Quelle est la nature des mathématiques?

Justement, et c'est là où je voulais en venir, l'infini ne se résume pas à l'infini dénombrable.

Il existe les infinis indénombrables, ce que Cantor avait d'ailleurs bien vu!

Oui, mais c'est la justification qui pose problème en réalité dans le cas qui nous occupe, car on part d'un postulat ( il existe des ensembles infinis ) puis par définition ensembliste, on stipule qu'un ensemble qui est équipotent avec une de ses parties est donc infini, ce qui ne peut bien évidemment pas servir de preuve pour prouver, à partir de l'exemple de Contre-exemple, que l'ensemble est infini, puisqu'on part du résultat pour montrer le résultat, ce qui est totalement insatisfaisant.

Ce qui est plus pertinent, c'est de dire, que si un ensemble contient un sous-ensemble dénombrable et infini, alors cet ensemble est lui-même infini ! En toute logique.

Néanmoins, l'ensemble des nombres réels, même si il n'est pas à proprement parler dénombrable, on peut trouver un " algorithme " pour le construire de toute pièce, ce qui fait que l'on peut ajouter autant d'éléments que de besoin, comme par principe avec les entiers naturels ou rationnels, par exemple:

Je distribue les nombres entiers autant que je veux, puis dans la partie décimale, je commence par adjoindre un chiffre allant de 0 à 9 sur chacun d'eux à la première décimale, je recommence l'opération pour la deuxième décimale pour chaque nombre précédemment créé, ainsi de suite, je peux imaginer ce processus aussi bien à l'infini dans sa partie entière que dans sa partie fractionnaire, ainsi je suis sûr de pouvoir traiter tous les nombres réels en écriture décimale, je ne prends ou ne m'arrête que là où j'estime que c'est suffisant/satisfaisant, c'est donc également intrinsèquement un procédé itératif.

Si nous voulons connaitre l'ensemble infini des nombres premiers uniquement, nous n'avons pas d'autres choix que de les calculer à partir de formules plus ou moins convergentes rapidement, encore un procédé itératif/répétitif.

L'hôtel de Hilbert s'appuie grandement sur les ensembles conçus par Cantor, c'est assez instructif, et surtout totalement itératif/récursif/répétitif. ( il existe un cahier PourLaScience à ce sujet )

J'ai une vision constructiviste des mathématiques, je n'ignore pas qu'il existe des objets mathématiques dont on prouve l'existence mais dont on ne peut exhiber aucun élément, même en nombre éventuellement infini, toutefois le moyen d'y parvenir est à ma connaissance lui même récursif ou répétitif.

Les objets mathématiques existent-ils éellement comme le prétendent les platoniciens ou les partisans du réalisme en mathématiques? L'idée d'infini ou de cercle, d'où proviendraient-elles et correspondraient-elles à des objets réels?

Par opposition nous pourrions parler de la vision aristotélicienne selon laquelle les objets mathématiques seraient de pures constructions de l'esprit, des idéalités liées à notre faculté d'abstraction. Mais il me semble donc que selon les aristotéliciens, les mathématiques devraient être une pure invention issue de l'esprit humain, une succession de symboles composant des phrases logiques qui se déduisent les uns des autres selon des règles de grammaire strictes.

Mais comment les mathématiques seraient-elles alors formelles?

En effet, si les mathématiques étaient un système formel alors elles n'excèderaient pas nos capacités de démonstration, tandis que Gödel montre non seulement qu'une théorie mathématique complète et cohérente n'existe pas, mais pire encore, qu'il y a des vérités mathématiques indémontrables! Gödel était par ailleurs un partisan célèbre du platonisme ou du réalisme mathématique.

Quelle est la nature des mathématiques? Quelle réalité accorder à leurs objets? Comment le réel pourrait-il être systématiquement déductible de l'irréel?

bonsoir, juste une curiosité bien connue:

"La suite de Fibonacci est un objet mathématique qui construit chaque terme successif en additionnant les deux précédents, soit: Fn+1 = Fn + Fn-1 . Partant de F0 et de F1 égaux à 1, on obtient la suite de nombres: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 etc. Une des particularités de cette suite est que le rapport de deux termes consécutifs converge rapidement vers le fameux Nombre d'Or, qui vaut approximativement 1,618 : 13/8=1,625 21/13=1,615 34/21=1,619 (15).

Quel rapport avec les formes? Et bien l'étonnant est que, d'une manière ou d'une autre, cette suite se retrouve fréquemment dans la nature, par exemple:

a. dans les fleurs de tournesol, où les graines s'ordonnent en spirales toujours caractérisées par deux nombres consécutifs de la suite: 34 dans un sens et 55 dans l'autre pour les petites; 55 et 89 pour les moyennes; 89 et 144 pour les grandes. Idem avec les pommes de pin, l'ananas (8 et 13 spirales), etc.b. de très nombreuses plantes ont leurs feuilles disposées en hélice le long de leurs branches, avec des arrangements qui sont là encore caractérisés par deux nombres consécutifs de la suite.

c. certaines plantes comme l'Achillea ptarmica ont des processus de croissance qui font apparaître la suite de Fibonacci dans le nombre des embranchements successifs.

d. les coquilles du nautile et de l'ammonite ont une forme spiralée déduite elle aussi de la suite de Fibonacci.

d. bien que ce ne soit pas en rapport direct avec la forme, je tiens à signaler sa présence dans l'ADN lui-même, sous forme de résonances qu'il serait trop long d'expliquer ici (16).

On trouvera des illustrations ainsi que d'autres considérations (en anglais) sur la suite de Fibonacci à l'adresse suivante: http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

On entend parfois dire, en guise d'explication, que la suite de Fibonacci émerge "naturellement", au sens ici de " mécaniquement ", parce qu'elle permet un arrangement "optimal". A ceci, je rétorquerai: 1. si c'est vrai, alors pourquoi la nature n'adopte-t-elle pas systématiquement de tels arrangements; 2. la nature ne recherche pas forcément l'optimum, la preuve étant qu'elle sait très bien se débrouiller avec des configurations qui sont loin de l'être (voir figure 3 les prolongements thoraciques des membracides). J'ajouterai qu'aucune raison physique ne permet de comprendre pourquoi le nautile s'enroule ainsi alors que la plupart des mollusques semblent se contrefiche de la suite de Fibonacci! Enfin, j'aimerais signaler que cette suite ne se rencontre pratiquement pas dans le règne Minéral (pas du tout même à ma connaissance). Il arrive parfois que l'on tombe sur le Nombre d'Or, mais il est vraiment bien caché. Lorsqu'il apparaît, c'est le plus souvent en rapport avec des phénomènes chaotiques, plus précisément lors de leur transition d'un comportement quasi-périodique à un comportement chaotique.

Récapitulons:

la suite de Fibonacci ne se trouve pratiquement pas dans le règne Minéral;

elle est assez fréquente dans les règnes Végétal et Animal;

mais chaque fois qu'on la rencontre, il se trouve des espèces plus ou moins proches qui ne s'y conforment pas.

Ma conclusion est que cette présence organisatrice de la suite de Fibonacci ne relève pas d'une impérative nécessité physique, mais d'un choix délibéré au niveau de l'espèce. C'est une sorte de règle sous-jacente à l'élaboration de sa forme, qui participe de son intention, une trame de fond sur laquelle la forme se tisse.

Il y a sûrement plein d'autres règles qui reflètent, et qui ce faisant révèlent, l'existence d'une intention chez l'être qui prend forme dans la matière. Mais je n'irai pas plus loin, car au fond mon but est atteint: on sait maintenant que les formes des êtres vivants présentent certaines caractéristiques qui ne sont imputables ni au "hasard", ni à des "nécessités" physiques. Voilà qui suffit à ouvrir la porte à des dimensions non matérielles. Mais à partir de là, toute une série de nouvelles questions se pose. En particulier, comment s'effectue le passage de l'intention à la forme matérialisée?"

La mathématique est la science des choses qui se réduisent à leurs définitions. La systématique des mathématiques sert à comptabiliser et mesurer les choses de façon analytique et rigoureuse.

D'une manière plus romantique, la mathématique est au monde physique ce que la musique est à la réalité sonore...

Les objets mathématiques

Nous devrions peut-être plutôt parler de représentations, et non d’objets, question de dissiper les confusions.

existent-ils réellement

Elles existent, bien sûr, puisque nous en parlons. Ont-elles une réalité matérielle ? Bien sûr que non. Personne n’a jamais rencontré de « 3 » ou de « % » au coin de la rue.

Quelle est la nature des mathématiques?

Les mathématiques constituent une discipline, c’est-à-dire un corpus d’exercices dans le cadre d’une ascèse de l’esprit.

Quelle réalité accorder à leurs objets?

Je ne crois pas que l’on puisse « accorder » de la réalité à quoi que ce soit. La réalité agit. La réalité se sent, elle nous est donnée. La question est plutôt celle de la vérité des mathématiques. J’ai déjà défini les mathématiques comme discipline, c’est-à-dire comme corpus d’exercices dans le cadre d’une ascèse de l’esprit. Cela signifie que les mathématiques elles-mêmes n’agissent pas, ne sont pas réelles, mais qu’en revanche, un individu peut adopter des attitudes et poser des actes bien réels et dont la teneur est mathématique. On appellera « vérité » la prégnance accordée par l’individu de cette discipline sur son esprit.

Comment le réel pourrait-il être systématiquement déductible de l'irréel?

On ne déduit pas de réel à partir des mathématiques. Les mathématiques, couplées aux observations d’une discipline scientifique quelconque, nous permettent d’établir de quelle manière notre action pour s’intriquer dans les choses de la nature. Autrement dit, par les mathématiques, nous en restons toujours au seuil du réel, dans ce que nous appelons le possible. Par exemple, la neuvième planète du système solaire, dont l’existence aurait été récemment déduite par des calculs, n’appartient pas au champ du réel : elle n’est qu’un possible. Ce nouveau résultat ne constitue qu’une avancée dans la résolution de notre champ d’action astrophysique. Maintenant, quelqu’un va bien finir par envoyer une sonde afin de repérer cette planète hypothétique et pour nous permettre de faire l’expérience de sa réalité.

Nombre d’or, pétales d’une fleur, gnagnagna…

Je vais donner un exemple concret : celui de la musique. D’aucuns affirmeront volontiers que la musique a une nature éminemment mathématique, tel que démontré par Pythagore, qui avait mis en évidence le lien ténu qui existe entre les nombres et les rapports harmoniques. Mais voilà : les nombres ne sont pas nécessaires à la musique. Les mathématiques appliquées à la musique nous permettent de prolonger le champ d’intrication de la main humaine à produire des sons divers, à construire des instruments toujours plus sophistiqués, à composer des musiques toujours plus élaborées. Mais à la base, la musique, c’est un ou plusieurs individus qui tapotent sur un ou des objets quelconques et qui vibrent au son qui est produit par ce tapotement. C’est cela le phénomène de la musique. Tout le reste n’est que purement accessoire. Tout le reste n’est que discipline concertée des individus à pousser un phénomène à des expressions plus complexes, c’est-à-dire à augmenter le degré de résolution dans l’appréhension de l’intrication de la main humaine dans ce phénomène.

Contrairement aux autres sciences experimentales (physiques, biologie ...), les "objets" mathematiques n'ont pas besoin d'existence reelle dans la nature.

Seul la veracité des raisonnements mathematiques compte.

Quand les mathematiques decrivent qu'un triangle a 3 angles aigus et stipulent que la somme des 3 angles font 180°, il n'y a pas besoin de savoir si les triangles existent dans la nature ou non. En revanche si on en trouve dans la nature, c'est sûr que la somme de leur angle font 180°.

Perso, je vais tout à fait dans ce sens.

La nature pour moi des mathématiques, c'est la logique qui nous fait passer d'un point a à un point b, d'un état de choses à un autre.

Les mathématiques, c'est la logique, de la logique pure.

Et c'est avec ce meme type de logique qu'on raisonne (enfin qu'on raisonne juste), que ce soit en philo ou dans n'importe quelle matière où la rigueur est de mise, ne serait-ce déjà que pour construire une phrase sensée.

En clair, c'est la logique des causes et des effets, de la non-contradiction etc.

« Quelle est la nature des mathématiques? »

La mathématique est le langage descriptif des phénomènes physiques et mécaniques.

La mathématique est le langage descriptif des phénomènes physiques et mécaniques.

euh pas vraiment ... et meme pas du tout ...

euh pas vraiment ... et meme pas du tout ...

Ah bon ! Moi qui croyais naïvement qu’un physicien, digne de ce nom, lorsqu’il était confronté à une formule mathématique de son domaine de compétence était capable mentalement de se représenter, au moins succinctement, le phénomène qu’elle décrivait ?

Ah bon ! Moi qui croyais naïvement qu’un physicien, digne de ce nom, lorsqu’il était confronté à une formule mathématique de son domaine de compétence était capable mentalement de se représenter, au moins succinctement, le phénomène qu’elle décrivait ?

Les physiciens utilisent des mathematiques pour decrire des phenomenes physiques.

Mais les mathematiques sont independant des phenomenes physiques.

Les physiciens utilisent des mathematiques pour decrire des phenomenes physiques.

Mais les mathematiques sont independant des phenomenes physiques.

« Les physiciens utilisent des mathematiques pour decrire des phenomenes physiques. »

Comme le commun des mortels utilisent le langage écrit ou parlé pour décrire des phénomènes ou objets observés dans leur environnement.

« Mais les mathematiques sont independant des phenomenes physiques. »

Comme le langage écrit ou parlé est indépendant des phénomènes ou objets observés.

« Les physiciens utilisent des mathematiques pour decrire des phenomenes physiques. »

Comme le commun des mortels utilisent le langage écrit ou parlé pour décrire des phénomènes ou objets observés dans leur environnement.

« Mais les mathematiques sont independant des phenomenes physiques. »

Comme le langage écrit ou parlé est indépendant des phénomènes ou objets observés.

Un peu "comme le langage"... sauf que les mots renvoient à autant de choses et sont de plus interconnectés entre eux, et ce d'une façon plus "humaine" qu'autre chose.

... alors que la logique suffit aux maths.

« Mais les mathematiques sont independant des phenomenes physiques. »

Comme le langage écrit ou parlé est indépendant des phénomènes ou objets observés.

Le langage écrit ou parlé, la logique mathématique ne sortent pas de nulle part.

Les mathématiques pures ne sont qu'un mythe, n'existent pas dans la réalité.

Sans apprentissage par essais et erreurs pas de langage, pas de mathématiques.

Pas de mathématiques sans apprentissage, par essais et erreurs.

Quand les mathematiques decrivent qu'un triangle a 3 angles aigus et stipulent que la somme des 3 angles font 180°, il n'y a pas besoin de savoir si les triangles existent dans la nature ou non.

Pffffff ... qu'est-ce qu'il ne faut pas lire comme conneries sur ces forums !

Combien d'occasions de se taire qui se perdent franchement, c'est dingue !

Comme le langage écrit ou parlé est indépendant des phénomènes ou objets observés.

Cela dépend. Nous n'écrivons ou nous ne parlons que parce que parce qu'il y a d'abord des phénomènes et des objets sur lesquels nous voulons agir.