Deux droites parallèles se rejoignent à l'infini

2 droites sont parallèles si justement elle ne se coupent jamais et c'est bien le cas dans un espace euclidien.

Cependant on affirme aussi que 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini. J'ai alors 2 questions :

1- A quel moment de l'histoire des mathématiques l'affirmation "2 droites parallèles se rejoignent à l'infini" est apparue ?

2- Est-ce que cette affirmation a un lien avec la courbure de l'espace-temps ? La théorie de la relativité peut-elle servir pour démontrer ou "conforter" cette affirmation (et vice versa) ? 

D'avance merci !

Les droites sont parallèles par rapport au sol. Mais celui de notre planète est arrondi. Donc les deux droites se rejoignent dans l'espace, et pas dans l'infini.

il y a 18 minutes, Groenland a dit :

2 droites sont parallèles si justement elle ne se coupent jamais et c'est bien le cas dans un espace euclidien.

Cependant on affirme aussi que 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini. J'ai alors 2 questions :

1- A quel moment de l'histoire des mathématiques l'affirmation "2 droites parallèles se rejoignent à l'infini" est apparue ?

2- Est-ce que cette affirmation a un lien avec la courbure de l'espace-temps ? La théorie de la relativité peut-elle servir pour démontrer ou "conforter" cette affirmation (et vice versa) ? 

D'avance merci !

Je ne suis pas historien des mathématiques pour répondre à la première question ( "Quand a-t-on admis que deux droites parallèles se coupent à l'infini ?).

Les géométries non euclidiennes de Lobatchewski et de Riemann sont antérieures à la théorie (physique) de la Relativité générale de 1915.

La courbure de l'espace-temps de la Relativité générale est indépendante des travaux antérieurs des mathématiciens précités. C'est une théorie qui utilise les "masses" alors que les travaux mathématiques en songt totalemnt indépendants.

Il est cependant possible que cette notion d'espace-temps "courbe" ait influencé les mathématiciens dans leurs développement ultérieurs d'espaces non euclidiens.

il y a 1 minute, Talon 1 a dit :

Les droites sont parallèles par rapport au sol. Mais celui de notre planète est arrondi. Donc les deux droites se rejoignent dans l'espace, et pas dans l'infini.

Intéressant. Mais est-ce qu'on peut vraiment tracer deux droites parallèles sur une sphère....?

Autrement ma question concerne les mathématiques en premier lieu, et je me demande si le fait qu'on affirme que 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini a-t-il une utilité en physique par exemple ?

Bonjour,

L'affirmation en cause peut être prise à deux niveaux:

a) comme un raccourci abusif de langage, dont il faut user avec réserve, au sens où le point d'intersection entre deux droites sécantes s'éloigne indéfiniment lorsque leur écart angulaire tend vers zéro;

b) en géométrie projective, où l'on travaille sur un domaine résultant de l'adjonction à l'espace ordinaire, d'un"point à l'infini".

Ce sont des notions assez délicates, tu devrais chercher du côté de "droite affine", "espace projectif".

Aucun rapport en tous cas avec la courbure de l'espace-temps: on reste bien dans une espace euclidien tridimensionnel.

il y a 27 minutes, Groenland a dit :

2- Est-ce que cette affirmation a un lien avec la courbure de l'espace-temps ? La théorie de la relativité peut-elle servir pour démontrer ou "conforter" cette affirmation (et vice versa) ?

Dans la géométrie euclidienne l'espace n'est pas courbe, ce qui fait que les droites parallèles ne se rencontrent pas, dans la relativité générale on est plus dans un espace euclidien, on travaille avec des géodésiques. L'infini est source de problèmes pour les physiciens, remarque qu'une droite peut aussi être considérée comme un cercle de rayon infini, et dans ce cas la droite se rencontre elle même dans l'infini.

il y a 16 minutes, Groenland a dit :

Intéressant. Mais est-ce qu'on peut vraiment tracer deux droites parallèles sur une sphère....?

Autrement ma question concerne les mathématiques en premier lieu, et je me demande si le fait qu'on affirme que 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini a-t-il une utilité en physique par exemple ?

Sur une sphère, il ne faut plus parler de droites, mais de géodésiques; on se situe alors sur une surface de courbure positive, constituant un espace bidimensionnel non euclidien.

La projection dans un plan du point d'intersection à l'infini de deux droites parallèles est connue depuis la Renaissance (*): c'est le "point de fuite" des peintres et des architectes.

(*) et probablement même un peu avant - à vérifier dans l'histoire des arts - notamment à propos des oeuvres des peintres du Quattrocento.

https://blog-bjl.bjl-multimedia.fr/la-premiere-renaissance-le-quattrocento-xve-siecle/

il y a 3 minutes, Hérisson_ a dit :

Sur une sphère, il ne faut plus parler de droites, mais de géodésiques; on se situe alors sur une surface de courbure positive, constituant un espace bidimensionnel non euclidien.

La projection dans un plan du point d'intersection à l'infini de deux droites parallèles est connue depuis la Renaissance (*): c'est le "point de fuite" des peintres et des architectes.

(*) et probablement même un peu avant - à vérifier dans l'histoire des arts - notamment à propos des oeuvres des peintres du Quattrocento.

Si c'est connu depuis la renaissance, à mon avis il est impossible que Einstein ne l'ai pas utilisé pour construire sa théorie ? Non ?

il y a 14 minutes, Groenland a dit :

Si c'est connu depuis la renaissance, à mon avis il est impossible que Einstein ne l'ai pas utilisé pour construire sa théorie ? Non ?

Encore une fois, ce "point à l'infini" est ajouté à un espace tridimensionnel.

Les représentations en sont très nombreuses; voir par exemple

https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_de_fuite

Les travaux d'Einstein sont liés (entre autres ) à ceux de ceux de Poincaré, ainsi qu'à la théorie des tenseurs - c'est un sujet d'histoire des sciences que je n'ai pas le temps d'approfondir.

Je pense que c'est impossible l'infinie. Et je sais pas quoi dire d'autres.

Vraiment intéressant comme fils.

il y a 44 minutes, Groenland a dit :

2 droites sont parallèles si justement elle ne se coupent jamais et c'est bien le cas dans un espace euclidien.

Cependant on affirme aussi que 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini. J'ai alors 2 questions :

1- A quel moment de l'histoire des mathématiques l'affirmation "2 droites parallèles se rejoignent à l'infini" est apparue ?

2- Est-ce que cette affirmation a un lien avec la courbure de l'espace-temps ? La théorie de la relativité peut-elle servir pour démontrer ou "conforter" cette affirmation (et vice versa) ? 

D'avance merci !

Toute l'histoire des mathématiques a été une interrogation concernant le 5eme postulat d'Euclide

Et concrètement, il suffit de prendre un globe terrestre pour constater que deux parallèles sont sécantes aux pôles dans ce type d'espace à courbure positive, il n'y a même pas besoin d'un infini pour "le conceptualiser"

Bien sûr qu'il a exploité les travaux de Rieman et Lorentz et il y a eu débats de Paternité avec Poincaré notamment pour cet espace de Minkowski

En tout cas le seul aspect sur lequel la relativité restreinte et générale peut confirmer quelque chose, c'est dans son adéquation a l'expérimentation 

Une théorie physique utilise des concepts mathématiques mais ne les valide pas

Au mieux elles en illustrent une utilisation pratique 

il y a 14 minutes, Groenland a dit :

Si c'est connu depuis la renaissance, à mon avis il est impossible que Einstein ne l'ai pas utilisé pour construire sa théorie ? Non ?

La relativité repose sur un espace non euclidien (espace de minkovsky). 

On a commencé a travailler sur ce type de géométrie depuis le 18eme. La relativité est le seul exemple d'application physique que je connaisse. 

Deux droites parallèles se rejoignent a l'infinie est une expression de la notion de limite. 2 droites qui se rejoignent a l'infini ne se rejoignent jamais. En clair, il n'existe pas de point d'intersection, car s'il existait, on montrerait qu'il n'est pas a l'infini sans probleme. 

Je ne sais pas quand c'est apparu, probablement durant les développement de l'analyse finctionnelle.

Édit :@zenalpha un jour faudra qu'on se concerte avant de faire la même réponse a 2 min d'interval 

il y a 2 minutes, zenalpha a dit :

Une théorie physique utilise des concepts mathématiques mais ne les valide pas

Excellent ! Je n'avais sincèrement jamais réalisé auparavant ce que tu dis là. En passant, cela ferait un bon sujet de philo ça ! 

il y a 5 minutes, Loopy a dit :

Deux droites parallèles se rejoignent a l'infinie est une expression de la notion de limite. 2 droites qui se rejoignent a l'infini ne se rejoignent jamais. En clair, il n'existe pas de point d'intersection, car s'il existait, on montrerait qu'il n'est pas a l'infini sans probleme. 

Mais justement si on affirme que 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini, est-ce que cela n'est pas intéressant seulement du point de vue de l'information qu'elle révèle à propos du type de l'espace dans lequel on évolue ? 

En gros pour connaître notre espace on regarde le comportement de 2 droites parallèles....

En confirmation de ma première réponse, voir l'article "géométrie projective", et en particulier l' Axiome I4:

Si A B C et D sont quatre points distincts tels que les droites AB et CD contiennent un point commun, alors les droites AC et BD contiennent un point commun.

il y a 2 minutes, Groenland a dit :

Excellent ! Je n'avais sincèrement jamais réalisé auparavant ce que tu dis là. En passant, cela ferait un bon sujet de philo ça ! 

Oui

D'autant que derrière cette affirmation anodine, se cache le problème de la nature du lien qui relie les mathématiques et la physique et la question du pourquoi les mathématiques sont aussi efficaces pour décrire le monde physique 

Alors là...

il y a 14 minutes, Hérisson_ a dit :

En confirmation de ma première réponse, voir l'article "géométrie projective", et en particulier l' Axiome I4:

Si A B C et D sont quatre points distincts tels que les droites AB et CD contiennent un point commun, alors les droites AC et BD contiennent un point commun.

Bon, dans un espace euclidien ce n'est certainement pas le cas, c'est donc un axiome valide en géométrie projective seulement. Mais comment cet axiome expliquerait le sujet de ce topic ? ... ou bien il faut comprendre que la géométrie projective c'est en quelque sorte la physique quantique des maths ?! 

il y a une heure, Groenland a dit :

Intéressant. Mais est-ce qu'on peut vraiment tracer deux droites parallèles sur une sphère....?

Autrement ma question concerne les mathématiques en premier lieu, et je me demande si le fait qu'on affirme que 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini a-t-il une utilité en physique par exemple ?

Bonjour Groenland, poigne de mains

Enfin tu as été à l'école, tu connais les tropiques ( cancer, capricorne ), ils sont parallèle il sont sur une sphère, et en plus sont parallèle à l'équateur.

Mais ce qui est valable en géométrie euclidienne c'est à dire dans un monde ou univers bidimensionnel ne sont plus valable dans des univers tridimensionnel, et plus.

Pour ta dernière question oui ça une utilité en physique, principalement en astronomie.

Il existe d'autres système qui disent que par un point extérieur à une droite il peut passer une infinité de parallèle et celui que tu décris c'est par un point extérieur à une droite il ne peut passer aucune parallèle car elles se rejoignent dans l'infini.

il y a 59 minutes, Groenland a dit :

Bon, dans un espace euclidien ce n'est certainement pas le cas, c'est donc un axiome valide en géométrie projective seulement. Mais comment cet axiome expliquerait le sujet de ce topic ? ... ou bien il faut comprendre que la géométrie projective c'est en quelque sorte la physique quantique des maths ?!

L'affirmation " 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini ", quoique discutable, peut être considérée comme vraie dans le cadre de la géométrie évoquée, sous réserve de la condition exprimée dans l'axiome cité: deux droites (AC et BD) d'un même plan (AB et CD ont un point commun) ont nécessairement un point d'intersection.

Nul besoin d'invoquer une dimension supérieure, ou la théorie de la Relativité qui

a) a pour finalité de représenter l'univers physique, et

b) fait intervenir 3 dimensions spatiales, et une temporelle (même si la théorie générale les traite de façon identique).

Ce qui fait pour toi difficulté, c'est la représentation de la figure.

il y a 16 minutes, Promethee_Hades a dit :

Bonjour Groenland, poigne de mains

Enfin tu as été à l'école, tu connais les tropiques ( cancer, capricorne ), ils sont parallèle il sont sur une sphère, et en plus sont parallèle à l'équateur.

Mais ce qui est valable en géométrie euclidienne c'est à dire dans un monde ou univers bidimensionnel ne sont plus valable dans des univers tridimensionnel, et plus.

Pour ta dernière question oui ça une utilité en physique, principalement en astronomie.

Il existe d'autres système qui disent que par un point extérieur à une droite il peut passer une infinité de parallèle et celui que tu décris c'est par un point extérieur à une droite il ne peut passer aucune parallèle car elles se rejoignent dans l'infini.

 

Merci.

Je me rends compte qu'en fait je ne sais rien de rien ! Et qu'il ne faut pas jouer au plus malin en science...  

Mais c'était qui déjà qui a dit "je sais que je ne sais rien" et que c'est justement là le début de la sagesse ?! 

il y a 6 minutes, Hérisson_ a dit :

L'affirmation " 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini ", quoique discutable, peut être considérée comme vraie dans le cadre de la géométrie évoquée, sous réserve de la condition exprimée dans l'axiome cité: deux droites (AC et BD) d'un même plan (AB et CD ont un point commun) ont nécessairement un point d'intersection.

Nulle besoin d'invoquer une dimension supérieure, ou la théorie de la Relativité qui

a) a pour finalité de représenter l'univers physique, et

b) fait intervenir 3 dimensions spatiales, et une temporelle (même si théorie générale les traitre de façon identique).

Ce qui fait pour toi difficulté, c'est la représentation de la figure.

Oui dommage qu'on ne peut pas facilement "dessiner" des messages sur le forum...