Les nombres complexes

il y a 15 minutes, Hérisson_ a dit :

 

Le rapprochement n'est pas une connerie: si l'on a x << 81 , alors (x/81) <<1

et sin(x/81) ~ x/81 , ce qui conduit à l'expression approchée:

sin(x)/sin(x/81) ~ sin(x)/(x/81) = 81.sinc(x) .

Les deux graphes se superposent approximativement au voisinage du pic central.

Oui et je me demande si en additionnant plusieurs fonctions sinus cardinal décalées de façon correspondante (même s'il faudrait en ajouter une infinité pour avoir une adéquation parfaite) on retomberait pas sur nos pieds, puisque les petites vagues pourraient, en s'additionnant, nous permettre de retrouver notre valeur pour la fonction d'origine !

il y a 55 minutes, Quasi-Modo a dit :

Oui et je me demande si en additionnant plusieurs fonctions sinus cardinal décalées de façon correspondante (même s'il faudrait en ajouter une infinité pour avoir une adéquation parfaite) on retomberait pas sur nos pieds, puisque les petites vagues pourraient, en s'additionnant, nous permettre de retrouver notre valeur pour la fonction d'origine !

# Je me suis gouré dans le message d'hier, un peu dépassé par les problèmes de typographie: lire partout T = (81*2π) au lieu de T = (81π) ; les résultats sont inchangés.

# L'addition d'un nombre illimité de termes conduit à une série dont il faut établir la convergence.

On part de la fonction F(x) = Sin(x)/Sin(x/T) , qui admet pour période T = T = (81*2π) ;

il faut se restreindre au domaine [-T/2 ; +T/2], puis envisager la somme:

S(x) = Sinc(x) + Sinc(x - T) + Sic(x + T) + Sinc(x - 2T) + Sinc(x - 2T) ...

soit d'une façon plus formelle:

S(x)  = Sinc(x) + Σ[pour k=1 à Inf]](Sinc(x - k.T) + Sinc(x + k.T)) =

ou encore:

S(x)  = Sinc(x) + Σ[pour k=1 à Inf]](Sin(x - k.T)/(x - k.T) + Sin(x + k.T)/(x + k.T)) .

Je crois que cette série est convergente, mais c'est un cas limite sur lequel il est difficile de trancher.

Et il faudrait établir l'expression de la limite, et s'assurer qu'elle correspond à la fonction de départ F(x), à un facteur multiplicatif près .

Il y a 5 heures, Hérisson_ a dit :

Je crois que cette série est convergente, mais c'est un cas limite sur lequel il est difficile de trancher.

Elle apparaît effectivement convergente, quant on y regarde d'un peu plus près:

Lorsque (k) tend vers l'infini, les termes (Tk) de la série présente Tk = 1/(4k²N²π² - x²)

deviennent équivalents à (1/4N²π²)*(1/k²);

or on sait que la série en (1/k²) converge: il en est donc de même pour l'autre.

il y a une heure, Hérisson_ a dit :

Elle apparaît effectivement convergente, quant on y regarde d'un peu plus près:

Lorsque (k) tend vers l'infini, les termes (Tk) de la série présente Tk = 1/(4k²N²π² - x²)

deviennent équivalents à (1/4N²π²)*(1/k²);

or on sait que la série en (1/k²) converge: il en est donc de même pour l'autre.

Bien joué, pour ma part je me sens un peu dépassé par les calculs même si j'essaye !

Mais je vois que cette suite des 1/k² correspond à la suite du problème de Bâle, qui devrait donc correspondre à π² / 6

Toutefois il faudra que je tente de recoller les morceaux, je pense qu'avec ce que tu viens de démontrer on peut y arriver (avec du temps et de l'acharnement sans doute)  En un mot : Waouh c'est beau

Le 07/02/2019 à 10:45, hell-spawn a dit :

Oh j'arrive au résultat remarquable suivant :

 

sin(x)/sin(x/a)  (a impair) = produit de ( 1+2cos(2x/a^k)+2cos(4x/a^k) +2cos(6x/a^k)+....)

(k va de 1 a n et pour a=3 on a les 2 premiers termes, pour a=5 3 termes, pour a=7 4 termes...)

Pour le prouver il suffit de remarquer que sin(nx)/sin(x) est l'expression des polynomes de Tchebychev de 2eme espece

et donc on prend ces polynomes pour n=3,5,7,9...

soit 4X^2-1;  16X^4-12X^2+1  .......  avec X=cos(x) et les exposants   supérieurs a 1  on les décompose suivant: 2X^2=2*cos(2X)+1   On vérifie ainsi que les relations sont vraies au rang 1 (k=1) il ne reste plus que de passer par la récurrence pour prouver le produit ( comme dans l'exercice )

Il y a 10 heures, hell-spawn a dit :

Pour le prouver il suffit de remarquer que sin(nx)/sin(x) est l'expression des polynômes de Tchebychev de 2eme espèce

et donc on prend ces polynômes pour n=3,5,7,9...

Gauss est le premier à exposer la représentation géométrique des nombres complexes. Il souligne la correspondance entre les nombres complexes et les points du plan. Les nombres complexes sont représentés par les points d’un plan formé par l’axe des réels (en pratique : l’axe horizontal des x) et par l’axe des i (en pratique l’axe vertical, perpendiculaire à l’axe des x). Ainsi à chaque nombre complexe d’écriture générale a + ib il est possible de faire correspondre un point et un seul dont l’abscisse sera égale à a et l’ordonnée à b.

Après les travaux de Gauss les mathématiciens vont élaborer le concept de vecteur. Les objets mathématiques : a + ib ; le point M du plan de coordonnées a et b ; le segment OM ; le couple ordonné de nombres (a,b) ont en commun des propriétés identiques à la fois d’ordre géométrique et d’ordre algébrique. Ce sont des objets différents qui réfèrent à une même propriété mathématique profonde. Cet objet mathématique abstrait se concrétise dans l’objet mathématique : vecteur.

Il y a 2 heures, Hérisson_ a dit :

Tu as probablement voulu dire: les polynômes de Tchebychev de 1re espèce (n impair). À ce détail près, c'est en effet cela.

Non, non, j'ai bien voulu dire les polynomes de deuxieme espéce.

Il y a 6 heures, hell-spawn a dit :

Non, non, j'ai bien voulu dire les polynomes de deuxieme espéce.

On est une bande de jeunes on déconne hein...

Je me Gauss à tel points que je manque d'Euler.

Quelque chose m'échappe.

Le 09/02/2019 à 21:00, hell-spawn a dit :

Pour le prouver il suffit de remarquer que sin(nx)/sin(x) est l'expression des polynômes de Tchebychev de 2eme espèce

et donc on prend ces polynômes pour n=3,5,7,9...

Si (n) est impair (odd), cela ne colle pas ...

à moins qu'il ne soit intervenu un changement de notation.

Bien vu.

Je pense qu'il a rien dans ses manches tu devrais faire tapis

Impair passe et manque

C'est un impair, manque de comprenette et passe ton tour.

Notez que si vous jouez au casino à la roulette (non pas la russe ducon lâche ça !) ...cette expression, elle aussi, est une connerie 

On est une bande de jeunes on déconne...

Il y a 12 heures, Hérisson_ a dit :

Si (n) est impair (odd), cela ne colle pas ...

Si n est impair on a :

sin(nx)/sin(x)=  U(n)  ( U polynome de T 2eme espéce au rang n )

sin(3x)/sin(x) = U3    sin(5x)/sin(x)=U5,  .........

Et U3=4X^2 -1  U5=16X^4-12X^2+1 ....... ( avec X=cosx)

Et donc ce qu'il faut prouver c'est la relation :

1+2cos(2x)+2cos(4x)+... 2cos(kx) = sin(nx)/sin(x) =Un    ( k= 1 pour n=3, k=2 pour n=5, k=3 pour n=7...)

Mais j'avoue que c'est assez nébuleux, il faut prendre son temps pour mettre tout ça au propre.

Le calcul est effectivement pénible; si (n) est impair et s'exprime en fonction d'un autre entier naturel (n') par la relation:

n = 2n' + 1 , on obtient:

sin(nx)/sin(x) = (-1)^((n-1)/2)*Tn = (-1)^(n')*Tn

ce qui met en cause une autre parité, celle de (n').

L'expression de départ est discutable sur plusieurs points, les polynômes de 2nde espèce sont notamment associés au facteur cos(x):

il y a 16 minutes, hell-spawn a dit :

Si n est impair on a :

sin(nx)/sin(x)= (-1)^?*U(n-1)*cos(x)  ( U polynôme de T 2eme espèce au rang n-1 )

... / ...

Et donc ce qu'il faut prouver c'est la relation :

1+2cos(2x)+2cos(4x)+... 2cos(kx) = sin(nx)/sin(x) =Un    ( k= 1 pour n=3, k=2 pour n=5, k=3 pour n=7...)

Il est probablement plus simple de développer le calcul sans introduire expressément ces polynômes: ils apparaîtront spontanément dans le résultat.

il y a 31 minutes, Hérisson_ a dit :

Le calcul est effectivement pénible; si (n) est impair et s'exprime en fonction d'un autre entier naturel (n') par la relation:

n = 2n' + 1 , on obtient:

sin(nx)/sin(x) = (-1)^((n-1)/2)*Tn = (-1)^(n')*Tn

ce qui met en cause une autre parité, celle de (n').

L'expression de départ est discutable sur plusieurs points, les polynômes de 2nde espèce sont notamment associés au facteur cos(x):

Il est probablement plus simple de développer le calcul sans introduire expressément ces polynômes: ils apparaîtront spontanément dans le résultat.

sin(nx)/sin(x)= (-1)^?*U(n-1)*cos(x)  ( U polynôme de T 2eme espèce au rang n-1 )

 voici les courbes de sin(5x)sin(x)  et celle due polynome de Tchebyshev de 2 eme espece de rang 5, elles coincident parfaitement:

Il y a 2 heures, hell-spawn a dit :

 voici les courbes de sin(5x)sin(x)  et celle due polynome de Tchebyshev de 2 eme espece de rang 5, elles coincident parfaitement:

Je reconnais dans ce graphe des pics de hérisson dont on aurait fait la peau, étalés sur une brochette pour être passés au barbecue.

Vivement les vacances vendredi...

C'est ce que je pensais: ton calcul est bon

Il y a 4 heures, hell-spawn a dit :

voici les courbes de sin(5x)sin(x)  et celle du polynôme de Tchebyshev de 2eme espèce de rang 4, elles coïncident parfaitement:

et l'image obtenue constitue une forte présomption de justesse.

Il y a eu néanmoins changement de variable

et tu as utilisé implicitement la définition des polynômes de seconde espèce: U[n-1](cos(t)) = sin(nt)/sin(t) .

https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_de_Tchebychev

Tu obtiens dans le cas particulier (n=5):

U[4](cos(t)) = 16(1 - sin²(t))² - 12(1 - sin²(t)) + 1 = 16sin(x)^4 - 20sin²(x) + 5 = T[5](sin(x))/sin(x) .

Cependant, tu as réussi un calcul difficile.

Quelle magnifique démonstration par récurrence @Hérisson_ on s'est tous regalés et ça mérite donc des grosses félicitations 

J'ai enfin compris pourquoi être un hérisson aidait pour récurer, tout celà sans agent ni produit d'entretien !

Désolé je te tannerai plus même pour une peau qui fait fantasmer la tannerie !

Dis moi, ça te dérange si je publie ?

Sans te froisser c'est grâce a moi tout ça et puis ce qui intéresse le scientifique c'est la beauté du geste, non ?

Faut que j'appelle Perelman d'ailleurs 

Mais qu'il est con ce russe...

@hell-spawn@Quasi-Modoen un seul mot : bravo !

Enfin, Zenalpha concède de la considération pour Hérisson !

Voilà le sujet "appaisé". Je ne l'ai pas suivi mais je leur fais confiance !

Pour résumer : les nombres complexes, c'est complexe !

J'ai souvenir de cauchemars anciens où des solutions des équations de moments d'inertie de molécules de stéroïdes tournant sous l'action d'un champs de M.O. en infra rouge étaient "imaginaires". Cependant ces solutions étaient bien présentes dans les spectres IR !  C'était dans ma thèse en 1966 !

Comme quoi, la partie imaginaire des nombres complexes permet de résoudre des problèmes biens réels, ce que savent depuis longtemps les électriciens de réseaux ou les spécialistes des oscillations en tous genres.

Merci messieurs les mathématiciens !