Pourquoi 1=0.999999999...

1 x 0.99999... = 0.99999... = 1

Je ne vois même pas où tu veux en venir avec cette question.

Mais voyons ,c'est évident !

la première réponse que tu met aussi (en rouge) ,n'est pas 1 mais bel et bien 0,999999999...

car 1 x 0,999999999... = 0,999999999... ! sur cette seule opération ,cette seule multiplication ,c'est la seule réponse ,car seul 1 est neutre dans la multiplication .

Donc 1 n'est pas équivalent à 0,999999999... , il n'a pas les mêmes propriétés !

Je suis d'accord que 1 x 0.999... = 0.999...

Mais ça n'empêche pas que 1 x 0.999... = 1

De même j'ai 1 x (2-1) = (2-1)

Ce n'est pas pour autant que 1 x (2-1) = 1 est faux...

Il y a vraiment des gens bornés c'est grave :blush: Vous ne pensez pas aussi que la terre est plate tant qu'on y est?

Il n'y a pas de honte à ne rien comprendre aux maths, chacun son truc, mais de là à dire que tous les mathématiciens se trompent depuis des siècles...

Tu joues avec les mots sans même comprendre ce qu'ils veulent dire.

Quand on dit "limite d'une série" ça ne veut pas dire que la série se "termine", mais qu'elle se "rapproche" d'une valeur.

Si tu veux la "vraie" définition, mais je doute que tu la comprennes :

u est limite de la suite (u_n) ssi pour tout t>0 on peut trouver un N tel que n>N implique que |u-u_n|<t

Et cette définition s'applique également aux séries : il suffit de voir la série s₁ + s₂ + s₃ + ... comme étant la suite u_n = s₁ + s₂ + ... + s_n

Quand on dit que "0.9999... = 1", on dit en fait que "1 est la limite de la série 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...", ce qui en termes encore plus précis signifie donc :

"on peut choisir un t positif arbitrairement petit, on pourra toujours trouver un entier N tel que si n>N, alors |1 - (9*10^-1 + 9*10^-2 + ... + 9*10^-n)| < t".

Tu remarqueras que dans la phrase précédente, il n'y a cette fois aucune somme infinie (vu qu'apparemment c'est ça qui te troublait).

Si ce genre de phrase ne veut rien dire pour toi, c'est que tu n'as pas suffisamment écouté en classe quand tu étais à l'école... (ce ne sont pas du tout des maths de haut niveau)

Bref, il ne te reste plus qu'à trouver un t>0 pour lequel cette phrase est fausse, et là seulement tu auras prouvé que 0.9999... et 1 sont différents

Plus sérieusement (car tu ne trouveras pas de tel t>0), pourquoi ne pas aller demander sur un forum de maths? Tu pourras ainsi avoir l'avis d'étudiants, profs et chercheurs en math.

Sauf si tu penses vraiment que tous les mathématiciens se trompent depuis des siècles :blush:

Se ''rapprocher'' d'une valeur veut dire qu'on en est tout près et non que l'on y est... vous jouez avec les mots sans même comprendre ce qu'ils veulent dire cher Akarkop.

"on peut choisir un t positif arbitrairement petit, on pourra toujours trouver un entier N tel que si n>N, alors |1 - (9*10^-1 + 9*10^-2 + ... + 9*10^-n)| < t".

Essayez avec t = 10^-n et donnez m'en des nouvelles... il est positif et arbitrairement petit.

C'est un t>0 qui fera que votre phrase sera fausse. Mais vous trouverez bien un échappatoire pour dire que 1,0 et 0,9 ne seront toujours pas différents, n'est-ce pas Akarkop...

Mais comme le language mathématique est assez compliqué comme ça... je vais vous expliquer le tout en language courant.

Je vous demande à partir de la valeur 1 de retrancher la moitié de sa valeur et de garder ce qui reste... puis de retrancher la moitié de la valeur restante et de lui ajouté à nouveau et de poursuivre sans arrêt la procédure.

Autrement dit : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... ou encore

Ayant restant

1/2 1/2

+ 1/4 1/4

+ 1/8 1/8

... ...

Comme la procédure vous demande de retrancher toujours la moitié du terme restant pour l'ajouter il vous manquera donc toujours la moitié du dernier terme en date de la série pour faire que la somme de tous les termes succédant au premier (1/2) soit égale au premier (1/2).

Savez-vous pourquoi cher Akarkop... tout simplement parce qu'il vous est spécifiquement demandé d'enlever continuellement cette partie qui ferait que le premier terme (1/2) soit égal à la somme de tous les autres et de le garder dans vos mains... que c'est voulu ainsi.

Si vous arrivez en me disant que le total de tous les termes ajoutés est égal à 2 fois le premier alors je vous dirai que vous n'avez pas suivi la procédure demandée... que vous avez triché ou que vous vous êtes trompé.

Ou encore qu'il y aurait un terme qui serait indivisible et qui serait le plus petit de tous les termes possibles, et donc qu'on ne peut diviser infiniment car il y aurait une limite au nombre de division que l'on peut effectuer... mais dans ce cas celà voudrait dire que 0,9 n'est pas une suite infinie... qu'il y aurait un moment ou deux termes consécutifs de la série seraient égaux entre eux.

Mais tout ceci n'est que logique... et la logique ne conçoit pas l'infini comme le ferait les mathématiques...

Pour ce qui serait de dire que les mathématiciens se trompent depuis 200 ans alors je me demande où nous en serions si Einstein s'était dit la même chose au sujet de Newton et de ses prédécesseurs physiciens...

Mais encore vous semblez considérer les mathématiques comme si c'était une religion... vous tenez le même discours que ceux qui disent que la bible et ses dogmes seraient inattaquables... mais eux aussi construisent sur du non-vérifiable dans le réel... et leur logique se base aussi sur des définitions qu'ils inventent eux-même.

Essayez avec t = 10^-n et donnez m'en des nouvelles... il est positif et arbitrairement petit.

Prenez 0, suivit de n+1 "9".

Se ''rapprocher'' d'une valeur veut dire qu'on en est tout près et non que l'on y est...

La somme des machins est près de 1 => La limite de la somme des machins est 1.

0,99999.... ce n'est pas la somme des machins. C'est la limite de la somme des machins. Qui est 1.

La "Démonstration" suivante :

1*0.99999.... = 0.99999....

donc, de part la neutralité de l'unité, 0.99999.... est different de 1.

Prends pour hypothèse que 0.9999.... est différent de 1...

Je m'explique :

Je fais la même démonstration : supposons : 1=0.9999....

1*0.999999.... = 0.999......

1*0.99999.... = 1*1 = 1

donc 0.999.... = 1

Est ce une démonstration ?

Non... parce que ma conclusion EST mon hypothèse... ce qui ne démontre rien.

Dire que

1*0.99.... = 0.9... différent de 1

c'est partir du fait que 0.9999..... est différent de 1.

Le problème, pour la je sais plus combien tième fois, c'est que le nombre de "9" est infini. Tout comme le nombre de décimal de "pi" est infini.

On conçoit que le demi périmètre d'un cercle de rayon "1" est "pi". Ce demi périmètre n'a donc pas une valeur finie traçable. Ce qui signifie que quelque soit le demi cercle que vous tracerez, ce ne sera pas un demi cercle. Ou plutôt, que quelque soit votre outil de mesure, la longueur de demi cercle que vous mesurerez sera fausse, car finie.

Il en va de même pour 0.9999.... Ce nombre, c'est, aussi choquant que cela puisse paraitre, c'est "1". On ne peut ni écrire entièrement, ni dénombrer le nombre de caractère de 0.99999.... Et pourtant, comme "pi" il représente bien quelque chose de concret. Il s'agit d'une représentation abstraite de quelque chose de concret... comme "pi", comme "i" .

Ce qui perturbe, c'est justement que le nombre de décimal est infini. Et je le répète, à partir du moment que vous considérez que vous pouvez écrire le nombre 0.9999....... tel quel et entièrement, vous vous plantez... et tout devient faux... 0.999.... a un nombre infini de "9" tout comme "pi" a un nombre infini de décimales. ... Pourtant, je suis capable de "tracer pi" : Je fais un demi cercle de rayon 1.

Il s'agit d'une étragité des mathématique au même titre que la nature de "pi" et de racine de 2. Racine de 2 possède un nombre infini de décimales, et pourtant, c'est la diagonale d'un carré de coté "1" !!!

La quadrature du cercle a été cherchée pendant des siècles car, pendant ces siècles là, les mathématiciens n'arrivaient pas à comprendre cette idée... tout comme vous aujourd'hui. Suis je capable de tracer, à la règle et au compas, un carré qui aurait la même aire qu'un cercle ?? L'aire d'un cercle est finie, donc pourquoi pas ?? ... parce qu'il existe un nombre infini de décimale au nombre "pi".

Dire que 0.999..... n'est pas égale à 1, c'est se fonder sur son intuition (dans ce cas erronnée). Tout comme les défenseur de la possibilité de la quadrature se fondaient sur leur intuition... eux aux moins ont sus comprendre leur erreur !!

0.999..... n'est pas une notion concrète. C'est pour cela que vous n'acceptez pas l'idée qu'il soit égal à 1. Pourtant, si je vous demande d'oublier cette notation un moment, de l'oublier complètement pendant une seconde, vous conviendrez sans soucis que la limite de la série mathématique de terme u(n) = 9*10^-n est EGALE à "1".

Or, les termes de cette série s'écrivent :

0.9

0.99

0.999

0.9999

...

Et sa limite s'écrit

0.9999999.......

Et cette limite est :

Par définition des limites

Par définition des séries

Par définition de l'égalité dans les réelles

Par tous les théorèmes qui démontre la convergence de la série

...

Cette limite est égale à 1...

Donc

0.999999..... = 1

Et ce même si il est impossible de dénombre le nombre de "9", puisqu'il n'y a pas un "nombre" de "9" il y en a l'infini, et l'infini n'est pas un nombre ... (je vous rapelle que IR = ]-infini ; + infini [ ... les infini sont exclus !!!!

IR est un ensemble pourtant bien infini...

Des choses pas intuitives, il y en a un sacré paquet en maths... et celles ci en est une... Vous ne pourrez rien démontrer avec votre intuition en mathématique parceque si, comme vous, on se fie à l'intuition, alors :

pi a un nombre fini de décimale (puisque c'est la longueur d'un demi cerche de rayon 1 que je peux mesurer, intuitivement)

Il est possible de dessiner un carré de même aire qu'un cercle (puisque l'aire d'un cercle est forcément fini : je vois les bords !!)

Racine de 2 possède un nombre fini de décimales, puisque c'est la diagonale d'un carré de coté 1 et que je peux donc la mesurer ...

BREF !

Ne vous fiez pas à votre intuition. L'intuition est justement l'antithèse des mathématiques...

Aussi farfelu que cela puisse paraître 0.9=1

Il y a un grand nombre de justification présentées ici. Aucune n'a été contredites par autre choses que des

"mais quand on imagine .... " On imagine pas en mathématique... on démontre

"Mais regardez on voit bien que c'est différent !!" on ne voit rien "bien" en mathématique...

"C'est évidemment faux" ... rien n'est évident ... tout se démontre...

Intéressant Mad.

Merci...

Au fait... pour ta signature... je crois que la traduction la plus répendue est :

"Ce que je sais, c'est que je ne sais rien" ... non ? :blush: ... je sais plus ..

Tout ce que je sais, c'est que je ne sais rien, tandis que les autres croient savoir ce qu'ils ne savent pas.

Mais en grec on a toujours plusieurs traductions possibles.

Pour en revenir au sujet, je me souviens d'avoir débattu avec un prof de philo sur la notion de "limite" en mathématique. C'était très intéressant, et pas aussi évident qu'on le pense.

Prenez 0, suivit de n+1 "9".

C'est ce que je voulais dire cher Grenouille Verte... que : ⁽ⁿ⁾ = nombre de 9.

Mais Akarkop parlait d'une formule où il n'était pas question d'infini... et il n'y a pas les 3 petits points à la fin de sa formule dont le dernier terme de la somme est 9*10^-n, donc n+1 n'en fait pas partie.

Ma réponse reste t = 10^-n avec la précision qui est en gras sur la première ligne de ma présente réponse.

La somme des machins est près de 1 => La limite de la somme des machins est 1.

0,99999.... ce n'est pas la somme des machins. C'est la limite de la somme des machins. Qui est 1.

Dans ce cas puisque 1 est une somme de machins quelconques et que 0.9 est une limite de somme de machins... on mélange des pommes et des oranges.

Vous cachez simplement derrière une définition le fait que 0,9 et 1,0 sont à peu près la même chose... or une somme et une limite n'ont pas la même nature. Tout comme une pomme et une orange ne sont pas la même chose.

La "Démonstration" suivante :

1*0.99999.... = 0.99999....

donc, de part la neutralité de l'unité, 0.99999.... est different de 1.

Prends pour hypothèse que 0.9999.... est différent de 1...

Je m'explique :

Je fais la même démonstration : supposons : 1=0.9999....

1*0.999999.... = 0.999......

1*0.99999.... = 1*1 = 1

donc 0.999.... = 1

Est ce une démonstration ?

Non... parce que ma conclusion EST mon hypothèse... ce qui ne démontre rien.

Dire que

1*0.99.... = 0.9... différent de 1

c'est partir du fait que 0.9999..... est différent de 1.

Le problème, pour la je sais plus combien tième fois, c'est que le nombre de "9" est infini. Tout comme le nombre de décimal de "pi" est infini.

On conçoit que le demi périmètre d'un cercle de rayon "1" est "pi". Ce demi périmètre n'a donc pas une valeur finie traçable. Ce qui signifie que quelque soit le demi cercle que vous tracerez, ce ne sera pas un demi cercle. Ou plutôt, que quelque soit votre outil de mesure, la longueur de demi cercle que vous mesurerez sera fausse, car finie.

Il en va de même pour 0.9999.... Ce nombre, c'est, aussi choquant que cela puisse paraitre, c'est "1". On ne peut ni écrire entièrement, ni dénombrer le nombre de caractère de 0.99999.... Et pourtant, comme "pi" il représente bien quelque chose de concret. Il s'agit d'une représentation abstraite de quelque chose de concret... comme "pi", comme "i" .

Ce qui perturbe, c'est justement que le nombre de décimal est infini. Et je le répète, à partir du moment que vous considérez que vous pouvez écrire le nombre 0.9999....... tel quel et entièrement, vous vous plantez... et tout devient faux... 0.999.... a un nombre infini de "9" tout comme "pi" a un nombre infini de décimales. ... Pourtant, je suis capable de "tracer pi" : Je fais un demi cercle de rayon 1.

Il s'agit d'une étragité des mathématique au même titre que la nature de "pi" et de racine de 2. Racine de 2 possède un nombre infini de décimales, et pourtant, c'est la diagonale d'un carré de coté "1" !!!

La quadrature du cercle a été cherchée pendant des siècles car, pendant ces siècles là, les mathématiciens n'arrivaient pas à comprendre cette idée... tout comme vous aujourd'hui. Suis je capable de tracer, à la règle et au compas, un carré qui aurait la même aire qu'un cercle ?? L'aire d'un cercle est finie, donc pourquoi pas ?? ... parce qu'il existe un nombre infini de décimale au nombre "pi".

Dire que 0.999..... n'est pas égale à 1, c'est se fonder sur son intuition (dans ce cas erronnée). Tout comme les défenseur de la possibilité de la quadrature se fondaient sur leur intuition... eux aux moins ont sus comprendre leur erreur !!

0.999..... n'est pas une notion concrète. C'est pour cela que vous n'acceptez pas l'idée qu'il soit égal à 1. Pourtant, si je vous demande d'oublier cette notation un moment, de l'oublier complètement pendant une seconde, vous conviendrez sans soucis que la limite de la série mathématique de terme u(n) = 9*10^-n est EGALE à "1".

Or, les termes de cette série s'écrivent :

0.9

0.99

0.999

0.9999

...

Et sa limite s'écrit

0.9999999.......

Et cette limite est :

Par définition des limites

Par définition des séries

Par définition de l'égalité dans les réelles

Par tous les théorèmes qui démontre la convergence de la série

...

Cette limite est égale à 1...

Donc

0.999999..... = 1

Et ce même si il est impossible de dénombre le nombre de "9", puisqu'il n'y a pas un "nombre" de "9" il y en a l'infini, et l'infini n'est pas un nombre ... (je vous rapelle que IR = ]-infini ; + infini [ ... les infini sont exclus !!!!

IR est un ensemble pourtant bien infini...

Des choses pas intuitives, il y en a un sacré paquet en maths... et celles ci en est une... Vous ne pourrez rien démontrer avec votre intuition en mathématique parceque si, comme vous, on se fie à l'intuition, alors :

pi a un nombre fini de décimale (puisque c'est la longueur d'un demi cerche de rayon 1 que je peux mesurer, intuitivement)

Il est possible de dessiner un carré de même aire qu'un cercle (puisque l'aire d'un cercle est forcément fini : je vois les bords !!)

Racine de 2 possède un nombre fini de décimales, puisque c'est la diagonale d'un carré de coté 1 et que je peux donc la mesurer ...

BREF !

Ne vous fiez pas à votre intuition. L'intuition est justement l'antithèse des mathématiques...

Aussi farfelu que cela puisse paraître 0.9=1

Il y a un grand nombre de justification présentées ici. Aucune n'a été contredites par autre choses que des

"mais quand on imagine .... " On imagine pas en mathématique... on démontre

"Mais regardez on voit bien que c'est différent !!" on ne voit rien "bien" en mathématique...

"C'est évidemment faux" ... rien n'est évident ... tout se démontre...

Le problème des mathématiques est surtout qu'en posant l'infini comme existant elle fait face au problème de la précision infinie d'une mesure... à l'incommensurable et à ce qui n'a aucune commune mesure.

Mais c'est sans doute parce que justement elle ne fait aucune commune mesure avec la réalité.

Prenez un cercle, c'est une courbe à la base qui s'étend sur 2 dimension et les mathématiques voudraient bien qu'elle soit mesurable ou estimable avec un étalon qui n'en a qu'une seule et représenté exactement avec une seule dimension de longueur... une ligne plate (longueur) pour mesurer à la fois ce qui s'étend en longueur et en largeur...

Pourtant la physique estime qu'il y aurait une plus petite longueur (minimale)... et qu'il y aurait un nombre maximal d'éléments existant dans l'univers. Mais pas les mathématiques.

J'ai donné un exemple sur la suite 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... qui fait que par définition vous ne pouvez en réalité obtenir la quantité 1 au final... personne n'a jugé bon de la reprendre ou de détruire l'argument... surement parce que votre intuition entre en jeu et que la logique veut que ce soit impossible.

Mais revenons plutôt au fait de la cohérence mathématiques sur laquelle est construit son édifice... le raisonnement par récurrence en l'occurence... voici le lien pour plus de précision :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_...r%C3%A9currence

qui se résume ainsi :

Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants :

• Une propriété est satisfaite par l'entier 0 ;
  
• Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle doit être satisfaite par son successeur, c'est-à-dire, le nombre entier n+1.
  

Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

Je vous propose la propriété suivante : Y(X) tel que (X) multiplié par lui-même = lui-même.

1-) comme Y(0) = 0 (0*0 = 0)

2-) comme 0 est un entier naturel et 1 aussi qui est son successeur (0+1 = 1)

3-) comme Y(1) = 1 (1*1 = 1)

4-) alors Y(2) = 2 (2*2 = 2) puisque la propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

Verriez-vous une contradiction avec la façon de multiplier les entiers naturels... ou encore l'invalidité logique du principe de raisonnement par récurrence en mathématiques...

Si à la base il y a contradiction dans la façon de raisonner alors ne pourrait-on pas dire que l'édifice mathématiques repose sur une contradiction ou une non-cohérence.

Mais vous n'en aurez surement pas l'intuition...

Mais Akarkop parlait d'une formule où il n'était pas question d'infini... et il n'y a pas les 3 petits points à la fin de sa formule dont le dernier terme de la somme est 9*10^-n, donc n+1 n'en fait pas partie.

Je vois, vous n'avez pas compris la définition de limite. Dans la définition donnée, t ne peut pas dépendre de n.

Je rappelle cette définition :

Si tu veux la "vraie" définition, mais je doute que tu la comprennes :

u est limite de la suite (un) ssi pour tout t>0 on peut trouver un N tel que n>N implique que |u-un|<t

Mais revenons plutôt au fait de la cohérence mathématiques sur laquelle est construit son édifice... le raisonnement par récurrence en l'occurence... voici le lien pour plus de précision :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_...r%C3%A9currence

qui se résume ainsi :

Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants :

• Une propriété est satisfaite par l'entier 0 ;
  
• Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle doit être satisfaite par son successeur, c'est-à-dire, le nombre entier n+1.
  

Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

Je vous propose la propriété suivante : Y(X) tel que (X) multiplié par lui-même = lui-même.

1-) comme Y(0) = 0 (0*0 = 0)

2-) comme 0 est un entier naturel et 1 aussi qui est son successeur (0+1 = 1)

3-) comme Y(1) = 1 (1*1 = 1)

4-) alors Y(2) = 2 (2*2 = 2) puisque la propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

Verriez-vous une contradiction avec la façon de multiplier les entiers naturels... ou encore l'invalidité logique du principe de raisonnement par récurrence en mathématiques...

Si à la base il y a contradiction dans la façon de raisonner alors ne pourrait-on pas dire que l'édifice mathématiques repose sur une contradiction ou une non-cohérence.

Mais vous n'en aurez surement pas l'intuition...

J'ai mis en rouge gras la partie que vous avez "oublié" de montrer pour faire votre raisonnement par récurrence.

Certains devraient réviser la notion de limite sur un espace topologique, ce me semble.

Un conseil appuyé.

Je vois, vous n'avez pas compris la définition de limite. Dans la définition donnée, t ne peut pas dépendre de n.

Je rappelle cette définition :

''... "on peut choisir un t positif arbitrairement petit, on pourra toujours trouver un entier N tel que si n>N, alors |1 - (9*10^-1 + 9*10^-2 + ... + 9*10^-n)| < t".

Tu remarqueras que dans la phrase précédente, il n'y a cette fois aucune somme infinie (vu qu'apparemment c'est ça qui te troublait).

Voici la citation exacte de Akarkop cher Grenouille Verte, j'ai choisi un t positif arbitrairement petit... et ma réponse demeure t = 10^-n tel que n est le nombre de 9 suivant la virgule... à vous de trouver un N tel que si n>N, alors |1-(9/101 + 9/102 + ... + 9/10n)| < t soit vrai.

Peu m'importe la définition de limite... ici on parle du nombre 0,9 qui serait égal au nombre 1... Dites seulement que 0,9 n'est pas un nombre et ça m'ira... comme ça on pourra dire que ce qui n'est pas un nombre (0,9) est égal à un nombre (1,0).

J'ai mis en rouge gras la partie que vous avez "oublié" de montrer pour faire votre raisonnement par récurrence.

1-) 0 est un certain nombre entier naturel (n).

2-) 1 est son successeur.

3-) La propriété est Y tel que Y(X) est la multiplication par lui-même de X donnant X comme résultat.

4-) La propriété satisfait à la fois 0 et 1 (n + 1).

5-) Donc selon le principe la propriété s'applique à tous les nombres entiers naturels.

Où est le problème cher Grenouille Verte... voici ce que vous avez mis en gras :

Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle doit être satisfaite par son successeur, c'est-à-dire, le nombre entier n+1.

auquel j'ajoute la conclusion que vous n'avez pas citée :

Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

Le problème des mathématiques est surtout qu'en posant l'infini comme existant elle fait face au problème de la précision infinie d'une mesure... à l'incommensurable et à ce qui n'a aucune commune mesure.

Mais c'est sans doute parce que justement elle ne fait aucune commune mesure avec la réalité.

Définir : "mesure" en mathématiques...

Prenez un cercle, c'est une courbe à la base qui s'étend sur 2 dimension et les mathématiques voudraient bien qu'elle soit mesurable ou estimable avec un étalon qui n'en a qu'une seule et représenté exactement avec une seule dimension de longueur... une ligne plate (longueur) pour mesurer à la fois ce qui s'étend en longueur et en largeur...

Faux... les mathématiques se foutent bien que ce soit mesurable ou non... elle ne s'interesse qu'aux proprité de l'objet, sans prendre en compte sa réalité physique. Mais uniquement sa réalité mathématique ce qui est très différent.

Pourtant la physique estime qu'il y aurait une plus petite longueur (minimale)... et qu'il y aurait un nombre maximal d'éléments existant dans l'univers. Mais pas les mathématiques.

Idem que précédemment

Et en prime : c'est pour cela qu'on appelle "Physique", la physique et "mathématiques" les mathématiques... Jusqu'à preuve du contraire il s'agit bien de deux choses différentes, ne serait ce que par la nature des objet étudiés, comme dit précédemment...

J'ai donné un exemple sur la suite 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... qui fait que par définition vous ne pouvez en réalité obtenir la quantité 1 au final... personne n'a jugé bon de la reprendre ou de détruire l'argument... surement parce que votre intuition entre en jeu et que la logique veut que ce soit impossible.

Fichtre... mais il n'y a donc pas assez d'écho ici ?? :blush: ... Cet argument a été litérallement écrasé par le ce que je répète depuis des lustres : on n'obtient pas "1" AU FINAL puisque qui dit "final" dit "fin" et qui dit "fin" dit "fini"... or, nous parlons de limite INFINI !!!! ... Il ne s'agit pas d'intuition... il s'agit de définition...

Mais revenons plutôt au fait de la cohérence mathématiques sur laquelle est construit son édifice... le raisonnement par récurrence en l'occurence... voici le lien pour plus de précision :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_...r%C3%A9currence

qui se résume ainsi :

Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants :

• Une propriété est satisfaite par l'entier 0 ;
  
• Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle doit être satisfaite par son successeur, c'est-à-dire, le nombre entier n+1.
  

Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

Je vous propose la propriété suivante : Y(X) tel que (X) multiplié par lui-même = lui-même.

1-) comme Y(0) = 0 (0*0 = 0)

2-) comme 0 est un entier naturel et 1 aussi qui est son successeur (0+1 = 1)

3-) comme Y(1) = 1 (1*1 = 1)

4-) alors Y(2) = 2 (2*2 = 2) puisque la propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

Je ne vois pas de démonstration par récurence...

Et par contre, moi je peux proposer une contre démonstration cohérente.

Soit Y(X) la propriété telle que X*X=X, X appartient à IR. (donc X n'est pas infini, notez le bien...)

La propriété Y(X) est strictement équivalente à

X²-X=0

<=> X*(X-1)=0

<=> X=0 ou X= 1

La propriété Y(X) n'est vrai que pour les entiers X=0 et X=1

Vous par contre, ne démontrez pas de récurence : vous n'avez pas montrez la chose suivante (cf : idem que ce que grenouille dit...) :

Quelque soit X de IR,

SI Y(X) vraie

ALORS Y(X+1) vraie

La démonstration que j'ai faite est sufisante pour démontrer que le "théorème" précédent est faux...

Donc, vous venez de vous écraser contre un mur...

Verriez-vous une contradiction avec la façon de multiplier les entiers naturels... ou encore l'invalidité logique du principe de raisonnement par récurrence en mathématiques...

Non, je ne vois pas, je démontre... et je démontre que votre récurence est fausse... (attention... je préfère maintenant prendre des gant... on ne sais jamais, je précise bien que je démontre que VOTRE récurence est fausse... pas que le principe général de la récurrence est faux... nuance...)

Si à la base il y a contradiction dans la façon de raisonner alors ne pourrait-on pas dire que l'édifice mathématiques repose sur une contradiction ou une non-cohérence.

Il n'y a à la base aucune contradiction... par contre, à force de regarder la base, vous avez oublier de regarder devant vous... et là... il y avait un mur... "paf... le mur"

Mais vous n'en aurez surement pas l'intuition...

Surement pas...

Cette limite est égale à 1...

Donc

0.999999..... = 1

Vous remettez en causes les mathématiques que j'ai appris au lycée :blush: , mes profs de math m'ont toujours appris qu'une limite est une valeur inatteignable .

1-) 0 est un certain nombre entier naturel (n).

2-) 1 est son successeur.

3-) La propriété est Y tel que Y(X) est la multiplication par lui-même de X donnant X comme résultat.

4-) La propriété satisfait à la fois 0 et 1 (n + 1).

Non : il faut le démontrer quelque soit n

5-) Donc selon le principe la propriété s'applique à tous les nombres entiers naturels.

Où est le problème cher Grenouille Verte... voici ce que vous avez mis en gras :

Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle doit être satisfaite par son successeur, c'est-à-dire, le nombre entier n+1.

Autrement dit : Il faut le démontrer pour X= entier quelconque... non pas pour X= un entier en particulier

auquel j'ajoute la conclusion que vous n'avez pas citée :

Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

Vous remettez en causes les mathématiques que j'ai appris au lycée :blush: , mes profs de math m'ont toujours appris qu'une limite est une valeur inatteignable .

Oui, et alors ?

EDIT : Pour éviter la mésentente : non, nous ne remmetons rien en cause du tout !! , oui une limite est inatégnable

Une limite (convergente) reste une valeur... que la suite l'atteigne ou non, il s'agit bel et bien d'une valeur... dans le cas de 0.9999... qui est la limite de la série de terme u(n)= 9*10^-n , la valeur de cette limite est "1".

D'où 0.9999... = 0.9 = lim(Somme U(n) ) = 1

... il n'y a que des égalité, donc

0.99999.... = 1