Thèse de Church

Calculer la n'ième décimale de pi en langage binaire

En attendant, je n'ai toujours pas de réponse concernant ma question qui finalement n'est peut être pas si idiote que cela ^^'

Le sujet est délicat, mais en tout cas, pi est calculable dans un langage binaire. Merci pour ce sujet très intéressant Zenalpha. Amitié. Modifié le 3 mars 2016 par Frelser

Cela ne répond toutefois pas à la question. En effet calculer la n décimale de pi peut être fait avec un nombre fini d'opérations, en binaire ou en décimale. Mais le nombre de décimales étant infini, dans les deux cas le calcul excate nécessite un nombre infini d'opérations. Ma question réside dans le sens de l'interprétation implicite d'une fonction ou d'un nombre selon Church et Turing. En fait je me demande si on ne peut pas considérer qu'un nombre irrationnel est calculable de manière exacte par sa définition implicite. Pi étant la surface d'un cercle de rayon unitaire, je dois pouvoir concevoir un tel cercle avec un nombre fini d'opérations, obtenant ainsi un calcul fini implicite de pi.

J'illustre cela en disant que je peux, dans certains cas, obtenir avec un nombre fini d'opérations un calcul exacte reposant pourtant sur un irrationnel à priori non calculable selon church Turing (sqrt (2))^2 = 2 par exemple.

Pour moi, l'écriture numérique est une représentation aussi bien que l'écriture implicite.

Comment cela est il interprèté dans la notion de calculabilité ?

Maintenant je fais peut être erreur en pensant que church-Turing considèrent les irrationnels comme non calculables, c'est ce que j'ai cru comprendre toutefois.

Modifié le 3 mars 2016 par Loopy

philkeun, j'entends bien et crois que je n'aurais pas eu une telle réaction face à un autre personnage que lorrain. En effet je suis parfaitement d'accord sur le fait que des compétences peuvent être demandées à quiconque affirme, mais je voulais dire qu'il est plus noble de proposer au lieu du pointage d'un manque de compétences, un apport plus juste et mieux servi. En gros au lieu de nous dire "vous ne savez rien" il pourrait nous dire "voilà ce que je sais".

Par ailleurs ce comportement pour en avoir moi même fait les frais n'est pas toujours justifié... Après seulement 1 post d'échange avec lorrain j'ai eu droit au fameux "vous ne savez rien" quand il s'est avéré plus tard que j'en savais probablement plus que lui sur ce point precis.

De plus, je ne remets pas en cause les compétences de lorrain qui m'en a même fourni une preuve substantielle. Malheureusement il m'a au passage fourni une preuve substantielle d'un mensonge également (au sujet de son appartenance à l'académie des sciences des US...). D'ou ma volonté d'inciter le personnage à cesser de se mettre en avant en pointant les faiblesses des autres mais plutôt en nous faisant partager ses forces.

Enfin je pense comme je l'ai dit que nous ne sommes pas ici sur une conférence ni sur un workshop ni sur un consortium. Si bien que nous ne pouvons en aucun cas nous prémunir d'une manière ou d'une autre contre les inepties. Il y en aura de toutes façon. Je pourrais te dire ce que je voudrais il serait parfaitement légitime que tu n'accepte pas une affirmation d'autorité de ma part et je ne t'en voudrais pas. Cela n'interdit en rien la conversation. Je doute par ailleurs qu'il y ai ici de véritables personnes digne de s'estimer être une référence indiscutable sur les sujets abordés, divers et parfois très technique. S'il en fallait un à chaque fois, nous n'aurions ouvert aucun sujet sur les ondes gravitationnelles, sur mars, sur la quantique ou la relativité qui sont en gnmenerale les sujets qui intéressent et font parler le plus.

A notre niveau, nous pouvons échanger. Nous pouvons nous documenter avec nos moyen et tant mieux si pour nous répondre nous allons bouffer du wiki, parce que c'est toujours mieux que rien et mieux que des certitudes qui ne reposent sur rien. Personne ici ne devrait mépriser sous prétexte d'être expert. Ici ou ailleurs même.

Cela n'enleve rien au fait que je prends ta remarque et la laisserais mûrir tranquillement dans ma tête. Peut être ai je tort.

En effet, ton expérience personnelle ès matière te donne des arguments que je ne connais pas, et par là un point de vue fondé...

Bien d'accord aussi sur le fait que nul ici ne fait autorité absolue dans un domaine, tout au plus va t-on, comme pour les Echecs, du petit joueur local au grand maître, sans que ce dernier puisse être non plus une référence absolue, car certains de ses pairs tout aussi capables peuvent avoir une autre conception en partant par ex de la même position.

Il existe bien sûr des bases communes sur lesquelles tout le monde est quasiment d'accord, telles que relatées sur les sites sérieux du net, c'est exactement le point que tu avances.

Quant au sujet du post, son aspect plus que pointu limite bien sûr grandement le nombre d'intervenants capables, mais il est possible d'y amener des éléments plus ou moins en rapport avec le sujet, par ex la notion de calculabilité.

Je reprends l'exemple des Echecs, où tout "bon" joueur ayant l'habitude d'affronter l'I.A sait que le calcul pur, appliqué à ce jeu éminement mathématique, c.a.d la force brute des ordinateurs devrait leur permettre de tout calculer, n'est pas exact.

Le défaite du champion de l'époque G.Kasparov contre un ordinateur (deep blue en 1997) montre que dans des conditions de tournoi, avec limite de temps (par ex 3h/60 coups), la force brute des ordinateurs et l'abscence d'erreur dans leurs calculs leur valent grand succès, ce qui n'est pas le cas du tout lors d'une partie par correspondance, étalée sur disons quelques jours, contre n'importe quel GM moyen adepte de cette forme de jeu, à cause de certaines limitations des machines, comme l'effet horizon, l'absence de sens du danger ou l'absence d'intuition...

Ceci n'invaliderait-il pas le présupposé selon lequel "tout ce qui est calculable par l'homme l'est par une machine" ?

Peut être ce présupposé ne s'applique t-il pas à un jeu ayant un but défini, mais au calcul purement mathématique ?

Pourtant, l'intuition semble aussi avoir un rôle déterminant dans certains domaines des maths...

Wiki, sur la calculabilité :

"La calculabilité cherche d'une part à identifier la classe des fonctions qui peuvent être calculées à l'aide d'un algorithme et d'autre part à appliquer ces concepts à des questions fondamentales des mathématiques. Une bonne appréhension de ce qui est calculable et de ce qui ne l'est pas permet de voir les limites des problèmes que peuvent résoudre les ordinateurs..."

Enfin j'arrête là cette pauvre digression sur un sujet qui dépasse de loin mes microscopiques compétences...

Modifié le 4 mars 2016 par philkeun

Cela ne répond toutefois pas à la question. En effet calculer la n décimale de pi peut être fait avec un nombre fini d'opérations, en binaire ou en décimale. Mais le nombre de décimales étant infini, dans les deux cas le calcul excate nécessite un nombre infini d'opérations. Ma question réside dans le sens de l'interprétation implicite d'une fonction ou d'un nombre selon Church et Turing. En fait je me demande si on ne peut pas considérer qu'un nombre irrationnel est calculable de manière exacte par sa définition implicite. Pi étant la surface d'un cercle de rayon unitaire, je dois pouvoir concevoir un tel cercle avec un nombre fini d'opérations, obtenant ainsi un calcul fini implicite de pi.

J'illustre cela en disant que je peux, dans certains cas, obtenir avec un nombre fini d'opérations un calcul exacte reposant pourtant sur un irrationnel à priori non calculable selon church Turing (sqrt (2))^2 = 2 par exemple.

Pour moi, l'écriture numérique est une représentation aussi bien que l'écriture implicite.

Comment cela est il interprèté dans la notion de calculabilité ?

Maintenant je fais peut être erreur en pensant que church-Turing considèrent les irrationnels comme non calculables, c'est ce que j'ai cru comprendre toutefois.

Je peux avoir mal compris la thèse de Turing, mais la question est de pouvoir faire exécuter un processus logique humain à un ordinateur... Dans ce sens, toi ou moi aussi serons définitivement condamnés à calculer une décimale à la fois.

Quant à savoir si il est possible de trouver un langage formel formulable en une ligne finie d'instructions pour générer un nombre irrationnel précis, cela reste à démontrer. Intuitivement, du fait que la façon d'obtenir la valeur de pi est bien cernée, on a tendence à penser que cela doit être possible. Mais, si je ne m'abuse pas, ce n'est pas une question invalidant la thèse de Turing au sens propre. Puisqu'aucun humain n'est capable de citer la série indénombrable de décimales de pi. :p

Modifié le 4 mars 2016 par Frelser

Je n’interviens dans ce débat, que je lis avec intérêt, que pour signaler la petite remarque sibylline de notre sempiternel et futur ex-ami Lorrain que je cite ici

J'ai simplement le tort, je le reconnais, de ne pas résister au besoin de réagir face à des propos dont la teneur témoigne d'un manque patent de connaissances et induit les lecteurs en erreur ou bien aussi de tendances un peu trop métaphysiques ...

D'où mon insistance à être désinscrit, ainsi je ne pourrai plus intervenir.

à lire cela on en arrive à la conclusion que quand, quelque part dans le monde, quelqu’un profère, ce que Lorrain considère comme une ânerie, une force aussi mystérieuse qu’incontrôlable le pousse à intervenir et à pointer du doigt la présumée ânerie en question. Voilà qui éclaire un peu notre lanterne. Comment avons-nous pu être aussi aveugles devant le désarroi dans lequel nos propos ont pu plonger un tel être ? Comment n’avons nous pas compris combien toute bêtise affichée çà et là pouvait le traumatiser à ce point ? Comment n’avons nous pas, ne serait-ce qu’un instant, partagé avec lui le sentiment de vivre au milieu d’individus si superficiels que même le droit à l’existence pourrait leur être dénié ? Comment avons-nous pu rejeter celui qui conscient de vivre dans un monde de brutes et d’ignares était venu ici dans l’espoir d’y trouver havre et sérénité ? Et comment surtout avons-nous pu être aveugles au point de persister à nous manifester alors que sa sérénité avait affiché sa présence parmi nous ?

On peut espérer tout de même qu’après s’être séparé de sa TV, de sa radio, de ses journaux, de son ordinateur, de ses proches, de ses amis, de son chat, de son chien et de ses poissons rouges, il se trouvera enfin seul avec lui-même avec le seul individu supportable de la planète. Oui, on peut espérer cela, surtout s’il a conservé comme compagnon son canari favori.

Modifié le 4 mars 2016 par azad2B

philkeun, j'entends bien et crois que je n'aurais pas eu une telle réaction face à un autre personnage que lorrain. En effet je suis parfaitement d'accord sur le fait que des compétences peuvent être demandées à quiconque affirme, mais je voulais dire qu'il est plus noble de proposer au lieu du pointage d'un manque de compétences, un apport plus juste et mieux servi. En gros au lieu de nous dire "vous ne savez rien" il pourrait nous dire "voilà ce que je sais".

Par ailleurs ce comportement pour en avoir moi même fait les frais n'est pas toujours justifié... Après seulement 1 post d'échange avec lorrain j'ai eu droit au fameux "vous ne savez rien" quand il s'est avéré plus tard que j'en savais probablement plus que lui sur ce point precis.

De plus, je ne remets pas en cause les compétences de lorrain qui m'en a même fourni une preuve substantielle. Malheureusement il m'a au passage fourni une preuve substantielle d'un mensonge également (au sujet de son appartenance à l'académie des sciences des US...). D'ou ma volonté d'inciter le personnage à cesser de se mettre en avant en pointant les faiblesses des autres mais plutôt en nous faisant partager ses forces.

Enfin je pense comme je l'ai dit que nous ne sommes pas ici sur une conférence ni sur un workshop ni sur un consortium. Si bien que nous ne pouvons en aucun cas nous prémunir d'une manière ou d'une autre contre les inepties. Il y en aura de toutes façon. Je pourrais te dire ce que je voudrais il serait parfaitement légitime que tu n'accepte pas une affirmation d'autorité de ma part et je ne t'en voudrais pas. Cela n'interdit en rien la conversation. Je doute par ailleurs qu'il y ai ici de véritables personnes digne de s'estimer être une référence indiscutable sur les sujets abordés, divers et parfois très technique. S'il en fallait un à chaque fois, nous n'aurions ouvert aucun sujet sur les ondes gravitationnelles, sur mars, sur la quantique ou la relativité qui sont en gnmenerale les sujets qui intéressent et font parler le plus.

A notre niveau, nous pouvons échanger. Nous pouvons nous documenter avec nos moyen et tant mieux si pour nous répondre nous allons bouffer du wiki, parce que c'est toujours mieux que rien et mieux que des certitudes qui ne reposent sur rien. Personne ici ne devrait mépriser sous prétexte d'être expert. Ici ou ailleurs même.

Cela n'enleve rien au fait que je prends ta remarque et la laisserais mûrir tranquillement dans ma tête. Peut être ai je tort.

Je relève ce passage intolérable :

"Malheureusement il m'a au passage fourni une preuve substantielle d'un mensonge également (au sujet de son appartenance à l'académie des sciences des US...).

Je vous mets en demeure d'apporter la preuve de mon "mensonge" !

Bonjour,

Ne pensez vous pas qu'il serait plutôt souhaitable que les participants qui parlent avec autorité de certains sujets se devraient de les maîtriser ?

Sinon, ce serait un déballage du grand n'importe quoi.

Pourquoi les forums seraient-ils de préférence des lieux où l'on désapprend plutôt qu'apprendre ?

Mais vous n'avez pas répondu à ma question : Quelles sont vos connaissances en logique mathématique car c'est bel et bien le sujet principal, non ?

Eh bien moi, je vais répondre sommairement à la vôtre : Ma spécialité, que j'ai toujours annoncée, est précisément la logique mathématique.

Ce qui n'est nullement incompatible avec l'immense intérêt que j'ai toute ma vie manifesté pour la physique, disposant d'un bagage mathématique suffisant pour en comprendre les développements au cours des dernières décennies.

C'est pourquoi Google, contrairement à certaines allégations hasardeuses, ne m'intéresse pas du tout, lui préférant ce site : http://ArXiv.org/

Mais j'ai AUSSI toujours bien précisé que je ne suis pas physicien.

Bien à vous.

P.S. J'attends toujours ma désincription à forum.fr pourtant demandée et redemandée par trois fois à Caez, administrateur.

Espérons que cette desinscription n'arrive pas trop tard.

Je peux avoir mal compris la thèse de Turing, mais la question est de pouvoir faire exécuter un processus logique humain à un ordinateur... Dans ce sens, toi ou moi aussi serons définitivement condamnés à calculer une décimale à la fois.

Quant à savoir si il est possible de trouver un langage formel formulable en une ligne finie d'instructions pour générer un nombre irrationnel précis, cela reste à démontrer. Intuitivement, du fait que la façon d'obtenir la valeur de pi est bien cernée, on a tendence à penser que cela doit être possible. Mais, si je ne m'abuse pas, ce n'est pas une question invalidant la thèse de Turing au sens propre. Puisqu'aucun humain n'est capable de citer la série indénombrable de décimales de pi. :p

Sorry ! J'ai mal formulé ma réponse. Ta question sur la calculabilité des irrationnels dépend à mon humble avis du nombre. Certains sont calculables, mais cela nécessite une suite d'opérations indénombrable, comme pour pi. D'autres sont impossibles à calculer, ne se fondant sur aucun critère de mesure ou de dénombrement, donc de calcul. On peut aussi s'amuser et imaginer le cas suivant. Que fera un supercalculateur si je lui demande de me donner la valeur exacte de 4 - pi ?

# Il s'agit en principe d'une "simple soustraction".

# Or, il n'y a pas moyen de commencer l soustraction car la suite est infinie.

# Quand bien même il y aurait moyen de commencer le calcul à l'envers, on reviendrait à une infinité d'opérations.

Modifié le 4 mars 2016 par Frelser

Sorry ! J'ai mal formulé ma réponse. Ta question sur la calculabilité des irrationnels dépend à mon humble avis du nombre. Certains sont calculables, mais cela nécessite une suite d'opérations indénombrable, comme pour pi. D'autres sont impossibles à calculer, ne se fondant sur aucun critère de mesure ou de dénombrement, donc de calcul. On peut aussi s'amuser et imaginer le cas suivant. Que fera un supercalculateur si je lui demande de me donner la valeur exacte de 4 - pi ?

Mille regrets, mais vous interprétez tous de travers le terme : calculabilité ! Cela s'explique par le manque total de connaissances en logique mathématique.

Tout part de la notion de "fonction récursive". Si on ignore le sens de cette expression, on ne peut rien dire de la calculabilité qui n'a rien à voir avec les irrationnels ou les transcendants !

Ce n'est pas cela du tout !

Mais alors, rétorqueront certains, de quoi s'agit-il alors ?

Alors, pour comprendre de quoi il s'agit, il faut avoir étudié cette théorie des fonctions récursives, c'est-à-dire avoir étudié la logique mathématique au moins jusqu'à ces fonctions récursives ! Et ce cours, car il s'agit d'un cours !, ne saurait être exposé dans le cadre d'un forum !!!

Enfin, je crois naïvement que pour parler d'un sujet quel qu'il soit, il est préférable de savoir de quoi on parle, non ???

Moi qui n'y connais rigoureusement rien en médecine, je me vois mal exposer des "raisonnements" abracadabrants à mon médecin qui aurait tôt fait de s'apercevoir que je n'y connais rien !

J'ai remarqué qu'un participant a introduit le symbole "ket" de Dirac sans savoir ce qu'il représente. Ce symbole désigne un vecteur d'état évoluant dans un espace de Hilbert. Si on ignore ce qu'est un espace de Hilbert, espace vectoriel à dimensions complexes pouvant être en nombre infini, alors on ne peut comprendre ce que ce symbole représente. C'est, une fois de plus, parler pour ne rien dire.

Certes, un forum est là pour échanger des points de vue, je suis bien d'accord, mais ne serait-il pas préférable que ces points de vue aient un sens dans le contexte dans lequel ils se manifestent ? Les forums seraient-ils des lieux où l'on peut dire n'importe quoi ? Est-ce ainsi que vous voyez les forums ? Pas moi !

Et c'est justement ce désaccord de fond qui m'a fait demandé à plusieurs reprises ma désinscription.

En effet, à quoi bon ces dialogues inutiles qui ne mènent à rien ?

Contrairement à ce que certains affirment à la légère, je n'éprouve aucun mépris pour quiconque, je m'insurge seulement contre les contre vérités, les agressions gratuites dirigées contre la personne à défaut de s'adresser sur le fond.

Mille regrets, mais vous interprétez tous de travers le terme : calculabilité ! Cela s'explique par le manque total de connaissances en logique mathématique.

Tout part de la notion de "fonction récursive". Si on ignore le sens de cette expression, on ne peut rien dire de la calculabilité qui n'a rien à voir avec les irrationnels ou les transcendants !

Ce n'est pas cela du tout !

Mais alors, rétorqueront certains, de quoi s'agit-il alors ?

Alors, pour comprendre de quoi il s'agit, il faut avoir étudié cette théorie des fonctions récursives, c'est-à-dire avoir étudié la logique mathématique au moins jusqu'à ces fonctions récursives ! Et ce cours, car il s'agit d'un cours !, ne saurait être exposé dans le cadre d'un forum !!!...

On n'a pas besoin de connaître la manière d'élaborer un algorithme récursif pour savoir de quoi il s'agit. En ce sens, il suffit a priori de savoir qu'un calcul récursif consiste grossièrement à automatiser un calcul, parfois sous forme d'une fonction harmonique. Un langage approprié permet à la machine d'avoir les instructions suffisantes pour calculer pas à pas en répétant les operations préprogrammées. Pourquoi tant de pointillisme quand il y a moyen de fournir des informations même incomplètes pour enrichir les sujets. Plutôt que de tout vouloir râcler d'un revers de la main ?

On n'a pas besoin de connaître la manière d'élaborer un algorithme récursif pour savoir de quoi il s'agit. En ce sens, il suffit a priori de savoir qu'un calcul récursif consiste grossièrement à automatiser un calcul, parfois sous forme d'une fonction harmonique. Un langage approprié permet à la machine d'avoir les instructions suffisantes pour calculer pas à pas en répétant les operations préprogrammées. Pourquoi tant de pointillisme quand il y a moyen de fournir des informations même incomplètes pour enrichir les sujets. Plutôt que de tout vouloir râcler d'un revers de la main ?

C'est bien ce que je pensais et ce dernier texte le prouve : Vous n'y connaissez rien et n'en êtes même pas conscient !

Donnez nous donc l'expression montrant la récursivité de la simple addition :

Vous en êtes incapable !

C'est bien ce que je pensais et ce dernier texte le prouve : Vous n'y connaissez rien et n'en êtes même pas conscient !

Donnez nous donc l'expression montrant la récursivité de la simple addition :

Vous en êtes incapable !

Le souci, c'est que je ne sais pas compter. Mais je sais déjà compter jusque trois...

Les vérités primitivement recursives ne concernent que des calculs à aboutissement prévisible : elles permettent d'éliminer un certain nombre de candidats dès le départ pour puissance insuffisante

Dès qu'on a une formalisation de la theorie des nombres suffisamment puissante, Godel s'applique et le système est par conséquent incomplet

Si le système n'est pas suffisamment puissant donc si certaines vérités primitivement recursives ne sont pas des théorèmes le système devient par ce manque incomplet

Des systèmes beaucoup moins puissant que la theorie des nombres tombent dans ce cas, le critère selon lequel toutes les vérités primitivement recursives doivent être représentées comme des théorèmes se révèle faux

La completude de l'ensemble de la theorie des nombres est chimérique mais ce système est complet au moins pour l'ensemble des prédicats récursifs primitifs donc une assertion de la theorie des nombres dont la vérité ou la fausseté peut être déterminé par un ordinateur dans un temps previsible

Dans un algorithme en "boucle" qui prévoit une structure de contrôle en boucle bornée donc un groupe d'instruction qui peut être exécuté et reexecuté un certain nombre de fois defini à l'avance et appelé plafond de la boucle, les types de propriété qui peuvent être détectées sont variées

Si un nombre est premier, parfait, s'il a la propriété goldbach etc

Il ne serait pas délirant de se demander si toutes les propriétés des nombres pourrait être détecté par un tel programme

La question devient : est il toujours possible de donner une limite supérieure à la durée des calculs ou, au contraire, est ce que le système des nombres naturels a une structure irrégulière qui empêche parfois de prévoir la durée de certains calculs ?

Genre de question qui aurait rendu pythagore fou lui qui demontra le premier que racine de 2 est irrrationnel

Pour repondre a loopy la démonstration s'appuie sur la méthode de la diagonale de cantor...

Pouvez vous finir monsieur lorrain svp ?

Je relève ce passage intolérable :

"Malheureusement il m'a au passage fourni une preuve substantielle d'un mensonge également (au sujet de son appartenance à l'académie des sciences des US...).

Je vous mets en demeure d'apporter la preuve de mon "mensonge" !

Vous avez prétendu appartenir à la prestigieuse académie des sciences des états unis (la NAS) jusqu'en 2004. Or on est membre de cette académie à vie.

Vous m'avez fourni la preuve que vous appartenez à une communauté de scientifique nommée l'académie des sciences de NY, qui n'a rien à voir. Confondre les deux est soit une erreur grossière soit un mensonge.

Maintenant lorrain, que les choses soient claires. Vous êtes très compétents, surement. Mais votre personnalité je ne l'apprécie pas. Vous faites preuves de mépris envers les autres (preuve : vos réactions), vous êtes autocentrés et ramenez tout à vous et votre spécialité, vous vous permettez de tester les personnes avec qui vous discutez et vous insinuez en savoir plus que tout le monde sur tous les sujet scientifique ce qui, en plus d'être faux, ne s'accompagne d'aucune participation constructive sur les sujets.

Maintenant libre à moi de vous ignorer.

Adieu.

Sorry ! J'ai mal formulé ma réponse. Ta question sur la calculabilité des irrationnels dépend à mon humble avis du nombre. Certains sont calculables, mais cela nécessite une suite d'opérations indénombrable, comme pour pi. D'autres sont impossibles à calculer, ne se fondant sur aucun critère de mesure ou de dénombrement, donc de calcul. On peut aussi s'amuser et imaginer le cas suivant. Que fera un supercalculateur si je lui demande de me donner la valeur exacte de 4 - pi ?

Si tu lui demande de donner une valeur numérique, un calculateur ne pourra pas. Cependant, tu peux demander une autre représentation parfaitement calculable de cette valeur. Dans le plan, si je trace un cercle de rayon unitaire dans un carré de côté 2, la surface formée par l'emsemble des points appartenant au carré mais pas au cercle est une surface de 4- pi exactement. C'est donc la représentation d'une grandeur numériquement non calculable car irrationnelle.

Cette idée de représentation me vient parce que je pense que les propriétés d'un objet mathématique sont indépendantes de sa représentation. Je peux représenter le plan par un système cartésien ou polaire par exemple. Ces deux représentations sont très différentes et les génèrent des calculs différents. Cependant, les propriétés du plan restent inchangées.

J'ai moi même réfléchi aux limites de mon raisonnement. En effet, j'ai commencé par me dire que si toutes les représentations sont équivalentes, il n'est même pas nécessaire de faire appel à une représentation implicite. Je pourrais simplement représenter pi par la lettre grec "pi". Cependant si je dis "pi" à un ordinateur, il ne le comprendra pas, il faut que je lui définisse cet objet indépendamment de lui même (je ne peux pas lui dire, pi c'est pi).

Or définir pi comme la surface d'un cercle de rayon unitaire est indépendant de pi. La définition du cercle (ensemble des points équidistants d'un point "centre") est indépendante de pi, de même que l'unité et la notion de surface. Cette définition, sans être un calcul explicite est une définition finie et exacte de "pi" qui est indépendante de "pi" lui même.

Donc au final, ne serait équivalentes entre elles que les représentations qui ne dépendent pas d'elle même. Ce serait des sorte de "représentations implicites cohérentes".

Cette réflexion m'intéresse. Parce qu'elle me montre qu'en fait, la calculabilité est une notion plus complexe qu'il n'y parait.

# Il s'agit en principe d'une "simple soustraction".

# Or, il n'y a pas moyen de commencer l soustraction car la suite est infinie.

# Quand bien même il y aurait moyen de commencer le calcul à l'envers, on reviendrait à une infinité d'opérations.

Et pourtant, concevoir un carré de rayon 2 et un cercle de rayon unitaire est possible je pense avec une quantité finie d'opérations. Certes le résultat ne sera pas numérique au sens stricte, mais il sera parfaitement exploitable dans des applications géométriques par exemple.

Les vérités primitivement recursives ne concernent que des calculs à aboutissement prévisible : elles permettent d'éliminer un certain nombre de candidats dès le départ pour puissance insuffisante

Dès qu'on a une formalisation de la theorie des nombres suffisamment puissante, Godel s'applique et le système est par conséquent incomplet

Si le système n'est pas suffisamment puissant donc si certaines vérités primitivement recursives ne sont pas des théorèmes le système devient par ce manque incomplet

Des systèmes beaucoup moins puissant que la theorie des nombres tombent dans ce cas, le critère selon lequel toutes les vérités primitivement recursives doivent être représentées comme des théorèmes se révèle faux

La completude de l'ensemble de la theorie des nombres est chimérique mais ce système est complet au moins pour l'ensemble des prédicats récursifs primitifs donc une assertion de la theorie des nombres dont la vérité ou la fausseté peut être déterminé par un ordinateur dans un temps previsible

Dans un algorithme en "boucle" qui prévoit une structure de contrôle en boucle bornée donc un groupe d'instruction qui peut être exécuté et reexecuté un certain nombre de fois defini à l'avance et appelé plafond de la boucle, les types de propriété qui peuvent être détectées sont variées

Si un nombre est premier, parfait, s'il a la propriété goldbach etc

Il ne serait pas délirant de se demander si toutes les propriétés des nombres pourrait être détecté par un tel programme

La question devient : est il toujours possible de donner une limite supérieure à la durée des calculs ou, au contraire, est ce que le système des nombres naturels a une structure irrégulière qui empêche parfois de prévoir la durée de certains calculs ?

Genre de question qui aurait rendu pythagore fou lui qui demontra le premier que racine de 2 est irrrationnel

Pour repondre a loopy la démonstration s'appuie sur la méthode de la diagonale de cantor...

Pouvez vous finir monsieur lorrain svp ?

Je crois avoir compris qu'il est nul et non avenu de COMPTER sur Lorrain27 pour l'obtention d'une démonstration réfutable. Il est spécialisé pour en exiger, il a dit-on suivi des cours particuliers sur la manière d'exiger des démonstration, mais non pour en fournir.

Je peux avoir mal compris la thèse de Turing, mais la question est de pouvoir faire exécuter un processus logique humain à un ordinateur... Dans ce sens, toi ou moi aussi serons définitivement condamnés à calculer une décimale à la fois.

Quant à savoir si il est possible de trouver un langage formel formulable en une ligne finie d'instructions pour générer un nombre irrationnel précis, cela reste à démontrer.

Intuitivement, du fait que la façon d'obtenir la valeur de pi est bien cernée, on a tendence à penser que cela doit être possible. Mais, si je ne m'abuse pas, ce n'est pas une question invalidant la thèse de Turing au sens propre. Puisqu'aucun humain n'est capable de citer la série indénombrable de décimales de pi. :p

Si l'on souhaite obtenir une représentation numérique. Mais ma question finalement repose sur les représentations potentiellement équivalentes et implicites.

J'ai conscience que je peux faire une grosse erreur quelque part, mais sinon, je ne peux me résoudre à penser que Church et Turing n'ont pas tenu compte de cela d'une manière ou d'une autre. Mais alors, comment l'ont ils justement inclus ?

Pour repondre a loopy la démonstration s'appuie sur la méthode de la diagonale de cantor...

Ah, voila un début de réponse qui me plait ^^.

Cantor a démontré que les nombres transcendants forment un ensemble infini indénombrable alors que les nombres algébriques forment un infini dénombrable

Non intuitivement, si on prend un nombre réel au hasard, la probabilité lors d'un tirage de tomber sur un nombre algébrique (ceux que nous utilisons la plupart du temps...) tend vers zéro

Ce n'est pas Pi qui est rare au sein des nombres réels, ce sont tous les nombres qu'on utilise régulièrement !

Pi appartient à un ensemble de nombre dénombrable, les nombres calculables, à savoir un nombre qu'on peut approcher à une précision souhaitée en un nombre fini d'opérations

C'est donc un nombre dont le calcul jusqu'à n'importe quelle décimale peut être obtenu par l'ordinateur (modulo la puissance de calcul, la mémoire physique, la performance de l'algorithme...)

L'ensemble de tous les programmes informatiques, des fonctions calculables est donc un ensemble dénombrable

Et pour en revenir à l'intuition trompée, la probabilité de tirer au hasard un nombre calculable dans les nombres réels tend aussi vers zéro...

Puisque Pi est calculable, calculons le...

C'est la "chasse au décimale" qui est quant à elle limité par des considérations d'ingénierie, de mémoire, de puissance de calcul etc etc

Pour reprendre l'image de la vitesse de la lumière, c'est la vitesse maximale théorique et Pi est calculable à l'infini mais la limitation de nos moyens en l'état actuel de nos connaissances (et aussi de considérations purement physique telles que nous les connaissons mais passons...) fait qu'on ne voyagera pas à cette vitesse parce que nous sommes limités

Calculables, calculés mais pas calculé à l'infini

On ne sait même pas encore si pi est un nombre univers ou un nombre normal

Mais je laisse à un grand mathématicien du forum le soin de faire la démonstration mathématique de mes propos

Ses devoirs surveillés avec les corrigés en face des trous ne répondent pas forcément à cet exercice qui, pourtant, est bien le seul parmi ces défis hors sujets qui nous intéresserait

Forum.fr cherche mathématicien pour démonstration

Ne pas écrire, se présenter.

Modifié le 4 mars 2016 par zenalpha

Cantor a démontré que les nombres transcendants forment un ensemble infini indénombrable alors que les nombres algébriques forment un infini dénombrable

Non intuitivement, si on prend un nombre réel au hasard, la probabilité lors d'un tirage de tomber sur un nombre algébrique (ceux que nous utilisons la plupart du temps...) tend vers zéro

Ce n'est pas Pi qui est rare au sein des nombres réels, ce sont tous les nombres qu'on utilise régulièrement !

Pi appartient à un ensemble de nombre dénombrable, les nombres calculables, à savoir un nombre qu'on peut approcher à une précision souhaitée en un nombre fini d'opérations

C'est donc un nombre dont le calcul jusqu'à n'importe quelle décimale peut être obtenu par l'ordinateur (modulo la puissance de calcul, la mémoire physique, la performance de l'algorithme...)

L'ensemble de tous les programmes informatiques, des fonctions calculables est donc un ensemble dénombrable

Et pour en revenir à l'intuition trompée, la probabilité de tirer au hasard un nombre calculable dans les nombres réels tend aussi vers zéro...

Puisque Pi est calculable, calculons le...

C'est la "chasse au décimale" qui est quant à elle limité par des considérations d'ingénierie, de mémoire, de puissance de calcul etc etc

Pour reprendre l'image de la vitesse de la lumière, c'est la vitesse maximale théorique et Pi est calculable à l'infini mais la limitation de nos moyens en l'état actuel de nos connaissances (et aussi de considérations purement physique telles que nous les connaissons mais passons...) fait qu'on ne voyagera pas à cette vitesse parce que nous sommes limités

Calculables, calculés mais pas calculé à l'infini

On ne sait même pas encore si pi est un nombre univers ou un nombre normal

Je vois. Est ce que je synthétiserais correctement en disant alors que mon erreur réside dans le fait de considérer "pi" comme non calculable au sens de Church-Turing, alors qu'en fait il est calculable ?

Oui parce que la calculabilité ne répond pas au fait d'avoir calculé mais simplement de pouvoir le faire

Et pouvoir le faire consiste à définir un algorithme de calcul qui permette pas à pas selon une boucle donnée répétée un certain nombre de fois d'obtenir la solution

L'enjeu du calcul de Pi est d'avoir l'algorithme le moins mangeur de mémoire, le plus économe en ressources machine et d'avoir l'ordinateur le plus puissant en vitesse de calcul et en performance pour cracher en sortie le résultat

Tu entres la donnée, tu récupères la sortie et entre les deux ton algorithme mouline

Si on en est à 200 milliards de chiffres après la virgule, c'est parce que les algorithmes pour le calcul ont été de plus en plus pertinents avec des machines de plus en plus puissantes

On ira donc plus loin puisque c'est calculable

Mais nous sommes limités par nos moyens

Potentiellement, si je fais une simple division d'une quasi infinité de nombres sur une quasi infinité de nombres, le nombre de pas à effectuer va lui aussi dépasser la puissance machine

On ne sait pas diviser des infinités qui dépasseraient la puissance de résolution de l'algorithme

Bien que tout le monde sache diviser personne ne disposera des 1000 siècles qu'il faut à un humain si je lui donne à résoudre une division de la mort qui tue.

Pareil pour un ordi

calculable mais non calculé. C'est comme Lorrain, Responsable mais pas coupable...

Modifié le 4 mars 2016 par zenalpha

Cher Loopy, il me semble que tu confond calculable et obtention du résultat. Pi est clairement calculable, y compris via un algorithme in silico. Ton approche pour inclure tout pi dans la formule ou programmer de calculer un à un toute une suite infinie conduisent à la même notion de calculabilité. Mais, le fait d'être calculable stricto sensu ne signifie pas que nous en ayions le temps. Au final, il faudrait comme le souligne notre ami Zenalpha une capacité de mémoire illimitée pour stoquer la valeur de pi même dans un langage informatique hyper compressé et condensé. Donc, je crois pouvoir confirmer que tu as plausiblement mal compris la thèse de Turing.

Cordialement.