Lettres à Samuel

 

Lettre 15

21 mars 2018

Deuxième partie

Section 1

Pessah, ou Pessa'h, est l'une des fêtes les plus importantes du peuple juif.

Elle commence cette année le 31 mars 2018 et elle dure 8 jours (7 jours en Israël).

Dans les faits elle démarre le 30 mars après la tombée de la nuit, car, dans le calendrier juif, la journée ne commence pas à minuit comme dans le calendrier grégorien, elle commence la veille au soir.

Donc le premier jour de Pessah, bien que fixé au 31 mars, commencera le 30 mars quand la nuit sera tombée.

Cette fête commémore la sortie d’Égypte, le passage (Pessah signifie passage) de l'état de servitude à l'état de liberté. Elle célèbre aussi la venue du printemps (passage de l'hiver au printemps). Cette célébration, incluse dans Pessah, s'appelle la fête des azymes.

Cette fête est l'occasion du partage en commun d'un repas appelé : séder.

Le séder requiert un plateau qui comporte les éléments suivants :

Zerowa, ou zéroa : c'est un os d’agneau qui rappelle le sacrifice de l'agneau pascal il y a plus de 2000 ans. A l'époque les juifs se rendaient à Jérusalem et y sacrifiaient l'agneau en la soirée de Pessah. Ils commémoraient ainsi le sacrifice initial de l'agneau, à la veille de la dixième plaie d’Égypte. Pour éviter que l'ange de la mort ne tue les nouveaux nés des Hébreux Moïse leur demanda de sacrifier un agneau et de badigeonner la porte de leur maison avec le sang de l’agneau. Ainsi l'ange de la mort, voyant ce signe de sang, passa par dessus leur maison (Pessah : passer par dessus) et ne tua que les nouveaux nés Égyptiens. Aujourd'hui le sacrifice de l'agneau n'est plus réalisé à cause de la destruction du temple (en 70 après J.C.). Tant que le temple ne sera pas reconstruit, les Hébreux ne pratiqueront plus de sacrifice. Pour commémorer tout de même cette coutume (le sacrifice de l'agneau) on place un os grillé d'agneau sur le plateau du séder.

Beitsa: c'est un œuf dur qui rappelle le deuil de la destruction du Temple.

Le karpass :Il s'agit d'herbes vertes, persil, ou de légumes carotte, oignon, céleri ou de la pomme de terre bouillie. Pessah étant aussi la fête du printemps, ces légumes sont ici le symbole du renouveau et de la régénération.

Le Harosseth :C'est un mélange doux, composé en fonction des coutumes familiales ou communautaires, de pommes, poires, noix hachées et mélangées avec du vin, ou encore de dattes, pommes, noix et vin. Sa couleur brune rappelle le mortier que les Hébreux utilisaient en Égypte pour fabriquer les briques nécessaires aux constructions.

Mé-mélah : l'eau salée. A côté du plateau, on pose un bol contenant de l'eau salée. Au cours du séder, on y trempera le Karpass. Cette eau salée a le goût des larmes que les ancêtres des Hébreux ont versées en Égypte.

Trois matzoth (au singulier la matza), galette de pain azyme, azyme : sans levain. Selon le texte biblique et la tradition orale, quand les Hébreux quittèrent l’Égypte ils n'eurent pas pas le temps de laisser le pain se lever ; selon d'autres traditions le pain sans levain symbolise la pauvreté des Hébreux pendant la période d'esclavage.

Maror : herbes amères, amères comme les Égyptiens rendirent amère la vie des Hébreux

Hazéret: laitue qui complète les herbes amères,

 

Le déroulement du séder est réglementé par la Haggada de Pessah. La Haggada (mot qui signifie récit) est un texte écrit en hébreu, vieux de 2000 ans qui relate la sortie d’Égypte. Elle décrit aussi les rituels à accomplir. Elle est lue et ses directives sont appliquées lors du séder.

Je te parlerai de la cérémonie du séder dans une prochaine lettre.

Note : pendant les 8 jours de Pessah le hametz, c'est-à-dire tout aliment dérivant de la fermentation des cinq céréales (blé, orge, avoine, seigle, épeautre) est interdit (interdiction d'en consommer et d'en posséder). Cette interdiction symbolise la rupture totale avec la période d'esclavage en Égypte. La veille de Pessah le hametz est recherché dans toute la maison à la lueur d'une bougie, dès la tombée de la nuit. Le hametz trouvé doit être brûlé (c'est la chasse aux miettes de pain!). Les ustensiles de cuisine doivent également en être débarrassés.

 

A propos de l’antisémitisme ce phénomène, dans son excès, s'est développé en Europe.

 

Ta tante est séfarade, originaire du Maghreb et les séfarades ne connaissent pas l'Europe.

Les juifs qui viennent d’Europe sont appelés : ashkénazes. Ils sont différents culturellement des séfarades.

Les juifs, partout où ils sont, s’intègrent aux cultures locales (sans pour autant perdre leur identité). Les séfarades ont une culture empruntée aux pays arabes du Maghreb : primat de la religion (ta tante ne peut absolument pas comprendre qu'un juif puisse être athée, de même qu'un arabe du Maghreb ne peut pas comprendre qu'un arabe ne soit pas musulman). C'est pour cela, par mimétisme avec la culture arabe, qu'elle ne peut pas concevoir que tu puisses employer le mot hébreux, car ce mot ne réfère pas à la religion et pour elle, seule la religion compte, de même que pour un arabe du Maghreb seul l'islam, donc la religion, compte.

Toi tu es issu des ashkenazes lesquels se sont adaptés à la culture européenne, c'est-à-dire à l'esprit des Lumières qui apprend à penser par soi-même sans recours ni à un maître, ni à un dieu. C'est pour cela que les ashkénazes peuvent prendre de la distance avec la religion : ils bénéficient du courant de pensée des Lumières de l’Europe. Cela ne les empêche pas d’être solidaires de l'histoire de leur peuple. Donc ne soit pas trop dur avec ta tante, elle n'a pas bénéficié de tous ces siècles de réflexion propre à l’Europe.

 

Pour l’antisémitisme j'y reviendrai plus tard.

Modifié le 22 mars 2018 par aliochaverkiev

Lettre 15

24 mars 2018

Deuxième partie

Section 2

 

La cérémonie du séder, selon la Hagadda de Pessah.

Cette cérémonie suit les étapes suivantes :

Le kiddouch : c'est une célébration prononcée sur une première coupe de vin au cours de laquelle on récite une prière : le Kaddish.

L'ablution des mains (our'hatz) : l'officiant se lave les mains.

Le karpass : les convives mangent du karpass trempé dans de l'eau salée.

Ya'hatz : on prend la matza du milieu (les trois matzoth sont disposées les unes sur les autres sur le plateau), on la casse en deux, un morceau plus grand que l'autre. On met de côté le plus grand morceau pour l' Afikomane.On remet le plus petit morceau entre les deux matzoth. Afikoman signifie : « ce qui vient après », « dessert ». Le grand morceau sera mangé pour terminer le repas. Afikomane désigne à la fois ce morceau et l'acte de terminer le repas en le mangeant.

Maguid : récit de la sortie d’Égypte. Le récit est assez long et ponctué par divers rituels : deuxième coupe de vin, découverte d'une matza, prise en mains de celle-ci, etc.

A noter que dans ce récit il est dit : « L'Éternel nous sortit d'Égypte, non par l'intermédiaire d'un ange, non par l'intermédiaire d'un séraphin et non par l'intermédiaire d'un messager. Le Saint, béni soit-Il, dans toute Sa gloire, le fit Lui-même ! » Moise ainsi n'est pas nommé comme étant l’initiateur de cette sortie. (Dans tout le récit d'ailleurs Moise n'est cité qu'une seule fois).

Seconde ablution des mains (Ro'htsah) : tous les convives se lavent les mains.

Motzi : bénédiction sur la matza en tant que pain. 

Matza : bénédiction spécifique à la Mitsva de matza. (Mitsva : commandement de Dieu, commandement donné par Dieu de manger la matza).

Maror (les herbes amères) : on prend un peu du maror, on le trempe dans le Harosseth, on secoue le Harosseth qui y reste collé, afin que le goût amer ne soit pas neutralisé. On récite une bénédiction puis on mange le maror.

Korekh : On prend la troisième matza, et également du Hazéret qu'on trempe dans le Harosseth. On mange l'ensemble et on dit : « Ainsi faisait Hillel au temps du Beth-Hamikdache: il joignait l'offrande de Pessah, la matza et le maror et il les mangeait ensemble » C'est un hommage rendu à Hillel une grande figure intellectuelle juive qui a fixé une grande partie de la loi juive.

Choul'hane Ore'h, le repas de fête : la table est servie et les convives mangent le repas.

Tzafoun : on mange l'Afikoman pour marquer la fin du repas.

Berakh : action de grâces. Bénédictions qui suivent le repas et troisième coupe de vin.

Hallel : lecture du Hallel, texte lu traditionnellement lors des fêtes juives, quatrième coupe de vin.

Nirtzah : on conclut le séder en disant : « L'an prochain à Jérusalem ! »

 

Voilà, tu sais tout maintenant sur Pessah !

Je pense à toi tendrement.

 

 

 

Citation

 

Leçon 28

Le 30 mars 2018

Bonjour Samuel,

J'espère que tu vas bien et que tu vas passer de bonne fêtes de Pessah.

Je reprends les leçons de maths, je ne te donne plus d'exo puisque tu es maintenant capable de voler de tes propres ailes.

Je vais te délivrer des leçons qui te donnent un complément au cours de maths donné par ton professeur.

Je pense à toi avec tendresse.

 

Comment résoudre un système d'équations à deux inconnues ?

Un système d'équation à deux inconnues se présente sous la forme suivante :

2x + 3y = 5

5x – 2y = 7

Nous généralisons ce système d'équations sous la forme suivante :

ax + by = c

a'x + b'y = c'

Où a, b, c, a', b', c' sont des coefficients.

Il existe deux méthodes pour résoudre ce type d'équation.

1) la méthode par substitution :

Nous isolons x (ou y) en utilisant la première équation et nous trouvons :

x = (c-by)/a

Puis nous remplaçons cette valeur de x dans la deuxième équation et cela nous donne :

a' [(c-by)/a] + b' y = c'

Ensuite il suffit de développer puis d'isoler y. Nous trouvons alors une valeur pour y et il suffit de remplacer cette valeur dans n'importe quelle équation pour trouver la valeur de x.

Appliquons cette méthode à notre exemple :

2x + 3y = 5

5x – 2y = 7

 

2x = 5 – 3y, soit x = (5 – 3y) / 2

Nous remplaçons x par cette valeur dans la deuxième équation et nous trouvons :

5[(5 – 3y) / 2] – 2y = 7, soit (25 -15y)/2 – 4y/2 = 7 soit (25-19y)/2 = 7

soit 25 – 19y = 14

19y = 11 et y = 11/19

Nous remplaçons cette valeur dans n'importe quelle équation et nous trouvons :

2x + 3(11/19) = 5

x = 31/19

La solution unique de ce système d’équations est donc :

x = 31/19 et y = 11/19

2. la méthode par combinaison linéaire :

Cette méthode est préférée à la précédente car elle est beaucoup plus aisée d'application.

Il suffit de multiplier (ou de diviser) une ou chacune des deux équations par un nombre astucieusement choisi puis d’additionner ou de soustraire membre à membre chaque équation pour éliminer une inconnue et trouver ensuite rapidement la deuxième inconnue.

Reprenons notre exemple :

2x + 3y = 5

5x – 2y = 7

Multiplions la première équation par 5 et la deuxième par 2.

Nous trouvons

5 (2x + 3y) = 5 x 5 = 25

2(5x – 2y) = 2 x7 = 14

 

10x + 15 y = 25

10 x - 4y = 14

Soustrayons membre à membre .

Nous trouvons :

10x – 10x + 15y + 4y = 25 – 14

Soit :

19 y = 11 et y = 11/19

Il suffit de remplacer cette valeur dans n’importe quelle équation pour trouver x = 31/19

Dans notre exemple il a fallu multiplier les deux équations par un nombre astucieusement choisi mais comme dans ce cas-ci les coefficients sont premiers entre eux, il nous a fallu multiplier la première équation par un coefficient propre à la deuxième équation et la deuxième équation par un coefficient propre à la première équation.

Mais souvent les problèmes à résoudre sont plus simples.

Soit l’exemple suivant :

2x - 7y = 8

x + 3y = 13

Là il suffit de multiplier la deuxième équation par 2 puis de soustraire membre à membre.

Cela nous donne :

2x – 7y = 8

2(x+ 3y) = 2 x 13 = 26

Soit :

2x – 7y = 8

2x + 6y = 26

Nous soustrayons membre à membre et nous trouvons :

2x - 2x -7y – 6y = 8 - 26 = -18

Soit :

13y = 18 et y = 18/13

Il suffit ensuite de remplacer cette valeur dans n'importe quelle équation pour trouver la valeur de x (x = 115/13).

On aurait pu bien sûr multiplier la deuxième équation par (- 2) plutôt que par 2 mais ensuite nous aurions dû additionner les deux équations membre à membre (au lieu de les soustraire).

3. Notes

Il faut avoir autant d'équations que d'inconnues lorsque nous avons un système à résoudre.

Par exemple si tu as trois inconnues x, y et z il faut disposer de trois équations de type suivant :

ax + by + cz = d

a'x + b'y + c'z = d'

a'' x + b''y + c''z = d''

(a,b,c,d,a',b',c',d', a'',b'',c'',d'' étant des coefficients).

Si tu as quatre inconnues il faut quatre équations et ainsi de suite.

 

Je vais t'apprendre maintenant la notion de déterminant.

Reprenons notre système d'équations suivant :

ax + by = c

a'x+ b'y = c'

Le déterminant de ce système est l'expression suivante :

ab' – a'b

On note le déterminant ainsi :

 

             |a b  |

Dét                    = ab' - a'b

            |a' b' |

 

(En fait les quatre lettres sont encadrées à gauche et à droite par deux segments verticaux continus et non pas discontinus comme dessinés ici).

 

Cette notion de déterminant est importante pour la suite de tes études même si on ne l’utilise pas en troisième. Tu l'emploieras quand tu étudieras certains objets mathématiques comme les vecteurs et les matrices (les vecteurs tu les étudieras en seconde, les matrices soit en terminales S, en spécialité, soit en fac).

Regardons ce qui se passe lorsque ce déterminant est égal à zéro, c'est-à-dire lorsque ab' – a'b = 0.

Dans ce cas nous avons ab' – a'b = 0 => ab' = a'b => b'/b = a'/a

Posons b'/b = k. Alors a'/a = k et a' = ka et b' = kb

Notre système d’équation devient le suivant (en remplaçant a' et b' par ka et kb)

ax + by = c

kax + kby = c'

Nous voyons que la deuxième équation n'est pas autre chose que la première équation que nous avons multiplié par k ! Autrement dit nous n'avons en réalité qu'une seule équation, car une équation que l'on multiplie par un nombre cela ne nous donne aucune information supplémentaire.

Continuons notre raisonnement et travaillons maintenant sur c et c'.

Si c' = kc (de la même manière que a' = ka et b' = kb) alors nous avons le système suivant :

ax + by = c

kax + kby = kc

Là il devient patent que nous n'avons qu'une seule équation puisque la deuxième est exactement la même que le première : nous n’avons fait que multiplier les deux membres de la première équation par k.

En fait nous n'avons qu'une équation :

ax + by = c.

Les solutions de cette équation sont le couple de nombres suivant :

x et y = (c – ax)/b, soit en notation des ensembles :

{x ; (c-ax)/b }

Il y a une infinité de solutions car x décrit tout l'ensemble des nombres de référence (l'ensemble des réels en général) mais dès que x est fixé on voit que y est fixé. Cet ensemble de solutions est visualisé par l'équation de la droite y = (c – ax)/b qui est une droite affine (je traiterai cette question, la droite affine, dans une prochaine leçon).

Si c' n'est pas égal à kc, que se passe-t-il ?

Nous avons :

ax + by = c

kax + kby = kc

Soit :

ax + by = c

k(ax + by) = c'

Si (ax + by) n'est pas égal à zéro (on n'a pas le droit de diviser par un nombre égal à 0) en divisant les deux équations membre à membre on trouve :

1/k = c/c' (car (ax + by)/k(ax + by) est simplifiable par (ax + by) expression que l'on retrouve au numérateur et au dénominateur).

Mais 1/k = c/c' => c' = kc or nous sommes partis de l’hypothèse que c' n'était pas égal à kc ! Donc nous tombons sur une impossibilité : il n'y a pas de solution.

Je vais illustrer cela par un cas pratique.

Soit le système suivant :

3x + 2,5 y = 4

1,5x +1,25 y = 2,5

Calculons le déterminant. Il est égal à (3)(1,25) – (2,5)(1,5) = 0.

Alerte!

Soit il y a une infinité de solution soit il n' y en a pas.

Calculons le rapport 3/ 1,5. Il est égal à 2. Calculons le rapport 4/2,5, il n'est pas égal à deux (il est égal à 1,6). Il n' y a pas de solution.

Si nous avions eu :

3x + 2,5y = 4

1,5x + 1,25y = 2

Alors le rapport de 4 à 2 étant égal à deux il y aurait eu une infinité de solutions que nous aurions notées ainsi :

{x ; y = (4-3x)/2,5}

Conclusion :

Pour éviter un éventuel piège que pourrait te tendre ton professeur (mais en troisième cela m’étonnerait que ton prof te pose un tel piège !) calcule le déterminant.

S'il n'est pas égal à zéro tu es tranquille. Sinon il faudra détailler tes réponses : infinité de solutions ou pas de solutions.

A très bientôt.

Je t'embrasse.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Leçon 29

Le 2 avril 2018

Bonjour Samuel,

Voici une nouvelle leçon de mathématique, je n'oublie pas pour autant les lettres sur le judaïsme ! Mais laissons un peu reposer cette question-là.

Je pense à toi chaque jour, ne l'oublie pas.

 

Fonction numérique-fonction linéaire

La fonction numérique

Cette notion, la fonction numérique, est très importante en mathématiques. Il est nécessaire de bien comprendre et intégrer les bases de cette étude.

Une fonction c'est une opération mathématique qui consiste à appliquer à une variable un calcul mathématique donné.

En clair :

Nous partons d'une variable en général notée x.

Cette variable, tu la choisis, comme tu l'entends, dans un ensemble de nombres choisi au préalable. Par exemple si l'ensemble choisi est celui des entiers naturels, cette variable pourra prendre la valeur que tu veux de 0 à l'infini.

Le calcul mathématique donné est une ou des opérations mathématiques construites autour de la variable.

Par exemple cette opération pourra être: « multiplier par 3 ». Je prends x, je le multiplie par 3 et je trouve un résultat : 3x. A x on associe 3x, ou, à x on fait correspondre 3x.

On note :

f : x ――> f(x) = 3x

Ou encore en simplifiant :

f(x) = 3x

C'est cette notation-là que tu utiliseras en général : f(x) = 3x. Elle signifie : soit une fonction (une opération mathématique) f que j’applique à x et dont le résultat est 3x, ce qui signifie que cette opération mathématique, f, est « multiplier par 3 ». Le seul fait d'écrire f(x) = 3x renseigne donc sur deux actions : j’applique sur x une opération donnée, f, et cette opération donnée est « multiplier par 3 ».

Comme tu peux le constater écrire f(x) = 3x n'est pas tout à fait la même chose qu'écrire par exemple y = 3x. Dans cette écriture, y = 3x, tu as deux variables y et x, et tu écris une égalité purement mathématique. Dans l'écriture f(x) = 3x il y a un côté « littéraire », tu égalises en fait une fonction qui inclut l'idée d'une opération appliquée à x, f(x), avec un résultat mathématique 3x.

Cette ajout « littéraire » tu peux le retrouver dans cet énoncé :

« Soit une variable x ». Dans cet énoncé il y a un commentaire sur x, ce commentaire dit que x est une variable.

Autre exemple, tu peux écrire :

3x = 4, ça c'est un énoncé mathématique pur.

Mais tu peux aussi énoncer ceci : « soit l’égalité 3x = 4 ».

Ici du prends du champ par rapport à l’égalité, tu n'es pas directement dedans, tu te sépares de l'égalité et tu la «regardes».

Alors que dans l’énoncé brut 3x = 4 tu es directement plongé dans l'égalité.

Tout énoncé mathématique qui inclut un côté «littéraire», qui inclut un «discours», un « regard » sur un objet mathématique est appelé : métamathématique.

Un énoncé métamathématique inclut donc un discours, une appréciation, une distance par rapport à un objet mathématique pur, tandis qu'un énoncé mathématique pur plonge directement dans l'objet mathématique.

Cette distinction subtile tu n'en auras besoin que si tu fais des études mathématiques poussées en logique, c'est-à-dire en deuxième ou troisième année de licence. Donc tu as le temps. Mais cette distinction est utile aussi ici car elle t'évite d'égaliser de manière brute f(x) et 3x.

Il y a une infinité de fonctions possibles.

Je vais en citer quelques-unes :

La fonction linéaire : c'est l'acte de multiplier x par un nombre soit f(x) = ax. A x on fait correspondre ax. [ Bien entendu pour signifier la lettre tu peux prendre tout autre lettre de l'alphabet : b, c, d, etc. Tu n'es pas obligé de choisir « a »].

La fonction affine : c'est l'acte de multiplier par un nombre puis d'ajouter un autre nombre

f(x) = ax + b (multiplication de x par un nombre donné, ici noté a, puis ajout d'un nombre, ici noté b). A x on fait correspondre ax +b.

La fonction carrée : c'est l'acte de porter au carré, f(x) = x² (on prend x et on le met au carré, à x on fait correspondre donc x²).

La fonction cube: c'est l'acte de porter au cube, f(x) = x³ (on prend x et on le met au cube, à x on fait correspondre x³).

Quelques définitions à retenir.

Reprenons la fonction f(x) = 3x.

x est la variable, le point de départ, la source. f(x) est l'image de x. Ici l'image de x est donc 3x.

A rebours on dit que l’antécédent de 3x , c'est x. L’antécédent de l'image, la source de l'image (qui est ici 3x) est x.

Prenons un exemple.

Soit la fonction :

f(x) = 3x² + 3, qui est ici la fonction « porter au carré, puis multiplier par 3 et enfin ajouter 3 »

Quelle sera l'image de x = 2 ? Ce sera 2 porté au carré, le résultat étant multiplié par 3, puis nous ajouterons 3 à ce dernier résultat, nous trouverons ici : 15.

Supposons maintenant que l'on me donne f(x) = 30. Ici donc je connais la valeur de l'image de x (x ici est inconnu pour l'instant, je ne connais que son image). Supposons que l'on me demande la valeur de l' antécédent (c'est-à-dire la valeur de x).

Je vais écrire : 30 = 3x² + 3 (puisque je sais que l'expression de l'image est 3x² + 3)

D'où 3x² = 27

x² = 9

et x = 3 ou x = - 3 (car rappelle-toi si x² = A, alors x = + ou - √A ). Il y aura donc deux antécédents possibles.

C'est une autre caractéristique des fonctions que tu étudieras : à chaque valeur de x, il ne correspond qu'une seule image (x ne peut pas avoir deux images distinctes). Mais à une image il peut correspondre plusieurs antécédents.

Ici dans l'exemple «3» a pour seul image 9, et «-3» a pour seule image 9, mais 9 a deux antécédents + 3 et – 3.

La fonction linéaire

Nous allons commencer l’étude des fonctions par celle de la fonction linéaire.

La fonction linéaire (qui est la fonction la plus simple) est la fonction « multiplier par un nombre ». Ce nombre que je vais noter «a», peut être un entier, un nombre à virgule, une fraction, bref ce peut être n'importe quel nombre.

C'est donc la fonction qui, à x, fait correspondre ax

On note :

f(x) = ax.

Ce coefficient « a » est appelé coefficient directeur ou encore « pente ». Le mot « pente » est celui que l'on finit par utiliser quand on devient rompu aux maths. Je t'expliquerai pourquoi très vite.

 

Soit la fonction linéaire f(x) = 2x. C'est donc la fonction linéaire qui, à x, fait correspondre 2x.

Si l'ensemble de définition est l'ensemble des naturels alors à chaque nombre que je choisi dans N (ensemble des entiers naturels) je fais correspondre son double. A 2 correspond 4, à 3 correspond 6, à 24 correspond 48 etc. Tu vois ainsi que, dans une fonction, si la variable n'est pas déterminée (tu la choisis dans un vaste ensemble) l'image, elle, est déterminée dès que tu as choisi une valeur donnée pour la variable.

Si j'ai mis en italique et en gras la formule « ensemble de définition » c'est parce que cette formule est celle que tu devras utiliser quand tu définiras l'ensemble d'où tu pars pour caractériser la valeur de la variable. Ici nous supposons que l'ensemble de définition est N (mais nous aurions pu choisir Z, R etc. Ce qu'il faut c'est définir cet ensemble de départ mais cette exigence te sera imposée plus tard, en seconde notamment).

Je vais commenter maintenant l'exercice de la fin de la page 118 de ton manuel.

Il est demandé ceci :

« Déterminer le coefficient (il aurait fallu écrire : le coefficient directeur) « a » de la fonction linéaire h tel que h(5) = -12.

D'abord tu vois que tu peux choisir n'importe quelle lettre pour caractériser une fonction. Usuellement on emploie f(x), mais on peut tout aussi bien employer h(x), g(x), etc.

Regardons bien cette égalité. Tu vois aussitôt qu'il s'agit d'un énoncé métamathématique, car il n' y a pas là une vraie égalité. h(5) en soi ne désigne aucun nombre. Cette égalité signifie en fait ceci : soit la fonction h, qui à 5 fait correspondre -12. Le signe égal est ici employé de manière littéraire, il ne signifie pas « égal » il signifie : « fait correspondre », l’expression « fait correspondre » n'est plus un énoncé purement mathématique, c'est un énoncé métamathématique.

Comment faire alors pour répondre à la question posée vu que nous ne disposons finalement que d'un seul terme purement mathématique : -12 ?

Il nous faut revenir à la définition de la fonction linéaire.

h(x) est la fonction linéaire qui, à tout x (de N) fait correspondre ax.

Donc à h(5) correspond : « a » multiplié par 5, soit 5a.

Donc à h(5) je peux faire correspondre deux énoncés purement mathématiques, les suivants :

h(5) = -12

et

h(5) = 5a.

Je n'ai plus qu'à égaliser les deux termes purement mathématiques, -12 et 5a et je peux poser :

5a = -12

D'où je tire a = -12/5 = -2,4

En déduire l'expression algébrique de h(x).

Je connais maintenant la valeur du coefficient directeur donc je peux écrire :

h(x) = -2,4x

Tu peux t’entraîner en faisant les exo 2, 4 7 et 8 de la page 119.

Dans une prochaine leçon je traiterai de la représentation graphique de la fonction linéaire.

Je t'embrasse

 

 

 

 

Lettre 16

10 avril 2018

Samuel,

Je reprends le récit tel que je l'ai laissé à la fin de la lettre 14.

Saül continua la lutte contre les Philistins sous l’œil critique de Samuel.

Les Philistins sont un peuple issu des Peuples de la mer, envahisseurs qui apparurent en Méditerranée orientale 1200 avant J.C. en empruntant la voie maritime. Ils envahirent tous les pays du Moyen-Orient provoquant de nombreuses guerres territoriales. En Palestine ils arrivèrent par la côte ouest et tentèrent de s'établir en pays de Canaan.

Un jour que les Philistins et les Hébreux se faisaient face un géant nommé Goliath sortit des rangs des Philistins.

Il lança ce défi aux Hébreux :

« Désignez l'un d'entre vous pour qu'il s'avance vers moi. Si, en combattant avec moi il l'emporte et me tue, nous deviendrons vos sujets ; mais si c'est moi qui triomphe et le tue, vous serez nos sujets et nous obéirez »

Les Israélites prirent peur : comment affronter un tel géant ?

Pendant quarante jours, chaque matin, Goliath lança ce défi sans qu'aucun Israélite ose le relever.

Or, un Hébreu, David, jeune berger affecté à la surveillance des troupeaux de brebis de son père, Jessé, un Ancien d’Israël, fut chargé par ce dernier, un matin, d'aller sur la ligne de front ravitailler les combattants.

Là il entendit le défi de Goliath. Alors il s'approcha de Saül et lui dit :

« Que personne ne perde courage à cause de ce géant. Je vais aller me battre contre lui »

Saül protesta :

« Tu n'es encore qu’un enfant ! »

David rétorqua :

« Je fais paître les brebis de mon père Jessé; quand survient un lion ou un ours, je le poursuis et je le terrasse »

Impressionné Saül dit à David : « Va et que l’Éternel soit avec toi » .

Il vêtit David de son armure mais celui-ci la trouva trop lourde, il s'en débarrassa. Il s’avança avec son seul bâton et sa panetière de berger (petit sac porté à la ceinture et contenant pain et provisions) dans laquelle il avait une fronde. En traversant le torrent il prit 5 cailloux.

Le géant le vit arriver. Goliath portait une armure, une épée et un serviteur marchait devant lui, portant un bouclier.

Il apostropha le jeune berger :

« Viens ici que je donne ta chair aux oiseaux du ciel et aux animaux des champs »

David répondit :

« Tu viens à moi avec l'épée, la lance et le javelot ; et moi je viens au nom de l’Éternel, le dieu des légions d’Israël que tu insultes. Je vais t'abattre et te couper la tête »

Pris de colère Goliath se précipita sur David. David, de même, se précipita sur le géant. Il sortit sa fronde, y assujettit un caillou, et, faisant tournoyer sa fronde au-dessus de sa tête, il lâcha le caillou qui s’enfonça dans le front du géant le tuant net. Puis, s’emparant de l’épée de Goliath il lui trancha la tête.

Les Philistins prirent la fuite, Israël signa là une grande victoire.

Ainsi se fit connaître le jeune David, qui devint par la suite le roi légendaire d’Israël.

 

Ce événement inspira beaucoup d’artistes Titien (peintre italien, 1488-1576) et Caravage (peintre italien, 1571-1610) en firent deux célèbres tableaux.

 

 

 

 

 

 

Leçon 31

 

 

13 avril 2018

Bonjour Samuel,

Voici une leçon complémentaire sur les fonctions.

La fonction affine

La fonction affine est la fonction qui, à x, fait correspondre le nombre ainsi calculé = ax + b, a et b étant des coefficients donnés, a étant le coefficient directeur de la fonction.

Cette fonction ne diffère de la fonction linéaire que par addition du nombre b au nombre ax.

Soit la fonction affine d'équation générale f(x) = ax + b

Soient x₁ et x₂ deux valeurs distinctes de la variable x.

Alors f(x₁ ) = ax₁ + b et f(x₂ ) = ax₂ + b

Calculons f(x₂ ) - f(x₁).

Nous trouvons :

f(x₂ )-f(x₁) = (ax₂ + b – (ax₁ + b)) = (ax₂ + b – ax₁ – b) = (ax₂ - ax₁) = a(x₂ - x₁)

D'où :

f(x₂ )-f(x₁) = a(x₂ - x₁) => f(x₂ ) - f(x₁) /(x₂ - x₁) = a

 

Cette égalité est très importante. Elle permet de calculer a, le coefficient directeur (ou la pente), encore appelé coefficient de proportionnalité des accroissements, dès lors que nous nous donnons deux valeurs distinctes x₁ et x₂ de la variable x et que nous calculons leurs images f(x₁) et f(x₂).

Application

Tu trouveras un exemple d'application directe de cette formule dans la résolution du problème de la page 142 (paragraphe : une méthode).

Concernant ce problème (déterminer la fonction affine g telle que g(1) = 3 et g(3) = 7) je te donne une deuxième méthode de résolution non indiquée dans le livre.

Nous avons g(1) = 3 et aussi g(1) = a multiplié par 1 + b (il nous faut deux équations comme indiqué dans la leçon précédente, puisque chacune de ces équations n'en est pas vraiment une dans la mesure où g(1) est un « discours » (métamathématique) et non un objet purement mathématique, discours qui exprime cette idée : «soit g une fonction dont l'image de 1 est...».

Muni de ces deux équations nous pouvons écrire :

3 = a + b

Faisons de même pour g(3)

Nous pouvons écrire :

g(3) = 7 et g(3) = 3a + b

D'où

7 = 3a + b

Nous avons à résoudre ce système de deux équations à deux inconnues :

7 = 3a + b

3 = a + b

Soustrayons membre à membre

Nous trouvons :

7 – 3 = 3a + b – (a + b) = 3a + b -a -b = 2a.

D'où 4 = 2a et a = 2.

Remplaçons cette valeur dans une équation au choix, par exemple 7= 3a + b.

Nous trouvons :

7 = 3x2 + b = 6 + b

D'où

b = 1.

L'équation de la fonction affine s'écrit donc ainsi :

g(x) = 2x + 1.

 

Représentation graphique

Comme pour la fonction linéaire la représentation graphique de la fonction affine est une droite. Cette droite a pour équation :

y = ax + b.

Pour la droite linéaire nous connaissions un point de la droite : l'origine. Il suffisait de trouver un seul autre point pour tracer la droite.

Dans le cas de la droite affine il nous faut trouver deux points.

Pour le premier point il est commode de choisir pour x la valeur 0. Du coup l'ordonnée (l'image par la fonction) sera égale à a x 0 + b = b. Nous reportons la valeur b sur l'axe des y et le point qui en résulte sera l'un des points de la droite.

Pour le deuxième point il vaut mieux choisir une valeur de x pas trop élevée, 1 par exemple. Du coup y = a multiplié par 1 + b = a + b. A partir de l'abscisse 1 et de l'ordonnée a + b nous situons un deuxième point, puis nous traçons la droite.

Ne pas oublier que les valeurs de x sont à reporter sur l'axe horizontal (abscisses) et les valeurs de y (ou de f(x)) sont à reporter sur l'axe des y (ordonnées).

Lorsque nous prenons pour x la valeur 0 nous trouvons pour y la valeur : b. Cette valeur s’appelle l'ordonnée à l'origine.

 

La résolution par substitution et la résolution graphique de la page 146 ne devraient pas te poser de problèmes. La résolution par substitution nous l'avons vue dans une leçon précédente.

Pour la résolution graphique il faut d'abord exprimer les équations des droites en fonction de y (il faut isoler y du côté gauche de l'équation). Le point d'intersection des deux droites est tel que y, en ce point, a la même valeur pour les deux droites. Donc dans l'exemple de cette page, une fois que nous avons formalisé correctement les équations des droites, y = x -1 et y = -2x + 5, il suffit d'écrire :

x -1 = -2x + 5 (puisque le y de l'une est égale au y de l'autre pour le point d'intersection) pour connaître l'abscisse du point d'intersection.

Il suffit ensuite de résoudre cette équation (puis remplacer la valeur trouvée de x dans l'une des équations en y pour trouver la valeur de y).

Notes

Quand le coefficient directeur de la fonction affine est égal à 0 nous obtenons une fonction de ce type : f(x) = b.

Nous obtenons alors une parallèle à l'axe des x passant par le point d'ordonnée b (pour toutes valeurs de x, y = b). Nous obtenons une droite de même type que celle de l'exo 13 de la page 145, graphique petit c.

Dans le cas d'une fonction linéaire quand a = 0, f(x) = 0. Nous obtenons alors comme droite l'axe des x (pour toutes valeurs de x, y = 0).

 

Je vais te donner un « truc » pour trouver graphiquement le coefficient directeur.

Prenons le graphique de l'exercice 16 de la page 145.

Nommons M le point de coordonnées : (4 ; 2) et N le point de cordonnées (1 ; 0,5); tu peux les marquer au crayon sur ton livre.

Appelons Q le point intersection de la parallèle à Ox passant par N et de la parallèle à Oy passant par M. Le coefficient de la droite (d3) à laquelle appartient N et M sera égal à MQ/NQ = 3/6 = 0,5 (pour déterminer les nombres 3 et 6 tu comptes le nombre de carreaux qui sépare M de Q et N de Q).

Et ça marche pour n'importe quel triangle que tu construis en adoptant la méthode précédente. Prenons en effet deux autres points de la droite (d3), M et O et nommons R le point intersection de la droite Ox et de la droite (MQ). Si tu calcules MR / OR tu trouves (comptage des carreaux ) : 4/8 = 0,5 ! Maintenant appelons S le point d’intersection de (d1) et de (d3) et construisons le point T tel que ST et MT soient perpendiculaires (tracer la parallèle à l'axe Ox passant par S et la parallèle à l'axe Oy passant par M). Calculons le rapport MT/ ST. En comptant les carreaux tu trouves 1 / 2 = 0,5 ! Quelque soit le triangle rectangle que tu construis à partir de deux points d'une droite de la manière indiquée ci-dessus, quand tu fais le rapport de la mesure du côté vertical sur la mesure du côté horizontal tu trouves la valeur du coefficient directeur de la droite. Tu choisis le triangle que tu veux mais tu t'efforces de le choisir tel que tu peux facilement mesurer par le comptage de carreaux entiers la longueur des deux côtés considérés du triangle rectangle choisi.

Cette opération nous l'avons menée à partir d'une droite penchée vers la droite (pente positive). Que se passe-t-il avec une droite penchée vers la gauche (pente négative) ?

Prenons la droite (d2). Construisons deux points, le point E (0 ; 2) (ce point est donc sur l'axe Oy) et le point G intersection des droites (d2) et (d1) de coordonnées : (2 ; 05). Puis construisons un triangle rectangle EHG tel que EH et GH soient perpendiculaires (H est le point d’intersection de la parallèle à Ox passant par G et de l'axe Oy ; ce point a pour coordonnées 0 et 0,5). Alors le coefficient directeur de cette droite, en valeur absolue, sera égal à EH/HG soit 3 / 4 = 0,75. Mais comme la droite est penchée vers la gauche le coefficient directeur de la droite doit être négatif, donc la valeur finale du coefficient directeur sera égale à : - 0,75.

Quand la droite est penchée vers la gauche il faut donc construire le triangle du côté gauche de la droite et ne pas oublier d'affecter au résultat obtenu par division des longueurs des deux côtés du triangle le signe - .

Tu as remarqué que j'ai choisi deux points de telle manière que ma construction du triangle qui s'en suit me permette d'obtenir des longueurs de côtés aisément mesurables (nombres entiers de carreaux).

 

Cette façon de calculer graphiquement le coefficient directeur d'une droite te servira en physique plus tard.

 

Essayons de trouver une justification à ce « truc ». Reprenons l'exemple du triangle construit au début, le triangle MNQ. A quoi correspond la distance MQ ? Elle correspond à la différence : y_m – y_q (ordonnée de M – ordonnée de Q) mais comme l'ordonnée de Q est égale à celle de N nous pouvons écrire y_m – y_q = y_m – y_n . A quoi correspond la distance NQ ? Elle correspond à la différence x_Q – x_n = x_m - x_n (car l'abscisse de Q est égale à celle M) . Donc le rapport MQ/ NQ correspond au rapport (y_m – y_n ) / ( x_m – x_n). Or ce rapport est celui que nous avons vu en page 1 de cette leçon  : f(x₂ )- f(x₁) /(x₂ - x₁) = a.

 

Voilà pourquoi le « truc » fonctionne [(f(x₂ ) correspond à l'ordonnée du point dont l'abscisse est x_2, soit y_2, idem pour f(x₁) qui correspond à y₁ ]

 

Considérons maintenant le triangle EHG. La distance EH correspond à la différence

y_{E –} y_H qui est égale à la différence y_{E –} y_G car l'ordonnée de H est égale à celle de G.

La distance HG est égale à la différence x_{G –} x_H qui est égale à la différence x_{G –} x_E car l'abscisse de H est égale à celle de E _. Mais pour calculer le coefficient directeur nous devons faire le rapport entre y_{E –} y_G et x_E – x_G et non entre y_{E –} y_G et x_{G –} x_E. C'est pourquoi, dans la pratique, nous faisons bien le rapport entre y_{E –} y_G et x_{G –} x_E. Puis nous affectons au résultat le signe – ce qui revient théoriquement à transformer la différence x_{G –} x_E. en différence x_{E –} x_G .

 

Pour t’entraîner tu peux faire les exo 5 et 9 de la page 143, les exo 15, 16 et 17 de la page 145, l'exo 23 de la page 147 et (plus difficile !) l'exo 63 de la page 153.

 

Quand tu as des représentations graphiques de droites il te suffit de prendre deux points de la droite ayant des cordonnées claires (x1; y1) et (x2; y2) et de remplacer les lettres y et x de l'équation générale y = ax + b par les valeurs des coordonnées trouvées. Tu obtiens alors deux équations y1 = ax1 + b et y2 = ax2 +b système que tu peux résoudre par combinaison linéaire ou par substitution. Tu peux aussi calculer « a » par la méthode donnée plus haut (le truc) : il te restera à calculer b en remplaçant x et y par les coordonnées d'un point choisi.

 

Bon courage Samuel !

Je pense à toi,

Je t'embrasse très fort

 

 

 

Modifié le 13 avril 2018 par aliochaverkiev

Lettre 17

21 avril 2018

Samuel,

Saül nomma David à la tête de ses armées. David connut de tels succès qu'il finit par devenir très populaire. Saül en conçut une grande jalousie. Il tenta de faire du tort à David allant même jusqu'à tenter de le tuer. David ne rentra jamais dans ce conflit, il préféra esquiver les attaques de son roi plutôt que de le combattre. Saül par son attitude se mit à dos Samuel qui finit par oindre secrètement David comme roi avant même la mort de Saül. Ce dernier mourut, peu après l’onction, sur le champ de bataille. Samuel mourut ensuite de vieillesse. David devint roi. [ Oindre : consacrer, ici, dans le contexte : nommer roi au nom de Dieu.]

 

Les livres de Samuel, deuxième livre.

Ce livre narre le règne de David, figure flamboyante qui régna de 1005 à 970 avant J.C., personnage parmi les plus admirés du peuple juif (même si, sans doute, le récit de sa vie fut abondamment romancé).

Guerrier, poète et musicien, rédacteur, selon la tradition, des Psaumes, il fut un roi très humain, trop humain pour les rigoristes (il aima particulièrement les femmes - Mikal, Abigaïl, Bethsabée - allant jusqu'à commettre l'adultère avec Bethsabée et à exposer la vie du mari de cette dernière en l'envoyant en première ligne mourir au combat). Il eut deux fils de Bethsabée dont l'un ne survécut pas, tandis que l'autre, appelé Salomon devint le futur roi d’Israël. [les Psaumes sont un livre de prières poétiques.]

Il fut tout de même promu à la gloire éternelle parce qu'il sut unifier sous son autorité toutes les tribus d’Israël, toujours prêtes à en découdre entre elles, écarter définitivement la menace des Philistins (lesquels, soit dit en passant ont donné leur nom à la Palestine) et conquérir Jérusalem proclamée capitale politique administrative et religieuse d’Israël. Il y installa l'arche d'alliance.

Il parvint à régner, à la suite de nombreux combats victorieux, sur un vaste territoire, à la grandeur inégalée dans l’histoire d’Israël, territoire qui s'étendait de la mer Rouge au sud au Liban au nord, de la Méditerranée à l'ouest jusqu'à la Transjordanie à l'est.

Lui même possédait d’immenses domaines qui lui fournissaient du bétail, des céréales, de l'huile d'olive.

Les Lévites furent chargés de la liturgie sous la direction d'un grand prêtre choisi dans leurs rangs, d'abord Abiathar, puis Sadok, ancêtre des Sadducéens dont la dynastie durera huit siècles. [ Liturgie : ensemble des rites, cérémonies et prières dédiés au culte de l’Éternel]

Les Sadducéens furent un groupe d'influence, conservateur en religion comme en politique, qui s'en tinrent aux Écritures et appliquèrent la Loi juive de manière littérale, sans s’occuper de l'esprit ni des Ecritures ni de la Loi (un peu comme les orthodoxes d'aujourd'hui). Ils disparurent en 70 lors de la ruine du deuxième Temple.

Il centralisa la gestion du royaume, devenant le seul chef de toutes les tribus, gouvernant par l’intermédiaire de conseillers, d'un ministre, d'un chancelier et d'un général en chef, Joab.

Cette centralisation déplaisait aux tribus qui rechignaient à se départir de leur autonomie politique et religieuse au profit d'une administration centrale installée dans une ville étrangère pour elles, car appartenant jusqu’à sa prise par David, à un autre peuple : les Jébusites.

Elles n'étaient pas non plus satisfaites de constater que David n’hésitait pas à recourir aux services de mercenaires crétois et philistins, issus de peuples non sémites dès lors qu'ils faisaient serment d’allégeance. A Jérusalem même, il laissa les Jébusites continuer d'y vivre.

Il était donc loin d’être obsédé par une quelconque et prétendue pureté de sang. Son ouverture d'esprit s'opposait aux traditionalistes, il embrassait tous les peuples sous son autorité qu'ils fussent Hébreux ou pas.

La fin de règne de David fut difficile. Ses trois fils, Absalon, Adonias et Salomon n'attendirent pas la mort de leur père pour briguer la succession. Finalement quand David se sentit mourir il désigna Salomon pour lui succéder.

 

Leçon 32

22 avril 2018

Bonjour Samuel,

J'espère que tu vas bien. La messagère m'informe chaque fois qu'elle est en relation avec toi des événements de ta vie. Tu deviens de plus en plus autonome, tu forges ta pensée avec tes propres réflexions sans rien céder à aucune pression ni à aucune intimidation. Je suis fier de toi.

Voici un cours sur le PGCD.

Prenons deux nombres : 420 et 1 386

Nous voyons qu'ils sont tous les deux pairs, donc divisibles par 2.

Deux divise 420 et 1 386. C'est un diviseur commun. Mais est-ce le plus grand diviseur des deux nombres ?

Nous voyons que ces deux nombres sont aussi divisibles par 3 (car la somme de leurs chiffres est divisible par 3). Donc 2 x 3 = 6 est aussi un diviseur des deux nombres. C'est aussi un diviseur commun, de même que 2 ou 3, mais c'est un diviseur commun plus grand que 2 ou 3.

Le but de cette leçon c'est, lorsque nous avons deux nombres (ou trois, ou quatre), d'expliquer comment trouver leur plus grand commun diviseur, leur PGCD.

Pour trouver le PGCD de deux nombres il existe plusieurs méthodes.

 

L'algorithme des différences

Cette méthode est expliquée page 102 de ton manuel, je ne m'y arrête pas (cette méthode est assez peu employée).

L'algorithme d'Euclide

Cette méthode est actuellement la plus employée.

On crée trois colonnes (voir page 102 en fin de page). Le nombre le plus grand est mis en tête de la première colonne, le nombre le plus petit est mis en tête de la deuxième colonne et dans la troisième colonne on met en tête le reste de la division du plus grand nombre par le plus petit.

Reprenons notre exemple : soit à calculer le PGCD de 420 et de 1 386

Nous créons le tableau suivant :

1 386      420        126

126 est le reste de la division de 1386 par 420. Pour le trouver tu peux bien sûr poser la division, mais c'est fastidieux ce genre de calcul et le mieux est d'utiliser la calculatrice Casio. Pour trouver le reste de la division d'un nombre par un autre tu appuies sur OPTN, puis sur NUM (pour atteindre NUM il faut appuyer sur F6 qui commande la petite flèche blanche, à droite de ton écran) puis sur MOD. Là tu vois apparaître sur l'écran : MOD (

Tu écris alors les deux nombres que tu sépares par une virgule et tu fermes la parenthèse. Ici cela donne :

MOD (1386,420)

Tu appuies sur EXE et l'écran affiche le résultat : 126

Maintenant tu crées une deuxième ligne en mettant dans les deux premières colonnes les deux nombres des deuxième et troisième colonne de la ligne précédente.

Cela nous donne ici

1386   420   126

420     126     42 (42 est le reste de la division de 420 par 126)

Et tu continues jusqu'à ce que le reste trouvé soit égal à zéro :

 

1386   420   126

420     126    42

126       42      0

 

Dès que tu as trouvé pour reste 0, tu lis le nombre qui est juste au-dessus de zéro dans le tableau et tu trouves le PGCD, ici : 42.

(Une fois que tu es positionné sur MOD, une fois que tu as calculé le premier reste, pour calculer le deuxième reste, ta calculatrice reste positionnée sur la ligne où est écrit « MOD », il te suffit alors d'appuyer à nouveau sur la touche MOD (commandée par F4) pour recommencer le calcul du nouveau reste).

 

La décomposition en facteurs premiers

Cette méthode est aujourd'hui apprise en faculté.

Cette méthode s'appuie sur le théorème fondamental de l'arithmétique.

Ce théorème nous vient d'Euclide : tout nombre entier peut s'écrire sous la forme d'un produit de facteurs premiers (et cette décomposition est unique).

Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par lui-même et le nombre 1.

Les premiers nombres entiers (jusqu'à 100) sont les suivants :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97

(Le nombre 1 n'est pas considéré comme étant un nombre premier).

Comment décompose-t-on un nombre entier en produit de ses facteurs premiers ?

On pose d'abord le nombre. Puis on prend le premier facteur premier, 2, et on regarde si le nombre est divisible par 2. Si oui, nous mettons le quotient trouvé sous le nombre.

Par exemple décomposons 648.

Nous écrivons 648 puis à côté nous mettons 2 (car 648 est divisible par 2) puis nous calculons le quotient, 324, que nous mettons sous 648, ce qui nous donne :

 

648 | 2

324 | 2

162 | 2

81  | 3

27  | 3

9    | 3

3    | 3

1   |

 

(La ligne en pointillé vertical est mise en général sous la forme d'un trait plein)

 

Une fois que nous avons trouvé 324 nous regardons à nouveau si ce nombre est divisible par 2, ici oui, nous mettons alors de nouveau deux dans la colonne de droite et nous continuons. Lorsque nous arrivons à 81, nous voyons que 81 n'est pas divisible par 2, alors nous regardons s'il est divisible par le nombre premier qui suit immédiatement 2, c'est-à-dire 3. Nous voyons que 81 est divisible par 3, alors nous écrivons 3 dans la colonne de droite et nous écrivons le quotient de la division de 81 par 3 dans la colonne de gauche. Et ainsi de suite jusqu'à ce que le quotient soit égal à 1. Là nous arrêtons.

Ici le nombre 648 est égal à : 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2³ x 3⁴

Nous avons décomposé 648 en produit de facteurs premiers.

Décomposons par exemple le nombre 77 330.

Nous trouvons

77 330 | 2

38 665 | 5

7 733   | 11

703     | 19

37      |   37

 

Ici après avoir essayé 2, nous trouvons comme quotient 38 665. Nous voyons que ni 2, ni 3 divisent 38 665. Nous essayons 5, et comme les nombres qui se terminent par 0 et 5 sont divisibles par 5, nous voyons que 38 665 est divisible par 5. Nous trouvons comme quotient 7733. Non divisible par 5. Alors nous essayons 7. Qui ne convient pas. Alors nous essayons 11. Qui convient. Nous trouvons comme quotient, après division par 11 : 703. Non divisible par 11, alors on essaye 19. Qui convient. Puis nous obtenons 37 comme quotient. 37 est un nombre premier, donc divisible par lui-même seulement. Et nous avons terminé notre décomposition. Pour la réussir il ne faut surtout pas faire l'impasse sur un nombre premier ! Il faut les essayer les uns après les autres.

Prenons un autre exemple. Décomposons 15 843. Nous voyons que ce nombre n'est pas divisible par 2, mais il est divisible par 3.

Nous obtenons le tableau suivant :

15 843 | 3

5 281   |

 

Ensuite nous essayons tous les nombres premiers qui suivent 3 (5 281 n'est pas divisible par 3) : 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73. Aucun ne convient. Quand on arrive à 73 on trouve comme quotient de 5 281 par 73 : 72,34. Alors ce n'est plus la peine de continuer. En effet si on continue par un nombre plus grand que 73, le quotient sera plus petit encore que 72,37 et donc plus petit que 79, le nombre premier qui suit 73. Mais si 5 281 était divisible par un nombre plus grand que 73 alors le quotient serait un nombre bien sûr plus petit que 73, et ce nombre, ce quotient qui est aussi un facteur de 15 843, nous l'aurions déjà trouvé dans notre décomposition. Or on a rien trouvé. Donc inutile de continuer. Dès lors que le quotient trouvé est plus petit que le diviseur testé, c'est fini. La décomposition n'a plus lieu d'être continuée. Ici, donc, 5 281 est un nombre premier.

 

Et 15 843 peut s'écrire : 5281 x 3.

Venons en maintenant au calcul du PGCD de deux nombres par cette méthode. Soit à calculer le PGCD de 64 680 et de 3 276.

Décomposons les deux nombres en produit de facteurs premiers.

Nous trouvons :

64 680 | 2                          3 276 | 2

32 340 | 2                           1 638 | 2

16 170 | 2                             819 | 3

8 085 | 3                               273 | 3

2 695 | 5                                91 | 7

539 | 7                                   13 | 13

77   | 7

11  | 11

D'où :

64 680 = 2³ x 3 x 5 x 7² x 11

3 276 = 2² x 3² x 7 x 13

 

Pour calculer le PGCD de deux nombres il faut :

Prendre chaque facteur commun aux deux décompositions, chaque facteur commun étant affecté par sa puissance la moins élevée (quand la puissance n'est pas écrite elle est égale à 1).

Soit ici :

2² x 3 x 7 = 84.

Le PGCD de 64 680 et de 3 276 est égal à : 84.

La méthode par décomposition en facteurs premiers est celle qui s'impose lorsqu'on doit calculer le PGCD de plusieurs nombres et non plus de deux seulement.

Dans tous les cas il faut prendre les facteurs communs à toutes les décompositions et leur affecter la puissance la moins élevée.

Il existe aussi une manière de calculer le PGCD directement par la calculatrice.

Faire OPTN, puis NUM puis GCD, puis dans la parenthèse mettre les deux nombres (ou plusieurs nombres à la suite) dont on doit calculer le PGCD, puis fermer la parenthèse puis appuyer sur EXE.

 

Applications

Dans ton manuel de mathématiques l’utilisation du PGCD est toujours la même.

Dans chaque problème on donne deux « objets » différents, A et B dont la quantité de chacun est précisée. Par exemple, page 107, exo 51, il y a a 651 objets A (figurants habillés en noir) et 465 objets B (figurants habillés en rouge).

Dans l'exo 71 de la page 110 il y a 411 objets A (des framboises) et 685 objets B (des fraises).

Puis il s'agit de constituer des « unités » formée chacune par un certain nombres d'objets A et un certain nombre d'objets B, chaque unité ayant le même nombre d'objets A et B.

La question est : quel nombre maximal d'unités pouvons nous constituer et combien d'objets A et B contiendra chaque unité ?

Si n est le nombre maximal d'unités possibles, si petit a est le nombre d'objets A et petit b le nombre d’objets B constituant chaque unité nous avons les égalités suivantes :

A (A désigne ici la quantité totale d'objets A) = n a (le nombre maximal d'unités n multiplié par le nombre a d'objets A constituant chaque unité doit être égal au nombre total d'objets A)

B = n b (même raisonnement que ci-dessus)

A, B, n, a et b sont des entiers.

On a donc :

A/n = a et B/n = b

Donc n divise A et B et en plus n doit être le plus grand possible, donc n est le PGCD de A et B.

Il faut donc calculer le PGCD de A et B, on obtient n et ensuite il suffit de remplacer A, B et n par leurs valeurs dans les équations A = na et B = nb pour trouver a et b.

Prenons l'exo 71 page 110.

Il suffit de calculer le PGCD de 411 et de 685. On trouve 137. Le nombre maximal de tartelettes sera 137. Chaque tartelette contiendra 411/137 : 3 framboises et 685/137 : 5 fraises.

Il y a une autre utilisation du PGCD : lorsque nous voulons réduire une fraction en une fraction irréductible, il suffit de calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur puis de diviser numérateur et dénominateur par le PGCD pour obtenir une fraction irréductible.

Note

Je vais te parler du PPCM, plus petit commun multiple, bien que ce ne soit pas au programme.

Le multiple d'un nombre A c'est un nombre que l'on obtient en multipliant A par un entier naturel quelconque. Les multiples de 5 sont 5 x 1 =5, 5 x 2 = 10, 5 x 3 = 15, 5 x 4 = 20, 5 x 5 = 25, 5 x 6 = 30 et ainsi de suite (l'entier 0 est un multiple de tout nombre entier A car A x 0 = 0).

Pour calculer le PPCM de deux nombres (ou de plusieurs) il faut recourir à la décomposition en facteurs premiers de ces deux nombres. Mais, à la différence du PGCD, une fois que nous disposons de cette décomposition, il faut prendre tous les facteurs qui apparaissent dans ces décompositions (même ceux qui ne sont pas communs aux deux nombres) et il faut affecter à chaque facteur la plus grande puissance.

Nous avons vu plus haut que

64 680 = 2³ x 3 x 5 x 7² x 11

3 276 = 2² x 3² x 7 x 13

Nous prenons chaque facteur qui apparaît dans l'une et l'autre décomposition, soit ici : 2, 3, 5, 7, 11, 13 et nous lui affectons sa puissance la plus élevée.

Alors le PPCM de 64 680 et de 3 276 sera égal à :

2³ x 3² x 5 x 7² x 11 x 13 = 2 522 520

C'est leur plus petit commun multiple.

Une utilisation du PPCM est intéressante quand on doit additionner deux fractions, par exemple 5/24 et 7/36.

Ce n'est pas forcément évident de trouver un multiple commun à 24 et à 36 qui soit le plus petit. Évidemment on peut prendre 24 x 36 mais c'est un peu lourd comme calcul.

Calculons le PPCM de 24 et de 36.

24 | 2              36 | 2

12 | 2              18 | 2

6 | 2                 9 | 3

3 | 3                 3 | 3

 

donc 24 = 2³ x 3

et 36 = 2² x 3²

Le PPCM de 24 et de 36 sera donc : 2³ x 3² = 72. (C'est moins lourd que 24 x 36 !)

On compare le PPCM avec chaque décomposition et on voit que nous avons multiplié 24 par 3 pour obtenir 72 et 36 par 2 pour obtenir 72. Il suffira donc de multiplier 5 par 3 et 7 par deux pour obtenir les deux fractions suivantes : 15/72 et 14/72 dérivées de 5/24 et de 7/36.

Cette méthode évite les tâtonnements quand on doit additionner deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur.

Bon courage pour l’étude de ce cours.

(Tu peux t’exercer tout seul à calculer des PPCM en additionnant deux fractions que tu peux choisir toi-même).

Bravo pour tes deux 20 en maths.

Je pense toujours à toi, je veille toujours sur toi, samouraï.

Je t'aime.

 

 

 

 

 

 

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Lettre 18

28 avril 2018

Samuel,

Après les Livres de Samuel, suivent les Livres des Rois.

Premier livre des Rois

Histoire de Salomon

Salomon fut un roi admiré auquel la tradition attribue l’écriture du Livre des Proverbes.

Mais c'est en tant que bâtisseur du Temple de Jérusalem qu'il grava son nom en lettres d'or dans les annales d'Israël. Ce temple édifié à la gloire de l’Éternel eut pour vocation de supplanter tous les lieux de cultes locaux dispersés à travers le pays afin de symboliser l'unité d’Israël.

Il sut maintenir la paix dans le royaume en développant des relations commerciales avec ses voisins et en contractant un mariage avec la fille de Pharaon, le roi d’Égypte.

Selon la Bible jamais Israël ne fut aussi prospère que sous son règne.

Salomon est connu aujourd'hui dans le monde entier pour son jugement notoire appelé « Jugement de Salomon ». Deux femmes qui vivaient sous le même toit mirent au monde simultanément deux garçons. L'une étouffa par mégarde le sien en s'endormant sur lui.Quand elle trouva son enfant mort elle vola l'enfant de l'autre femme pendant son sommeil mettant à la place le sien.Quand cette dernière se réveilla elle se lamenta, mais, observant attentivement le bébé, elle se rendit compte que ce n'était pas le sien. Aussi exigea-t-elle de l’autre qu'elle lui rendit son enfant. Mais celle-ci ne voulut rien entendre. L'affaire fut exposée à Salomon. Le roi les écouta, puis il ordonna : « Qu'on m'apporte une épée ». Un garde apporta l'épée. Le roi lui dit : « Partagez l'enfant vivant en deux et donnez la moitié à l'une et la moité à l'autre». Alors la femme dont le fils était vivant s’adressa au roi, car sa pitié s'était enflammée pour son fils et elle dit : « S'il te plaît, Monseigneur ! Qu'on lui donne l'enfant, qu'on ne le tue pas ! » alors que l'autre disait « Il ne sera ni à moi, ni à toi, partagez ! » Alors Salomon prit la parole et dit : « Donnez l'enfant à la première, ne le tuez pas, c'est elle la mère » . La Bible continue en ces termes: « Tout Israël apprit le jugement qu'avait rendu le roi et tous le révérèrent car ils virent qu'il y avait en lui une grande sagesse divine pour rendre la justice »

Cet événement fut mis en peinture par de nombreux artistes dont Giacomo Pacchiarotti (Italien, 1474-1540) et surtout par Nicolas Poussin (Français, 1594-1665) dont le tableau est exposé au Louvre.

Salomon construisit d'autres édifices publics imposants à Jérusalem. Toutes ces constructions grevèrent considérablement les finances du royaume. Ainsi Salomon dut céder la région du Nord d’Israël au roi de Phénicie dont il était le débiteur mais surtout il écrasa d’impôts et de corvées ses sujets. Du coup une partie de la population commença à marquer de l'hostilité envers la dynastie davidique et la tribu de Juda (les rois d’Israël sont tous issus de la tribu de Juda, quatrième fils de Jacob et de Léa).

En plus Salomon eut plusieurs femmes issues de peuples étrangers, il les aima et il leur rendit hommage en respectant et en honorant leurs dieux, ce qui était contraire à la Loi.

La remise en question de la centralité du temple de Jérusalem commença à être remise en question par les prêtres de Silo que le roi avait évincés. (A Silo, ville de Samarie, une province d’Israël, avait été édifié un grand sanctuaire qui constituait le lieu central de la religion d’Israël avant que le temple fût construit).

Ces prêtres suscitèrent des révoltes parmi les officiers du roi afin de retrouver leur prééminence religieuse. C'est ainsi que Jéroboam, de la tribu d'Ephraïm, se révolta contre le pouvoir de son roi. Mais il ne put rien tenter contre Salomon et il dut s'exiler en Égypte.

Salomon régna de 970 à 930 avant J.C. Quand il mourut il transféra son pouvoir à Roboam, le fils qu'il eut d'une de ses femmes : Naama, une Ammonite, peuple sémite (non hébreu) qui vivait à l'endroit de la Jordanie d’aujourd’hui.

 

 

 

Lettre 19

29 avril 2018

Samuel,

A propos de la fête Lag Ba'Omer

Le jeudi 3 mai 2018 se déroule la fête juive Lag Ba'Omer. Lag signifie 33, Ba'Omer signifie « dans le Omer », le Omer étant la période décomptée à partir du deuxième jour qui suit Pessah jusqu'à la fête de Chavouot qui commémore le don de la Torah sur le mont Sinaï.

Cette période dure exactement 7 semaines. Chavouot sera célébrée cette année les 20 et 21 mai 2018.

Lag Ba'Omer se déroule donc 33 jours après Pessah comme son nom l'indique.

Il s'agit d'une fête secondaire dans le calendrier juif. Son origine est obscure. Elle est mentionnée pour la première fois dans la littérature rabbinique du Moyen âge.

Cette fête célèbre l’anniversaire du décès du rabbin Chimon bar Yo'haï qui proposa une étude mystique de la Torah. Ce rabbin vécut au deuxième siècle après J.C (on dit encore, plutôt que J.C, Jésus Christ, E.C. : ère commune, cette dénomination étant plus neutre que J.C. abréviation qui réfère au christianisme). Cette étude mystique donna naissance à la Kabbalah (la Kabbale) l’étude ésotérique de la Bible, étude appuyée sur un livre de référence : le Zohar dont ce rabbin serait l'auteur à moins que ce ne soit un autre rabbin : Moise de Léon, qui vécut au 13 siècle de l'E.C. et qui en serait l'auteur selon certains historiens.

Pour illustrer l’esprit de la Kabbale voici un texte de l'un de ses adeptes anonymes :

 

« La Kabbalah enseigne que l'univers ne commença pas par un atome ni une particule subatomique, mais par une pensée de Dieu. Cette pensée de la création comprenait un monde dans lequel chaque être humain pouvait apprécier le bonheur et la plénitude complètes, libre de toute forme de chaos et de douleur. C'est ce que le Créateur désire et c'est son intention. Pour manifester la plénitude complète, il nous faut évoluer dans notre moi supérieur. Il nous faut effacer la négativité et remplacer l'ombre par la Lumière dans nos pensées, émotions et actions. C'est dans ce but que les enseignements et outils de la Kabbalah furent donnés à toute l'humanité et le plus grand de ces outils est le Zohar»

Le mythe du golem par exemple est une figure de la Kabbale.

Il s'agit donc d'une approche fantastique de la culture juive. Approche parfois un peu incompréhensible (ésotérique : énigmatique, mystérieux) car elle verse dans des spéculations que rien ne permet de vérifier. C'est une approche hors sol du monde, c'est-à-dire une approche un peu magique, découplée de l’expérience et de l’observation réelles. Mais la kabbale peut permettre d’exprimer avec bonheur nombre de sentiments intérieurs. Ce peut donc être un mode d'expression, une façon de donner corps à des mondes qui, bien que surréalistes, n'en sont pas moins des réalités d'un autre monde.

 

Selon la tradition, pour avoir critiqué le pouvoir romain, le rabbin Shimon bar Yo'haï dut se réfugier avec son fils dans une grotte où ils demeurèrent douze ans, s’enterrant jusqu’au torse pour économiser leurs vêtements, étudiant la Torah pendant que Dieu pourvoyait à leurs besoins en suscitant un caroubier et un cours d’eau. Les savoirs sur lesquels ils méditaient étaient si profonds qu’à leur sortie leur regard pouvait embraser le monde. A l'approche de sa mort le rabbin divulgua à ses disciples les secrets sublimes dont il était devenu le détenteur. Il est dit que cet enseignement contenait la lumière primordiale cachée grâce à laquelle Adam pouvait voir d'un bout du monde à l'autre avant d'être chassé de l'Eden.

 

C'est pour cela que cette fête est célébrée en allumant de grands feux. En Israël un grand bûcher est allumé près de la tombe (supposée) de Rabbi Shimon bar Yohaï, vers deux heures du matin, au milieu de danses et de cris de joie.

 

Ce jour est aussi l'occasion de fêter la fin d'une épidémie qui aurait décimé les disciples d'un autre rabbin, le rabbi Akiva, dont Chimon bar Yo'haï fut l'un des élèves.

 

Les raisons de cette fête n'ont pas plu à tous les juifs. Certains virent dans cet enthousiasme pour l’ésotérisme un manque de sérieux. Ceux-là décidèrent d’utiliser cette fête pour commémorer le soulèvement des Judéens au deuxième siècle de l'E.C. mené par Shimon bar Kokhba contre les Romains qui occupaient alors la Judée. Les sionistes vénèrent ce chef de guerre, ils y voient un modèle dans leur lutte nationaliste. Néanmoins cette récupération est ambiguë. Shimon bar Kokhba mena une guerre contre un ennemi dont il n'avait pas mesuré la puissance : les Romains eurent raison de lui, ils massacrèrent un nombre considérable d’Hébreux, ils détruisirent Jérusalem et ils dévastèrent la Judée. Faute d'avoir su apprécier le rapport de force cet homme a entraîné la disparition de la Judée. Il fallut attendre 2000 ans pour qu’Israël renaisse. De plus cet hommage rendu à un chef certes charismatique mais suicidaire exalte exclusivement la guerre. Dans le contexte difficile du problème posé par le devenir des Palestiniens une telle exaltation est maladroite. Ces nostalgiques de la guerre totale allument eux aussi des feux partout en Israël, le feu exprimant pour certains l'ivresse des passions guerrières. Nous sommes aux antipodes des intentions originelles de Chimon bar Yo'haï, qui voulait illuminer le monde et non pas le plonger dans la guerre.

 

Correspondance 1

Le 3 mai 2018

Bonjour Samuel,

 

Je vais maintenant inaugurer avec toi un autre type de lettres : une correspondance. Cette correspondance me permettra de développer des idées générales.

Tu es en train de lire le Golem. Je vais te parler de l'environnement dans lequel prend place ce roman.

En Europe le mot ghetto désigne les quartiers réservés aux Juifs. Leur religion différente des religions des populations d'accueil les a conduits à se rassembler entre eux. Il ne faut pas oublier que la Loi juive, la Halakha est un ensemble de prescriptions et de traditions spécifiques à Israël. Parmi ces prescriptions : la circoncision, la Cacherout (ou Kashrout) qui détermine les règles relatives à l’alimentation (la nourriture cachère), le respect du Shabbat et des fêtes religieuses, l'observance des commandements contenus dans la Torah et des recommandations accumulées au fil du temps par les rabbins et consignées dans le Talmud. En comprenant le décalogue il existe 613 commandements dans la Torah exposés dans l'Exode, le Lévitique et les Nombres, le tout étant repris dans le Deutéronome. Le Talmud rassemble toutes les recommandations des rabbins quant à l'observance de la Loi.

Quand les Juifs se sont établis en Europe leur souci de sauvegarder leur identité, après avoir failli disparaître à au moins deux reprises (déportation à Babylone puis destruction de la Judée par les Romains), les décida à observer de manière rigoureuse tous les attendus de la Loi. Leur mode de vie spécifique les a conduits à se rassembler dans des quartiers appelés ghettos. A l'origine ces quartiers étaient librement choisis mais au cours du temps les relations se dégradèrent avec les populations d’accueil en raison de l'affirmation du christianisme dans les populations européennes, religion, qui, jusqu'à une époque récente, s'opposa violemment au judaïsme. Il faut savoir aussi que pendant tout le Moyen Age et jusqu’au siècle des Lumières, les populations s’affirmaient à travers les religions. L’athéisme n'existait pas, il était même réprimé sévèrement par les autorités. Le sentiment national, qui contrebalança le pouvoir des religions est advenu tardivement, au fur et à mesure que les États, avec de puissantes administrations, se développaient. L'émergence du sentiment national à la place du sentiment religieux ne profita pourtant pas aux Juifs, au contraire, car ils furent alors considérés comme formant une nation étrangère au sein des nations indigènes (les Juifs vivaient alors sur le mode des orthodoxes, communauté très fermée). Du coup l’antijudaïsme se transforma en antisémitisme mais je te parlerai de tout cela plus tard.

Aujourd’hui cet antijudaïsme et cet antisémitisme se sont calmés. Aux USA toutes les communautés religieuses sont respectées et peuvent vivre leur vie. Le développement du judaïsme libéral, plus ouvert sur le monde, moins assujetti à la Loi contribue à émanciper les Juifs de leur communauté d'origine, très rigide, promue par les orthodoxes.

Donc les Juifs furent consignés de force dans des quartiers choisis, le mot ghetto prenant un sens discriminant. C'est pourquoi, quand tu lis « le golem », forcement tu trouves des allusions défavorables aux Juifs car le romancier est un chrétien : il faut te remettre dans le contexte de l'époque. Mais tu verras aussi qu'il y a des allusions favorables, Gustave Meyrink opposant deux figures du Juif, telles quelles étaient perçues à l'époque par les chrétiens, une figure dévalorisante où le Juif est un être fourbe attiré par l'argent et la sexualité, et une figure au contraire hautement intellectuelle où le Juif est versé dans l'étude, la spiritualité et la conservation de la mémoire. Dans le premier cas le Juif est un être replié sur sa seule communauté, dans le second cas le Juif œuvre à éclairer le monde entier.

L'action du roman se déroule dans le quartier juif de Prague, à la fin du 19ème siècle, quartier appelé Josefov. Prague était alors une ville majeure de l'Empire austro-hongrois. Cet empire disparut en 1918. Fut alors créée la Tchécoslovaquie dont Prague devint la capitale. Aujourd’hui elle est la capitale de la république tchèque depuis que la Tchécoslovaquie s'est divisée en deux États en 1993 , la république tchèque d'un côté et la république slovaque de l'autre dont la capitale est Bratislava.

Deux thèmes sont abordés dans ce roman.

Le thème du « Ibbour », mot Hébreu associé aux idées de transmigration des âmes et de l’immortalité, idées développées par la Kabbale dans le Zohar. Ibbour signifie « fécondation ou engrossement des âmes » : une âme humaine est visitée par une autre âme qui vient à son secours pour l'aider à vivre. C'est ce qui arrive ici au narrateur qui, après s'être trompé de chapeau en sortant d'un office religieux et se l'être mis sur la tête, est « visité » par l'âme du vrai propriétaire du chapeau : Athanasius Pernath. Le narrateur devient carrément amnésique quant à son ancienne vie, il vit désormais la vie de Pernath. D'où ses problèmes d'identité développés au début du roman. Par la suite Pernath sera visité par l'âme du golem (le golem lui apporte un livre).

Dans la mystique juive quand l'âme visiteuse est celle d'un pécheur alors l'ibbour dégénère en dibbouk : le visité devient possédé et il faut le secourir en procédant à un exorcisme.

L'autre thème est celui du golem, personnage fantastique qui aurait été fabriqué par un rabbin de Prague, Rabbi Loew, à partir de glaise. Le rabbin aurait alors animé cet être de terre en lui glissant sous la langue un parchemin contenant une formule magique. Selon une autre légende polonaise c'est un autre rabbin qui aurait créé cet être de glaise et qui l'aurait animé en écrivant sur le front du golem le mot emeth, mot hébreu qui signifie : vérité. Mot composé de trois lettres, aleph, mem et tav. Le golem étant devenu incontrôlable et cassant tout sur son passage ce rabbin lui aurait alors retiré la première lettre, aleph, du front, ne laissant subsister que le mot meth, composé des deux lettres restantes. Comme meth signifie « mort » le golem serait immédiatement redevenu un être de terre inanimé. Tout cela figure bien l'esprit étonnant de la Kabbale.

Dans le même esprit, dans la mystique juive, ce sont les lettres de l'alphabet qui créent le monde. Les lettres et les mots engendrent la réalité. Ainsi le cosmos lui-même est d'abord un texte. Le golem aurait été créé par le rabbin Loew pour s'occuper de tâches subalternes mais aussi pour protéger le ghetto contre les chrétiens.

Il est fait allusion dans le roman à la synagogue Vieille-Nouvelle qui existe toujours et qui est le plus vieux sanctuaire juif d'Europe construit en 1270.

Je t’embrasse, très fort, je pense à toi, toujours.

 

 

Modifié le 3 mai 2018 par aliochaverkiev

Lettre 20

6 mai 2018

Samuel,

Après la mort de Salomon

 

Le schisme politique et religieux.

Schisme est un mot qui dérive du mot grec skisma qui signifie : séparation.

Lorsque Salomon mourut son successeur désigné, son fils Roboam, sollicita l'agrément des douze tribus d'Israël.

Mais Jéroboam qui était revenu d’Égypte déclara : « Ton père a rendu pénible notre joug [les impôts pour financer les grands travaux et la centralité du Temple de Jérusalem qui éclipsait le rôle religieux des prêtres de Silo], allège maintenant le dur servage de ton père et nous te servirons »

Roboam qui était jeune et fier prit mal cette demande. Il répondit : « Mon père a rendu pesant votre joug, moi j'ajouterai encore à vote joug »

Du coup dix tribus d’Israël refusèrent son autorité, elles firent sécession et constituèrent le royaume d’Israël (correspondant à peu près à la Samarie et à la Galilée d’aujourd’hui). Jéroboam en devint le premier roi.

Roboam ne reçut le soutien que de deux tribus, celle de Benjamin et celle de Juda, la tribu des Rois. Il régna sur la Judée petit pays enclavé situé au sud du royaume d’Israël, comprenant Jérusalem.

Ce schisme politique fut suivi par un schisme religieux. Jéroboam redoutant la puissance des prêtres attachés au Temple de Jérusalem, resté en Judée, institua de nouvelles pratiques religieuses, allant même jusqu'à restaurer le culte de dieux étrangers tels Apis ou Baal.

Les Judéens restèrent ainsi les seuls gardiens de l’orthodoxie israélite. Plus tard ils devaient nommer les dix tribus sécessionnistes : les dix tribus perdues d’Israël. Seule la Judée continua de protéger l'identité historique et religieuse d’Israël.

 

Le premier livre des Rois expose l'histoire respective des deux royaumes de 930 à 852 de l’Ère Commune.

 

En 924, peu après le schisme, Pharaon Sheshonq Ier voulut profiter de la rupture de l'unité d’Israël pour établir son autorité sur le pays de Canaan. Il envahit les deux royaumes mais il ne parvint pas à les soumettre. Toutefois son raid ravagea les deux pays.

Cet état de désolation favorisa l'émergence des prophètes, tels Michée, Élie et Élisée, hommes de Dieu autoproclamés, caractéristique du peuple d’Israël, qui fustigèrent les autorités pour leur inconduite envers Dieu.

Le discours des prophètes d'une manière générale est celui-ci : ce n'est pas moi qui parle, c'est Dieu à travers moi, je justifie les catastrophes actuelles ou à venir par votre refus d'observer les commandements de Dieu. Dieu dans sa colère vous punit ou vous punira de mille maux. Le refus notamment d'observer le premier commandement : «Tu n'auras point d'autre dieu que moi » est propre à mettre Dieu en fureur (selon eux).

Une fois la menace égyptienne passée le royaume d’Israël connut un période d'accalmie voire de prospérité. Il étendit son territoire sous l'impulsion de rois énergiques, tels Achab (881-874). Ce dernier dota le pays d'une armée puissante qui lui permit de repousser les attaques des Araméens et surtout des Assyriens. Achab se maria avec Jézabel, la fille du roi du Tyr, étrangère au peuple israélite, qui sut aider son époux à asseoir la prospérité du royaume. Mais elle promut aussi le culte de Baal, le dieu de son pays, ce qui eut le don d’exaspérer les prophètes qui prédirent le pire pour le royaume d’Israël.

Pendant la même époque le royaume de Judée prospéra lui aussi sous l'impulsion de rois aux ambitions plus modestes, vu qu'ils régnaient sur un pays plus petit, enclavé mais mieux défendu par ses montagnes que l'autre royaume. Ils bénéficiaient aussi de l'implantation du Temple sur leur territoire ce qui les incita à maintenir vive la mémoire du passé et de la religion des Hébreux.

Pauvre Samuel, si tu n'as pas de problèmes de transit intestinal avec ce que l'on te fait ingurgiter, c'est que tu es doté d'un intestin d'acier.

Alors si c'est le cas je te conseille un bon gigot d'agneau, bien garni d'une bonne couche de beurre. Beurre de vache bien entendu, puisque le beurre de brebis est difficile à trouver.

Et si ton papa te conseille plutôt l'huile d' olive, essaies (doucement) de lui expliquer qu' à ta connaissance, et aussi salopes qu'elles soient, on n'a encore jamais vu de vaches faire des choses avec un bouc.

Modifié le 9 mai 2018 par azad2B

Leçon 33

9 mai 2018

Bonjour Samuel,

Sache que je suis toujours proche de toi, que ma pensée toujours et chaque jour t'accompagne.

Voici une leçon sur la trigonométrie. Bon courage !

 

Notions de trigonométrie

La trigonométrie est une branche des mathématiques très importante. Il est donc essentiel que tu en assimiles bien les fondements.

Pour le moment tu dois assimiler les définitions. Il n' y a donc rien à comprendre, sinon, seulement, accepter les définitions fondatrices de la trigonométrie.

Prenons un triangle rectangle, par exemple le triangle DNA de la page 202 de ton manuel, en haut de la page, à droite. Ce triangle est rectangle en A.

On définit le sinus d'un angle aigu, dans le triangle rectangle, ainsi qu'il suit :

Sinus d'un angle aigu = longueur du côté opposé à cet angle divisée par la longueur de l’hypoténuse. L'unité de mesure adoptée n'importe pas mais il faut que les deux longueurs soit exprimées dans la même unité (cm avec cm, mètre avec mètre, etc.)

Ainsi dans le triangle rectangle DNA :

Sinus de l'angle NDA (avec chapeau sur NDA) = NA / DN

Sinus de l'angle DNA = DA / DN

Le sinus est noté, en abrégé : sin

Donc sin NDA = NA / DN et sin DNA = DA / DN

On définit ensuite le cosinus d'un angle aigu, dans le triangle rectangle, ainsi qu'il suit :

Cosinus d'un angle aigu = longueur du côté adjacent à cet angle divisée par la longueur de l’hypoténuse.

Adjacent signifie : qui touche. Par exemple l'angle NDA touche deux côtés : DA et DN . Le côté que nous prenons au numérateur est le plus petit côté (ce n'est donc pas l’hypoténuse).

Ainsi, dans le triangle NDA :

Cosinus NDA = DA / DN et cosinus DNA = NA / DN.

Le cosinus est noté en abrégé : cos

Avec ces deux seules définitions tu sais presque tout sur la trigonométrie !

Calculons le rapport sin / cos.

Dans le triangle DNA, nous avons sin NDA = NA / DN et cos NDA = DA / DN.

D'où sin NDA / cos NDA = (NA / DN) : (DA / DN) = NA / DA.

Ce nouveau rapport, déduit donc des deux définitions fondamentales précédentes est appelé : tangente de l'angle NDA.

L'abrégé de tangente est tan.

Donc tan NDA = NA / DA = longueur du côté opposé divisée par longueur du côté adjacent.

La tangente d'un angle aigu, dans le triangle rectangle est donc définie comme étant égale au rapport du côté opposé sur le côté adjacent.

Ainsi, dans le triangle NDA, tan DNA = DA / NA.

Remarque importante :

Le sinus et le cosinus d'un angle aigu sont toujours inférieurs à 1 car la longueur du côté opposé ou du côté adjacent est toujours inférieure à la longueur de l’hypoténuse.

Donc nous avons toujours :

0 ≤ sin (d'un angle aigu) ≤ 1 et 0 ≤ cos (d'un angle aigu) ≤ 1

Ne jamais étudier un problème où le sinus ou le cosinus d'un angle serait plus grand que 1 ! Cela ne peut pas être.

En revanche la tangente d'un angle aigu peut être supérieure à 1, cette mesure n'a pas de limite supérieure.

Tu verras en seconde que quelle que soit la mesure de l'angle considéré, même s'il est plus grand qu'un angle aigu, le sinus et le cosinus d'un angle de mesure quelconque est toujours compris entre – 1 et 1. Soit, quel que soit x :

-1 ≤ sin x (ou cos x) ≤ 1

Calculons maintenant sin² NDA + cos² NDA.

Nous trouvons sin² NDA = NA² / DN² et cos² NDA = DA² / DN².

D'où sin² NDA + cos² NDA = NA² / DN² + DA² / DN² = (NA² + DA²) / DN² = DN² (Pythagore) / DN² = 1.

 

Relation fondamentale de la trigonométrie :

Quel que soit l'angle aigu considéré le carré de son sinus + le carré de son cosinus est toujours égal à 1 (tu verras en seconde que cette relation est vraie quelle que soit la mesure de l'angle, c'est-à-dire même lorsque l'angle est plus grand que 90 degrés, c'est-à-dire même lorsqu'il n'est pas un angle aigu).

Quand tu connais la mesure d'un angle tu en connais automatiquement le sinus, le cosinus et la tangente grâce à la calculatrice (dès que l'angle est fixé en mesure, son sinus, son cosinus et sa tangente ne dépendent pas de la grandeur du triangle rectangle de référence. Quelle que soit la grandeur du triangle rectangle, si ses angles sont fixés en mesure, le rapport de deux côtés choisis de ce triangle rectangle est toujours le même. Cela résulte des propriétés des triangles semblables. C'est ainsi qu'on peut caractériser un angle aigu, quelque soit le triangle rectangle dans lequel il prend place, par son sinus, son cosinus et sa tangente).

Sur la Casio 35 il suffit de taper sur la touche « sin », « cos » ou « tan » puis de taper la mesure de l'angle pour obtenir la valeur de son sinus, cosinus ou tangente. Il faut faire attention aux unités choisies. Les unités tu les choisis en en appuyant sur « shift » puis sur « menu » (la commande « shift » mobilise la commande « set up », écrit au-dessus de la touche « menu »). Après avoir appuyé sur shift puis sur menu tu vois apparaître un écran. Avec la touche directionnelle, la grosse touche sur laquelle il est écrit replay, à droite, en haut de ta calculatrice, tu descends jusqu'à « angle ». Là tu as le choix entre deg, rad, ou gra. Si tu appuies sur F1 tu auras l'unité degré, sur la touche F2, l'unité radian, sur la touche F3 l'unité grade. En troisième c'est l'unité degré que tu utilises. L'unité degré divise le cercle en 360 degrés, l'unité radian divise le cercle en 2 pi radians, l'unité grade divise le cercle en 400 grades. L'unité grade n'est plus utilisée. Je t'expliquerai plus tard ce qu'est l'unité radian (tu te familiariseras avec cette unité en seconde).

Une fois le choix de l'unité réalisé tu appuies sur exit.

Les problèmes que tu auras à résoudre seront toujours les mêmes. On te donnera la mesure d'un angle et d'un côté, et il faudra que tu calcules la longueur d'un autre côté. Il suffit que tu choisisses la ligne trigonométrique adéquate (sinus, cosinus ou tangente) que tu en exprimes la définition par les rapports des deux cotés qui correspondent à cette ligne trigonométrique, puis que tu te rapportes à la valeur du sin, cos ou tan donnée par la calculatrice. Cela ne te posera pas de problème.

Parfois on te donnera la mesure de deux côtés et on te demandera la mesure de l'angle. Selon les deux côtés dont on te donnera la mesure tu trouveras sinus x (x est l'angle dont on te demande la mesure) = A (A, un nombre quelconque plus petit que 1, égal au rapport des deux côtés donnés), ou cos x = B (B, nombre quelconque plus petit que 1, égal au rapport des deux côtés donnés) ou tan x = C (nombre quelconque, égal au rapport des deux côtés donnés).

Prenons le cas où tu obtiens :

Sin x = A. Comment trouver x ?

Sin x peut s'écrire x = arcsin A. Arcsinus tu l'obtiens en appuyant sur shift puis sur sin (cette manip mobilise l’instruction Asn, écrite en jaune au dessus de la touche sin, instruction qui signifie arcsinus).

Donc tu appuies sur shift puis sur sin puis tu tapes la valeur de A, tu appuies sur EXE et tu obtiens la valeur de l'angle dans l'unité choisie (ici le degré).

Tu fais la même manip pour cos x = B (sauf que tu appuies sur shift puis sur cos) ou pour tan x = C (sauf que tu appuies sur shift puis sur tan).

Pourquoi ça marche ? Pour comprendre comment ça marche il faut requérir des connaissances que tu apprendras après le bac ! Donc ton prof te donnera la technique mais sans expliquer pourquoi ça marche.

Je vais essayer de t’expliquer.

Il faut recourir à la notion de fonction réciproque. Sous certaines conditions certaines fonctions ont une fonction réciproque. Prenons par exemple la fonction linéaire f(x) = 2 x, c'est la fonction qui, à x fait correspondre 2 x = y. Allons dans l'autre sens et essayons de trouver la fonction qui, à y, fait correspondre l'antécédent de y. Il s'agit de la fonction qui à y fait correspondre x = y /2 . Appelons cette fonction réciproque f'. Elle est telle que f' (y ) = x/2.

Voyons ce qui se passe lorsqu'on applique à x successivement les deux fonctions, autrement dit à quoi est égale la fonction f' [f(x)] (on écrit aussi f' ₒ f (x) ].

f' [f(x)] = f' (y) , car f(x) = y, et f' (y) = x.

Donc la fonction f' [f(x)] est égale à x, f' [f(x)] = x.

On dit alors que la fonction combinée f' [f] est la fonction identité, c'est-à-dire la fonction qui a x fait correspondre x.

Quand on combine deux fonctions dont l'une est la réciproque de l'autre on obtient donc la fonction identité.

Revenons à l'égalité :

Sin x = A.

La fonction sinus est telle qu'elle a une réciproque, qui s'appelle arcsinus, arcsin en abrégé, si bien que nous pouvons écrire :

Arcsin [sin (x)] = arcsin A (il faut appliquer la fonction arcsinus aux deux membres de l’égalité). Mais comme arcsin est la fonction réciproque de la fonction sin alors leur combinaison donne la fonction identité, nommée : I

D'où Arcsin [sin (x)] = I (x) = arcsin A

Et comme la fonction identité est la fonction qui à x fait correspondre x alors I(x) = x

D'où :

I(x) = x = arcsin A.

Les fonction cosinus et tangente ont elles aussi une réciproque : arccosinus et arctangente, en abrégé arccos et arctan. On applique alors le même raisonnement les concernant.

Comme tu le vois c'est un peu compliqué, aussi ton prof ne t'expliquera pas tout cela.

Note sur le cercle trigonométrique.

Page 206 de ton manuel tu as un quart de cercle. Le rayon de ce quart de cercle est égal par convention à un (l'unité). Il est construit à partir du point O, qui est son centre, mais qui est aussi le point intersection de deux axes perpendiculaires OI et OJ. Considérons le point M et considérons l'angle IOM.

Le cosinus de cet angle dans le triangle rectangle MOH est égal à :

OH / OM = OH puisque OM = 1 (rayon).

Le sinus de cet angle est égal à MH / OM = MH = OK (par projection du point M sur l'axe OJ).

Ce résultat est extrêmement important et tu vas prendre l’habitude de travailler sur le cercle trigonométrique dès la seconde. En effet dans un cercle de rayon 1, centré sur le point O, lui-même origine d'un système d'axe orthonormé (OI correspond à l'axe des abscisses et OJ correspond à l'axe des ordonnées) le cosinus d'un angle défini par l’horizontale et par la demi-droite OM, M étant un point situé sur le cercle, est égal à l'abscisse du point M et son sinus est égal à l'ordonnée du point M. Ce résultat est capital. Tu étudieras cela en seconde.

 

Je t'embrasse très fort.

 

 

Et c'est en littérature !

On a bien raison de dire qu'à cause de tels ZOteurs, il y a plus d'écrivains que de lecteurs.

Même pas zonteux !

 

Il y a 1 heure, azad2B a dit :

Pauvre Samuel, si tu n'as pas de problèmes de transit intestinal avec ce que l'on te fait ingurgiter, c'est que tu es doté d'un intestin d'acier.

Alors si c'est le cas je te conseille un bon gigot d'agneau, bien garni d'une bonne couche de beurre. Beurre de vache bien entendu, puisque le beurre de brebis est difficile à trouver.

Et si ton papa te conseille plutôt l'huile d' olive, essaies (doucement) de lui expliquer qu' à ta connaissance, et aussi salopes qu'elles soient, on n'a encore jamais vu de vaches faire des choses avec un bouc.

A partir de ce que je lui transmets, avec satinvelours, il caracole en tête du meilleur collège de la côte Est des USA, à New York exactement, un collège français où l'enseignement est fourni en anglais et en français. Sa prof de français  a ouvert un atelier de réflexion où il expose l'histoire du peuple juif. C'est lui qui est demandeur pauvre tâche, c'est lui qui attend mes lettres !  et j'ai même intérêt à suivre, sinon il s'impatiente. Il vient d'obtenir 19 à une rédaction, 20 en maths, il accumule des 20 sur 20 depuis le début de l'année. Et oui Azad il y a des enfants géniaux. Ca vous en bouche un coin ! Il n' y a pas que des bas du plafond comme vous. Et lui il y a des faits qui prouvent son intelligence. Vous ne pourriez même pas postuler à ce collège brave homme, trop limité. En plus c'est un descendant du roi David, la tribu de Judas petit homme vous connaissez ? J'imagine votre haine ah ah ah ah !!! Va falloir que vous ramiez petit homme pour que vous rattrapiez ce petit génie. Et en plus , à 14 ans, il fait partie d'un orchestre !!! Vous vous rendez compte Azad ? Il est génial en tout, dingue, hein petit homme, vous n'avez jamais vu ça et vous n'aurez jamais l'occasion de voir ça de votre vivant, faudrait que vous puissiez sortir de votre trou. Autant dire que ce n'est pas gagné. 

Tiens ça me donne envie de publier ici sa dernière rédaction, la voici (il fallait qu'il décrive des "impressions") 

«Se trouver seul, absolument seul sur une plage au crépuscule. Sensation quasiment impossible à faire partager.

Je marchais donc seul sur le sable doré et velouté et chaud entouré de la mer et de dunes de sables si hautes que je n’avais pour horizon que la mer et le ciel d’un côté, le sable et le ciel de l’autre.

Et le jour qui n’en finissait pas de mourir !
Et le tumulte des vagues qui furieusement venaient s’écraser contre les rochers ou leur murmure agonisant sur le sable.
Et moi, moi seul au milieu de cette immensité avec dans la tête ce bruit de la mer, avec sur le visage cette brise douce et légère, avec sur les lèvres ce goût de sel et cette sensation de brûlure.
Et le jour qui n’en finissait pas de mourir !
Une délicieuse volupté envahissait mon corps frémissant et mon esprit.
Et cette sensation étrange… Alors même que venait de s’installer en moi cette euphorie, ce bien-être indéfinissable, un malaise m’enveloppait tout entier comme une nappe de brume.

Une nostalgie infinie à ressentir l’extinction du jour et le crépuscule naissant jointe à cette volupté physique du paysage»

 

Note au béotien Azad  : la répétition dans le texte est voulu (il faut préciser avec un tel nul).

 

 

Qui édite un post sur un forum public, doit tout de même s’attendre à trouver quelqu’un qui éprouve le besoin de lui répondre. Et la réponse n’a aucune raison d’être du goût de l’auteur du post, c’est d’ailleurs le but et le sens (historique) qui a présidé à la naissance des Forums dans le sens lieux de discussions plutôt que marchés. Quiconque s’y risque court le risque d’être mêlé à une joute verbale qui pourrait s’apparenter avec ce que l’on appelle aussi « Foire d’empoigne »
Je constate d’ailleurs que votre monologue ne semble bien n’intéresser personne. Ceci me semble révélateur d’une certaine sagesse chez les membres du Forum, ceux-là même que vous traînez dans la boue sitôt qu’ils entrent en désaccord  avec vos propos. Et que vous citez nominativement comme si leurs pseudos étaient tombés dans le langage commun. Ceux là semblent avoir mesuré l’incommensurable vanité qui transparaît dans pratiquement tous vos propos. Et pardonnez-moi de me répéter mais il semble que c’est bien par sagesse qu’ils s’ abstiennent d’intervenir.
Hé bien, pas de chance : je n’ai pas cette sagesse, et si je me permet quelques remarques acides ça et là dans vos discours insipides, c’est dans un seul but . Et ce but porte le doux nom de prophylaxie. Ce qui est puant se doit d’être assorti du meilleur déodorant que je connaisse : l’ironie.
Pardonnez-moi d’en user à ma guise.
Et comme je suis gentil, je compatis à la douleur que vous devez ressentir en n’entendant monter vers vous les chants d’allégresse que vous escomptiez sans doute. Hé oui, Alléluia est un mot que l'on n'entend plus résonner de nos jours. Que voulez-vous ? Tout se perd.

 

Lettre 21

 

12 mai 2018

 

Samuel,

 

Les dimanche 20 mai et lundi 21 mai 2018 sera célébrée la fête appelée : Chavouot (ou Shavou'ot).

Cette fête commémore le don des Tables de la Loi reçues par Moïse de Dieu sur le mont Sinaï.

Elle a lieu 7 semaines après Pessah.

Chavouot célèbre aussi la récolte des premiers fruits après semailles lors de Pessah (les fêtes religieuses sont couplées avec des fêtes agricoles, les Hébreux, avant d'être dispersés dans le monde, ayant été avant tout un peuple d'agriculteurs). C'est pourquoi elle est aussi appelé fête des prémices ou Yom ha-Bikkourim, yom signifiant « jour » en hébreu.

Les prémices sont une offrande religieuse prélevée sur les premiers fruits de la récolte dans diverses religions, offrande offerte aux prêtres des temples ou des églises.

Cette fête est encore appelée « Pentecôte juive », pentecôte signifiant 50ème jour en grec.

Traditionnellement les synagogues sont décorées de fleurs et de plantes vertes pour célébrer cette première récolte.

Des bougies sont allumées et la nuit est passée à étudier la Torah. Le décalogue (les dix commandements) est lu à la synagogue.

Le repas de Chavouot se compose essentiellement d’aliments à base de lait. Selon la tradition les Hébreux n'eurent pas le temps de préparer un repas à base de viande dans l'attente de recevoir les Tables. Il est aussi habituel de manger des brioches pour commémorer les deux pains briochés qui, à l’époque du Temple, étaient faits chaque année à partir du blé nouveau d’Israël apporté au temple en offrande collective.

C'est aussi la coutume de lire le Livre de Ruth. Ce Livre qui prend place entre le Livre des Juges et les Livres de Samuel raconte la destinée de Ruth.

Une famille d’Israël, Elimelek et Noémi, et leurs deux fils, partit vivre dans les Champs de Moab, situés dans le petit royaume de Moab, près d'Israël, de l’autre côté du Jourdain, royaume peuplé par les Moabites, peuple étranger aux Hébreux. Les deux fils se marièrent à deux femmes moabites Orpa et Ruth. Mais Elimelek et ses deux fils moururent, et Noémi resta seule avec ses deux brus. Elle décida de revenir en Israël. Seule Ruth la suivit. La jeune femme fit la connaissance d'un israélite, Booz qui s’éprit d'elle. Ils se marièrent.Tous les deux eurent pour fils Obed qui engendra Jessé qui engendra David. C'est pour cela que Ruth est restée dans l'histoire, car c'est d'elle, une moabite, une étrangère, que descend David, le grand roi d’Israël.

Bizarre ! Je vais vérifier cela chez un ami. J'étais persuadé que Noemi était l'arrière grand mère de David;