Enigmes et paradoxes

il y a 59 minutes, Le Sage Libéral a dit :

Trois prisonniers, A, B, C, sont dans leurs cellules. Ils savent qu'un des trois va être grâcié, les deux autre condamnés à mort. Un gardien arrive. A lui demande de lui désigner un des condamnés parmi B et C. Celui-ci désigne B.
A lui dit : « Merci, grâce à toi j'ai maintenant une chance sur deux d'être grâcié. »
C a entendu la conversation et répond :
« Pas du tout. C'est moi qui vous remercie, maintenant je sais que j'ai deux fois plus de chances (deux chances sur trois) d'être grâcié.

Qui a raison ?

Ce paradoxe montre la puissance du raisonnement bayésien.

La pensée mathématique commence par les axiomes, continue par les théorèmes, et se poursuit par les paradoxes. Quintilien en était féru. (Sorite cornu. Le crocodile...)

Il y a 2 heures, Le Sage Libéral a dit :

Qui a raison ?

Tous les deux.

il y a 7 minutes, Talon 1 a dit :

La pensée mathématique commence par les axiomes, continue par les théorèmes, et se poursuit par les paradoxes. Quintilien en était féru. (Sorite cornu. Le crocodile...)

Tous les deux.

Non le deuxième, ce n'est pas vraiment un paradoxe, le prisonnier A a commit une erreur de raisonnement.

il y a 2 minutes, korvo a dit :

Non le deuxième, ce n'est pas vraiment un paradoxe, le prisonnier A a commit une erreur de raisonnement.

En voilà un très difficile : "je mens."

il y a 1 minute, Talon 1 a dit :

En voilà un très difficile : "je mens."

Il faut préciser dans l’énoncé que le gardien ne ment pas et que le juge et le gardien n'ont aucune préférence pour l'un des prisonniers.

il y a 33 minutes, korvo a dit :

Il faut préciser dans l’énoncé que le gardien ne ment pas et que le juge et le gardien n'ont aucune préférence pour l'un des prisonniers.

Non c'est moi qui dit : je mens. Donc je dis vrai, donc je mens. Une aporie.

il y a une heure, Talon 1 a dit :

Non c'est moi qui dit : je mens. Donc je dis vrai, donc je mens. Une aporie.

Oui, ça ressemble au paradoxe du barbier.

Il y a 2 heures, Talon 1 a dit :

En voilà un très difficile : "je mens."

T dit : "je mens"

Donc T répond, implicitement, à la question : "que fait T maintenant ?"

La réponse de T est fausse, en effet ce qu'il a fait, c'est dire qu'il mentais.

Et T lui-même ne peut pas répondre à cette question, temps bien même T dirait : "j'affirme que je mens"

T ne fait pas ça affirmer qu'il ment, mais affirmer qu'il affirme qu'il ment...


En bref, si T dit : "je mens"
Ce n'est pas exacte, car ce qu'il fait exactement, c'est affirmé qu'il ment.

il y a 30 minutes, korvo a dit :

Oui, ça ressemble au paradoxe du barbier.

Le barbier est imberbe (c'est une femme, un jeune apprenti ou le barbier à été brûlé au second degré) 

Je vous propose un paradoxe dont il existe une explication (je la donnerai si personne n'en trouve une). 

Que dire de la phrase : "cette phrase est fausse"=P ? 

il y a 56 minutes, korvo a dit :

Oui, ça ressemble au paradoxe du barbier.

Connais pas.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_du_barbier

Il y a 7 heures, Le Sage Libéral a dit :

Voici un paradoxe, je pense, très connu :

Un dimanche, un homme est condamné par un juge à être pendu à 12h, dans la semaine qui suit la condamnation, entre le lundi et le dimanche suivant). Il dit à l'accusé qu'il ignorera le jour jusqu'au matin de l'exécution. Une fois rentrée dans sa cellule, l'accusé se met à réfléchir :

« je ne serai pas pendu dimanche prochain car si je suis en vie samedi après 12h, je saurai que l'exécution a lieu le lendemain, ce qui contredira les propos du juge. Je ne serai pas pendu samedi car si je suis en vie le vendredi après 12h, je saurai que l'exécution a lieu le lendemain (puisque je viens d'éliminer le fait qu'elle ait lieu le dimanche), ce qui entrera encore en contradiction avec le décret du juge. »

En répétant ce raisonnement, il en déduit : « je ne serai pas pendu mardi ». Puis : « La seule possibilité qui reste est que je sois pendu demain lundi mais dans ce cas, ça contredit encore les propos du juge sur l'ignorance de la date de l'exécution. Je ne serai donc jamais exécuté ! »

Il s'endort apaisé et passe les jours suivants très sereinement. Le jeudi à 11h55, il est très surpris de voir le bourreau venir le chercher !

 

L' exemple est fallacieux .  Le paradoxe, implique l'humain en contact, 2 dimensions existentielles . Aliéné au monde, en doublon, également . L' antagonisme, implique l'humanité en contact, 2 éléments à priori incompatibles, puisque contraires, en doublon, aussi ...

L'humain en contact, peut être aliéné, et confondu . Jamais l'humanité n'appartenant qu'à une seule dimension existentielle .

Le 19/06/2022 à 14:29, Le Sage Libéral a dit :

Trois prisonniers, A, B, C, sont dans leurs cellules. Ils savent qu'un des trois va être grâcié, les deux autre condamnés à mort. Un gardien arrive. A lui demande de lui désigner un des condamnés parmi B et C. Celui-ci désigne B.
A lui dit : « Merci, grâce à toi j'ai maintenant une chance sur deux d'être grâcié. »
C a entendu la conversation et répond :
« Pas du tout. C'est moi qui vous remercie, maintenant je sais que j'ai deux fois plus de chances (deux chances sur trois) d'être grâcié.

Qui a raison ?

En vérité, tout dépends de la façon dont on voit les choses n'est-ce pas ?:

A considère que B ne fait plus partie de l'équation, puisse-que le gardien l'a éliminé. Autrement dit, A efface B du problème initiale qui était ''1 chance de survie sur 3 individus''. Par conséquent, son calcul ne concerne plus, selon lui, que A et C = 2 individus. Et donc, il se dit: ''plus qu'1 chance sur 2''.

C, quant-à-lui, garde en tête le problème initial. Il n'élimine pas B dans son calcul de probabilités. En ce cas, ''1 chance sur 3'' devient bien ''2 chances sur 3'' car les 3 individus de départ font toujours partie de l'équation. B a tout simplement ''perdu'' sa chance. Une chance qui s'ajoute à celle de A et C.

Heureux de constater que le sujet suscite de la discussion. Voici quelques solutions

Le 19/06/2022 à 14:13, Le Sage Libéral a dit :

Voici un paradoxe, je pense, très connu :

Un dimanche, un homme est condamné par un juge à être pendu à 12h, dans la semaine qui suit la condamnation, entre le lundi et le dimanche suivant). Il dit à l'accusé qu'il ignorera le jour jusqu'au matin de l'exécution. Une fois rentrée dans sa cellule, l'accusé se met à réfléchir :

« je ne serai pas pendu dimanche prochain car si je suis en vie samedi après 12h, je saurai que l'exécution a lieu le lendemain, ce qui contredira les propos du juge. Je ne serai pas pendu samedi car si je suis en vie le vendredi après 12h, je saurai que l'exécution a lieu le lendemain (puisque je viens d'éliminer le fait qu'elle ait lieu le dimanche), ce qui entrera encore en contradiction avec le décret du juge. »

En répétant ce raisonnement, il en déduit : « je ne serai pas pendu mardi ». Puis : « La seule possibilité qui reste est que je sois pendu demain lundi mais dans ce cas, ça contredit encore les propos du juge sur l'ignorance de la date de l'exécution. Je ne serai donc jamais exécuté ! »

Il s'endort apaisé et passe les jours suivants très sereinement. Le jeudi à 11h55, il est très surpris de voir le bourreau venir le chercher !

 

Le 19/06/2022 à 14:29, Le Sage Libéral a dit :

Trois prisonniers, A, B, C, sont dans leurs cellules. Ils savent qu'un des trois va être grâcié, les deux autre condamnés à mort. Un gardien arrive. A lui demande de lui désigner un des condamnés parmi B et C. Celui-ci désigne B.
A lui dit : « Merci, grâce à toi j'ai maintenant une chance sur deux d'être grâcié. »
C a entendu la conversation et répond :
« Pas du tout. C'est moi qui vous remercie, maintenant je sais que j'ai deux fois plus de chances (deux chances sur trois) d'être grâcié.

Qui a raison ?

La réponse intuitive serait de dire que A a raison. En réalité c'est C. Pour s'en rendre compte sans passer par des calculs de probabilités conditionnelles, il faut se dire qu'il y a 2 chances sur 3 que le gracié soit parmi B et C, en éliminant B, les 2 chances sur 3 reviennent à C.

Un autre paradoxe classique :

Le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe-t-il ?

Par signe j'entends les lettres de l'alphabet, les chiffres, les signes mathématiques usuels (<,>,...).

Le 13/07/2022 à 17:11, Le Sage Libéral a dit :

Un autre paradoxe classique :

Le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe-t-il ?

Par signe j'entends les lettres de l'alphabet, les chiffres, les signes mathématiques usuels (<,>,...).

Deux alternatives possibles :

A. 1. : L'ensemble E des entiers qui peuvent être écrits ou définis en moins de 67 signes est un ensemble fini et l'ensemble des entiers est un ensemble dénombrable. Or tout ensemble dénombrable privé d'un ensemble fini possède un plus petit élément (proposition mathématique assez facile à prouver, si besoin je le ferai). L'ensemble des entiers privé de E correspond à l'ensemble des entiers qui ne peuvent ni être écrits ni être définis en moins de 67 signes et possède ainsi un plus petit élément. La réponse est alors oui : le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe.

A. 2. : Supposons que le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe, on vient pourtant de le définir en 66 signes (l'expression « le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes » comporte 66 signes). La réponse est alors non.

Une résolution du paradoxe (ou de l'antinomie pour reprendre les mots de W. V. O. Quine) passe par l'introduction des concepts de langage objet et métalangage. Le métalangage est la langage qui permet de tenir un discours à propos du langage objet.

Dans le cas présent, le langage objet sera l'ensemble des expressions qui peuvent être construites à partir des lettres de l'alphabet, des chiffres, des signes mathématiques usuels (<,>,...), exceptés les termes « écrit » et « défini ». Le métalangage est constitué du langage objet auquel on rajoute les termes « écrit » et « défini ».

Enfin pour résoudre le paradoxe, il faut préciser que dans l'énonce E : « Le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe-t-il ? », « écrit » signifie « écrit dans le langage objet » et « défini » signifie « défini dans le langage objet ».

Une fois cela posé, l'alternative A. 2. disparaît en remarquant que le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes peut se définir dans le métalangage en 66 signes, sans contradiction.

Il existe donc bien un plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini (dans le langage objet) en moins de 67 signes mais qu'on peut définir en 66 signes dans le métalangage.