Aller au contenu

Un bon résumé de la physique quantique

Noter ce sujet


unjour

Messages recommandés

Annonces
Maintenant
Membre, Posté(e)
lumic Membre 10 302 messages
Maitre des forums‚
Posté(e)
il y a une heure, zenalpha a dit :

Lisez des livres !

Et à bientôt...

A bientôt ...

  • Like 1
Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 480 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)
il y a 40 minutes, Hérisson_ a dit :

P01.png.971f4545251abe709ed29079e1478dea.png

 

 

 

Je n'ai d'autant pas de gène à en parler que, ... sur ce forum, j'en ai très souvent parlé...tu dois être un des seuls à ne pas la connaître...au moins un des deux domaines.

Sauf que je te crois... sincerement, très très atteint psychologiquement.

Tu as une haine envers moi sans mesure.

Aller traquer n'importe quelle imprécision de forme sans intérêt, m'insulter au travers même des écrits de nobel..., ne plus avoir le moindre discernement 

Bref...je te pense potentiellement dangereux et je ne te parle même pas de ce forum...

Je t'omnibule au point de tenter de me retrouver ici ou là...ça m'a...stupefait..

Hors je suis retrouvable en effet...et pas par un pseudo...

Plus aucun de tes écrits ne tourne sur ce sujet mais sur de l'ad hominem d'un niveau.... totalement catastrophique 

Rassure toi.

Hier je regardais le poids des réseaux sociaux dans le fonctionnement des individus 

Et d'une certaine manière, je passe toujours ici pour d'une certaine manière ouvrir ceux qui le souhaitent, au moins a minima... du net vers des univers beaucoup plus intéressants que toi et moi.

Toujours est il que si je ne suis pas "viré du forum" pour réaliser ton rêve le plus cher, je pense que je suis désormais néfaste par rapport à mes objectifs sur ce forum

Donc je fais pause ĺa dessus, peu importe j'ai pas mal de boulot....

Et je te souhaite d'utiliser cet espace que je te fais pour combler ce vide en toi.

Avec ce message

 

Modifié par zenalpha
Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 480 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)
Le 09/11/2020 à 15:51, zenalpha a dit :

Il faut que je parle des états de Rydberg pour introduire les expériences d'electrodynamique quantique en cavité.

Parce qu'à l'inverse, lorsqu'un atome est porté dans un etat de Rydberg, les dimensions sur lesquelles s'etend la fonction d'onde électronique devient gigantesque par rapport a ce qu'elles sont dans l'etat fondamental.

Historiquement Rydberg est le physicien qui avait etabli fin 19eme la formule donnant les longueurs de transition reliant les états très excités dénommés "états de Rydberg" par rapport à l'etat fondamental de l'atome.

Celà avait conduit Böhr a son modèle quantique de l'atome où ces orbites sont un élément fondamental du modèle 

Sémantiquement on désigne par "atomes de Rydberg" les atomes qui sont portés à ces niveaux 

Ce ne sont pas mon petit herisson des nouveaux éléments de la classification périodique...les cherche pas dans ton tableau...

Ce sont des atomes ordinaires qui ont ce qualificatif pendant les instants où leur électron périphérique ORBITE loin du noyau de l'atome.

Depuis Rydberg et Böhr, on repère l'énergie de ces etats par un nombre quantique principal n, l'energie de liaison de l'electron avec le noyau décroissant comme la fonction 1/nxn

On parle d'états de Rydberg lorsque n est superieur à 10...

Haroche va préparer des atomes de Rydberg pour ses expériences avec n = 50 et n = 51 !!!

C'est 2 500 fois plus grand qu'un atome fondamental de l'ordre de 0,25 micron

C'est comme si monsieur Tompkins se retrouvait loin du coeur du noyau @Hérisson_

Voici ce qu'écrit Haroche 

"L'analogie avec l'astronomie me motiva également. Elle fut comme on l'a vu au premier chapitre ma première passion scientifique.

L'electron de Rydberg gravitant autour du coeur atomique peut-être comparé à une planète tournant autour du soleil 

Certes c'est un système quantique pour lequel la notion de trajectoire n'a pas vraiment de sens mais l'image classique en termes d'orbites de Bohr reste néanmoins utile pour décrire le système et évaluer les ordres de grandeur des différents paramètres qui le definissent"

Je reviens juste "boucler ce point" pour ne pas le laisser en suspension 

Les expériences d'Haroche lui ont valu ce nobel en 2012 et consistent à étudier le phénomène de décohérence en parvenant à observer "de manière douce et non destructive" les superpositions d'états quantique dits "chats de Schrodinger"

Les atomes de Rydberg sont créés a partir d'atomes de rubidium

Ils sont refroidis afin d'élargir les phases par irradiation laser puis injectés dans la cavité où se déroule "la rencontre avec un ou plusieurs photons" par une impulsion laser verticale 

Ils sont d'abord préparés dans cet état de Rydberg circulaire à l'intérieur de cette cavité en leur faisant subir une excitation optique suivie...par cette interaction avec un champ de radiofréquence polarisé circulairement, produit par les électrodes entourant les miroirs de la cavité 

En gros chaque atome de Rydberg circulaire traverse la cavité et on le laisse interagir au champ de la cavité alors qu'il la traverse en une centaine de microseconde quand la durée de vie DU (ou des selon l'expérience) photon est de 220 microseconde

En injectant les atomes un par un, et en répétant l'expérience un grand nombre de fois de manière non destructive pour le photon (quantum non demolition), chaque atome et et le champ échangent donc réversiblement un quantum d'énergie (le photon)

Au minimum et au maximum de chaque oscillation de Rabi, ce système atome + photon se trouve dans un état intriqué ET superposé

On peut aussi "observer un photon" sans le détruire 

Les atomes de Rydberg se succèdent dans la cavité au rythme de 200 par seconde et mesurent sans le détruire le photon détecté dans les états e (n=51) et g(n=50)

Le signal créé par ce passage enregistre une succession d'états identiques (50 ou 51) interrompus par des sauts quantique qui correspondent d'un état à l'autre à la naissance ou à la mort d'un photon 

Voici une vidéo que j'ai tirée des ressources proposées par Bobroff pour comprendre comment une mesure est destructive quand une étude par ce genre d'expériences necessite des stratagèmes ingenieux inspirée de cette expérience..

Cette fois-ci je m'eclipse pour de bon

En espérant ne pas être insulté.

Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 480 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)
Il y a 6 heures, Hérisson_ a dit :

image.png.2c7fe6a198b7112b7b8726c601659449.png

 

 

Apprend à éviter de coller de belles images sur ce forum et sur ce topic pour permettre des réponses ciblées...

Apprend à te focaliser sur un sujet et éviter le hors sujet...

Et apprend à éviter le ad hominem qui est ta spécialité ..

C'est tout ce que je te demande 

Pense à une consultation psychiatrique quand même...

Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 480 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)

Nouvelle video extraordinaire pour évoquer...le champ... l'integrale de chemins de Feynman...le principe de moindre action appliqué en mécanique quantique 

Une chaîne extraordinaire que je recommande vivement 

 

Modifié par zenalpha
Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, 75ans Posté(e)
Pratika Membre 1 517 messages
Mentor‚ 75ans‚
Posté(e)
Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 480 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)
Il y a 1 heure, Pratika a dit :

Merci donc l'interprétation de Penrose n'est pas confirmée.

Je suis originaire par mon grand père du gran sasso

J'avais donc évoqué l'hypothèse de Ghirardi qui est cité dans ton article en 4eme hypothèse de mon post du 4/9:

et cette interprétation  n'est pas très connue

Forza italia

Le 04/09/2020 à 15:55, zenalpha a dit :

Quel est le mystère principal de la mécanique quantique et est-on en passe de la resoudre ? 

Comment l'experimentateur peut-il, en effectuant des mesures, provoquer l'effondrement de la fonction d'onde ? Ce nuage de probabilités quantique 

L'équation de Schrodinger ne prévoit pas l'effondrement de la fonction d'onde...donc quel est ce problème de la mesure ?

Toutes les interprétations donnent la même représentation, pourtant, leur modus operandi est radicalement différent 

Bohr considerait cette question sans intérêt...tenter de comprendre comment et quand la fonction d'onde probabiliste abandonne ses potentialités à l'exception d'une seule, celle qui definira un nombre defini sur un appareil de mesure, n'a pas lieu d'être considéré, seul le résultat des mesures meriterait notre attention 

Cette position aurait stoppé net les recherches en cavité entreprises par Haroche afin d'étudier les conditions de la decoherence...

Et surtout, malgré l'effet sedatif de cette posture, on ne peut s'empêcher de chercher la nature de l'interface entre notre réalité classique et cette réalité multiple cachée dans les espaces mathématiques de Hilbert pour ce qui concerne le formalisme.

Et justement, une première posture dont les origines remontent à Heisenberg consiste à abandonner l'idée d'une réalité objective de ce nuage quantique...la fonction d'onde n'étant que le reflet de notre ignorance de la veritable position de l'electron donc que l'electron aurait bien une position mais que cette dernière nous echapperait...

Très bien mais comment diable expliquer qu'aujourd'hui, les expériences en cavité nous montre une réelle supperposition d'états ?

Ça ne tient plus vraiment...

Celle d'Everett a été signalée qui refuse l'effondrement de la fonction d'ondes pour une réalisation concrète de toutes les situations dans des univers distincts.

Dans l'un de ces univers vous lisez mes lignes, dans un autre, vous êtes à l'opéra dans un autre, vous êtes mort...chaque potentialité de realisation quantique ouvrirait une réalisation classique potentiellement différentes comme s'il y avait une ramification d'une infinité d'espace temps.

Mathématiquement, c'est élégant puisque, finalement, il n'y a plus à expliquer l'effondrement de la fonction d'onde...mais...du point de vue physique, pour quel prix ? Puisqu'on est bien obligés de se demander comment de telles duplications d'univers entiers se realisent...

Bohm imaginait la fonction d'onde...comme un autre élément distinct de la réalité, existant en plus de la particule elle même. Pour lui, la particule n'est pas onde ou particule (principe de complémentarité de Bohr) mais onde et particule et la fonction d'onde guiderait la particule.

Pour perdre définitivement @DroitDeRéponse dans la compréhension académique des expériences des fentes de Young, ça signifie que la particule traverserait l'une ou l'autre des fentes alors que la fonction d'onde traverserait les deux en guidant la particule ...lol....tu respires encore ?

Et donc il n'y aurait pas d'effondrement de la fonction d'onde puisque cet effondrement apparant marquerait la réelle position que l'on a découvert 

(Je ferme cette interprétation, reviens sur ta compréhension dans l'interprétation académique ddr...)

Une 4eme interprétation portée par Ghirardi modifiait l'équation de Schrodinger elle même en proposant que cette équation soit instable par nature...spontanément, un effondrement 1 fois par milliard d'années mais à l'échelle du nombre d'atomes dans nos instruments de mesure...bien suffisamment de probabilité pour faire s'effondrer la fonction d'onde...

Une dernière que j'evoquerais est celle totalement idéaliste ou c'est notre conscience qui serait la nature de la réalité ultime avec des variantes selon lesquelles notre observation consciente serait nécessaire pour créer cet effondrement (contrairement a Einstein qui aime a penser que la lune est la même quand il ne la regarde pas) et d'autres pour qui, c'est nous, observateurs, qui figeons dans les histoires potentielles de l'univers celles qui nous sont compatibles pour notre existence (approche top down d'Hawking, celle que Klein n'a pas saisi ddr...)

On a donc l'embarras du choix mais....est ce que les travaux d'Haroche sur la ... decoherence... ne nous amène pas un éclairage nouveau ?

Après tout...seul son dispositif peut mesurer les etats quantique chats de Schrodinger et les conditions de la decoherence...non ? A suivre...

Y/c en religion forza italia...post suivant...

 

Modifié par zenalpha
Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 480 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)
Il y a 9 heures, zenalpha a dit :

Majorana fait partie des génies atypiques et extraordinaires qui me fascinent.

Le 28 mars 1938, Enrico Fermi sur le point d'obtenir son Nobel apprend la disparition de son confrère sicilien introuvable et écrit directement à Mussolini qui l'avait nommé membre de l'académie royale d'Italie pour le retrouver.

Fermi expliquait à Cocconi, son jeune collaborateur qui n'a fait que croiser Majorana qu'existaient 3 catégories de scientifiques

Les seconds couteaux plus ou moins aptes et parfois inaptes a se relier au centre même des considérations scientifiques

Les scientifiques de premier rang dans lequel Fermi se rangeait qui parviennent à des développements importants pour le développement de leur science 

Et les génies, seuls capables de percées decisives et de révolutions conceptuelles

Et si Fermi range Majorana dans les génies, il ajoutait que lui manquait le pragmatisme ordinaire sans lequel la vie quotidienne tourne facilement au désastre 

A 20 ans, subjugué par Fermi qui n'a que ... 25 ans... et qui a côtoyé à l'université de Gottingen Max Born, Heisenberg, Jordan puis à celle de Leyde Ehrenfest, fait la connaissance d'Einstein et Lorentz...Majorana abandonne ses etudes d'ingénieur pour la physique 

Il rejoint les "ragazzi di via Panisperna" à Rome coopté par Segrè

Et très vite, il étonne ses collègues par son...génie a l'image d'Evariste Galois en mathématiques par exemple...un génie...effrayant capable d'effectuer en 30 secondes un calcul d'integrales complexes demandant grand nombre d'étapes 

Mais plus que la vitesse de calcul, il theorise comme Mozart compose, la physique théorique quantique est sa respiration naturelle 

Il s'exprime peu mais son esprit critique perçant impressionne tout le monde et il pourfend la médiocrité et l'esbrouffe

Un modèle d'homme pour sa vision d'arbitre, on le surnomme "le grand inquisiteur" qui a ce seul pouvoir de parler d'égal à egal dans le groupe avec Fermi dit "le pape"

Ses années prolixes "reconnues" furent 1931 et 1932, je ne reviens pas sur ses productions académiques avérées mais c'est davantage dans ses illuminations que réside son génie

Par exemple...comme Feynman.. novateur en méthode et nouveaux formalismes, .il invente mais ici...seul...une nouvelle méthode de représentation des groupes qui démontre qu'on peut generaliser les équations qui obéissent à la fois au principe de relativité et de mécanique quantique des spin demi entier (travail fait par Dirac) à toutes les valeurs de spin.

Quand Frédéric et Irène Joliot-Curie publient un article en 32 en interprétant a tort un "rayonnement pénétrant", c'est le seul qui comprend qu'il ne s'agit pas de rayons gamma...

"Stronzi !" Il comprend qu'il s'agit de l'expression expérimentale du proton neutre, le neutron, suggéré en 1920 par Rutherford a Cambridge 

Il construit un 3 jours un nouveau modèle concernant le noyau atomique...avec neutron...permettant de rendre compte d'effets préalablement inexpliqués pour le deuterium et l'helium

Il déprime, il lit schopenhauer pour qui "la vie oscille de droite à gauche, de la souffrance à l'ennui"...se plonge dans les...tragedies de Shakespeare...lit Pirandello son compatriote qui vient de mourir, sa libido pour la physique et la vie s'évanouit.. ne va même plus chez le coiffeur, s'isole...

L'abîme le coupe du monde.

Ses amis paparazzi le sortent de son trou et encore une fois pour une vision venue d'on ne sait ou...

Pour Dirac...les particules sont susceptibles de se trouver dans des etats dits à énergie négative dans sa formulation de 31 de théorie symétrique de l'electron et du positron

Ces particules sont en nombre infini et constituent "la mer de Dirac" qui n'est pas observable directement

Mais si une particule quitte sous l'influence d'un événement et quitte cette charge négative pour devenir positive, elle devient dès lors observable et le "trou" laissé dans la mer le devient également 

Majorana...corrige cette vision...

Dans le nouveau modèle, les particules neutres (neutron dont j'ai parlé et aussi neutrino) sont identiques à leur anti particule 

Il s'appuie sur des symétries abstraites dont ... personne n'a connaissance pour les appliquer à des particules dont personne ne sait experimentalement si elles existent...

On ne sait que depuis...1998 que les neutrinos sont bel et bien massifs et il y a encore des tentatives pour détecter la "double désintégration béta" ou ce serait simultanément deux électrons et deux neutrinos émis par le noyau atomique conformément aux prédictions de Majorana...

Pirandello...soulignait dans ses oeuvres le danger de la réflexion portée à l'excès

Qui sait si ses travaux prophétiques au travers la détection des neutrinos ne rendront pas hommage à celui...qui aurait été le seul à les imaginer exactement comme elles sont...

Et puisque je parlais de Feynman...en..2006...Salvatore Esposito a découvert des manuscrits de Majorana contenant l'intégralité du formalisme de ... l'electrodynamique quantique...redeveloppe en parallèle par Feynman 30 ans plus tard.

Conscient que ses travaux....comme ceux de Galois...ne seraient pas compris par son temps, Majorana les avait donné à un de ses étudiants....Senatore....avec l'enveloppe contenant ce formalisme le jour même de sa disparition...

 

Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, 75ans Posté(e)
Pratika Membre 1 517 messages
Mentor‚ 75ans‚
Posté(e)
Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 480 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)
Le 19/11/2020 à 19:12, lumic a dit :

J'ai pu écouter ce matin en bricolant dans mon garage 

C'est une émission de ... très haute réflexion..sur le rôle de l'observateur en mécanique quantique 

J'ai appris un point sur l'interprétation de Rovelli, une précision disons

Conférence qui de mon point de vue, nécessite pour en saisir l'intérêt un niveau de base conséquent mais dont chacun tirera profit

Il y a un point sur lequel je dois me remettre en cause

C'est la philosophie de Deleuze

J'en viens a me dire que je n'ai du strictement rien comprendre 

Un petit chantier philosophique pour le coup

Merci bcp

il y a 42 minutes, Pratika a dit :

Merci

Son dernier livre évoque largement son rapport et..le rapport de la société a la science 

Mais c'est un livre qui, pour le coup, est incompréhensible sur la fin pour qui n'a rien suivi de son aventure 

J'ai du relire dix fois certains passages

Mais livre fa bu leux sur la lumière 

Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, Posté(e)
lumic Membre 10 302 messages
Maitre des forums‚
Posté(e)
il y a 53 minutes, zenalpha a dit :

J'ai pu écouter ce matin en bricolant dans mon garage 

C'est une émission de ... très haute réflexion..sur le rôle de l'observateur en mécanique quantique 

J'ai appris un point sur l'interprétation de Rovelli, une précision disons

Conférence qui de mon point de vue, nécessite pour en saisir l'intérêt un niveau de base conséquent mais dont chacun tirera profit

Il y a un point sur lequel je dois me remettre en cause

C'est la philosophie de Deleuze

J'en viens a me dire que je n'ai du strictement rien comprendre 

Un petit chantier philosophique pour le coup

Merci bcp

Salud ...

En fait dans la transmission du savoir et des connaissances , que ce soit par d ' autres , vous mêmes ou de moi un tout petit peu  , me semble que l ' intérêt passe par ce lien entre les personnes , ce pourquoi le monde peut être ouvert  ...

Entre le temps d ' écoute , de disponibilité et l ' intention de se pencher sur les liens , les vidéos et les réflexions de chacun , me semble que nous ouvrons cette  capacité d ' écoute et de transmission par ce lien qui finalement réunit toute chose ...

Dernièrement je viens d ' apprendre que le cerveau ressemblerait à l ' agencement de l ' univers , bon ? 

Cela peut laissé assez perplexe à un tas d ' interprétations possibles mais on peut aussi  admettre cette ressemblance ,  assez normale si même elle peut paraître très étonnante ...

Ce qui peut gêner dans l ' histoire est que cette ressemblance puisse  être déconcertante alors on parlera plutôt de coïncidence pour resté prudent ...

Certes faut l ' être mais n ' empêche mon intime conviction est que tout soit relié d ' une façon ou d ' une autre de " l ' infiniment " grand à " l ' infiniment " petit comme une simple cohésion de tout ce qui est ...

A l ' image du cerveau ou à l ' image de l ' univers , peut être bien baignons ou faisons nous de l ' univers ce qu ' il soit de par une certaine réciprocité,  image ?  ...

Les sciences sont formidables non pas dans des titres sensationnels comme le fait Futura Science mais bel et bien au travers de génies comme Hawking , Einstein , Hubert Reeves , Carl Sagan  et tant d ' autres  qui ont aussi  ouvert d ' autres voies de par l ' intérêt de ce qu ' ils étaient et sont ...

Je pense que vous transmettez assez bien cette passion des sciences ...

Modifié par lumic
  • Like 1
Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, Posté(e)
lumic Membre 10 302 messages
Maitre des forums‚
Posté(e)

On attend la suite ...

Mystère , pourquoi ne vient - elle pas ? Si c ' est pas quantique ça ...

 

  • Like 1
Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, 75ans Posté(e)
Pratika Membre 1 517 messages
Mentor‚ 75ans‚
Posté(e)

Bon, je pense que tout cela est plus pour vous que pour moi !

Régalez-vous : https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/cosmologie-gravite-quantique-ecume-espace-temps-cle-big-bang-vivant-27786/#xtor=EPR-57-[ALERTE]-20201125

Modifié par Pratika
Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 480 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)
il y a 14 minutes, Pratika a dit :

Merci beaucoup Pratika !

Je vais de suite acheter l'écume de l'espace temps de Luminet

Théorie des cordes et gravitation quantique à boucles, j'ai beaucoup beaucoup parcouru

Mais dans les autres théories...

La géométrie non commutative est déjà aussi un domaine que j'ai beaucoup beaucoup parcouru 

Je parle des....grands principes...je ne suis pas physicien (d'ailleurs aucun physicien ne maîtrise tous les domaines et peu en connaissent même .. tous les domaines et tous les ... principes..)

C'est matière à engueulade car jamais une manipulation d'équations fût elle mathématiquement correcte ne l'est...si on l'applique sur un mauvais domaine.

De "relatifs" techniciens corrects n'ont parfois rien compris des... principes...et "font dire" absolument n'importe quoi des formalismes 

Quand ils sont compris, je situe mes limites évidemment...

En revanche, je ne connais que superficillement les domaines ci dessous que je vais de ce pas creuser un peu plus

les ensembles causaux, la gravité à sécurité asymptotique, les triangulations dynamiques causales et la gravité émergente. 

Modifié par zenalpha
Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Annonces
Maintenant

Rejoindre la conversation

Vous pouvez publier maintenant et vous inscrire plus tard. Si vous avez un compte, connectez-vous maintenant pour publier avec votre compte.

Invité
Répondre à ce sujet…

×   Collé en tant que texte enrichi.   Coller en tant que texte brut à la place

  Seulement 75 émoticônes maximum sont autorisées.

×   Votre lien a été automatiquement intégré.   Afficher plutôt comme un lien

×   Votre contenu précédent a été rétabli.   Vider l’éditeur

×   Vous ne pouvez pas directement coller des images. Envoyez-les depuis votre ordinateur ou insérez-les depuis une URL.

Chargement

×