Les mathématiques du coronavirus

il y a 7 minutes, azad2B a dit :

aucun : sauf que le mot "ressemble" ne fait pas partie du langage des mathématiques. Sauf peut-être dans celles que tu as étudiées pour tes concours d' entrées aux Grandes Ecoles et qui usent été plus profitables si elles t ' avaient permis.... d' en sortir 

Ben voyons. Si on ne formule pas sous la forme : la courbe dont l'ajustement paramétrique minimise la somme des Y-Y chapeau au carré est celle qui ressemble le plus au nuage de points à ajuster, il nous dit qu'il ne peut comprendre ressemble parce que ça ne fait pas parti du langage des mathématiques.

Tu me fais penser à un automate sur optimisé, on appelle ça un idiot.

Le 19/04/2020 à 18:31, Répy a dit :

si la courbe rouge était une vraie exponentielle comme on l'a souvent annoncé, sa dérivée (jaune) serait aussi de type exponentiel.

Or ce n'est pas le cas présenté. On voit-là toute la différence "mathématique entre une contagion totalement libre en milieu ouvert et ce que devient la contagion en milieu contraint en particulier par les précautions élémentaires d'hygiène et surtout par le confinement.

Mais quand le confinement sera levé, l'épidémie repartira d'une façon semi exponentielle dans les différents lieux totalemnt ouverts.

Dans tous les cas ce n'est jamais une "belle exponentielle" comme peut l'être une croissance microbienne dans une boite de Pétri (au début de l'ensemencement) ou bien une réaction en chaîne de fission nucléaire dans une bombe atomique A.

L'évolution de l'épidémie selon une courbe sigmoïde n'est nullement contradictoire avec la progression exponentielle sur laquelle @hell-spawn avait lancé la présente discussion le 16 mars, époque à laquelle apparaissaient de multiples foyers de contamination en progression très rapide, susceptibles de déborder à brève échéance les systèmes de soins des pays concernés.

Dans une population d’effectif (N), sanitairement isolée de celles des régions voisines, le taux d’augmentation du nombre de personnes contaminées (y’ = dy/dt) est proportionnel au nombre d’individus contaminants (y) ainsi qu’à celui des individus non contaminés (N – y), de sorte que la loi de variation en cause y = F(t) vérifie l’équation différentielle :

y'= k.y(N – y) .

La solution particulière caractérisée par la valeur initiale y° = F(0) admet pour expression :

y = Ny°/((N – y°)Exp(-kNt) + y°) ;

on vérifie facilement qu’au bout d’un temps très grand (Exp(-kNt) << 1) apparaît la valeur limite y_lim = N .

Le graphe correspondant est bien celui d’une sigmoïde, présentant à mi-hauteur un point d’inflexion ; la dérivation de l’équation différentielle conduit directement à l’expression de la dérivée seconde :

y" = ky'(N – y) – kyy' = k(N – 2y) ,

laquelle s’annule en effet pour y = N/2 .

Revenons maintenant au début de l’épidémie, lorsque l’alerte a été déclenchée sur l’annonce de quelques dizaines de cas : rapportée au total de la population de France, cela ne représente qu’une proportion de un sur un million (1/10⁶) ; et celle-ci fût-elle multipliée par mille, le nombre d’individus contaminés reste très inférieur à l’effectif total :

y ≤ N/1000 << N ;

on peut donc se permettre l’approximation (N – y) ≈ N , l’erreur relative qui en découle demeurant très inférieure aux incertitudes affectant tout évaluation administrative (5 à 30 % - en restant optimiste …).

L’équation différentielle de départ prend alors la forme approchée : y'= kN. y

dont la solution particulière (pour la même valeur initiale) est la fonction exponentielle : y = y°Exp(kNt) .

On retrouve d’ailleurs une expression apparentée à partir de l’expression rigoureuse précédemment établie, en tenant compte de la petitesse relative du terme exponentiel (Exp(kNt) << 1) ; il vient en effet :

y = Ny°Exp(kNt)/(N – y° + y°Exp(kNt)) ≈ Ny°Exp(kNt)/(N – y°)  ;

ce dernier résultat est l’équation du graphe de l’exponentielle avec lequel la sigmoïde vient se confondre lorsque le paramètre (t) tend vers (-∞).

Le 19/04/2020 à 22:23, Ines Presso a dit :

Désolée, je n'ai pas lu tout le fil.

Quelqu'un peut-il me dire si les spécialistes, à partir du nombre de contaminés connus, du taux de contamination, etc, ont fait une estimation du nombre total de contaminés ? 

Je voudrais savoir à combien on est loin de l'immunité collective. Non parce que le nombre ce contaminés connu, ça fait pas tripette, et ça fait peur, à l'idée, chiffre au hasard, qu'il n'y ait qu'un ou deux millions de contaminés.

Tu as un début de réponse ici, avec des vrais scientifiques dedans et pas des zigotos de forum comme moi.

5,7% de contaminés, loin du compte

https://hal-pasteur.archives-ouvertes.fr/pasteur-02548181

Voici les graphes superposés des deux fonctions mises en comparaison ; les équations interviennent sous forme réduite, en prenant θ = kNt , N = 1 et y° = 0.01 – ce qui revient à envisager un taux de contamination initial de 1 %.

Les abscisses (θ) varient de -10 à +10 ; les ordonnées de 0 à 1 .

On constate que le graphe de la sigmoïde (tracé en rouge), d’équation

y = y°Exp(θ)/(1 – y° + y°Exp(θ)) ,

se rapproche progressivement de celui de l’exponentielle - couleur cyan, d’équation

y = y°Exp(θ)/(1 – y°) ,

lorsque l’abscisse diminue et que l’on se déplace vers la gauche, et que le premier graphe finit par occulter complètement le second aux valeurs négatives de (θ).

Je ne sais pas pourquoi vous vous branlez alors que les spécialistes sont déjà sur le coup. Par exemple pour l'estimation du nombre d'infecté : https://hal-pasteur.archives-ouvertes.fr/pasteur-02548181/document.

Il faut avoir à l’esprit les hypothèses qui ont permis l’établissement du modèle simple de propagation de l’épidémie , notamment celles selon lesquelles les personnes atteintes deviennent toutes contaminantes, immédiatement – en fait dès le lendemain, le temps étant compté en jours - et le demeurent indéfiniment, ce qui suppose :

a) qu’elles poursuivent leur activité ordinaire, et souffrent peu de leur état,

b) que le mal dont elles sont atteintes leur apparaît suffisamment bénin pour qu’elles ne changent rien à leurs habitudes, et n’adoptent pas de comportement de distanciation sociale - ce qui se traduit par l’attribution une valeur constante au facteur (k) présent dans l’équation différentielle initiale ;

c) que leur contamination est néanmoins détectable, ce qui permet un suivi de l’épidémie par les organismes de santé publique.

L’arrivée du pic de l’épidémie, correspondant au point d’inflexion de la sigmoïde, de même que le palier quasi-horizontal qu’elle présente ont une cause purement arithmétique : la raréfaction progressive des personnes indemnes, dont l’effectif (N – y) tend vers zéro. Le résultat obtenu décrirait plutôt la propagation d’une rumeur, ou d’une grippe.

Or il ne s’agit pas du tout de cela : nous restons très loin d’une contamination totale de la population (3 à 11 % selon les régions, d’après le document précédemment fourni) ; et le modèle initial ignore plusieurs données importantes de la pandémie actuelle :

# la présence d’une large majorité de porteurs sains, non détectés ;

# la durée finie de la période sur laquelle se manifeste le caractère contagieux, qui s’étend approximativement entre le 5me et le 15me jour suivant la date de contamination , et qui cesse au-delà par rémission spontanée ou contrainte (confinement, hospitalisation ou décès);

# La vitesse de propagation de l’épidémie peut être fortement réduite par des mesures de confinement appropriées - avec retard cependant, compte tenu du délai d’incubation au cours duquel les personnes bien portantes peuvent répandre le virus ; l’effet attendu pouvant être fortement compromis par le contournement de la loi (exode, rassemblements publics, réunions clandestines) ou dès la reprise partielle de l’activité économique.

De plus, on ignore tout d’une éventuelle atténuation de la virulence du germe, qui de toutes façons n’interviendrait qu’au bout de plusieurs mois.

L’évolution de l’épidémie dépend donc uniquement de l’efficacité des mesures de confinement imposées par l’état.

Voici, à titre de comparaison, les graphes mis à jour de l'épidémie :

- en rouge: nombre cumulé de cas graves en France, listés à partir du 1er mars,

- en jaune: vitesse de propagation de l'épidémie (nombre de nouveaux cas quotidiens),

- en vert: taux de variation de la vitesse (dérivée seconde du nombre cumulé de cas).

Le 17/04/2020 à 15:34, Boutetractyxreqs a dit :

 

https://hipegalaxy.com/covid19/dr-andrew-kaufman-is-covid-19-an-exosome/

 

Hello,
en sait-on plus sur les hypothèses de ce chercheur ?
Est-on capable des les infirmer ?

Je rebondis ici parce que c'est hors sujet dans le sujet sur Montagnier par contre la connaissance du virus et la construction des tests ont bien un impact immédiat sur les mathématiques de l'épidémie développées ici.

Merci d'avance à ceux qui voudront bien éclairer ma lanterne (siouplait!)

Le 21/04/2020 à 16:01, Hérisson_ a dit :

L'évolution de l'épidémie selon une courbe sigmoïde n'est nullement contradictoire avec la progression exponentielle sur laquelle @hell-spawn avait lancé la présente discussion le 16 mars, époque à laquelle apparaissaient de multiples foyers de contamination en progression très rapide, susceptibles de déborder à brève échéance les systèmes de soins des pays concernés.

Dans une population d’effectif (N), sanitairement isolée de celles des régions voisines, le taux d’augmentation du nombre de personnes contaminées (y’ = dy/dt) est proportionnel au nombre d’individus contaminants (y) ainsi qu’à celui des individus non contaminés (N – y), de sorte que la loi de variation en cause y = F(t) vérifie l’équation différentielle :

y'= k.y(N – y) .

 

 

 

Vous utilisez le modèle logistique ?

Une explication simple de celui ci c'est que si rien ne vient contrarier la croissance d'une population a taux de reproduction constant (k) on a : y'=k*y et donc elle croit indéfiniment de façon exponentielle.

Mais en fait plus une population croit plus les contraintes sur celles ci augmentent et donc le taux de reproduction diminue, il faut donc l'ajuster en fonction de la taille de la population :

il devient: k*(1-N/a)  a est appelé la capacité biotique

On a donc l'équation suivante: y'=k*N*(1-N/a )

et les solutions sont:  N= N(0)*a /  ( N(0) + e^(-k*t)*(a-N(0) )

Bonjour,

Je reproduis ici un texte court en français, disponible sur Futura Scuences

https://www.futura-sciences.com/sante/definitions/biologie-exosome-8301/

Un exosome est une machinerie cellulaire capable de dégrader l'ARN.

Structure de l’exosome

L'exosome est un complexe protéique, spécifique des eucaryotes et des archées, composé d'un cœur central (formé de six protéines à activité ribonucléase) et de protéines annexes (possédant un domaine de liaison à l'ARN).

Fonction de l’exosome

L'exosome a pour fonction de dégrader les molécules d'ARN, de grande (ARN messager) ou de petite taille (ARN ribosomique...), dans le but d'éliminer ceux qui ne sont pas corrects. La dégradation se fait progressivement par l'extrémité (appelée 3') de l'ARN.

Un article plus complet est consultable sur Wikipedia :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Exosome_(vésicule)

Les références abondent, mais sont pour la plupart rédigées en anglais;  pour s’en tenir aux plus récentes :

https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC6377728/

https://www.novusbio.com/research-areas/cell-biology/Exosome-research-tools

il y a une heure, hell-spawn a dit :

Vous utilisez le modèle logistique ?

Une explication simple de celui ci c'est que si rien ne vient contrarier la croissance d'une population a taux de reproduction constant (k) on a : y'=k*y et donc elle croit indéfiniment de façon exponentielle.

C'est tout à fait conforme à ce qui avait été exprimé le l6 mars, dès le lancement de la discussion:

Si on admet que le nombre de cas de contamination double tous les 3 jours, que la période d'incubation est de 15 jours, qu'il y a aujourd'hui 6000 cas diagnostiqués, combien de personnes sont réellement contaminées a l'instant présent ?

... / ...

Si on compte tous les 3 jours et vu qu'il y a 3*5 jours d'incubation on a 2^5 fois plus de cas  de contaminés a l'instant t que ceux qui sont diagnostiqués, donc déclarés. Conclusion: Aujourd'hui il y a 6000*32 personnes infectées en France Et si on compte de jours en jours c'est un suite géométrique de raison 2^(1/3) soit une multiplication du nombre de cas de 1,26 a peu près chaque jour

il y a une heure, hell-spawn a dit :

Mais en fait plus une population croit plus les contraintes sur celles ci augmentent et donc le taux de reproduction diminue, il faut donc l'ajuster en fonction de la taille de la population :

il devient: k*(1-N/a)  a est appelé la capacité biotique

On a donc l'équation suivante: y'=k*N*(1-N/a )

et les solutions sont:  N= N(0)*a /  ( N(0) + e^(-k*t)*(a-N(0) )

Une regrettable confusion s'est ici installée dans la formulation du problème: il ne s'agit pas de la croissance d'une population dont l'effectif (N) varierait au cours du temps selon la loi: N' = (dN/dt) = k*N*(1-N/a ) , mais de la propagation d'une maladie au sein d'une population d'effectif donné (N), dont l'expression la plus simple, immédiatement accessible à l'intuition est y'= (dy/dt) = ky(N - y) - formellement très proche de la précédente.

J'ai tenté de montrer l'apparentement qui intervient entre l'exponentielle et la sigmoïde, par la similitude des équations différentielles qui permettent de les introduire: y' = kNy et y' = k(N - y)y ; et j'ai signalé en quoi elles n'étaient pas adaptées à l'évolution de l'épidémie présente, dont la croissance, beaucoup plus complexe à décrire, fait intervenir un décalage temporel entre la valeur actuelle (y) du nombre de personnes contaminées et la vitesse (y') de contamination observée à la même date.

Il serait intéressant d'explorer cette piste.

Il y a 10 heures, Loufiat a dit :

Hello,
en sait-on plus sur les hypothèses de ce chercheur ?
Est-on capable des les infirmer ?

Je rebondis ici parce que c'est hors sujet dans le sujet sur Montagnier par contre la connaissance du virus et la construction des tests ont bien un impact immédiat sur les mathématiques de l'épidémie développées ici.

Merci d'avance à ceux qui voudront bien éclairer ma lanterne (siouplait!)

En résumant ce que j'ai compris, un corps un sain comme malade produit des exosomes et donc certains exosomes peuvent être révélateurs d'une forme d'agression de l'organisme. Donc il faut certainement, entre autres, manger des aliments bons pour le système immunitaire comme l'ail, l'oignon, le poireau, les agrumes ...

Il y a 1 heure, Boutetractyxreqs a dit :

En résumant ce que j'ai compris, un corps un sain comme malade produit des exosomes et donc certains exosomes peuvent être révélateurs d'une forme d'agression de l'organisme. Donc il faut certainement manger des aliments bons pour le système immunitaire comme l'ail, l'oignon, le poireau ...

Il semble bien que ce soit un énième "faux", intentionnel ou non je ne sais pas.. 

Le virus a bien été isolé... par exemple ici :

https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7045880/

Quant à la citation de James Hildreth, c'est cette fois un vrai gros fake : Hildreth ne parle pas du SARS-COV-2 mais du VIH.

"Hildreth now proposes that “the virus is fully an exosome in every sense of the word.” Others have found that HIV particles contain MHC, but by the exosome hypothesis they may also contain proteins that exosomes use to fuse with target cells and to avoid attack by complement. As Gould points out, an exosome makes a perfect vector for HIV, because an exosome “is not just proteins in a vesicle, it's something that is meant to traffic.”

https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2248418/

il y a 50 minutes, Loufiat a dit :

 

Il semble bien que ce soit un énième "faux", intentionnel ou non je ne sais pas.. 

Le virus a bien été isolé... par exemple ici :

https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7045880/

 

Quant à la citation de James Hildreth, c'est cette fois un vrai gros fake : Hildreth ne parle pas du SARS-COV-2 mais du VIH.

"Hildreth now proposes that “the virus is fully an exosome in every sense of the word.” Others have found that HIV particles contain MHC, but by the exosome hypothesis they may also contain proteins that exosomes use to fuse with target cells and to avoid attack by complement. As Gould points out, an exosome makes a perfect vector for HIV, because an exosome “is not just proteins in a vesicle, it's something that is meant to traffic.”

https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2248418/

 

Selon ses observations le dr Andrew Kaufman ne fait qu'un rapprochement avec les dires de certains qui avancent que les exosomes sont un vecteur viral et que cela rejoint son opinion.

il y a 8 minutes, Boutetractyxreqs a dit :

Selon ses observations le dr Andrew kaufman ne fait qu'un rapprochement avec les dires de certains qui avancent que les exosomes sont un vecteur viral et que cela rejoint son opinion.

Oui pardon j'ai fait erreur, de mémoire dans sa vidéo il faisait comme si Hildreth parlait du sars-cov-2 mais en fait non, il ne le prétend pas.

Reste que selon lui, sauf incompréhension de ma part, il n'y a pas de virus, ce qui est identifié ce sont les exosomes possiblement produits en réponse à des attaques diverses, non ?

il y a 2 minutes, Loufiat a dit :

Oui pardon j'ai fait erreur, de mémoire dans sa vidéo il faisait comme si Hildreth parlait du sars-cov-2 mais en fait non, il ne le prétend pas.

Reste que selon lui, sauf incompréhension de ma part, il n'y a pas de virus, ce qui est identifié ce sont les exosomes possiblement produits en réponse à des attaques diverses, non ?

Les exosomes sont produits par un organisme sain comme malade et sont donc révélateurs d'un corps agressé qui fabrique certainement des exosomes viraux pour se mettre à jour. Et le système immunitaire rentre alors en jeu encore plus lorsqu'alors certainement on lui permet d'avoir ce qu'il lui faut pour avoir une activité saine.

il y a 3 minutes, Boutetractyxreqs a dit :

Les exosomes sont produits par un organisme sain comme malade et sont donc révélateurs d'un corps agressé qui fabrique certainement des exosomes viraux pour se mettre à jour. Et le système immunitaire rentre alors en jeu encore plus lorsqu'alors certainement on lui permet d'avoir ce qu'il lui faut pour avoir une activité saine.

D'accord mais il explore bien, dans cette vidéo, l'hypothèse qu'il n'y a pas en fait de virus, non ? C'est d'ailleurs ce que retiennent la plupart des commentaires sous la vidéo...

il y a 23 minutes, Loufiat a dit :

D'accord mais il explore bien, dans cette vidéo, l'hypothèse qu'il n'y a pas en fait de virus, non ? C'est d'ailleurs ce que retiennent la plupart des commentaires sous la vidéo...

Il faut certainement éviter les polémiques et tant qu'à prendre des précautions sanitaires comme le confinement autant prendre soin de soi.

Il y a 6 heures, Hérisson_ a dit :

Une regrettable confusion s'est ici installée dans la formulation du problème: il ne s'agit pas de la croissance d'une population dont l'effectif (N) varierait au cours du temps selon la loi: N' = (dN/dt) = k*N*(1-N/a ) , mais de la propagation d'une maladie au sein d'une population d'effectif donné (N), dont l'expression la plus simple, immédiatement accessible à l'intuition est y'= (dy/dt) = ky(N - y) - formellement très proche de la précédente.

Oui exact.

Mais alors le probléme est de déterminer k.

Si par exemple on constate que le nombre de personnes contaminées double tous les 3 jours:

N*y0/( y0+(N-y0)*exp(-3*k*N)  = 2*yo  et on trouve k a peu prés equivalent a LN(2)/ 3*N

Et on trouve que l'ensemble de la population est contaminée au bout de 150 jours a peu pres ( population de 63 millions )

il y a 35 minutes, hell-spawn a dit :

Si par exemple on constate que le nombre de personnes contaminées double tous les 3 jours:

N*y0/( y0+(N-y0)*exp(-3*k*N)  = 2*yo  et on trouve k a peu prés equivalent a LN(2)/ 3*N

L'expression utilisée ne vérifie pas la relation y(t + 3) = 2y(t) , typique d'une fonction exponentielle.

Il faut partir sur une autre base pour retrouver cette dernière - je n'ai pas le temps de développer ici les calculs.

L’énoncé posé par hell-spawn mérite qu’on s’y arrête, bien qu’il soit nécessaire de reprendre certaines données, et que la situation ait considérablement évolué depuis six semaines.

Si on admet que le nombre de cas de contamination double tous les 3 jours, que la période d'incubation est de 15 jours, qu'il y a aujourd'hui 6000 cas diagnostiqués, combien de personnes sont réellement contaminées à l'instant présent ?

Supposons la personne contaminante à taux constant entre le 5^me et le 15^me jour, délai au-delà duquel la transmission du virus cessera par hospitalisation ou confinement absolu – ce sont là des hypothèses idéales et simplistes, mais qui permettent de voir ce qui se passe.

Le nombre de nouveaux cas apparaissant au lendemain du n^ième jour est alors proportionnel à ceux qui se sont préalablement déclarés, entre 5 et 15 jours plus tôt ; cela se traduit par la relation fonctionnelle :

u_{n + 1} – u_n = k(u_{n - 5} – u_{n - 15})

qui admet pour solution toute fonction exponentielle u_k = N₀.e^mk .

Un doublement de l’effectif tous les 3 jours se traduit par la relation :

e^3m = 2 d’où : e^m = 2^1/3 ;

on obtient en injectant la solution dans la première équation :

N₀.e^{m(k + 1)} - N₀.e^mk = k(N₀.e^{m(k - 5)} - N₀.e^{m(k - 15)})

ce qui donne par simplification : e^m – 1 = k.e^-5m (1 – e^-10m) ;

on en tire : k = e^5m(e^m – 1)/(1 – e^-10m) = 2^5/3 (2^1/3  - 1)/(1 - 2^-10/3 ) = 0.916 ,

soit un peu moins d’un nouveau cas par jour et par personne contaminante.

Ce résultat paraît relativement faible par rapport au nombre de rencontres fortuites quotidiennes ; chaque personne cependant en aura contaminé 9 autres à l’issue de la période de 10 jours, au cours de laquelle elle émet des germes infectieux : d’où l’emballement exponentiel de la contagion, qu’aucun état ne peut supporter à long terme.