Deux droites parallèles se rejoignent à l'infini

Je répond à la demande de Groenland

qui souhaitait plus de précision; j'aurais dû effectivement être plus explicite, en donnant les liens et en citant les passages essentiels des articles, accessibles à une compréhension immédiate.

Le 05/10/2020 à 12:26, Hérisson_ a dit :

 ... l'affirmation en cause peut être prise à deux niveaux:

a) comme un raccourci abusif de langage, dont il faut user avec réserve, au sens où le point d'intersection entre deux droites sécantes s'éloigne indéfiniment lorsque leur écart angulaire tend vers zéro;

b) en géométrie projective, où l'on travaille sur un domaine résultant de l'adjonction à l'espace ordinaire, d'un"point à l'infini".

Ce sont des notions assez délicates, tu devrais chercher du côté de "droite affine", "espace projectif" ...

Cela se réduit à deux thèmes essentiels:

# celui de géométrie projective

# celui de point à l'infini

Voilà donc la réponse explicite à la question initiale; nulle nécessité, comme je l'avais dit, d'aller chercher plus loin: c'est une question de définitions et d'axiomes:

et l'on trouve une illustration directe de ce type de géométrie dans la représentation des paysages et des monuments.

Je remercie Groenland et Azad2B de m'avoir donné l'occasion lundi dernier, à propos de la recherche du point de fuite, de découvrir un magnifique site de photographies.

Le 05/10/2020 à 11:53, Groenland a dit :

2 droites sont parallèles si justement elle ne se coupent jamais et c'est bien le cas dans un espace euclidien.

Cependant on affirme aussi que 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini. J'ai alors 2 questions :

1- A quel moment de l'histoire des mathématiques l'affirmation "2 droites parallèles se rejoignent à l'infini" est apparue ?

2- Est-ce que cette affirmation a un lien avec la courbure de l'espace-temps ? La théorie de la relativité peut-elle servir pour démontrer ou "conforter" cette affirmation (et vice versa) ? 

D'avance merci !

Merci @herisson d'avoir répondu ...à tes propres réponses précédentes 

Peut-être que @Groenland sera dans tous les cas ravi de l'échange concernant le point de fuite.

Une réponse peut toujours satisfaire et tu as raison, pas de mal à garder une bonne main

As tu répondu explicitement à la première question ? Non.

As tu répondu explicitement à la seconde ? Non.

Mais j'ai pris aussi plaisir à te lire.

J'y trouve, personnellement, tout seul, toujours Aucun intérêt rapport aux questions posées, mais tu as ce don de m'amener de grands sourires 

Merci infiniment 

il y a une heure, zenalpha a dit :

Peut-être que @Groenland sera dans tous les cas ravi de l'échange concernant le point de fuite.

Ce qui est certain, c'est qu'encore une fois, tu l' ouvres... pour ne rien dire. Mais çà, ce n'est pas nouveau. Et ce pauvre @Groenlandn'en sait pas plus après, qu'avant ton intervention. Ce qui, encore, est tellement symptomatique de tes interventions que l' Arlésienne à coté est source d'inspiration sans fin.

Pour ma part, j'avoue que si géométriquement je conçois parfaitement le concept de point de fuite qui s' éloigne à la vitesse grand V de l'observateur j'ai du mal à en parler correctement avec le langage de la Mathématique, il me manque pas mal  de savoir. Et mes hésitations viennent d'un simple fait que je n'arrive pas à intégrer. Ce "point" de fuite existe tant que l'une des deux droites n'est pas perpendiculaire à celle qui l'est sur l' autre. Quand la condition "deux droites parallèles entre-elles le sont quand elles sont également perpendiculaires à une sécante commune qui les coupent" est remplie alors il n'y a plus de "point de fuite". Autrement, ce point de fuite existe, on peut avec la précision voulue, en définir très exactement les coordonnées.

C'est pourquoi, je préfèrerais faire appel à la notion de singularité. Là au moins on quitte la géométrie pour aborder l' analyse. Et en analyse, une singularité donne ( entre autres) un truc très singulier mais pourtant très clair. Ce peut-être un point pour lequel une fonction continue d' exister mais pour lequel au moins une de ses dérivées est indéterminée. Alors, parmi les participants à ce sujet, je n'en vois que quelques-un ( @herissonou @Répy entre-autres) qui pourraient me donner une définition de deux droites parallèles en terme d' analyse. La géométrie étant trop gourmande d ' intelligence pour moi.

il y a 24 minutes, azad2B a dit :

Ce qui est certain, c'est qu'encore une fois, tu l' ouvres... pour ne rien dire. Mais çà, ce n'est pas nouveau. Et ce pauvre @Groenlandn'en sait pas plus après, qu'avant ton intervention. Ce qui, encore, est tellement symptomatique de tes interventions que l' Arlésienne à coté est source d'inspiration sans fin.

Pour ma part, j'avoue que si géométriquement je conçois parfaitement le concept de point de fuite qui s' éloigne à la vitesse grand V de l'observateur j'ai du mal à en parler correctement avec le langage de la Mathématique, il me manque pas mal  de savoir. Et mes hésitations viennent d'un simple fait que je n'arrive pas à intégrer. Ce "point" de fuite existe tant que l'une des deux droites n'est pas perpendiculaire à celle qui l'est sur l' autre. Quand la condition "deux droites parallèles entre-elles le sont quand elles sont également perpendiculaires à une sécante commune qui les coupent" est remplie alors il n'y a plus de "point de fuite". Autrement, ce point de fuite existe, on peut avec la précision voulue, en définir très exactement les coordonnées.

C'est pourquoi, je préfèrerais faire appel à la notion de singularité. Là au moins on quitte la géométrie pour aborder l' analyse. Et en analyse, une singularité donne ( entre autres) un truc très singulier mais pourtant très clair. Ce peut-être un point pour lequel une fonction continue d' exister mais pour lequel au moins une de ses dérivées est indéterminée. Alors, parmi les participants à ce sujet, je n'en vois que quelques-un ( @herissonou @Répy entre-autres) qui pourraient me donner une définition de deux droites parallèles en terme d' analyse. La géométrie étant trop gourmande d ' intelligence pour moi.

 

 

Vous faites partie d'un monde éteint. Il n' y a plus de certitudes en mathématiques. Vous cherchez désespérément une définition qui soit béton. Mais vous ne la trouverez pas; le monde se dérobe sous les pieds du vieil homme que vous êtes.

Je suis un vieil homme moi aussi, mais je tente de rester en contact avec la vie en enseignant.  Et en menant mes élèves au succès. Ce qui, pour moi, est une preuve de la justesse de ma pensée. Je me juge aux résultats que j'obtiens. Et ils sont là. C'est factuel.

Je suis moi-même extrêmement agacé par @zenalpha qui choisit comme méthode d'opposition de dégrader son adversaire. Bon il doit s'agir là d'une idiosyncrasie qui lui est propre ce qui le rend pénible.

Mais tout de même il tente de s'appuyer sur l'imaginaire pour exprimer ses visions. Tentative courageuse.

Votre désir de certitudes, de définitions béton,  est le signe d'un manque de courage : vous n'osez pas affronter l'incertitude.

il y a 23 minutes, azad2B a dit :

 Et ce pauvre @Groenland...

Ah OK... tu es comme ça toi ?...

Le 05/10/2020 à 12:27, riad** a dit :

Dans la géométrie euclidienne l'espace n'est pas courbe, ce qui fait que les droites parallèles ne se rencontrent pas,

Ah et donc dans un espace non euclidien la définition d’une droite parallèle change ce qui fait que deux droites sécantes peuvent être considérées parallèles ?

J'adore ce topic !

En philo j'ai pas réussi sur le topic concernant l'avantage évolutif de la connerie à attirer un seul idiot là où @Groenland, tu as réussi à... TOUS nous réunir moi et mes frères

Et après les boomerangs, j'ai toujours tout voulu savoir sur l'analyse et les singularités aux derivées indéterminées

Merci beaucoup de nous avoir tous fédérés nous, les élites du forum.

Une grande famille.

Il y a 1 heure, Annalevine a dit :

Vous cherchez désespérément une définition qui soit béton

Faux. Comme tout ce que vous nous racontez au gré de votre imaginaire. Cependant il reste qu' entre l' intelligence que requiert le recours à la Géométrie classique et à l'automatisme sécuritaire de l'Analyse Mathématique mon atavisme (Corse) et ou mon âge canonique ( deux fois d' ailleurs ) me poussent vers cette dernière. Alors occupez-vous de cet enfants trouvé dans je ne sais quel caniveau New-Yorkais et qu' après avoir baptisé ( j'adore ce mot , pas vous ! ) Samuel vous fîtes, toujours poussé par les courants d' airs que votre insignifiance agite (ouf, là fallait le faire, même le filandreux Marcel Proust ne s'y serait pas risqué ) carrément votre petit fils par une combinaison d' affiliation et de tentatives d' acclimatations aussi discrètes que suspectes et sur lesquelles mieux vaut ne pas s' appesantir au vu des poursuites pénales auxquelles on se risquerait. (enfoncé le Proust, convenez-en ) Donc faisons bref comme dirait Pépin : ferme là, tu postillonnes et je n'ai pas de masque. Ferme là et laisse moi chanter. Tiens chantez ceci à Samuel il appréciera mieux le sort que vous lui avait fait connaître. Mais sans pour autant apprécier les moyens utilisés pour l' amadouer.

A tous mes amis de ce topic, voici ce que nous sommes

2 droites parallèles qui se rejoignent à l'infini

@zenalpha

Je ne sais pas si on s'aimera tous comme des frères mais ce qui est sûr c'est qu'on finira tous à six pieds sous terre tôt ou tard, donc oui quelque part on se rejoignent tous dans l'oubli, l'infini, l'éternité,....

Il y a 22 heures, DroitDeRéponse a dit :

Ah et donc dans un espace non euclidien la définition d’une droite parallèle change ce qui fait que deux droites sécantes peuvent être considérées parallèles ?

 

Oui, quand on change de géométrie, on change de définition, parce que les axiomes ne sont pas les mêmes, le cinquième postulat d'Euclide n'est plus vrai dans les géométries non euclidiennes,

Il y a bien sûr plusieurs définitions de parallélisme certaines sont plus générales que d'autres, si on dit que deux parallèles ne se coupent jamais, ce n'est vrai que dans la géométrie euclidienne, si on dit qu'elles se coupent à l'infini, c'est vrai dans la géométrie euclédienne mais aussi dans la géométrie projective,

Il y a 9 heures, riad** a dit :

Oui, quand on change de géométrie, on change de définition, parce que les axiomes ne sont pas les mêmes, le cinquième postulat d'Euclide n'est plus vrai dans les géométries non euclidiennes,

Quel rapport avec le fait que deux droites parallèles ne sont pas sécantes ?

Citation

Il y a bien sûr plusieurs définitions de parallélisme certaines sont plus générales que d'autres, si on dit que deux parallèles ne se coupent jamais, ce n'est vrai que dans la géométrie euclidienne,

Du coup dans quelle géométrie les droites parallèles sont sécantes ?

Citation

 

si on dit qu'elles se coupent à l'infini, c'est vrai dans la géométrie euclédienne mais aussi dans la géométrie projective,

 

Allons bon . Je veux bien la démonstration qu’en géométrie euclidienne les droites parallèles se coupent à l’infini

A moins que ce ne soit une façon de dire qu’elles ne sont pas sécantes , vu qu’elles sont parallèles

https://images.math.cnrs.fr/L-infini-est-une-droite-comme-les-autres.html

Deux droites dans le plan se coupent en un point... sauf évidemment si elles ne se coupent pas. Nous dirons que ces droites sont sécantes dans le premier cas, parallèles dans le second (voir la figure ci-dessous). Tout de même, deux droites sont plus souvent sécantes que parallèles, et même dans cette seconde situation il n’est pas rare d’entendrequ’elles se coupent à l’infini.

....

Deux droites qui se coupent en deux points, voilà qui n’arrange pas nos affaires. Nous avions introduit l’infini pour que deux droites se coupent toujours en un point, qu’elles soient parallèles ou pas, et voilà que deux droites sécantes se coupent maintenant en deux points ! On ne peut pas dire que nous ayons fait beaucoup de progrès et l’infini apparaît pour l’instant plutôt comme une complication inutile...

Mais ne nous laissons pas abattre, et essayons de comprendre à quel moment nous avons fait une mauvaise hypothèse. Le problème est que nous nous sommes laissés abuser par l’article défini devant le mot « infini ». En effet, pourquoi n’existerait-il qu’un seul point à l’infini ? En y pensant à nouveau, c’était finalement une hypothèse absurde : en se plaçant à un croisement de deux voies ferrées (figure 5) chacun peut constater que deux droites sécantes ne se coupent pas à l’infini.

L’infini c’est un peu Dieu chez les mathématiciens. Personne ne l’a vue, on en parle comme un lieu où tout est réalisable même l’impensable.

À moins que cette phrase n’est qu’un moyen poétique pour dire qu’elles ne se couperont jamais. Un peu comme dire qu’elles se couperont la semaine des quatre jeudis.

il y a 18 minutes, DroitDeRéponse a dit :

Quel rapport avec le fait que deux droites parallèles ne sont pas sécantes ?

Le cinquième postulat d'euclide concerne justement le parallélisme.

Citation

Du coup dans quelle géométrie les droites parallèles sont sécantes ?

La géométrie sphérique.

il y a 18 minutes, DroitDeRéponse a dit :

Allons bon . Je veux bien la démonstration qu’en géométrie euclidienne les droites parallèles se coupent à l’infini

A moins que ce ne soit une façon de dire qu’elles ne sont pas sécantes , vu qu’elles sont parallèles

 

Oui, tut à fait, c'est une façon de dire qu'elles ne sont pas sécantes, en plus il n'y a pas de démonstration, comme je l'ai dit c'est postulat, les mathématiciens à travers tous les âges ont essayé de le démontrer sans succès.

il y a 19 minutes, riad** a dit :

Le cinquième postulat d'euclide concerne justement le parallélisme.

Où y est il question de droites parallleles sécantes ?

Citation

La géométrie sphérique.

Allons bon . Quelle serait donc la définition des droites parallèles Sécantes en géométrie sphérique ?

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01442936/document

On rappelle que deux droites dans un plan sont dites parallèles si elles n’ont aucun point commun. (On remarquera que cette notion de droite parallèle n’a de sens que dans le plan. Pour une définition généralisable à l’espace cf. Annexe 1.)

 

Citation

Oui, tut à fait, c'est une façon de dire qu'elles ne sont pas sécantes, en plus il n'y a pas de démonstration, comme je l'ai dit c'est postulat, les mathématiciens à travers tous les âges ont essayé de le démontrer sans succès.

Si elles ne sont pas sécantes alors elles ne se coupent pas plus à l’infini

Le lien CNRS est intéressant tu l’as lu ?

La conclusion .... « Mais ne nous laissons pas abattre, et essayons de comprendre à quel moment nous avons fait une mauvaise hypothèse. Le problème est que nous nous sommes laissés abuser par l’article défini devant le mot « infini ». En effet, pourquoi n’existerait-il qu’un seul point à l’infini ? En y pensant à nouveau, c’était finalement une hypothèse absurde : en se plaçant à un croisement de deux voies ferrées (figure 5) chacun peut constater que deux droites sécantes ne se coupent pas à l’infini.« 

Rendons hommage au terrier du @Hérisson_ même si ce n'était pas raccord aux questions, c'est raccord au sujet petit frère 

il y a 57 minutes, DroitDeRéponse a dit :

Le lien CNRS est intéressant tu l’as lu ?

Oui, merci.

Puisque l'ambiance est bonne, j'en profite pour laisser jouer l'imagination, c'est toujours bon avant de dormir... Le problème des angles d'un triangle sur une surface arrondie, ok sans problème. Le coup des deux droites et du point d'intersection qui passe de devant à derrière au même instant : fantastique.

Mais il me semble que l'espace n'est pas une surface. Alors pour lui donner une forme je le conçois comme une sphère m'englobant, très très grande. Il y a le problème des "bords". Un espace au-delà duquel il n'y aurait plus d' "espace". Quelles sont mes options si je fais l'hypothèse de bords (si ça a un sens ?) ?

Il me semble que je dois inclure une notion de densité, ce qui fait intervenir une quatrième dimension.

La sphère dans laquelle je me trouve contient toutes les formes en 2 et 3 dimensions imaginables. Alors, disons que je décompose la sphère en droites parallèles et perpendiculaires dans les trois dimensions. Ça crée un "maillage". Pour rendre ça commensurable, j'admets une densité de base 1 : là où il y a densité 1, le maillage des perpendiculaires et des parallèles forme des cubes parfaits.

Si la densité augmente, j'ai un maillage qui, par référence aux cubes parfaits 1, se déforme en tendant vers des points, et inversement si la densité diminue j'ai quelque chose qui de cubes, s'élargit et tend vers des sphères (OULA !... bon c'est l'avantage d'être con, on tente tout).

Alors, le bord de mon espace c'est quoi ? Je me le figure comme moins de densité, jusqu'à plus d'espace du tout, nada. L'espace se "détend" au maximum. Par référence à ma densité 1, toucher le bord c'est atteindre un point où le maillage se relâche et les cubes deviennent des sphères tellement grandes qu'elles atteignent un "volume" infini, aussi grand (??) que tout l'Espace (sphère totale) (?!). (Aie aie aie...). Oui ?

A l'inverse, si nous admettons que cet espace n'est pas partout homogène, mais reste "cohérent" (les mots me manquent, je veux dire : c'est un seul espace, commensurable), il y a, imaginons, des zones où le maillage de mes cubes va au contraire se "contracter" et tendre à des points, où il y aura davantage d'espace "dans" moins d'espace... Où par référence à ma densité 1, il y aura dans 1 autant d'espace que dans tout l'espace.

Euh... ben voilà mes bords, disons les bornes de l'infiniment grand et de l'infiniment petit contenues dans la sphère totale "Espace". Qu'en est-il alors de deux droites parallèles ? Eh oui autant tout mélanger sinon c'est pas drôle.

Elles "partent" du référent densité 1. Quand elles "touchent" une borne, disons le bord "extérieur" d'"Espace", elles s'écartent infiniment, mais cet écart en se creusant se réduit à la limite à rien (il n'y a "plus" d'espace), ou bien, inversement, elles convergent infiniment à mesure que la densité augmente, mais cette "jointure" en s'opérant les écarte infiniment. (hum..)

Autre option si je dois concevoir des bords, option complémentaire de celle-ci peut-être, et toujours à partir de l'imagination. 

Je peux imaginer tirer des parallèles sur la surface d'une sphère, comme ça a été dit. Pour que mes parallèles se "recoupent", il faut plus que ça (il me semble), il faut que l'espace se "plie" d'une certaine façon sur lui-même. En deux dimensions, je tire deux droites parallèles sur une feuille : si je plie la feuille, mes droites se recoupent. Mais j'ai triché en chiffonnant la feuille. En fait, que l' "espace" ait du "relief", ça n'empêche pas que des droites parallèles puissent "épouser" ce relief en restant toujours parallèles l'une à l'autre.

Alors pour qu'elles se recoupent, il faudrait que l'espace se "plie" oui, mais comment ??

Je reviens à mes deux bornes ci-dessus.... Quand elles tendent à la limite extérieure, les deux droites s'éloignent infiniment. Disons qu'à chaque nouveau point, le parallélisme les amène à "s'écarter" l'une de l'autre par rapport au précédant état, par référence à la densité 1 de départ. Donc à partir du départ des parallèles sous 1, ça donne en 2d une figure en forme d'entonnoir, ouverte vers le haut. Inversement, vers la limite inférieure, les droites de parallèles en densité 1 se "rejoignent" vers le bas, vers l'infini.

Oui, c'est vraiment n'imp. Mais donc voilà, que se passe-t-il à la limite ? Bon là vraiment, je sais pas ce que je dis.

Mais à la limite du "haut", là où elles s' "écartent" infiniment mais où il n'y a "plus" d'espace, il me semble que je peux traduire ça en 2D comme le bord de notre entonnoir se rabattant jusqu'à ce que chaque droite se rejoigne elle-même et l'autre, par "en dessous". Et au contraire, vers la limite inférieure : les deux droites, comme dans un entonnoir, s'approchent infiniment jusqu'à se confondre et ne plus former qu'une seule droite (par référence à 1). En 2D sur une feuille, on aurait deux cercles de même dimension, extérieurs l'un à l'autre mais qui se touchent en un point, où les deux bornes se rejoignent. Si on rabat les cercles l'un sur l'autre, ils sont parallèles. Si on revient à la densité 1, les droites ils sont parallèles.

Il y a 4 heures, Loufiat a dit :

Mais il me semble que l'espace n'est pas une surface. Alors pour lui donner une forme je le conçois comme une sphère m'englobant, très très grande.
 

Une sphère est une surface Loufiat . 
En volume c’est une boule