Les paradoxes

En blanc sur blanc, cela donnerait... (oui, je n'ai toujours pas compris comment on fait des spoiler )

Ancienne explication, de Galilée lui même : il n'y a pas de relation d'ordre entre les infinis. Chaque segment possède une infinité de point, et on ne peut dire qu'une inifinité est plus grande, plus petite, ou égale à une autre. Galilée dit donc que ce paradoxe est en réalité un non -sens.

PS: je viens de découvrir le spoiler moi aussi :D C'est tout bête, tu déroules le menu "autres styles" et tu choisis "spoiler"

Allez, un petit indice histoire d'aider ceux qui le veulent :

Quelle est la différence entre un infini dénombrable et un infini indénombrable?

La même qu'entre le Coca Zéro et le Coca light ?

(L'un est mathématique, l'autre est légèrement plus philosophique^^ ?)

Considérons un autre paradoxe (sans rapport avec le premier) :

Considérons un segment [AB] et un points P qui lui appartient.

Alors le nombre de points sur [AP] est différent du nombre de points sur [AB], et pour s'en convaincre il ne reste qu'à faire une bijection de [AP] sur [AB] :

Si le nombre de points étaient égaux, à chaque points de [AP] correspondrait un unique points de [AB] (c'est ce qu'on appelle une bijection en langage mathématique).

Cependant prenons la bijection triviale de l'identité. A chaque points de [AP] correspond le même points de [AB], si bien qu'une fois que tous les points de [AP] sont "consommés", il reste encore des points sur [AB], c'est à dire ceux situés sur le segment [PB] !!!

Donc contrairement à ce qu'on vous a toujours enseigné, il n'y a pas le même nombre de points sur deux segments de taille différente... ...

Où est l'erreur?

J'ai bien compris qu'on ne pouvait comparer 2 ensembles non finis, mais pourtant il semble logique qu'il y a plus de points sur AB que sur AP non? (et d'ailleurs je vois pas comment on pourrait dire:

Cependant prenons la bijection triviale de l'identité. A chaque points de [AP] correspond le même points de [AB], si bien qu'une fois que tous les points de [AP] sont "consommés", il reste encore des points sur [AB], c'est à dire ceux situés sur le segment [PB] !!!

Sans que ça soit le cas

euh, si je ne m'abuse, c'est exactement ce que j'écrivais plus haut quand je disais que "l'erreur" est de prendre le parti impossible de comparer deux infinis Sauf que j'ignorais que Galilée était passé par là avant.

PS: je viens de découvrir le spoiler moi aussi :D C'est tout bête, tu déroules le menu "autres styles" et tu choisis "spoiler"

Allez, un petit indice histoire d'aider ceux qui le veulent :

Quelle est la différence entre un infini dénombrable et un infini indénombrable?

La même qu'entre le Coca Zéro et le Coca light ?

(L'un est mathématique, l'autre est légèrement plus philosophique^^ ?)

J'ai bien compris qu'on ne pouvait comparer 2 ensembles non finis, mais pourtant il semble logique qu'il y a plus de points sur AB que sur AP non? (et d'ailleurs je vois pas comment on pourrait dire:

Cependant prenons la bijection triviale de l'identité. A chaque points de [AP] correspond le même points de [AB], si bien qu'une fois que tous les points de [AP] sont "consommés", il reste encore des points sur [AB], c'est à dire ceux situés sur le segment [PB] !!!

Sans que ça soit le cas

Il a longtemps été admis qu'on ne pouvait pas comparer deux infinis, mais c'est maintenant le cas depuis les travaux de Cantor (voici la démonstration pour les plus chevronnés d'entre vous : Diagonale de Cantor.

En fait, on distinguerait les infinis dénombrables des infinis indénombrables.

La réponse au premier paradoxe consiste précisément à comprendre que l'infini d'un segment est indénombrable tandis que le nombre de points communs entre la ligne orange et la diagonale sera au mieux un infini dénombrable.

Je tenterai de vous expliquer cela plus simplement dès que j'ai le temps.

Concernant la réponse à la question du second paradoxe, toby5843, voici la démonstration du fait que le nombre de points est le même. C'est une démonstration géométrique par projections successives.

-A chaque points de [AP] correspond un unique points de [AC] selon la projection par l'axe (d). Il y a donc bien le même nombre de points sur [AP] et [AC].

-A chaque points de [AC] correspond un unique points de [AB] selon la projection par l'axe (d'). Il y a donc bien le même nombre de points sur [AC] et [AB].

-Comme le nombre de points est le même sur [AP] et sur [AC], mais également sur [AC] et sur [AB], on en déduit que le nombre de points est le même sur [AP] et [AB] en imaginant qu'on projette chaque points de [AP] d'abord sur [AC] et ensuite sur [AB].

Voici la solution sans le spoiler.

Démonstration :

On projette les points de [AP] selon l'axe (d) sur (AC). On obtient le segment [AC]. La couleur orange permet de bien voir que le nombre de points est le même.

Alors on peut projeter les points du segment [AC] selon l'axe (d') sur la droite (AB). On obtient le segment [AB].

On a donc d'une part, si le nombre de points de [AB] est noté P[AB] :

P[AP] = P[AC] ET P[AC] = P[AB]

Mais deux valeurs égales à une même troisième sont égales entre elles, et donc :

P[AP] = P[AB] (= P[AC])

Voici une solution au premier paradoxe :

Un petit paradoxe sympa à connaître :

Soit A = 0,999999999999999... (le nombre de 9 étant infini)

On a donc :

10 x A = 9,99999999999...

10 x A = 9 + A

9 x A = 9

A = 1 !!!!!!

Comment se fait-il que 0,9999999... soit égal à 1?

Erf... là par contre, il ne s'agit pas vraiment d'un paradoxe cher ami...

Mais d'une démonstration mathématique...

0.9999999.... (une infinité de 9) étant noté 0.9 et étant bien égal à 1 ^^'

Vous venez d'ailleurs d'en écrire une des très nombreuses démonstrations

Salut Mad_World :) Super Topic

Il y a quelques années déjà (que le temps passe ) , j'avais fait cette même remarque sur le côté paradoxale si on pose:

1x 0,9999999... = 0,9999999... et non 1; donc 0,9999999... n'est pas égal à 1 parfois ..

et tu m'avais dis que ça n'étais pas une démonstration certes mais en mathématique et en science le plus simple est souvent le plus juste non ? C'est d'après moi assez paradoxale .

De plus ,il peut y avoir des résultats étonnants avec 1 :

1x1 =1

11x11 =121

111x111 =12321

1111x1111 =1234321

11111x11111=123454321

(mais ça n'est pas paradoxale)

Pour les infinis dénombrables il y a le fameux dessin en diagonale de Cantor:

1/1

2/1 ,1/2

1/3, 2/2, 3/1

4/1 , 3/2, 2/3, 1/4

1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1

6/1, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/6....

L'astuce est que dans chaque ligne la somme du numérateur et du dénominateur donne le même nombre :

L'ordre est bien défini pour compter toutes les fractions sans en oublier une seule .

Et les nombres décimaux sont eux d'une infinité indénombrable.

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __

Le paradoxe de la réversibilité (sic) d'où l'irréversibilité ne serait que de fait et non de principe ,est aussi intéressant .

Le paradoxe sur la nature du temps est pas mal :

Soit le court du temps crée le monde à mesure qu'il passe, instant après instant; soit il ne fait que parcourir un territoire déjà existant .

Dans le premier cas , il est son propre moteur ??? Et dans le second quel est la nature du dit territoire ???

Un peu plus loin (si j'ose dire) le paradoxe de l'instant présent :

Est-il ce par quoi le temps se donne à nous ou ce par quoi nous nous situons dans le temps ?

Le Maintenant est paradoxal dans le fait qu'il est insaisissable , il se renouvelle sans cesse et pourtant il semble fixé dans son instantanéité^^ ...

Et paradoxalement , il est 5 heure et je m'endort

A+