Socrate a dit que  tous les grecs sont des menteurs.

Socrate est Grec, donc il a menti.

Donc les Grecs ne sont pas des menteurs.

Donc Socrate a dit vrai : les Grecs sont des menteurs.

Je n'ai jamais vu que ce syllogisme était appelé " de Quintilien ", on le connaît sous le nom " du menteur " ou " de Minos " :

- Minos est crétois.

- Minos dit que tous les crétois sont des menteurs.

Donc ?

Il y a 4 heures, Virtuose_en_carnage a dit :

Sans doute car ses théorèmes prouvent à quel point la science n'est pas toute puissante.

Tu pourrais développer ?

il y a 9 minutes, DroitDeRéponse a dit :

Tu pourrais développer ?

Il n'y a pas grand chose à développer. Le fait qu'il existe des propositions indémontables se suffit à lui même. Le raisonnement scientifique n'est donc pas en mesure d'arriver à toute la vérité.

il y a 2 minutes, Virtuose_en_carnage a dit :

Il n'y a pas grand chose à développer. Le fait qu'il existe des propositions indémontables se suffit à lui même. Le raisonnement scientifique n'est donc pas en mesure d'arriver à toute la vérité.

Sauf erreur de ma part ça concerne les mathématiques et Russel qui a vu sa propre théière désorbité non ?

Comment induis-tu que la science n’est donc pas en mesure d’arriver à toute la vérité ?

Il y a 10 heures, DroitDeRéponse a dit :

Sauf erreur de ma part ça concerne les mathématiques et Russel qui a vu sa propre théière désorbité non ?

Comment induis-tu que la science n’est donc pas en mesure d’arriver à toute la vérité ?

Les mathématiques sont partout en science. Je ne vais pas te lister les hypothèses du théorème d'incomplétude précisément. Mais dans toute théorie cohérente et "contenant" l'arithmétique, il existe des propositions démontrables. Si on veut donc garder une science toute puissante, il faut soit renoncer à la cohérence (donc du coup, c'est foutu pour la science), soit renoncer à l'arithmétique. Il va être compliqué de faire des sciences sans les nombres entiers.

Il y a 10 heures, DroitDeRéponse a dit :

Sauf erreur de ma part ça concerne les mathématiques et Russel qui a vu sa propre théière désorbité non ?

Comment induis-tu que la science n’est donc pas en mesure d’arriver à toute la vérité ?

L'anecdote de la théière orbitant autour de la Terre signifie que si on peut démontrer scientifiquement qu'une chose existe, par contre généralement, on ne peut pas démontrer qu'une chose n'existe pas comme la théière orbitant ...

Un , entre autres exemples usuels, est que les croyants peuvent espérer que l'on démontrera l'existence de dieu, mais les athées ne peuvent pas faire la démonstration inverse de la preuve de l'inexistence d'un dieu qui relève de la croyance et non de la science !

Il y a 11 heures, DroitDeRéponse a dit :

Sauf erreur de ma part ça concerne les mathématiques et Russel qui a vu sa propre théière désorbité non ?

Comment induis-tu que la science n’est donc pas en mesure d’arriver à toute la vérité ?

Absolument et s'il est une seule certitude c'est d'ailleurs bien celle-là.

Ça concerne en pratique toute construction logique d'un niveau de complexité relativement faible (à minima intégrant l'arithmétique de Robinson) basée sur des postulats récursivement énumérables.

Il existera toujours des vérités inaccessibles par une démonstration formelle et il existera toujours des contre vérités inaccessibles par une démonstration formelle.

Les systèmes logiques consistants sont par définition incomplets.

Or les systèmes logique inconsistants n'ont ... aucun intérêt.

Et les systèmes logique complets sont de faible degré de complexité donc d'un intérêt très limité.

Oui, la science ne peut accéder à toute vérité et parfois certaines vérités peuvent être postulées sans qu'elles ne puissent être démontrées

Parmi les conjectures, certaines sont démontrables, d'autres ne seront jamais démontrables.

il y a 4 minutes, zenalpha a dit :

Absolument et s'il est une seule certitude c'est d'ailleurs bien celle-là.

Ça concerne en pratique toute construction logique d'un niveau de complexité relativement faible (à minima intégrant l'arithmétique de Robinson) basée sur des postulats récursivement énumérables.

Il existera toujours des vérités inaccessibles par une démonstration formelle et il existera toujours des contre vérités inaccessibles par une démonstration formelle.

Les systèmes logiques consistants sont par définition incomplets.

Or les systèmes logique inconsistants n'ont ... aucun intérêt.

Et les systèmes logique complets sont de faible degré de complexité donc d'un intérêt très limité.

Oui, la science ne peut accéder à toute vérité et parfois certaines vérités peuvent être postulées sans qu'elles ne puissent être démontrées

Parmi les conjectures, certaines sont démontrables, d'autres ne seront jamais démontrables.

On ne parle là que de vérité au sens formel , logique …

Meme si formellement la relativite n’est pas une vérité ,c’en est bien une dans le cadre sciences physiques, jusqu’à preuve du contraire non ?

Verite mathématique, physique et philosophie sont à distinguer …. 

il y a 11 minutes, DroitDeRéponse a dit :

On ne parle là que de vérité au sens formel , logique …

Meme si formellement la relativite n’est pas une vérité ,c’en est bien une dans le cadre sciences physiques, jusqu’à preuve du contraire non ?

Verite mathématique, physique et philosophie sont à distinguer …. 

Intéressant 

En quoi la vérité en philosophie est à distinguer de la vérité en mathématiques ?

Et comment démontres tu qu'une théorie est vraie en philosophie ?

il y a 30 minutes, DroitDeRéponse a dit :

On ne parle là que de vérité au sens formel , logique …

Meme si formellement la relativite n’est pas une vérité ,c’en est bien une dans le cadre sciences physiques, jusqu’à preuve du contraire non ?

Verite mathématique, physique et philosophie sont à distinguer …. 

En effet, il est nécessaire de distinguer ces "vérités". 

Dans le langage mathématique pur, en logique mathématique donc, nous parlons de distribution de valeurs de vérité. 

Une distribution de valeurs de vérité sur P (l'ensemble des variables propositionnelles) est une application de P dans l'ensemble {0,1} [Logique mathématique, René Cori]

Nous sommes donc dans une approche de la vérité totalement formelle. Nous assignons à telle proposition la valeur vrai ou faux. C'est une construction pure, qui, à ce niveau, ne réfère à rien qui soit observé.

La physique part de l'observation et nous déclarons vraie une observation dont l'expérience nous assure qu'elle est vraie, c'est à dire reproductible dans des conditions données. Jusqu'à ce que nous nous rendions compte qu'elle n'est pas forcement vraie, c'est à dire reproductible à l'identique dans certaines conditions. 

La confusion entre mathématique et physique vient de ce que nous parvenons à construire des modèles mathématiques qui permettent, en observant les règles de la logique propre aux mathématiques de "saisir" la physique, avec notamment des capacités prédictives précieuses. Le profane, mais parfois le physicien lui même finit par confondre physique et mathématique, réalité observée et modèle mathématique. 

En général quand il y a une telle confusion c'est même inutile d'engager une conversation si le locuteur ne parvient pas à distinguer mathématique et physique. 

Quant aux vérités philosophiques ou religieuses c'est encore autre chose.

Il y a 19 heures, Pratika a dit :

A mon avis, si vous êtes un matheux, sans doute...

https://theconversation.com/kurt-godel-ses-theoremes-dincompletude-ont-ebranle-les-mathematiques-227074

Bonne lecture !

et même si on n'est pas matheux.

Ce sujet me permet de faire un point personnel sur ces théorèmes d'incomplétude.

Ces théorèmes nous étonnent car ils heurtent notre conviction : ce qui est vrai est démontrable et ce qui est démontrable est vrai. En fait toute démonstration en maths part d'un système axiomatique composé de propositions tenues pour vraies (et non démontrables) à partir desquelles nous construisons d 'autres propositions en appliquant des règles de logique codées depuis l'Antiquité.

Le premier théorème d'incomplétude de Gödel démontre que dans tout système axiomatique qui contient au moins l'arithmétique il existe des propositions qui sont indécidables, qui sont en fait indémontrables même quand elles nous paraissent vraies. Il en est ainsi de la conjecture de Goldbach : "tout nombre pair, à partir de 4, peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers" On peut faire tourner les ordi à l'infini, c'est toujours vrai mais on n'a jamais fini...de faire tourner l'ordi. Nous ne pouvons pas à partir d'un nombre fini d'opérations démontrer cette proposition.

La solution pourrait être de transformer en axiomes ces propositions qui nous paraissent vraies et qui sont indémontrables mais attention à l'incohérence possible du nouveau système d'axiomes.  Il faut que le système reste cohérent sinon patatras plus de maths !

Et de toute façon nous ne pourrions pas nous en sortir car Gödel démontre qu'il est toujours possible de construire à partir d'un nouveau système d'axiomes plus complet de nouvelles propositions indécidables ! C'est à jamais en finir. 

Le second théorème d'incomplétude de Gödel démontre que la cohérence d'un système d'axiomes qui contient au moins l'arithmétique ne peut pas être démontrée en restant à l'intérieur du système. C'est angoissant ! 

Bon dans la réalité c'est pas angoissant du tout. Les mathématiciens s'en sortent bien. Ce sont les philosophes qui ne s'en sortent pas. Ca leur donne de quoi réfléchir. Mais ils zappent constamment ce fait : les théorèmes de Gödel s'exercent au sein d'un système d'axiomes qui contient au moins l'arithmétique. 

Penrose s'empare  de ces théorèmes pour estimer que les IA ne peuvent pas tout résoudre, parce que pour elles aussi il y aura toujours  cette question de l'indécidabilité d'une proposition puisque tous leurs systèmes reposent au moins sur le système basique de l'arithmétique (les algorithmes).

il y a 35 minutes, chekhina a dit :

Ce sujet me permet de faire un point personnel sur ces théorèmes d'incomplétude.

Ces théorèmes nous étonnent car ils heurtent notre conviction : ce qui est vrai est démontrable et ce qui est démontrable est vrai. En fait toute démonstration en maths part d'un système axiomatique composé de propositions tenues pour vraies (et non démontrables) à partir desquelles nous construisons d 'autres propositions en appliquant des règles de logique codées depuis l'Antiquité.

Le premier théorème d'incomplétude de Gödel démontre que dans tout système axiomatique qui contient au moins l'arithmétique il existe des propositions qui sont indécidables, qui sont en fait indémontrables même quand elles nous paraissent vraies. Il en est ainsi de la conjecture de Goldbach : "tout nombre pair, à partir de 4, peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers" On peut faire tourner les ordi à l'infini, c'est toujours vrai mais on n'a jamais fini...de faire tourner l'ordi. Nous ne pouvons pas à partir d'un nombre fini d'opérations démontrer cette proposition.

La solution pourrait être de transformer en axiomes ces propositions qui nous paraissent vraies et qui sont indémontrables mais attention à l'incohérence possible du nouveau système d'axiomes.  Il faut que le système reste cohérent sinon patatras plus de maths !

Et de toute façon nous ne pourrions pas nous en sortir car Gödel démontre qu'il est toujours possible de construire à partir d'un nouveau système d'axiomes plus complet de nouvelles propositions indécidables ! C'est à jamais en finir. 

Le second théorème d'incomplétude de Gödel démontre que la cohérence d'un système d'axiomes qui contient au moins l'arithmétique ne peut pas être démontrée en restant à l'intérieur du système. C'est angoissant ! 

Bon dans la réalité c'est pas angoissant du tout. Les mathématiciens s'en sortent bien. Ce sont les philosophes qui ne s'en sortent pas. Ca leur donne de quoi réfléchir. Mais ils zappent constamment ce fait : les théorèmes de Gödel s'exercent au sein d'un système d'axiomes qui contient au moins l'arithmétique. 

Penrose s'empare  de ces théorèmes pour estimer que les IA ne peuvent pas tout résoudre, parce que pour elles aussi il y aura toujours  cette question de l'indécidabilité d'une proposition puisque tous leurs systèmes reposent au moins sur le système basique de l'arithmétique (les algorithmes).

Tu as une formulation anglo saxonne du premier théorème d'incomplétude et une formulation européenne.

Il y a en réalité plusieurs écoles de mathématiciens à propos du statut de la vérité (des valeurs de vérité) et du statut de la démontrabilité qui opposent par exemple Lichnerowicz à Alain Connes.

L'arithmétique qui doit être a minima contenue est l'arithmétique de Robinson 

Écouter 7min 45s

J'ai évidemment tout le contenu de ces échanges et ma propre philosophie rejoint à 100% Alain Connes

Il y a 3 heures, chekhina a dit :

 

En général quand il y a une telle confusion c'est même inutile d'engager une conversation si le locuteur ne parvient pas à distinguer mathématique et physique. 

Quant aux vérités philosophiques ou religieuses c'est encore autre chose.

Je pense surtout qu'il y a des lacunes absolument terribles en philosophie des sciences entre les mathématiciens qui ne s'intéressent pas aux fondements logique et ils sont nombreux 

Avec les physiciens qui ne s'intéressent pas aux fondements mathématiques et ils sont nombreux 

Feynman était vent debout contre la plupart des philosophes à juste titre par exemple et totalement remonté contre la manière d'aborder la physique par l'angle mathématiques 

Sa vision de pur physicien a d'ailleurs contribué à des avancées majeures.

A l'inverse Einstein a connu une évolution dans ce domaine et des mathématiciens à la frontière des sciences physiques comme Alain Connes ont toujours pensé que l'angle purement mathématiques et le "formalisme pur mathématiques" le meilleur outil pour s'approcher de la réalité fondamentale 

Ça vaut d'ailleurs chez Grothendieck une énorme évolution dans son appropriation du concept même de vérité qu'il relativise avec le principe de tiers non exclu

Et ça vaut des introspections de Connes dans la poursuite des travaux concernant les topos de Grothendieck comme outil conceptuel qu'il amène à la psychanalyse

Ce sujet est extrêmement puissant 

il y a 1 minute, zenalpha a dit :

Je pense surtout qu'il y a des lacunes absolument terribles en philosophie des sciences entre les mathématiciens qui ne s'intéressent pas aux fondements logique et ils sont nombreux 

Avec les physiciens qui ne s'intéressent pas aux fondements mathématiques et ils sont nombreux 

Feynman était vent debout contre la plupart des philosophes à juste titre par exemple et totalement remonté contre la manière d'aborder la physique par l'angle mathématiques 

Sa vision de pur physicien a d'ailleurs contribué à des avancées majeures.

A l'inverse Einstein a connu une évolution dans ce domaine et des mathématiciens à la frontière des sciences physiques comme Alain Connes ont toujours pensé que l'angle purement mathématiques et le formalisme pur était le meilleur outil pour s'approcher de la réalité fondamentale 

Ça vaut d'ailleurs chez Grothendieck une énorme évolution dans son appropriation du concept même de vérité qu'il relativise avec le principe de tiers non exclu

Et ça vaut des introspections de Connes dans la poursuite des travaux concernant les topos de Grothendieck comme outil conceptuel qu'il amène à la psychanalyse

Ce sujet est extrêmement puissant 

Oui c'est un sujet en effet puissant. Les débats dont j'ai déjà parlé ici entre Connes et Zwirn sont passionnants et leur polémique est étonnante car c'est le physicien, Zwirn qui soudain débouche sur une philosophie inattendue (le solipsisme récréatif je crois, tout un imaginaire !). Connes avec la géométrie non commutative, mais pas seulement bien sûr, débouche sur un concept de "variabilité" qui précèderait le concept de temps. Bon c'est passionnant mais très difficile à saisir bien que ces hommes essayent de se rendre compréhensibles. Feynman rejette l'intrication puis l'accepte. 

Einstein se méfie des mathématiciens mais il est obligé d'aller les voir pour qu'ils mettent en place les théories intuitives qui caractérisent son génie. Le rapport entre Einstein et les mathématiciens est assez étonnant. 

A titre personnel, mais c'est bien sûr subjectif, j'ai le sentiment que les mathématiciens ont d'abord investi et dominé la physique, avec Galilée et Newton. Depuis la relativité et la physique quantique j'ai l'impression que les physiciens reprennent le pouvoir. Mais mathématiciens et physiciens marchent de concert bien sûr ! 

J'ai voulu surtout "dédramatiser" Gödel dans ce fil.

il y a 22 minutes, chekhina a dit :

Feynman rejette l'intrication puis l'accepte. 

Hello Chekhina

Nous ne sommes pas toujours d'accord mais je reconnais et ta compétence et ton intérêt 

Je tiens à te le dire

Sur ce point on avait échangé mais l'ordinateur quantique imaginé en premier par Feynman exploite l'intrication quantique 

Je n'ai jamais compris l'origine de ton propos si tu veux bien m'expliquer ce point

Car je ne l'ai jamais croisé cet argument 

- Il n 'y a pas de mathématiques sans l'être humain pour les découvrir.

- Il n'y a pas de mathématiques sans l'infini qu'elles utilisent à tous bouts de champs, manifestement ou intrinsèquement. Le hic, c'est qu'on ne connait aucun infini dans la nature. Donc, Alain Connes, et tous ceux qui adoptent cette position, ont tort : les mathématiques ont très précisément les limites de leurs qualités.

- Et moi je m'étonne qu'il n'y ait encore personne pour se demande où tout cela se passe. Ce pourquoi énormément de matheux, etc., se sont littéralement perdus, abimés. C'est tout sauf un, des, accidents.