Le paradoxe du cube

Une machine fabrique de manière aléatoire des cubes dont l'arête est comprise entre 1 et 10.

Pari N°1 :

Vous devez parier sur la meilleure probabilité : Le prochain cube qui sortira de cette machine aura une arête dont la longueur est comprise

a) entre 1 et 7

ou

b) entre 7 et 10

Laquelle de ces deux réponses choisiriez-vous pour augmenter vos chances de gagner le pari ? a ou b ?

Pari N°2 :

Nous savons également que le volume des cubes est compris entre 1 et 1000.

Vous devez parier sur la meilleure probabilité : Le prochain cube aura un volume

c) entre 1 et 350

ou

d) entre 350 et 1000

Laquelle de ces deux réponses choisiriez-vous pour augmenter vos chances de gagner ? c ou d ?

Répondez à ces deux questions avant d'ouvrir le spoiler. Il ne résout pas le paradoxe mais il vous l'expose.
 

Tout à fait,et c'est parfaitement logique. Pour la première question on a un ensemble formé par deux ensembles disjoints l'un des 7 éléments et l' autre de 3. Et rien n'interdit d'imaginer le premier ensemble formé par les naturels de [1,,,7]  et ceux du second ensemble par les naturels de [8,9,10]. La probabilité que le tirage d'un nombre naturel compris entre les limites incluses 1 et 10 ait lieu dans le plus grand ensemble est évidente.

La réponse a, s'impose.

Pour la deuxième nous avons toujours les mêmes ensembles disjoints mais cette fois le tirage n'a plus lieu dans l'intervalle compris entre [1 et 10] mais dans celui de leurs cubes soit c = [1,8,27, 64,125,216,343] et d = [512,729,1000] 

La valeur de référence choisie est ici 350. (En toute logique elle aurait du être 343) et il y a 350 entiers compris dans l'intervalle [1 et 350] et 650 dans l'intervalle [350 et 1000] le tirage désignera donc plus souvent un objet tiré de l'ensemble le plus grand c'est à dire le d.

Oui @azad2B, comme toi on serait tous tenter de répondre "en toute logique" a pour la première question et d pour la seconde.

Mais ce n'est pas si logique que ça puisque la réponse a correspond à des cubes dont le volume est inclus dans la réponse c et non de d.

Autrement dit lorsque je répond a et d , j'affirme qu'il y a plus de chance que le prochain cube ait une arête comprise entre 1 et 7 .... et que son volume soit compris entre 350 et 1000.  Ce qui n'est pas possible !

Et c'est là où réside tout le paradoxe 

Tout d'abord rien ne dit que l'arête du cube est un nombre entier d'une longueur de référence (au hasard, le mètre). Donc dégoiser sur une histoire d'entiers n'est pas très intéressant.

Tout ce qui est dit c'est que la machine fait un tirage aléatoire concernant le longueur de l'arrête. Rien n'est dit sur la loi du tirage, mais en l'absence de précision on suppose une distribution uniforme (la densité de probabilité est constante de 1 à 10).

Partant de là, la réponse au problème 2 est évidemment c), vu que la machine fonctionne de la même façon, indépendamment de la façon de penser des élèves qui s'égarent sur la question.

Le paradoxe ne vient donc pas du cube, mais d'une grossière erreur de raisonnement qui dirait que si on s'intéresse à la longueur de l'arrête, la machine fonctionne d'une certaine façon, mais que si l'opérateur pense en terme de volume, alors la machine va se dire : tiens, ce coup-ci je vais faire un tirage aléatoire sur le volume pour dimensionner les arrêtes du cube que je vais fabriquer. 

Bonjour.

Comme vous l'avez dit, les réponses a et c sont équivalentes (aux approximations numériques près). Les réponses b et d sont équivalentes elles aussi. S'entend, dire a revient à dire c et dire b revient à dire d, et réciproquement.

Pourtant, les réponses intuitives sont bien a et d.

Il y a 12 heures, Aethra a dit :

Une machine fabrique de manière aléatoire des cubes dont l'arête est comprise entre 1 et 10.

Tout est là. Comment le cube est-il généré ?

Si c'est en tirant au hasard la longueur de l’arête (chaque longueur possible étant équiprobable), alors les réponses à la question sont a et c (a et donc c).

Si c'est en tirant au hasard le volume (chaque volume possible étant équiprobable), alors les réponses à la question sont d et b (d et donc b).

Je choisirais a) par ce qu’il y a 7 possibilités alors qu’il n’y en a que 3 en b). Et c) par ce que les volumes pour des arêtes de 1 à 7 sont compris entre 1 et 7*7*7= 343…

@Condorcet, c'est facile de faire le malin a posteriori quand on a pensé à faire le calcul des volumes et que l'on a le résultat de son incohérence sous les yeux ^_^

Maintenant, demande-toi ce que tu aurais répondu si je n'avais posé QUE la question 2 ? (même chose pour @nolibar). Puis une fois la réponse donnée, je te pose la question 1... Et là, boum ! tu t'es fait avoir.

Il y a 3 heures, Spontzy a dit :

Tout est là. Comment le cube est-il généré ?

Au hasard. La machine tire au hasard parfois la longueur de l'arête parfois le volume. Tout au hasard.

Tout l'intérêt de ce paradoxe réside dans le fait que la réponse la plus logique donnée dépend de la question qui nous est posée... mais nous amène à des résultats contradictoires, incohérents. Pourtant il s'agit de la même machine et des mêmes cubes.

Supposons que j'ajoute une 3e question avec une 3e donnée (la surface cette fois-ci) nous aurions encore une autre "bonne réponse", trois réponses apparemment valides mais qui se contredisent.

Mais restons-en à nos deux premiers exemples.

Il y a 18 heures, Aethra a dit :

Une machine fabrique de manière aléatoire des cubes dont l'arête est comprise entre 1 et 10.

Pari N°1 :

Vous devez parier sur la meilleure probabilité : Le prochain cube qui sortira de cette machine aura une arête dont la longueur est comprise

a) entre 1 et 7

ou

b) entre 7 et 10

Laquelle de ces deux réponses choisiriez-vous pour augmenter vos chances de gagner le pari ? a ou b ?

 

Pari N°2 :

Nous savons également que le volume des cubes est compris entre 1 et 1000.

Vous devez parier sur la meilleure probabilité : Le prochain cube aura un volume

c) entre 1 et 350

ou

d) entre 350 et 1000

Laquelle de ces deux réponses choisiriez-vous pour augmenter vos chances de gagner ? c ou d ?

 

Répondez à ces deux questions avant d'ouvrir le spoiler. Il ne résout pas le paradoxe mais il vous l'expose.
 

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Au pari 1 vous avez sans doute choisi la réponse a. En effet cette fourchette est plus large que la deuxième donc elle présente plus de chances que le prochain cube tombe dessus.

Au pari 2 vous avez choisi la réponse d pour la même raison.

Pourtant, la réponse a correspond aux volumes de la réponse c ; et la réponse b correspond aux volumes de la réponse d ...

Etrange non ?

Je laisse aux experts le soin de présenter la résolution du paradoxe. En attendant cogitez bien !

 

 

Ça dépendra de la fonction utiliser pour générer les nombres réels pseudo aléatoires.

Aucun machine ne peux générer des nombres réels complètement aléatoire.

Il y a 2 heures, Aethra a dit :

@Condorcet, c'est facile de faire le malin a posteriori quand on a pensé à faire le calcul des volumes et que l'on a le résultat de son incohérence sous les yeux ^_^

Mais s'il essaie de faire le malin, dis-toi bien que c'est complètement raté. Et dans les grandes largeurs, encore. Parce que ses réflexions sur le choix de nombres entiers ou je ne sais qu'elles autres inepties, c'est bon pour rendre perplexe un élève de maternelle, et encore à condition qu'il soit en classe de déficients mentaux ! L'astuce de ton casse-tête tient dans le fait que l'on opère une élévation à la puissance N d'un nombre donné appartenant à l'intervalle [1, 10]. Ici, N = 3 entraine que l'intervalle des volumes s' étend à [1, 10³]. Si l'on s' amuse à imaginer un cube dans un espace de dimension 100, alors on devra tirer un nombre X appartenant à l' intervalle des volumes [1, 10¹⁰⁰) et dans ce cas si l'on décide de choisir un volume immense au delà duquel, on gagne alors on peut imaginer que la presque totalité des valeurs gagnantes issues de [1, 10¹⁰⁰) seront situées dans l'intervalle [10⁹⁹ , 10¹⁰⁰ ]

Je pense que tout le monde admet et comprend cela, sauf, bien sûr, devinez qui ?

Rho là là vous n'allez tout de même pas vous faire la guerre pour 3 cubes et une machine imaginaire  ^_^

Il y a 1 heure, azad2B a dit :

Je pense que tout le monde admet et comprend cela, sauf, bien sûr, devinez qui ?

Moi. Et je le dis sans honte. Tu m'as perdue assez vite, à l'espace de dimension 100. Mais je ne suis pas en terrain familier, je vais avoir besoin de me poser pour comprendre ton raisonnement.

Pour ceux que cela intéresse (et avant que vous ne vous écharpiez), ce paradoxe est une version du "cube de Van Fraasen" (philosophe néerlandais) ,  lui-même tiré du paradoxe de Bertrand.

@Spontzya bien soupçonné la problématique.

Voici, pour les curieux, le problème original du cube de Van Fraasen :

il y a 20 minutes, Aethra a dit :

Rho là là vous n'allez tout de même pas vous faire la guerre pour 3 cubes et une machine imaginaire  ^_^

Mais si bien sûr, ça finit toujours comme ça avec "azad2b".

il ne peut pas s'empêcher de piétiner les intervenants quand ils ne pensent pas exactement comme lui.

Ce ne sont pas des arguments qu'il échange mais de méprisantes flèches qu'il envoie.

il y a 24 minutes, Aethra a dit :

Voici, pour les curieux, le problème original du cube de Van Fraasen

Je ne connaissais pas. C'est pas transcendant, mais ça n'utilise que des concepts simples ! Donc c'est plutôt bien trouvé.

S'lut.

PS : je n'étais pas déconnant du tout dans ma réponse. C'est rassurant, quelque part !

Il y a 18 heures, Aethra a dit :

Oui @azad2B, comme toi on serait tous tenter de répondre "en toute logique" a pour la première question et d pour la seconde.

Mais ce n'est pas si logique que ça puisque la réponse a correspond à des cubes dont le volume est inclus dans la réponse c et non de d.

Autrement dit lorsque je répond a et d , j'affirme qu'il y a plus de chance que le prochain cube ait une arête comprise entre 1 et 7 .... et que son volume soit compris entre 350 et 1000.  Ce qui n'est pas possible !

Et c'est là où réside tout le paradoxe 

 

Donc , est ce que c ' était bon d ' avoir répondu b , du moins ai je pensé cela ? 

Il y a 5 heures, Aethra a dit :

Maintenant, demande-toi ce que tu aurais répondu si je n'avais posé QUE la question 2 ? (même chose pour @nolibar). Puis une fois la réponse donnée, je te pose la question 1... Et là, boum ! tu t'es fait avoir.

Euh... comment dire ? Non.

Je suis mathématicien. Je ne change pas la réponse à un exercice en fonction de l'humeur que m'aurait donné un autre exercice.

Il semblerait que, bien que claires amha, tu n'aie pas saisis mes explications. 

Il y a 5 heures, Aethra a dit :

Au hasard. La machine tire au hasard parfois la longueur de l'arête parfois le volume. Tout au hasard.

Voilà l'exemple caractéristique du professeur qui pose assez mal un problème à ses élèves.

Plus tard ils les rabroue, en changeant l'énoncé.

Le hasard est un truc complexe. Le manier avec légèreté conduit souvent à des erreurs.

Maintenant, ici on est en science. Pas en politique rhétorique. Ça devrait être plus simple pourtant. 

Il y a 1 heure, Répy a dit :

il ne peut pas s'empêcher de piétiner les intervenants quand ils ne pensent pas exactement comme lui.

 

Faux et archi faux. Je souhaite être contredit et j' adore que l'on me montre là où j' ai péché quand je me trompe. Et si la réprimande est justifiée, alors celui qui l' a révélée grimpe dans mon estime. Il n'en va pas de même quand un vieux grincheux déserte un sujet où il a été critiqué... là je me pose des questions sur ses prétendues qualités, fussent-elles de lointains souvenirs porteurs de regrets éternels.

il y a 53 minutes, Condorcet a dit :

Plus tard ils les rabroue, en changeant l'énoncé.

Le hasard est un truc complexe. Le manier avec légèreté conduit souvent à des erreurs.

Maintenant, ici on est en science. Pas en politique rhétorique. Ça devrait être plus simple pourtant. 

Je n'ai pas changé l'énoncé depuis le début il s'agit bien de hasard ; inutile de mentir petit chenapan vexé parce qu'il n'a pas eu son bon point.

@lumic  et compagnie,

Ce paradoxe fait partie de la longue série des paradoxes sur le "principe d'indifférence" :

« S’il n’y a aucune raison connue pour attribuer à notre sujet une alternative plutôt qu’une autre, parmi plusieurs options possibles, alors, ces alternatives ont une probabilité égale relativement à notre connaissance. Des probabilités égales doivent donc être assignées à chacun des différents arguments, s’il n’y a pas de raison de leur assigner des probabilités inégales. »  (Keynes)

En l'état, le terme "hasard" ne nous permet pas de privilégier l'argument-arête ou l'argument-volume, donc le paradoxe est inévitable, inextricable. Si nous voulons être cohérent, nous n'avons pas le choix que de répondre à la question 1 indépendamment de la question 2. Il faut choisir : arête ou volume. Question 1 réponse a OU question 2 réponse d. Dans un cas comme dans l'autre le raisonnement est valide. Même si leur résultats se contredisent dès lors que l'on considère ensemble les deux unités (longueur et volume), ce qu'on ne peut pas faire à l'état.

C'est tout l'intérêt de ce paradoxe ! (n'en déplaise à sieur Condorcet pour lequel il faudrait une sous rubrique "paradoxe" à la rubrique "sciences"^^)

Maintenant, pour résoudre précisément ce problème, il faudrait trouver une loi de probabilité invariante et indifférente aux 2 considérations possibles (la longueur et le volume).

Ou bien au 3 unités (longueur, volume, aire) si l'on choisit de plancher sur le problème original du cube de Van Fraassen. C'est à dire une loi telle que : P (Longueur ≤ x) = P (aire ≤ x²) = P (Volume ≤ x3 )

Personnellement je ne suis pas capable de calculer cette loi, peut-être l'un de vous aura-t-il envie d'y plancher.  Mais ce n'était pas l'intérêt de ce paradoxe que je voulais vous partager.

il y a une heure, Condorcet a dit :

Euh... comment dire ? Non.

Je suis mathématicien. Je ne change pas la réponse à un exercice en fonction de l'humeur que m'aurait donné un autre exercice.

Il semblerait que, bien que claires amha, tu n'aie pas saisis mes explications. 

Voilà l'exemple caractéristique du professeur qui pose assez mal un problème à ses élèves.

Plus tard ils les rabroue, en changeant l'énoncé.

Le hasard est un truc complexe. Le manier avec légèreté conduit souvent à des erreurs.

Maintenant, ici on est en science. Pas en politique rhétorique. Ça devrait être plus simple pourtant. 

J'ai d'ailleurs toujours abhorré cette notion de hasard quand on parle de probabilité. Au fond, on ne fait que définir de façon déterministe un univers dans lequels les objets peuvent prendre, certes plusieurs valeurs, mais en suivant une loi déterministe. Cela dit, je ne vois aucun paradoxe à ces exercices, mais juste des erreurs de raisonnement.

il y a 7 minutes, Virtuose_en_carnage a dit :

J'ai d'ailleurs toujours abhorré cette notion de hasard quand on parle de probabilité. Au fond, on ne fait que définir de façon déterministe un univers dans lesquels les objets peuvent prendre, certes plusieurs valeurs, mais en suivant une loi déterministe. Cela dit, je ne vois aucun paradoxe à ces exercices, mais juste des erreurs de raisonnement.

Oui. Personnellement je suis du matin au soir confronté à des histoires de hasard. J'ai remarqué par exemple combien je suis prompt à mener des erreurs de raisonnement quand vite fait, une intuition me montre une voie simple.

Dire tirer au hasard n'est pas tout dire. Il faut être précis. D'ailleurs la génération de nombres aléatoires par des machines n'est pas une chose simple. 

il y a 6 minutes, Condorcet a dit :

Oui. Personnellement je suis du matin au soir confronté à des histoires de hasard. J'ai remarqué par exemple combien je suis prompt à mener des erreurs de raisonnement quand vite fait, une intuition me montre une voie simple.

Dire tirer au hasard n'est pas tout dire. Il faut être précis. D'ailleurs la génération de nombres aléatoires par des machines n'est pas une chose simple. 

Comme dit mon grand manitou de patron de façon récurrente : le diable se cache dans les détails. On a vite fait de simplifier les étapes du raisonnement pour arriver à la conclusion. Et souvent à la relecture, il y a des erreurs partout. D'ailleurs, c'est pour ça qu'il est important de tout bien définir dans ce que l'on fait. Pas comme les pseudo exercices de ce sujet. Quand on ne précise pas que la loi suivie est uniforme, on peut en conclure ce que l'on veut et tout le monde a raison.

Oui, il n'existe que des suites pseudo aléatoire car il y a toujours une fonction déterministe dans le lot. Le seul problème, c'est qu'il faudrait tellement d'expérience pour déterminer la dite fonction que la suite de chiffre semble aléatoire.

il y a 12 minutes, Aethra a dit :

Maintenant, pour résoudre précisément ce problème, il faudrait trouver une loi de probabilité invariante et indifférente aux 2 considérations possibles (la longueur et le volume).

Mais, c’est pourtant simple, où alors j’ai pris un bon coup de vieux cette nuit !

Cas 1 :

Quelle doit être la valeur V1 comprise entre 1 et N pour qu’un tirage parmi N valeurs possibles donne une probabilité égale à N / 2 ?

Si  N = 10 il faut choisit  V1 = 5.

La probabilité est alors de 1 / 2

Mais on tire 1 nombre parmi 10.

Cas 2:

Quelle doit être la valeur V2 comprise entre 1 et N²  pour qu’un tirage parmi N² valeurs possibles donne un résultat égale à N² / 2 ?

Si N = 10 alors  N² = 100 et il faut choisir V2 = 50

La probabilité est encore de 1 / 2

Mais on tire 1 nombre parmi 100.

Cas 3 :

Quelle doit être la valeur V3 comprise entre 1 et N³  pour qu’un tirage parmi N³ valeurs possibles donne un résultat égale à N³ / 2 ?

Si N = 10 alors  N³ = 1000 et il faut choisir V3 = 500

La probabilité est toujours de 1 / 2

Mais on tire 1 nombre parmi 1000.

Voilà, c’est pourtant clair.On a dans ces trois cas ( correspondants à longueurs, surfaces et volumes une probabilité constante parce que dans chacun des cas on choisi les valeurs V1,V2 et V3 égales aux nombres d’ éléments possibles divisés par 2.

Si on remplaçait V1,V2 et V3 par une valeur unique Vx alors cette fois les probabilités seraient différentes à chaque fois.

Que l’on daigne me montrer où je me trompe !