Il y a 23 heures, Spontzy a dit :

Que valent les mathématiques ?

 

Quel est l’intérêt des mathématiques ? Il doit y en avoir beaucoup, mais on peut citer leur fiabilité. Un résultat démontré l’est pour toujours. Les contradictions dans ce domaine sont exclues. C’est pratique. Alors que vaudrait des maths inconsistantes (qui peuvent montrer une chose et son contraire, ou autrement dit, qui peuvent démontrer que tout théorème est vrai) ?

 

Pas grand-chose, certainement. A ce jour, la preuve de la consistance des maths habituelles (ZFC pour les connaisseurs) n’est pas établie, même si la majorité des mathématiciens ont confiance en la cohérence de ZFC. Ce n'est pas un problème en soi.

 

Alors jouons un peu : prenons la théorie mathématique standard, habituelle (ZFC). Elle est définie par des axiomes. Ajoutons un nouvel axiome à cette liste, défini ainsi  : « il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC ». Cela forme une nouvelle théorie, différente de ZFC.

Et bien il est prouvé (assez facilement), que :

Si ZFC est consistante, alors ZFC et l’axiome supplémentaire (qui dit qu’il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC) est également consistante !

C’est chaud, non ?

Blague à part, je reviendrai peut-être.

il y a 36 minutes, Fraction a dit :

Votre table de vérité ne diffère pas de la mienne.

Alors dans ce cas, c'est beaucoup plus simple que ce que vous écrivez.

La logique se fout complètement du statut de vérité des propositions (elle impose simplement qu'elles soient ou vrai, ou fausse). Que ça parle de café, de localisation, de référentiel ou de n'importe quoi d'autre, l'implication est et reste un connecteur binaire qui permet de faire un calcul.

Le sens que vous donnez ou l'usage que vous faites d'un connecteur n'est plus de la logique.

Quand bien même vous trouveriez un sens à l'implication, je ne comprends le rapport avec les équations différentielles d'abord et avec l'ajout de l'axiome dans ZFC. Pouvez-vous poursuivre votre explication ?

il y a 53 minutes, Spontzy a dit :

Alors dans ce cas, c'est beaucoup plus simple que ce que vous écrivez.

La logique se fout complètement du statut de vérité des propositions (elle impose simplement qu'elles soient ou vrai, ou fausse). Que ça parle de café, de localisation, de référentiel ou de n'importe quoi d'autre, l'implication est et reste un connecteur binaire qui permet de faire un calcul.

Le sens que vous donnez ou l'usage que vous faites d'un connecteur n'est plus de la logique.

Quand bien même vous trouveriez un sens à l'implication, je ne comprends le rapport avec les équations différentielles d'abord et avec l'ajout de l'axiome dans ZFC. Pouvez-vous poursuivre votre explication ?

Sur le sujet des ZFC, je sèche un peu, mais ce que vous énoncez m’évoque, lointainement je vous l’accorde, un paradoxe célèbre :

L’ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes peut-il se contenir lui-même ?

Ou encore : le barbier de Séville rase tous les villageois qui ne se rasent pas eux-mêmes et uniquement ceux-là.

Peut-il donc se raser lui-même ?

Dans un cas comme dans l’autre, on aboutit à une contradiction.

Sur le sujet des équations différentielles, je proposais d’envisager un associationnisme mathématique, qui aurait pour projet de stratifier les vérités.

C’était en réponse à « que valent les mathématiques ».

Je vous ai invité à lire mon blog dans ce sens, j'ai dit tout ce que j'avais à dire à ce sujet.

Cordialement, Fraction

Là je suis largué, mais largué, ou fan

l'Hebreu, le Chinois, c'est moins compliqué au final, par ce que là , j'ai comme l'impression que j'ai jamais étudié ça.

Puis je lis des choses qui me semble surréaliste, il y a pas à dire je dois halluciner.

Au fait la cafetière est électrique ou à gaz, elle est placé ou, et il y a bien d'autres paramètre pour le café, au fait est il vert et de quel ordre est la torréfaction, pour la mouture aussi.

Puis ZFC c'est quoi ?

il y a 9 minutes, Promethee_Hades a dit :

Puis ZFC c'est quoi ?

Pour le dire simplement, ZFC, c'est ce que vous avez appris à l'école, les maths traditionnelles.

Il faut le préciser, car il en existe d'autres. Qui amènent à des résultats différents.

il y a 5 minutes, Spontzy a dit :

Pour le dire simplement, ZFC, c'est ce que vous avez appris à l'école, les maths traditionnelles.

Il faut le préciser, car il en existe d'autres. Qui amènent à des résultats différents.

Bonjour Spontzy, poigne de mains

Merci,  en fait j'ai travaillé toute ma vie avec les mathématique traditionnelles,  je me suis bien douté qu'il y avait d'autres système, ou référentiel. Quand j'ai voulu étudier les mathématique dite modernes, je me suis heurté à un écueil, ou elles devenaient incompréhensible, c'était que je résonnai en mathématique traditionnelle. 

il y a 3 minutes, Promethee_Hades a dit :

Quand j'ai voulu étudier les mathématique dite modernes, je me suis heurté à un écueil, ou elles devenaient incompréhensible, c'était que je résonnai en mathématique traditionnelle. 

Les maths modernes sont une autre méthode d'enseigner. mais le contenu reste le même que les maths traditionnelles.

Dans ce que j'appelle les autres mathématiques, les théorèmes vrais des maths traditionnels peuvent être faux. Ce sont carrément les axiomes de départ ou les règles de raisonnement qui diffèrent.

Il y a 4 heures, Spontzy a dit :

Salut.

2 remarques,

 - si l'axiome ajouté est "ZFC est inconsistant", alors la nouvelle théorie est inconsistante (car un axiome est vrai)

 - celui que j'ai ajouté est différent : j'ai ajouté "il existe une preuve de l'inconsistance de zfc". C'est différent (et je ne suis pas sur que ce soit indécidable).

Hello @Spontzy

Je ne te donne que mon point de vue...faillible peut-être...

Il me semble que l'axiomatique est plus "restreinte" que la notion de "vérité".

Elle est considérée "vraie" DANS la nouvelle théorie, c'est certain, car elle en est le pilier, le cadre de définition et, dans le même temps, elle n'est pas "vraie" dans l'absolu de part l'incomplétude (et d'ailleurs peut même être démontré fausse et vraie dans le même temps dans le système s'il est inconsistant)

Prenons l'axiome du choix, il peut-être accepté ou rejeté et on aura deux systèmes antagonistes bien que consistants l'un comme l'autre et qui considereront pourtant dans cette alternative leur propre énoncé comme un axiome vrai alors que cet énoncé pour ce même axiome est ... contradictoire d'un système à l'autre 

Ou l'axiome du nombre de parallèles à un point extérieur à une droite qui sera toujours vrai dans chaque géométrie consistante différente bien que leurs énoncés soient incompatibles (0, 1, une infinité)

Ce sont des "sous systèmes" d'ensembles plus vastes et ce qui est vrai d'un sous système peut ne s'avérer qu'un cas très particulier d'un système plus vaste.

La notion même de vérité n'est d'ailleurs pas duale dans l'absolu (cf topos)

Ici, le problème est que ZFC n'est pas un sous système, il est considéré être le système le plus général qui soit.

Tu ne peux pas prouver la consistance d'un système dans le système (godel)

On ne peut donc pas axiomatiser une axiomatique qui prétend l'existence d'une preuve de cette consistance dans un système pour tout système complexe récursivement axiomatisable et contenant a minima l'arithmétique de Robinson.

En fait, ton axiome s'il etait vrai sabre sa valeur de vérité elle même puisque le systeme étant inconsistant, une chose comme son contraire peut-être prouvé 

J'ai préféré le définir d'indecidable en imaginant un meta système contenant ZFC dans lequel cette proposition serait indecidable

Mais il est évident pour moi que l'axiome qui serait vrai dans ZFC tout en decrivant l'inconsistance de ZFC serait nul puisque la preuve elle même serait inconsistante dans ZFC

Il ne peux exister de preuve dans un système inconsistant  si ce n'est la preuve de son inconsistance...

injecter cette preuve dans un système ne le rendra jamais consistant.....puisqu'existe la preuve...de son inconsistance.

Bravo si qqn a suivi lol

J'ai du mal à comprendre la relation de votre sujet à la philosophie. Que les mathématiques soient liées (enfantées par) à la philosophie, bon, nous le savons tous. Mais votre sujet invite à étaler des mathématiques, pas de la philosophie; non? J'en prends pour preuve les réactions qu'il provoque... 

Pouvez-vous m'expliquer, euh..., je vous le demande en toute humilité, quel est le sens philosophique de votre sujet?

il y a 3 minutes, Guillaume_des_CS a dit :

J'ai du mal à comprendre la relation de votre sujet à la philosophie. Que les mathématiques soient liées (enfantées par) à la philosophie, bon, nous le savons tous. Mais votre sujet invite à étaler des mathématiques, pas de la philosophie; non? J'en prends pour preuve les réactions qu'il provoque... 

Pouvez-vous m'expliquer, euh..., je vous le demande en toute humilité, quel est le sens philosophique de votre sujet?

 

Aucun sens philosophique. Mais s’ils avaient eu l’humilité de mettre ce sujet en sciences ils auraient été moins lus. Il s’agit de vous montrer, à vous et aux autres combien ils sont Puissants. Bref ce sont des gamins.

Cela dit il va vous falloir vous taper leur démonstration infantile de puissance. Ça a quel âge tout ça ? 40, 50, 60 ans ? bah souriez en. 
 

il y a 12 minutes, Annalevine a dit :

Aucun sens philosophique. Mais s’ils avaient eu l’humilité de mettre ce sujet en sciences ils auraient été moins lus. Il s’agit de vous montrer, à vous et aux autres combien ils sont Puissants. Bref ce sont des gamins.

Cela dit il va vous falloir vous taper leur démonstration infantile de puissance. Ça a quel âge tout ça ? 40, 50, 60 ans ? bah souriez en. 
 

Vous me faites peur Annalevine. Voulez-vous dire qu'il est possible d'être mathématicien sans être, au moins un peu, philosophe? Le contraire me semble si improbable...

D'ailleurs j'observe qu'aucun des illustres mathématiciens de ce fil ne s'est risqué sur le mien. Vous savez, celui du "ruban"... Et pourtant, n'y sommes-nous pas en pleine mathématique?... Ah, non; en fait nous y sommes en pleine philosophie mathématique... 

Oui, bon, c'est compliqué les mathématiques... Savez-vous ce qu'Hawking en disait (en relation à la société, donc à la philosophie?)? Oui, je sais que vous le savez... La question n'était pas pour vous, vous l'aurez compris. Bon, je me sauve, @Ambre Agorn m'attend. Elle, philosophe vraiment.

Réduire la Philosophie à sa propre conception de la philosophie n'est certainement pas une attitude philosophique.

Le feed-back est toujours au moins aussi intéressant que le message et si celui ci nous renvoie un écho vide, cela peut-être le vide du message, l'incompréhension totale du récepteur ou la distance qui les sépare.

En tant que récepteur, j'ai plus de contrôle sur ma propre écoute et sur mon rapprochement mental que sur des injonctions aux Dieux de la philosophie 

Le problème peut aussi se placer à ce niveau.

Oui, si l'univers répond à une logique, des contraintes mathématiques et un certain ordre, c'est fructueux de concevoir certains problèmes logiques dans ses représentations du monde.

Cela touchera un peu plus les philosophes proches des sciences mais tout philosophe gagne toujours à élargir sa vision.

Il y a 10 heures, zenalpha a dit :

Réduire la Philosophie à sa propre conception de la philosophie n'est certainement pas une attitude philosophique.

Le feed-back est toujours au moins aussi intéressant que le message et si celui ci nous renvoie un écho vide, cela peut-être le vide du message, l'incompréhension totale du récepteur ou la distance qui les sépare.

En tant que récepteur, j'ai plus de contrôle sur ma propre écoute et sur mon rapprochement mental que sur des injonctions aux Dieux de la philosophie 

Le problème peut aussi se placer à ce niveau.

Oui, si l'univers répond à une logique, des contraintes mathématiques et un certain ordre, c'est fructueux de concevoir certains problèmes logiques dans ses représentations du monde.

Cela touchera un peu plus les philosophes proches des sciences mais tout philosophe gagne toujours à élargir sa vision.

Magnifiquement théorique! 

Et... Comment le vivez-vous? Vous-même je veux dire. Comment investissez-vous votre pensée théorique? Car ici, il me semble, nous étions dans la concrétude, l'humain, non? Vous couvrez cela d'un voile théorique sublime (qu'à mon avis tous les protagonistes partagent), mais où est votre position d'homme/femme dans la "réalité" conflictuelle? Énoncer des "axiomes" vous suffit-il? Pas à moi pour vous comprendre en tout cas... 

Il y a 13 heures, Guillaume_des_CS a dit :

Magnifiquement théorique! 

Et... Comment le vivez-vous? Vous-même je veux dire. Comment investissez-vous votre pensée théorique? Car ici, il me semble, nous étions dans la concrétude, l'humain, non? Vous couvrez cela d'un voile théorique sublime (qu'à mon avis tous les protagonistes partagent), mais où est votre position d'homme/femme dans la "réalité" conflictuelle? Énoncer des "axiomes" vous suffit-il? Pas à moi pour vous comprendre en tout cas... 

Très simplement 

L''Univers et notre place dans l'Univers serait le sujet philosophique plus concret.

Et dans cette réflexion la place des mathématiques par rapport à l'univers.

Etes vous comme Platon, socrate ou Aristote ?

Avez vous votre propre conception sur ce miracle du pari métaphysique de Galilée qui....marche ?

Et dans ce rapport, quelles conséquences tirez vous du théorème de Gödel ?

En defrichant les sujets, sujet aprè sujet, les conséquences sont vertigineuses.

Il y a un voyage de la raison humaine qui confine à l'au delà 

Ce dieu cosmique d'Einstein qui a ... motivé...la plupart des grands savants car s'interroger sur ces questions c'est mieux se comprendre soi même 

A moins que vous ne soyez pur mathématicien et que l'horizon soit plus vaste encore 

Personnellement, je me suis totalement demandé comment s'intéresser à la philosophie en zappant la question du sens de la vie ou des raisons de l'ordre.

Il n'y a pas que la religion ni le terre a terre, les réponses c'est en nous que les trouverons, personnelles et dans ces questions les limites de la raison.

Qu'est il prouvable et y a t'il des limites à la rationalité ?

Le 10/01/2020 à 19:13, Guillaume_des_CS a dit :

Pouvez-vous m'expliquer, euh..., je vous le demande en toute humilité, quel est le sens philosophique de votre sujet?

Bonjour.

Ben c'est marrant ça. Quand on dit à un philosophe que la philosophie de la nature est morte, il monte au créneau avec vigueur. A juste titre. Mais quand il s'agit de mettre en pratique, la philosophie de la nature devient hors sujet.

Donc :

 - le sujet initial est : je pars de l'apriori que les maths sont le moyen le fiable et rigoureux de raisonner. Et je montre qu'en fait, les maths sont délicieusement surprenantes. En effet, ce que j'ai écrit (peut-être trop techniquement pour certains, je m'en excuse), c'est que les maths sont incohérentes, ou a minima il existe une preuve de leur incohérence. Ce n'est pas rien, philosophiquement parlant.

 - extension possible : depuis Galilée, les maths sont le langage dans lequel on décrit la nature, langage qui est devenu bien plus (treuil ontologique, toussa).

Il y a plein d'autres issues. Mais il semblerait incroyable que ces sujets ne soient pas philosophiques ! (sachant en plus qu'ils ne sont pas sujets de la science ou des maths...).

Le 10/01/2020 à 18:33, zenalpha a dit :

En fait, ton axiome s'il etait vrai sabre sa valeur de vérité elle même puisque le systeme étant inconsistant, une chose comme son contraire peut-être prouvé 

C'est là toute la beauté de la chose. Que dire donc de la possibilité de cohérence des maths ? Sujet, qui d'après certains philosophes de ce site (surtout la mouvance slave) n'est pas fondamentale (n'existe même pas en fait  !). "Samuel, je te le dis, apprends la récurrence à ma façon et ne te pose pas de questions".

Le 10/01/2020 à 18:33, zenalpha a dit :

On ne peut donc pas axiomatiser une axiomatique qui prétend l'existence d'une preuve de cette consistance dans un système pour tout système complexe récursivement axiomatisable et contenant a minima l'arithmétique de Robinson.

Ben je crois que si. Car une preuve est un codage. Un nombre de Godel. C'est ça qui est fort.

Il y a 2 heures, Spontzy a dit :

C'est là toute la beauté de la chose. Que dire donc de la possibilité de cohérence des maths ? Sujet, qui d'après certains philosophes de ce site (surtout la mouvance slave) n'est pas fondamentale (n'existe même pas en fait  !). "Samuel, je te le dis, apprends la récurrence à ma façon et ne te pose pas de questions".

 

Ben je crois que si. Car une preuve est un codage. Un nombre de Godel. C'est ça qui est fort.

Ok mais remettre en cause l'intérêt philosophique de ces débats, c'est soi ne pas s'être interrogé sur ce lien entre concept mathématique et monde empirique, soi promouvoir le sujet voir son propre esprit comme etant fondamental, un existentialisme nihiliste qui ... enferme.

Peu importe...

J'imagine bien une preuve basée sur le codage de Gödel et les nombres de Gödel.

Sauf que même le premier théorème d'incomplétude est l'objet d'interprétation (cf connes Lichnerowicz), de même d'ailleurs que la distinction vérité / prouvabilité 

Ma thèse très simple est que lorsqu'une assertion est indecidable, il y a une possibilité pour la penser "vraie" ou "fausse" sans venir compromettre la consistance d'un système formel.

Gödel exprime ainsi qu'il existe des propositions "vraies" indemontrables dans son théorème quand la manière d'enseigner le même théorème d'incomplétude en Europe definie seulement des propositions "indecidables".

Notre échange tourne d'ailleurs exactement sur cette même question.

Si l'inconsistance d'un système ne peut être démontrée dans le système (2nd théorème) alors, cette proposition est un indecidable.

Tu peux alors la considérer vraie sans compromettre la consistance du système initial

Mais c'est un jeu de symbole et non de sémantique 

Comme dit Lichnerowicz, qu'est une proposition vraie indemontrable ?

Enfin bon..

Bise

Le 10/01/2020 à 18:33, zenalpha a dit :

Hello @Spontzy

Je ne te donne que mon point de vue...faillible peut-être...

Il me semble que l'axiomatique est plus "restreinte" que la notion de "vérité".

Elle est considérée "vraie" DANS la nouvelle théorie, c'est certain, car elle en est le pilier, le cadre de définition et, dans le même temps, elle n'est pas "vraie" dans l'absolu de part l'incomplétude (et d'ailleurs peut même être démontré fausse et vraie dans le même temps dans le système s'il est inconsistant)

Prenons l'axiome du choix, il peut-être accepté ou rejeté et on aura deux systèmes antagonistes bien que consistants l'un comme l'autre et qui considereront pourtant dans cette alternative leur propre énoncé comme un axiome vrai alors que cet énoncé pour ce même axiome est ... contradictoire d'un système à l'autre 

Ou l'axiome du nombre de parallèles à un point extérieur à une droite qui sera toujours vrai dans chaque géométrie consistante différente bien que leurs énoncés soient incompatibles (0, 1, une infinité)

Ce sont des "sous systèmes" d'ensembles plus vastes et ce qui est vrai d'un sous système peut ne s'avérer qu'un cas très particulier d'un système plus vaste.

La notion même de vérité n'est d'ailleurs pas duale dans l'absolu (cf topos)

Ici, le problème est que ZFC n'est pas un sous système, il est considéré être le système le plus général qui soit.

Tu ne peux pas prouver la consistance d'un système dans le système (godel)

On ne peut donc pas axiomatiser une axiomatique qui prétend l'existence d'une preuve de cette consistance dans un système pour tout système complexe récursivement axiomatisable et contenant a minima l'arithmétique de Robinson.

En fait, ton axiome s'il etait vrai sabre sa valeur de vérité elle même puisque le systeme étant inconsistant, une chose comme son contraire peut-être prouvé 

J'ai préféré le définir d'indecidable en imaginant un meta système contenant ZFC dans lequel cette proposition serait indecidable

Mais il est évident pour moi que l'axiome qui serait vrai dans ZFC tout en decrivant l'inconsistance de ZFC serait nul puisque la preuve elle même serait inconsistante dans ZFC

Il ne peux exister de preuve dans un système inconsistant  si ce n'est la preuve de son inconsistance...

injecter cette preuve dans un système ne le rendra jamais consistant.....puisqu'existe la preuve...de son inconsistance.

Bravo si qqn a suivi lol

Bonjour Zenalpha, poigne de mains

Merci, ce que j'aime chez toi tu es clair, au moins on comprends bien, certain c'est de la trituration de méninges ou on se demande dans quel folie on nage.

Non seulement j'ai tout suivi, mais je partage, quoique le ZFC, ça me fait bizarre aussi, j'ai beau me dire c'est de la tradition, ouai enfin j'ai comme l'impression d'avoir loupé quelque chose.

Le 12/01/2020 à 08:25, zenalpha a dit :

Très simplement 

L''Univers et notre place dans l'Univers serait le sujet philosophique plus concret.

Et dans cette réflexion la place des mathématiques par rapport à l'univers.

Etes vous comme Platon, socrate ou Aristote ?

Avez vous votre propre conception sur ce miracle du pari métaphysique de Galilée qui....marche ?

Et dans ce rapport, quelles conséquences tirez vous du théorème de Gödel ?

En defrichant les sujets, sujet aprè sujet, les conséquences sont vertigineuses.

Il y a un voyage de la raison humaine qui confine à l'au delà 

Ce dieu cosmique d'Einstein qui a ... motivé...la plupart des grands savants car s'interroger sur ces questions c'est mieux se comprendre soi même 

A moins que vous ne soyez pur mathématicien et que l'horizon soit plus vaste encore 

Personnellement, je me suis totalement demandé comment s'intéresser à la philosophie en zappant la question du sens de la vie ou des raisons de l'ordre.

Il n'y a pas que la religion ni le terre a terre, les réponses c'est en nous que les trouverons, personnelles et dans ces questions les limites de la raison.

Qu'est il prouvable et y a t'il des limites à la rationalité ?

 

Trop génial! Faites-en sketch! Je vous assure, c'est trop comique... Vous ferez plus vite fortune qu'avec les maths, croyez-moi!... 

Le 13/01/2020 à 10:09, Spontzy a dit :

Bonjour.

Ben c'est marrant ça. Quand on dit à un philosophe que la philosophie de la nature est morte, il monte au créneau avec vigueur. A juste titre. Mais quand il s'agit de mettre en pratique, la philosophie de la nature devient hors sujet.

 

Donc :

 - le sujet initial est : je pars de l'apriori que les maths sont le moyen le fiable et rigoureux de raisonner. Et je montre qu'en fait, les maths sont délicieusement surprenantes. En effet, ce que j'ai écrit (peut-être trop techniquement pour certains, je m'en excuse), c'est que les maths sont incohérentes, ou a minima il existe une preuve de leur incohérence. Ce n'est pas rien, philosophiquement parlant.

 - extension possible : depuis Galilée, les maths sont le langage dans lequel on décrit la nature, langage qui est devenu bien plus (treuil ontologique, toussa).

 

Il y a plein d'autres issues. Mais il semblerait incroyable que ces sujets ne soient pas philosophiques ! (sachant en plus qu'ils ne sont pas sujets de la science ou des maths...).

 

Je n'ai pas compris, mais je vous remercie de m'avoir répondu. Peut-être que si vous pouviez le formuler en français?... Et avec quelques arguments précis (des exemples, par exemple...). Mais bon, je comprends aussi que vous n'avez pas devoir à vous mettre à ma portée...

Il y a 1 heure, Guillaume_des_CS a dit :

Trop génial! Faites-en sketch! Je vous assure, c'est trop comique... Vous ferez plus vite fortune qu'avec les maths, croyez-moi!... 

Pour faire fortune financièrement, j'éviterai avec soin les idées du rayon philosophie.

Merci quand même, vous êtes marrant.