Quelle est la nature des mathématiques?

Les objets mathématiques existent-ils éellement comme le prétendent les platoniciens ou les partisans du réalisme en mathématiques? L'idée d'infini ou de cercle, d'où proviendraient-elles et correspondraient-elles à des objets réels?

Par opposition nous pourrions parler de la vision aristotélicienne selon laquelle les objets mathématiques seraient de pures constructions de l'esprit, des idéalités liées à notre faculté d'abstraction. Mais il me semble donc que selon les aristotéliciens, les mathématiques devraient être une pure invention issue de l'esprit humain, une succession de symboles composant des phrases logiques qui se déduisent les uns des autres selon des règles de grammaire strictes.

Mais comment les mathématiques seraient-elles alors formelles?

En effet, si les mathématiques étaient un système formel alors elles n'excèderaient pas nos capacités de démonstration, tandis que Gödel montre non seulement qu'une théorie mathématique complète et cohérente n'existe pas, mais pire encore, qu'il y a des vérités mathématiques indémontrables! Gödel était par ailleurs un partisan célèbre du platonisme ou du réalisme mathématique.

Quelle est la nature des mathématiques? Quelle réalité accorder à leurs objets? Comment le réel pourrait-il être systématiquement déductible de l'irréel?

Il faut se rendre compte d'une chose, c'est que dans l'antiquité les mathématiques n'étaient logiques que chez les grecques, pourtant tous les mathématiciens de cette époque n'étaient pas grecques, donc les mathématiques existent au-de-là de la logique, je pense qu'en oubliant cela on oublie une information importante pour savoir de quoi parle les mathématiques.

Les objets mathématiques existent-ils éellement comme le prétendent les platoniciens ou les partisans du réalisme en mathématiques? L'idée d'infini ou de cercle, d'où proviendraient-elles et correspondraient-elles à des objets réels?

Par opposition nous pourrions parler de la vision aristotélicienne selon laquelle les objets mathématiques seraient de pures constructions de l'esprit, des idéalités liées à notre faculté d'abstraction. Mais il me semble donc que selon les aristotéliciens, les mathématiques devraient être une pure invention issue de l'esprit humain, une succession de symboles composant des phrases logiques qui se déduisent les uns des autres selon des règles de grammaire strictes.

Mais comment les mathématiques seraient-elles alors formelles?

En effet, si les mathématiques étaient un système formel alors elles n'excèderaient pas nos capacités de démonstration, tandis que Gödel montre non seulement qu'une théorie mathématique complète et cohérente n'existe pas, mais pire encore, qu'il y a des vérités mathématiques indémontrables! Gödel était par ailleurs un partisan célèbre du platonisme ou du réalisme mathématique.

Quelle est la nature des mathématiques? Quelle réalité accorder à leurs objets? Comment le réel pourrait-il être systématiquement déductible de l'irréel?

Bonjour les mathématiques sont à la fois dans le réel et dans l'imaginaire, exemple justement les nombres dits imaginaires: ix... Purs produits de l'imaginaire humain qui permettent aussi la résolution d'équations et la formulation de lois physiques.En ce sens les mathématiques sont un pont, un lien entre le réel et l'irréel, elles permettent de décrire le réel et de le calculer, elles permettent aussi de prévoir l'irréel et de le calculer, avec justesse.Les exemples sont multiples, en particulier en MQ, mais pas uniquement.

Les objets mathématiques existent-ils réellement comme le prétendent les platoniciens ou les partisans du réalisme en mathématiques?

[...]

Quelle est la nature des mathématiques? Quelle réalité accorder à leurs objets? Comment le réel pourrait-il être systématiquement déductible de l'irréel?

Contrairement aux autres sciences experimentales (physiques, biologie ...), les "objets" mathematiques n'ont pas besoin d'existence reelle dans la nature.

Seul la veracité des raisonnements mathematiques compte.

Quand les mathematiques decrivent qu'un triangle a 3 angles aigus et stipulent que la somme des 3 angles font 180°, il n'y a pas besoin de savoir si les triangles existent dans la nature ou non. En revanche si on en trouve dans la nature, c'est sûr que la somme de leur angle font 180°.

Transcendante !!!

C'est Pythagore qui attribuait des pouvoirs aux chiffres. Notre pensée n'est qu'abstraite. Nous ne pensons pas dans une langue mais par symboles. Les maths sont la langue des symboles.

Les objets mathématiques existent-ils réellement comme le prétendent les platoniciens ou les partisans du réalisme en mathématiques? L'idée d'infini ou de cercle, d'où proviendraient-elles et correspondraient-elles à des objets réels?

Quelle est la nature des mathématiques? Quelle réalité accorder à leurs objets? Comment le réel pourrait-il être systématiquement déductible de l'irréel?

Vaste programme !

On pourrait commencer par se demander si la table existe réellement également, où n'est-ce déjà qu'un idéalisme de la réalité !? Les concepts n'existent pas dans la nature isolément de nos esprits, ils ont une existence dépendante de la cervelle qui les pense. Néanmoins, ces objets modélisés sont tout de même issus du monde réel, débarrassé plus ou moins de détails, pour ne garder que l'essentiel, ce qui les caractérise ou ce que l'on juge pertinent à leur sujet.

La mathématique n'échappe pas à ce constat, le cercle n'est qu'une idéalisation d'objets rencontrés circulaires, il a été épuré au maximum, pour ne garder que l'essence, les points communs à ces matériaux disparates partageant une propriété commune, la circularité, qu'il faudra définir en oubliant ce qui contrarie cette idée, ou en élaborant un processus de perfectionnement mental, qui pourrait s'appliquer réellement jusqu'à un certain point, comme de tendre vers un périmètre d'épaisseur nulle, dans les faits on voit très bien à quoi renvoie ce mouvement de perfectionnement, à savoir utiliser un outil qui trace avec une épaisseur toujours plus fine, on peut donc dans notre tête faire comme si ce processus ne s'arrêtait jamais, ce que nous nommons une idéalisation.

De même pour l'infini, il suffit de pouvoir engendrer une étape supplémentaire, sans que rien ne puisse clôturer l'itération, pour stipuler qu'il n'y a pas de fin, et donc que c'est infini, comme les nombres entiers, auxquels nous pouvons rajouter une unité au plus grand que nous puissions imaginer ou prononcer. L'esprit tourne en " boucle " sans procédure d'arrêt, il conçoit, ou plutôt, il perçoit ce qu'est un mouvement infini, il n'y a pas que des concepts figés qui soient compris par notre cognition, des scénarios cinématiques ou dynamiques peuvent être aussi conceptualisés, comme courir ou danser, c'est à dire des actions.

Si nous n'oublions pas que les mathématiques sont issues, à la base d'une idéalisation ou d'un perfectionnement par filtrage/itération, il n'y a plus rien d'étonnant quand ce qui a été rejeté, mis à part devient négligeable dans la réalité, que nous retombions par les mathématiques sur des évènements réels, comme c'est le cas en MQ, où les interactions involontaires, les frottements et autres effets parasites ont totalement disparu au niveau atomique ou subatomique, nous sommes dans une situation épurée, ce n'est donc pas étonnant que les mathématiques rejoignent le monde nucléaire, puisqu'ils partagent le même isolement.

Les maths ne sont donc pas irréelles à proprement parler, elles sont issues d'un monde épuré, dépouillé à l'extrême, et quand les conditions physiques sont réunies, autrement dit quand les phénomènes sont relativement pures, la réalité se conjugue au mieux avec la mathématique qui n'en est qu'une copie idéalisée.

Les propriétés que l'on trouve en math, sont donc des sortes de lois de la nature épurées/filtrées, les objets aussi abstraits soient-ils ne sont que des modèles de la réalité plus ou moins déformée, comme une image pixelisée ou un croquis/caricature n'est qu'un succédané d'une scène réelle. Ce que nous nommons la logique, est l'exemple typique d'une abstraction maximale de règles trouvées dans le monde réel, sur une foultitude d'objets aussi différents les uns des autres, elles sont donc empiriques, qu'on le veuille ou non, et il n'est donc pas à exclure qu'un beau jour, une nouvelle règle soit découverte, comme une ancienne prise en défaut, ce qui déjà un peu le cas quand on tient compte du tiers inclus, car non non-A ne redonne pas nécessairement A, A = je suis riche, non-A = je suis pauvre, mais non non-A donne je ne suis pas pauvre, ce qui ne veut pas dire que je sois forcément riche !

Voilà pour le moment, en espérant que tu y trouves ton bonheur...

Une exemplaire limpidité didactique du propos audible par un indécrottable profane, de la part d' un dyscalculique notoire...

Vaste programme !

On pourrait commencer par se demander si la table existe réellement également, où n'est-ce déjà qu'un idéalisme de la réalité !? Les concepts n'existent pas dans la nature isolément de nos esprits, ils ont une existence dépendante de la cervelle qui les pense. Néanmoins, ces objets modélisés sont tout de même issus du monde réel, débarrassé plus ou moins de détails, pour ne garder que l'essentiel, ce qui les caractérise ou ce que l'on juge pertinent à leur sujet.

La mathématique n'échappe pas à ce constat, le cercle n'est qu'une idéalisation d'objets rencontrés circulaires, il a été épuré au maximum, pour ne garder que l'essence, les points communs à ces matériaux disparates partageant une propriété commune, la circularité, qu'il faudra définir en oubliant ce qui contrarie cette idée, ou en élaborant un processus de perfectionnement mental, qui pourrait s'appliquer réellement jusqu'à un certain point, comme de tendre vers un périmètre d'épaisseur nulle, dans les faits on voit très bien à quoi renvoie ce mouvement de perfectionnement, à savoir utiliser un outil qui trace avec une épaisseur toujours plus fine, on peut donc dans notre tête faire comme si ce processus ne s'arrêtait jamais, ce que nous nommons une idéalisation.

De même pour l'infini, il suffit de pouvoir engendrer une étape supplémentaire, sans que rien ne puisse clôturer l'itération, pour stipuler qu'il n'y a pas de fin, et donc que c'est infini, comme les nombres entiers, auxquels nous pouvons rajouter une unité au plus grand que nous puissions imaginer ou prononcer. L'esprit tourne en " boucle " sans procédure d'arrêt, il conçoit, ou plutôt, il perçoit ce qu'est un mouvement infini, il n'y a pas que des concepts figés qui soient compris par notre cognition, des scénarios cinématiques ou dynamiques peuvent être aussi conceptualisés, comme courir ou danser, c'est à dire des actions.

Si nous n'oublions pas que les mathématiques sont issues, à la base d'une idéalisation ou d'un perfectionnement par filtrage/itération, il n'y a plus rien d'étonnant quand ce qui a été rejeté, mis à part devient négligeable dans la réalité, que nous retombions par les mathématiques sur des évènements réels, comme c'est le cas en MQ, où les interactions involontaires, les frottements et autres effets parasites ont totalement disparu au niveau atomique ou subatomique, nous sommes dans une situation épurée, ce n'est donc pas étonnant que les mathématiques rejoignent le monde nucléaire, puisqu'ils partagent le même isolement.

Les maths ne sont donc pas irréelles à proprement parler, elles sont issues d'un monde épuré, dépouillé à l'extrême, et quand les conditions physiques sont réunies, autrement dit quand les phénomènes sont relativement pures, la réalité se conjugue au mieux avec la mathématique qui n'en est qu'une copie idéalisée.

Les propriétés que l'on trouve en math, sont donc des sortes de lois de la nature épurées/filtrées, les objets aussi abstraits soient-ils ne sont que des modèles de la réalité plus ou moins déformée, comme une image pixelisée ou un croquis/caricature n'est qu'un succédané d'une scène réelle. Ce que nous nommons la logique, est l'exemple typique d'une abstraction maximale de règles trouvées dans le monde réel, sur une foultitude d'objets aussi différents les uns des autres, elles sont donc empiriques, qu'on le veuille ou non, et il n'est donc pas à exclure qu'un beau jour, une nouvelle règle soit découverte, comme une ancienne prise en défaut, ce qui déjà un peu le cas quand on tient compte du tiers inclus, car non non-A ne redonne pas nécessairement A, A = je suis riche, non-A = je suis pauvre, mais non non-A donne je ne suis pas pauvre, ce qui ne veut pas dire que je sois forcément riche !

Voilà pour le moment, en espérant que tu y trouves ton bonheur...

Beau développement que voilà.

Sur le cercle ou sur les formes géométriques en général je pourrais suivre ton explication qui est plausible, mais concernant la notion d'infini il me semble qu'elle comporte quelque chose de plus subtil qu'un processus perpétuel d'itération. Effectivement certains concepts logiques sont indubitablement issus d'une réalité empirique, alors même que nous ne le soupçonnerions pas dans un premier temps ou selon un regard naïf. Cependant mon objection (qui est en fait celle de Gödel) me paraît toujours fondée : si les vérités mathématiques étaient uniquement des vérités humaines, comment expliquera-t-on l'existence de vérités mathématiques indémontrables? Quel statut épistémologique accorder à de telles vérités?

Beau développement que voilà.

Sur le cercle ou sur les formes géométriques en général je pourrais suivre ton explication qui est plausible, mais concernant la notion d'infini il me semble qu'elle comporte quelque chose de plus subtil qu'un processus perpétuel d'itération. Effectivement certains concepts logiques sont indubitablement issus d'une réalité empirique, alors même que nous ne le soupçonnerions pas dans un premier temps ou selon un regard naïf. Cependant mon objection (qui est en fait celle de Gödel) me paraît toujours fondée : si les vérités mathématiques étaient uniquement des vérités humaines, comment expliquera-t-on l'existence de vérités mathématiques indémontrables? Quel statut épistémologique accorder à de telles vérités?

Manifestement il y a un langage mathématique, auquel la conscience humaine a plus ou moins accès.

Les équations des règles qui régissent notre univers s'écrivent en langage mathématique.

Malgré le génie des physiciens mathématiciens, ce langage ne permet pas de tout comprendre, pour l'instant.

Le permettra t il un jour? L'on peut le souhaiter, mais rien n'est moins sûr.

A près effectivement l'on peut retrouver des nombres premiers comme par exemple ceux de la: "Suite de Fibonacci" et le fameux nombre d'or, mais cela reste peu probant, c'est "Kamoff" qui me semble t il à chercher du côté des nombres premiers, pour trouver des relations entre les constantes de la nature, d'autres ont essayé, mais sans succès.

« Quelle est la nature des mathématiques? »

Les mathématiques ne sont que l’expression, sous la forme de symboles, de la logique des lois de la physique et autres qui régissent l’Univers, car le cerveau humain n’est pas suffisamment performant, loin s’en faut, pour traiter directement cette logique bien trop complexe pour lui. Il se sert de l’outil mathématique pour y remédier autant que faire se peut.

mais concernant la notion d'infini il me semble qu'elle comporte quelque chose de plus subtil qu'un processus perpétuel d'itération.

Dans ce cas Quasi, je te défie gentiment de me trouver un infini mathématique qui ne soit pas issu d'un procédé itératif ou répétitif/extrapolé ! :)

Je parle bien pourtant de la conceptualisation de ce mouvement ad vitam eternam, comme un algorithme nous donnant accès à la notion d'infini, n'est-ce pas parfaitement satisfaisant/suffisant ?

Cependant mon objection (qui est en fait celle de Gödel) me paraît toujours fondée : si les vérités mathématiques étaient uniquement des vérités humaines, comment expliquera-t-on l'existence de vérités mathématiques indémontrables? Quel statut épistémologique accorder à de telles vérités?

Je ne dis pas que les vérités mathématiques sont propres à notre espèce, mais que nous avons la faculté de traduire les faits physiques en idées abstraites/théoriques, réduites à leur plus simples expressions, d'en percevoir l'essentiel, le point d'orgue au milieu de toutes les manifestations aussi diverses de notre environnement, id est ce qui est constant et commun à ces phénomènes. Ensuite se produit une sorte d'auto-suffisance de cette discipline, dans la mesure où les bases ainsi jetées, conduisent à prolonger, à comparer, à représenter, à imaginer ou à rendre symétrique à partir d'un ensemble de connaissances, comme ce fût le cas par exemple avec les nombres négatifs, complexes ou les fameuses coordonnées cartésiennes, mais cette recherche spécifique, ce développement interne, se retrouve également en sciences physiques sur les phénomènes et sur les lois découverts, ce qui signifie que cela fait partie de nous d'avoir cette propension cognitive, de notre façon d'appréhender le monde.

N'oublions pas une chose importante sur les travaux de Gödel, en l'occurrence ces théorèmes d'incomplétude, c'est qu'ils reposent dans leur principe sur le même paradoxe que celui du menteur, simplement retraduit et transposé à la mathématique, une fois cette prise de conscience faite, il ne nous reste plus qu'à l'exploiter.

En théorie pure, par un raisonnement uniquement abstrait, le paradoxe du menteur est insoluble, c'est une vérité indémontrable, mais dans la réalité nous ne trouverons jamais une telle situation, un individu n'est jamais un menteur " parfait " ( il n'y a donc pas de contradiction à être en face d'un menteur notoire et qu'il dise en être un, nous l'avons tous plus ou moins expérimenté ! ), il en va de même avec le paradoxe du barbier ( homme et fonction confondue ), ou encore sur l'ensemble qui contient tous les ensembles qui ne se contiennent pas ( voir mon exemple du sac récemment ), dans la vie réelle de telles positions épurées/filtrées ne se produisent pas, la teneur paradoxale vient précisément du fait, qu'elles s'appuient sur des situations/règles/concepts idéalisés ( ou trop stricts ), par exemple c'est parce que la droite n'a pas d'épaisseur que l'on peut en faire passer une infinité au même endroit, ce qui ne peut pas être le cas si nous voulions tracer réellement ces traits sur un support, notre cognition s'embourbe dans ses propres travers de simplifications, se trouve coincée dans ses propres abstractions, car seule la réalité est notre guide véritable, tout ce qui en dérive est condamné à tomber dans l'incohérence ou l'inconsistance, tout comme un cliché photographique ne sera jamais la réalité, juste un ersatz de celle-ci avec ses faiblesses, d'autant plus croustillantes que l'on se penchera sur le détail.

La mathématique aussi belle et difficile soit-elle, n'en demeure pas moins une sorte de jeu élaboré à partir du réel, les vérités qui s'en dégagent ne valent que dans les frontières fermées qui lui appartiennent, elles n'ont pas à être transposées telles quelles, sans précaution, sans mise en garde ou sans réserve !

( la plupart des génies vivant déjà dans un monde à part à leur époque, il n'est pas surprenant que leur travaux sortent aussi du seul cadre de la réalité, volontairement ou inconsciemment )

Dans ce cas Quasi, je te défie gentiment de me trouver un infini mathématique qui ne soit pas issu d'un procédé itératif ou répétitif/extrapolé ! :)

La définition de Cantor d'un ensemble infini, (un ensemble, non vide, est infini est un ensemble qui peut être mis en bijection avec une partie stricte).

PS : un documentaire que je n'ai pas encore vue :

http://www.arte.tv/guide/fr/061655-000-A/le-grand-mystere-des-mathematiques?autoplay=1

La définition de Cantor d'un ensemble infini, (un ensemble, non vide, est infini est un ensemble qui peut être mis en bijection avec une partie stricte).

Oui, et comment t'y prends tu pour le vérifier ou le montrer ?

avec la fonction tangente on peut mettre en bijection ]-Pi/2,Pi/2[ avec R, ce qui montre que R est infini, il est ici nul part question d'itération, ou sinon je ne verrais pas où.

N avec N* à l'aide de la fonction successeur.

avec la fonction tangente on peut mettre en bijection ]-Pi/2,Pi/2[ avec R, ce qui montre que R est infini, il est ici nul part question d'itération, ou sinon je ne verrais pas où.

Premièrement, une bijection entre deux ensembles ne garantit pas que l'un soit infini, puisqu'il existe des bijections sur des ensembles finis, par exemple { banane, cerise, kiwi, clémentine } et { orange, jaune, vert, rouge } où chaque fruit est associé à une seule couleur et inversement. Sans compter que l'ensemble de départ même borné est déjà infini, difficile dans ce cas d'y faire appel pour prouver l'infinitude du second ! ( raisonnement circulaire )

Deuxièmement, en prenant la tangente comme application de E dans F, tu omets malencontreusement comment on calcul la valeur de cette fonction en un point, par une série infinie convergente, et donc une itération/répétition/extrapolation pour la sommer, qui de surcroit fait appel à l'infini avant de pouvoir s'en servir pour le "dé"montrer encore une fois !

N avec N* à l'aide de la fonction successeur.

Ce que je disais donc, si à n j'associe n+1... n'est-ce pas une itération ?!

*************

Une autre proposition ?

1/Premièrement, une bijection entre deux ensembles ne garantit pas que l'un soit infini, puisqu'il existe des bijections sur des ensembles finis, par exemple { banane, cerise, kiwi, clémentine } et { orange, jaune, vert, rouge } où chaque fruit est associé à une seule couleur et inversement. Sans compter que l'ensemble de départ même borné est déjà infini, difficile dans ce cas d'y faire appel pour prouver l'infinitude du second ! ( raisonnement circulaire )

2/Deuxièmement, en prenant la tangente comme application de E dans F, tu omets malencontreusement comment on calcul la valeur de cette fonction en un point, par une série infinie convergente, et donc une itération/répétition/extrapolation pour la sommer, qui de surcroit fait appel à l'infini avant de pouvoir s'en servir pour le "dé"montrer encore une fois !

3/Ce que je disais donc, si à n j'associe n+1... n'est-ce pas une itération ?!

1/C'est une définition (ou un axiome), un ensemble infini est un ensemble qui peut être mise en bijection avec une partie strictement plus petite que lui.

2/Peut-être.

3/Là, non, il s'agit nullement d'une itération à n j'associe n+1 (il est nulle part question d'itération), ce qui permet de mettre en bijection N avec N*.

Oui, et comment t'y prends tu pour le vérifier ou le montrer ?

Il suffit simplement sinon de prendre l'ensemble des réels entre zéro et un et de les diviser par deux pour obtenir un ensemble entre zéro et 0.5.

C'est bien une bijection d'un ensemble dans une de ses parties.

Donc il y a une infinité de nombres entre zéro et un.

1/C'est une définition (ou un axiome), un ensemble infini est un ensemble qui peut être mise en bijection avec une partie strictement plus petite que lui.

Il suffit simplement sinon de prendre l'ensemble des réels entre zéro et un et de les diviser par deux pour obtenir un ensemble entre zéro et 0.5.

C'est bien une bijection d'un ensemble dans une de ses parties.

Infini posé comme axiome ! Ce qui ne peut pas être une conséquence de la définition mais un prérequis:

https://fr.wikipedia...Ensemble_infini

En théorie des ensemble, l'axiome de l'infini permet de construire l'ensemble des entiers naturels¹, qui est alors un ensemble infini. Avec les seuls autres axiomes de ZFC on ne peut montrer l'existence d'ensembles infinis.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l'infini

En mathématiques dans le domaine de la théorie des ensembles, l'axiome de l'infini désigne l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel qui assure l'existence d'un ensemble infini, plus précisément d'un ensemble qui contient une représentation des entiers naturels.

https://fr.wikipedia...Ensemble_infini

Un ensemble en bijection avec un ensemble infini est donc infini. On montre que l'ensemble N des entiers naturels est infini au sens de cette définition (voir l'article ensemble fini), et donc tout ensemble dénombrable est infini. On en déduit que tout ensemble contenant un ensemble dénombrable est infini.

CQFD ( ce que je disais )

3/Là, non, il s'agit nullement d'une itération à n j'associe n+1 (il est nulle part question d'itération), ce qui permet de mettre en bijection N avec N*.

Itération:

http://www.cnrtl.fr/.../it%C3%A9ration

Action de renouveler, de répéter

http://www.larousse....%A9ration/44576

Répétition d'un calcul, d'une opération, d'un raisonnement.

http://www.linternau...tion/iteration/

Action de répéter plusieurs fois.

https://fr.wikipedia.../It%C3%A9ration

En mathématiques, une itération désigne l'action de répéter un processus.

Le calcul itératif, permet l'application à des équations récursives.

Le terme « itération » vient du verbe latin iterare qui signifie "cheminer" ou de iter, "le chemin".

https://fr.wikipedia...s_it%C3%A9ratif

Le processus itératif est une séquence d'instructions destinée à être exécutée plusieurs fois et autant de fois qu'on peut en avoir besoin

Récursif:

https://fr.wikipedia...R%C3%A9currence

Couramment, la récurrence désigne le caractère répétitif d'un phénomène. Cette notion peut avoir plusieurs significations en mathématiques

https://fr.wikipedia...r%C3%A9currence

Pour démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels, comme par exemple la formule du binôme de Newton, on peut utiliser un raisonnement par récurrence. Notons la propriété en question P(n) pour indiquer la dépendance en l'entier n. On peut alors l'obtenir pour tout entier n en démontrant ces deux assertions :

• P(0) (0 vérifie la propriété) : c'est l’initialisation (ou la base) de la récurrence ;
• Pour tout entier n, (P(n) ⇒ P(n+1)) : c'est l’hérédité (on dit que P est héréditaire).

On dit alors que la propriété P s'en déduit par récurrence pour tout entier n. On précise parfois « récurrence simple », quand il est nécessaire de distinguer ce raisonnement d'autres formes de récurrence (voir la suite).

Une manière facile de visualiser²⁰ un raisonnement par récurrence consiste à faire l'analogie avec le jeu de la chute des dominos. On considère une suite infinie de dominos dont chacun porte un numéro (0,1,2,3,...) et on cherche des conditions simples pour que tous les dominos chutent. Toute personne qui aura déjà joué à ce jeu comprendra que pour que tous les dominos chutent il suffit que le premier domino (celui numéroté 0) tombe, et que la chute du domino n entraîne la chute du domino n+1. Si on note alors P(n) la propriété "le domino n tombe", alors la chute du domino 0 correspond à l'initialisation précitée, et la chute du domino n qui entraîne la chute du domino n+1 correspond à l'hérédité précitée.

Le raisonnement par récurrence est une propriété fondamentale des entiers naturels, et c'est le principal des axiomes de Peano. Une axiomatique est, en quelque sorte une définition implicite, dans ce cas une définition implicite des entiers naturels. Dans certains contextes, comme en théorie des ensembles on déduit directement la récurrence de la définition, explicite cette fois, de l'ensemble des entiers naturels.

La récurrence peut aussi s'exprimer de façon ensembliste : il s'agit juste d'une variation sur la définition d'un ensemble en compréhension. On associe à une propriété P l'ensemble E des entiers naturels la vérifiant, et à un ensemble d'entiers naturels E la propriété d'appartenance associée. La récurrence se réénonce alors de façon équivalente ainsi :

Soit E un sous-ensemble de N, si :

• 0 appartient à E
• Pour tout entier naturel n, (n appartient à E implique n+1 appartient à E)

Infini posé comme axiome ! Ce qui ne peut pas être une conséquence de la définition mais un prérequis:

https://fr.wikipedia...Ensemble_infini

En théorie des ensemble, l'axiome de l'infini permet de construire l'ensemble des entiers naturels¹, qui est alors un ensemble infini. Avec les seuls autres axiomes de ZFC on ne peut montrer l'existence d'ensembles infinis.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l'infini

En mathématiques dans le domaine de la théorie des ensembles, l'axiome de l'infini désigne l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel qui assure l'existence d'un ensemble infini, plus précisément d'un ensemble qui contient une représentation des entiers naturels.

https://fr.wikipedia...Ensemble_infini

Un ensemble en bijection avec un ensemble infini est donc infini. On montre que l'ensemble N des entiers naturels est infini au sens de cette définition (voir l'article ensemble fini), et donc tout ensemble dénombrable est infini. On en déduit que tout ensemble contenant un ensemble dénombrable est infini.

CQFD ( ce que je disais )

Justement, et c'est là où je voulais en venir, l'infini ne se résume pas à l'infini dénombrable.

Il existe les infinis indénombrables, ce que Cantor avait d'ailleurs bien vu!