Pourquoi 1=0.999999999...

Non. Un nombre ne se défini pas par son écriture. Mais par sa valeur.

La valeur d'un nombre ne se confond-elle pas avec son écriture lorsque celle-ci est arrêtée et mise sous la forme la plus simple possible ?

La valeur de 0.99999.... est 1.

Et la notion de limite, alors ?

Dans ce cas, "pi" n'est pas un nombre. Au même titre que Racine de 2 ou même 1/3...

Ce que je voulais dire, c'est que pi, racine de 2 ainsi que 1/3 sont des nombres qui ont une écriture déterminée, ce qui n'est pas le cas de 0,99999... qui, dans cet exemple précis, n'est pas le résultat d'une opération mais le point de départ du raisonnement (je n'ai pas le vocabulaire qui me permette de m'exprimer de façon claire et concise :blush: ).

Votre démonstration est fausse. Pour raison simple mais pas évidente. L'erreur et toujours la même : la confusion entre fini et infini.

Un nombre qui admet une dernière décimale est fini. Nécessairement, car le nombre à une première décimale (juste derrière la virgule) et une derrnière. Donc ce qui il a entre deux point bien distincts est clairement fini.

Il n'y a pas confusion entre fini et infini, je suis simplement partie d'un exemple fini pour que ça puisse rester abordable pour moi comme pour les autres.

Pour ce qui m'a amené à raisonner de cette façon, je l'aborderai + bas.

Cependant vous écrivrez : 8.99999....91

Ceci est un nombre qui admet une première décimale (9) une dernière décimale (1) et qui a une quantité infinie de décimal (...). Ceci n'a pas de réalité mathématique. Tout comme une division par zéro ou un rapport de vecteur... Ceci "n'existe" pas. Les guillemets servent simplement à montrer que cette inexistence est innérente même à la propriété de l'objet en question.

Mais le débat entier repose sur une notion qui n'a pas de réalité mathématique, puisque le calcul de départ, celui-là même qui a amorcé le débat, contient une soustraction entre 2 nombres infinis.

Si faire des opérations sur des nombres infinis ne peut avoir de sens, alors le débat lui-même n'en a pas.

En fat quand je dit 'on ne peu plus rajouter de décimal" cela signifie que, comme les mathématiques nous le permettent, nous considéront le cas irrelle qui consiste à dire que vous avez déjà ajouter toutes les décimale à l'infini. De sorte que si vous en rajouter une de plus, la quantité de décimale reste la même puisqu'en fait on considère que cette nousvelle décimale... était déjà présente... vous voyez ??

Sauf que justement l'infini est un concept, et qu'à mon sens, le fait de considérer les décimales comme étant "déjà là" est autant une vue de l'esprit que celle d'imaginer un processus infini de rajout de décimales.

Bon, maintenant, de trois choses l'une :

Soit on part du principe d'un rajout constant de décimale, comme je l'ai fait, et celà revient à considérer deux suites,

la première ayant pour limite 1 et pour valeurs n1 = 0,9 ; n2 = 0,99 ; n3 = 0,999 ; etc (X étant l'hypothétique valeur de n max , qui bien sur n'a pas de réalité, vu que la suite est infini...);

la deuxième (qui résulte de la mulplication par 10 de la première suite) ayant pour limite 10 et pour valeurs N1 = 9 ; N2 = 9,9 ; N3 = 9,99 ; etc (10X étant l'hypothétique valeur de N max).

En posant l'opération Nx - nx , on arrive à la même conclusion que celle à laquelle je suis arrivée précédemment (la rigueur en + , vu qu'on évoque pas directement la notion d'infini).

Soit on part du principe que l'infini étant une notion incernable, la quantité de décimale l'est aussi, et ainsi toute opération mathématique les impliquant perd tout son sens.

Ainsi, 9,99999... - 0,9999999... = 8,99999...91 n'a effectivement aucune pertinence, mais de même que 9,999999... - 0,9999999... = 9 , et tout le débat repose donc sur du vide.

Soit, enfin, on considère, étant donné la quantité infini de décimales, que 0,999999... est égal à 1, comme l'a écrit Mad_World, et il faut alors totalement réécrire le sujet de départ, partant de ce principe :

x=0.999999999...

10x=9.999999999... (10 multiplié par x egal 10 multiplié par0.999999999...)

10x-x=9.9999999999... - 0.9999999999...

9x=9

x=1

devient donc

x=1

10x=10(10 multiplié par x egal 10 multiplié par 1)

10x-x=10 - 1

9x=9

x=1

et il n'y a plus vraiment à débattre...

par contre si il y en a qui soutiennent encore dur comme fer que 0.999... est différent de 1 sans pour autant apporter la moindre de preuve qui n'ai pas déjà été réfuté, là, j'avoue, a part vous conseiller de ne jamais tenter de faire des étude de math, je vois plus trop quoi faire... désolé...

Pour ma part, je ne compte pas faire des études de maths, et encore moins révolutionner la recherche, donc tout va bien

Si il s'intéresse aux fondements en particulier... peut-être devrait-il regarder du côté du vôtre. Question ouverture vous semblez en avoir plus que moi de ce côté. Mais peut-être est-ce déjà pour cette raison que ce serait votre ami.

Nullement.

M'est avis que vos connaissances en matière de sexualité équivalent à celles que vous possédez en mathématiques.

En effet... dans les 2 cas je me pose des questions.

Me revoici Mad_World.

J'aimerais vous posez 2 petites question toutes simples avant de vous présenter mes prochains arguments...

1-Un entier naturel peut-il être constitué par une infinité de chiffres?

2-Peut-on dire que le nombre représenté par (ⁿ) exprimant une puissance en base 10 (10ⁿ) indique la quantité de chiffres contenus dans un nombre en représentation décimale... que Xⁿ contient n+1 chiffre(s) avant la virgule et que X^-n contient n chiffre(s) après la virgule?

Sans doute me verrez-vous venir... mais je vous demanderais de faire de preuve retenu en ne répondant qu'aux 2 questions ici présentes... vous aurez bien l'occasion et tout votre temps de m'accrochez plus tard si c'est le cas. :blush:

La valeur d'un nombre ne se confond-elle pas avec son écriture lorsque celle-ci est arrêtée et mise sous la forme la plus simple possible ?

Non, la valeur d'un nombre est une notion très abstraite. Elle est simple pour les nombres naturels, mais se compléxifie au point de devenir quasi ment incompréhensible quand on commence à parler de nombre irrationnelle ou pire, de nombre imaginaire. Exemple, quelle est la valeur du nombre noté i dont le carré est égal à -1 ?

Cette notion est si complexe (c'est le cas de le dire ) qu'à l'invention des nombres imaginaires, les mathématitiens se refusaient même à les écrire. Il se servaient de phrase complète comme :

"le nombre dont le carré est l'unité négative multiplié par... "

Et la notion de limite, alors ?

Justement, 0,99999..... EST une limite...

Sa valeur est la même que le nombre 1.

Ce que je voulais dire, c'est que pi, racine de 2 ainsi que 1/3 sont des nombres qui ont une écriture déterminée, ce qui n'est pas le cas de 0,99999... qui, dans cet exemple précis, n'est pas le résultat d'une opération mais le point de départ du raisonnement (je n'ai pas le vocabulaire qui me permette de m'exprimer de façon claire et concise :blush: ).

Non, 0,9999.... est un nombre. Il peut être vu comme résultat ou non d'une oppération, mais quelquesoit la manière dont vous le considérez, il une manière d'écrire le nombre 1. Je crois comprendre ce que vous voulez dire. Mais je reprend l'exmple marquant de "i" :

i, c'est un nombre (accessoirement imaginaire pure...).

Ce nombre est le résultat d'une oppération. Il s'agit de la solution de l'équation x²=-1

On peut utiliser le nombre i dans bien des applications. Mais quoi qu'il arrive, ce nombre reste et demeure la solution de l'équation x²=-1

Il en va de même pour 0,999.....

Considérez le comme vous voudrez, il reste le résultat d'une oppération....

Mais le débat entier repose sur une notion qui n'a pas de réalité mathématique, puisque le calcul de départ, celui-là même qui a amorcé le débat, contient une soustraction entre 2 nombres infinis.

Si faire des opérations sur des nombres infinis ne peut avoir de sens, alors le débat lui-même n'en a pas.

Pourquoi ??

N'aurais je donc pas le droit de soustraire pi à lui même et dire que le résultat est 0 très exactement ?

Ce nombre à une réalité mathématique. La réalité qu'il n'a pas, c'est la réalité physique uniquement !

Mais il s'agit d'un objet mathématique... aussi abstrait soit il.

Sauf que justement l'infini est un concept, et qu'à mon sens, le fait de considérer les décimales comme étant "déjà là" est autant une vue de l'esprit que celle d'imaginer un processus infini de rajout de décimales.

C'est enbêtant ça... de continuer encore de raisonner sur le processus. Le processus, en quelque sorte, c'est de la physique. Jamais il ne sera envisgeable. Mais on a le droit d'utiliser le résultat de ce processus inenvisageable de manière physique (mais envisageable de manière mathématique) tant que nous somme capable de calculer ce résultat. C'est ça, la notion de limite !!

Si je suis capable de calculer la limite, je suis en droit d'utiliser ce résultat, qui physiquement n'est pas attégnable, mais qui mathématiquement est vrai et existe. L'existence mathématique (qui donne le sens mathématique) n'est pas l'existence physique. i existe mathématiquement mais pas physiquement, même si on l'utilise. Quand on intègre en mathématique, on additionne des morceau infiniment petit. Ou plutôt, la valeur qu'aurait les morceau s'ils étaient infiniment petit. Le resultat reste bien un nombre (je parle d'intégrale pas de primitive) et ce résultat est exacte si je peux le calculer analytiquement, ou approcher si je me contente de le calculer numériquement.

Disons alors que 0,9999.... n'est numériquement pas calculable, mais analytiquement calculable... c'est contre intuitif, mais c'est mathématique...

Bon, maintenant, de trois choses l'une :

Soit on part du principe d'un rajout constant de décimale, comme je l'ai fait, et celà revient à considérer deux suites,

la première ayant pour limite 1 et pour valeurs n1 = 0,9 ; n2 = 0,99 ; n3 = 0,999 ; etc (X étant l'hypothétique valeur de n max , qui bien sur n'a pas de réalité, vu que la suite est infini...);

la deuxième (qui résulte de la mulplication par 10 de la première suite) ayant pour limite 10 et pour valeurs N1 = 9 ; N2 = 9,9 ; N3 = 9,99 ; etc (10X étant l'hypothétique valeur de N max).

En posant l'opération Nx - nx , on arrive à la même conclusion que celle à laquelle je suis arrivée précédemment (la rigueur en + , vu qu'on évoque pas directement la notion d'infini).

Non, sans rigueur...

Si je fait la soustraction, Nx-nx j'obtiens

0,1 au rang 1

0,01 au rang 2

etc etc

0,000.....00001

Au rang... infini.

Mais ce rang infini, est impossible, puisqu'il s'agit encore d'un nombre possédant à la fois une quantité infini de décimale ET une dernière décimel ("1") .

Aussi, le calcul se fait plutôt en considérant la nouvelle suite :

u(n) = 10* [ somme (9*10^-n) ] - somme (9*10^-n)

= 9* somme (9*10^-n)

qui est le resultat de la soustraction de

Nx -nx pour tout x de IN (donc pas infini).

Je n'ai le droit de faire la soustraction que dans un espace qui existe. Donc je choisi le plus adapté : ici IN.

Dans ce cas, je peux calculer la limite quand n tend vers l'infini, ou X tend vers l'infini (n=X ici...)

la limite de U(n) est très exactement... 9 (Soit 10-1) .

D'où, encore une fois, l'égalité entre 1 et 0,999...

Soit on part du principe que l'infini étant une notion incernable, la quantité de décimale l'est aussi, et ainsi toute opération mathématique les impliquant perd tout son sens.

Non, les oppération mathématique ne perdent pas leur sens. Ce qui perds son sens, c'est de tenter d'utiliser le processus donnant le résultat, plutôt que le résultat lui même. Il faut faire attention à ne pas mélanger la construction d'une suite avec sa limite !!

Ainsi, 9,99999... - 0,9999999... = 8,99999...91 n'a effectivement aucune pertinence, mais de même que 9,999999... - 0,9999999... = 9 , et tout le débat repose donc sur du vide.

La soustraction que vous énoncé, je l'ai faite plus haut... rigoureusement en suivant des théorèmes. Ce qui n'est pas le cas ici. Vous faites le calcul en sachant qu'il s'agit d'une soustraction de limites.

Dans ce cas, on a en fait :

9,999999... - 0,9999999... = lim (10*truc) - lim (truc) = lim (9*truc).

"Truc" étant : somme (9*10^-n)

Le résultat n'est donc pas : "8,99999...91" mais 9

puisque la limite de truc c'est 1...

8,99999...91 n'a pas de sens. C'est une intuition ou une construction qui vous l'a dicté. Mais comme dit plus haut, on n'applique pas des oppérateur à la construction d'objet mathématiques, mais aux objets mathématiques eux même quelque soit la manière dont il ont été construit et à condition qu'ils appartiennent tout deux à une groupe anneaux ou corps dans lequel l'oppération en question existe (et est donc autorisée).

Soit, enfin, on considère, étant donné la quantité infini de décimales, que 0,999999... est égal à 1, comme l'a écrit Mad_World, et il faut alors totalement réécrire le sujet de départ, partant de ce principe

et il n'y a plus vraiment à débattre...

Il s'agit d'une démonstration qui a déjà été faite... il n'y a donc en effet jamais eu à débattre. Seuleument à expliquer...

Pour ma part, je ne compte pas faire des études de maths, et encore moins révolutionner la recherche, donc tout va bien

Pour ma part j'ai déjà fait des études de math et je compte bien faire comprendre qu'on ne parle plus de recherche quand la démonstration existe...

1-Un entier naturel peut-il être constitué par une infinité de chiffres?

Constitué ?? ça n'a pas de sens, "constitué" vraiment. Soyons plus clair :

Représenté. est un meilleur mot.

La réponse est alors : "oui" .

Exemple :

6 = 6,000000000000000000000000......

lim(n*1/n) =1

n#0, n¿ IN

pourtant : lim n = + infini

lim (1/n) = 0

lim (exp(-n)) + 1 = 1

n¿ IN

Pourtant n tend bien vers l'infini.

Ou encore :

lim ( somme(9*10^-n) ) = 0,9 = 1

n¿ IN

2-Peut-on dire que le nombre représenté par (ⁿ) exprimant une puissance en base 10 (10ⁿ) indique la quantité de chiffres contenus dans un nombre en représentation décimale... que Xⁿ contient n+1 chiffre(s) avant la virgule et que X^-n contient n chiffre(s) après la virgule?

A une condition : que n soit un entier naturel.

Si n tend vers la borne suppérieure de IN (+infini) alors, l'expression écrite telle quelle devient fausse. Il faut l'écrire sous forme de limite. Les oppération faites après doivent répondre à des règles précise comme notemment le fait qu'on a droit qu'aux combinaisons linéaires (addition, soustraction et multiplication par constante et deivision par constante, ou tout autre oppérateur linéaire comme l'intégration ou la dérivation... a condition qu'on reste dans l'espace réelle... dans l'espace complexe, c'est autre chose)

Sans doute me verrez-vous venir... mais je vous demanderais de faire de preuve retenu en ne répondant qu'aux 2 questions ici présentes... vous aurez bien l'occasion et tout votre temps de m'accrochez plus tard si c'est le cas. :blush:

Je vous vois venir en effet...

Mais j'ai essayé de donner les réponses les plus rigoureuses possibles... pas le temps de faire cela très proprement.

''...Constitué ?? ça n'a pas de sens, "constitué" vraiment. Soyons plus clair :

Représenté. est un meilleur mot.

La réponse est alors : "oui" .

Exemple :

6 = 6,000000000000000000000000......''

Représenté... allons donc... exprimé est encore un meilleur mot. :blush:

En écrivant 6,0 vous voulez dire 6,1 qui est son autre écriture (propre ou impropre).

Tout comme 6,2 est l'autre l'écriture (propre ou impropre) de 6,1.

Pourquoi ajoutez-vous une suite de décimales à un entier naturel qui n'en a pas par définiton. Pourquoi vous limitez-vous à définir le fait qu'il n'y a aucunes puissances négatives de 10 et oubliez-vous que dans le même principe les puissances de 10 supérieures sont nulles également...

Si à partir de 6 vous exprimez 6,0 = 6 alors pourquoi passez sous silence le fait que 6 = 06,0 en fait.

Certains sous-entendus ne pourraient pas être exprimés contrairement à d'autres...

Donc un entier naturel contiendrait 2 infinités de chiffres, une infinité avant la virgule et une infinité après...

Dois-je prendre pour acquis que tous les entiers naturels ont une infinité de chiffres avant la virgule... 0 étant un chiffre.

Ce n'est qu'une parenthèse, ce n'est pas là où je veux en venir... mais je suis curieux quand même.

''...Constitué ?? ça n'a pas de sens, "constitué" vraiment. Soyons plus clair :

Représenté. est un meilleur mot.

La réponse est alors : "oui" .

Exemple :

6 = 6,000000000000000000000000......''

Représenté... allons donc... exprimé est encore un meilleur mot. :blush:

En écrivant 6,0 vous voulez dire 6,1 qui est son autre écriture (propre ou impropre).

Tout comme 6,2 est l'autre l'écriture (propre ou impropre) de 6,1.

Non, 6,0 = 6 . Et n'est pas égal à 6,1.

Tout comme 6,1 n'est pas 6,2.

6,2 = 6,19

Pourquoi ajoutez-vous une suite de décimales à un entier naturel qui n'en a pas par définiton. Pourquoi vous limitez-vous à définir le fait qu'il n'y a aucunes puissances négatives de 10 et oubliez-vous que dans le même principe les puissances de 10 supérieures sont nulles également...

On peut ajouter une suite infini de décimal à un nombre entier. La définition d'un naturel n'est pas qu'il n'a pas de décimal, la définition d'un naturel est l'appartenance au corps des entier, qui est INCLU dans celui des décimaux. Le corps des entier n'est pas "à l'extérieur", ni dissocié de celui des décimaux.

On peut aussi rajouter autant de "0" avant le chiffre, si on le souhaite. Cela ne change rien.

Si à partir de 6 vous exprimez 6,0 = 6 alors pourquoi passez sous silence le fait que 6 = 06,0 en fait.

Certains sous-entendus ne pourraient pas être exprimés contrairement à d'autres...

On ne passe rien sous silence... Mais à vrai dire, quand on essaye d'étudier les mathématiques qui sont dérrière on constate que les développement décimaux débouche sur des propriétés intéressantes, contrairement à "l'ajout de "0" avant le chiffre" qui n'a pas vraiment de propriété intéressante. On ne le passe pas sous silence, mais on ne s'encombre pas de ce qui est inutile ou n'a pas de propriété. Je dirai même que 6,0 (qui n'est pas le développement en décimal impropre de 6) n'en a pas non plus. J'ai donné cet exemple pour éviter la polémique... le développement décimal impropre de 6 est 5,9. Et ça, ça a des propriétés intéressantes !!

Donc un entier naturel contiendrait 2 infinités de chiffres, une infinité avant la virgule et une infinité après...

Oui, soit une infinité. "Deux infinité" n'a pas de sens. L'exmple le plus marquant est :

Quelle est la "longueur" d'une droite ? elle n'en a pas, elle est infini

Quelle est la longueur d'une demi-droite ? ... elle n'en a pas non plus, elle est infini. Aussi infini que la droite elle même... même si on l'appelle demi-droite, ce n'est pas une "demi infinité".

Dois-je prendre pour acquis que tous les entiers naturels ont une infinité de chiffres avant la virgule... 0 étant un chiffre.

Oui... bien sûr. Ou sinon, expliqué moi comment contruire 1/100 , si on ne considère pas que 1 = 001 ?

Ce n'est qu'une parenthèse, ce n'est pas là où je veux en venir... mais je suis curieux quand même.

Je vous suis je vous suis ...

''... Oui... bien sûr. Ou sinon, expliqué moi comment contruire 1/100 , si on ne considère pas que 1 = 001 ?''

Comme vous dîtes que la partie est aussi grande que tout, c'est très simple :

1/100 = 1 = infini... Puisque 1/100 signifie une partie d'un ensemble de 100... l'équation est simple puisque si je divise l'unité par n'importe quoi alors le résultat sera égale en quantité à ce qu'en contient l'unité.

é moins que vous ne vouliez parlez de l'équation elle-même... soit le fait de diviser 1 par 100 et non le résultat obtenu... car 1/100 c'est bien égale à 1 divisé par 100 n'est-ce pas, une expression de l'équation...

Pour ce qui serait de 001 je vous dirais qu'il n'a pas de réalité mathématique puisque c'est 01 en réalité.

Mais si vous voulez considérer le cas irréel...

Je ne comprendrai jamais le fait que vous considériez l'infini comme un fait réalisé... qu'un ensemble infini puisse contenir tous ses éléments à priori... Alors je me demande bien si ça vaut la peine de continuer. Dans ma tête, l'infini implique qu'il n'y a pas de dernier élément alors que le fait de considérer qu'un ensemble infini contienne tous ses éléments signifie pour moi que le premier et le dernier y sont présents ensemble en même temps. J'y vois une contradiction, tout simplement.

Un peu comme le fait de considérer que 1/X^infini pourrait s'exprimer comme une fraction d'entier alors que X^infini ne serait pas un entier lui-même... qu'on pourrait diviser 1 par un entier qui contiendrait une infinité de chiffres alors que par définition un entier en contiendrait un nombre fini.

Un peu comme de dire que 1/X^infini = 0 qui impliquerait que 0 * X^infini = 1, qu'une quantité multipliée par 0 ne serait pas égale à 0... mais encore plus que 1/X^infini qui serait égale à 0 serait inclus dans une expression où on considérerait qu'il y a une infinité de 9 alors que l'on y retrouverait justement 0 en position infini... et de ce fait qu'il n'y aurait pas que des 9 dans le développement.

Un peu comme de dire que les IN serait inclus dans les décimaux alors qu'ils n'ont aucun reste et que les décimaux servent à l'expression des restes d'entiers... qui serait comme de dire que ce qui n'a pas de rouge est inclus dans l'ensemble de ce qui est rouge... parce que ''pas de rouge'' est en quelque sorte une quantité de rouge.

La somme de mon ignorance étant infinie... cela devient une connaissance à la limite. Connaissance faisant que la somme de mon ignorance n'est pas infinie.

Mais comme ce ne sont que des définitions...

Débat très intéressant. Je vous suis ... je vous suis.

Une fois de plus, je ne vous suivrai pas dans votre tentative de transformer des mathématiques en une sorte de réflexion philosophique...

DOnc je ne répond qu'à ce qui ressemble un peu à des maths...

1/100 = 1 = infini...

Je crois pouvoir dire que non sans avoir à faire une démonstration non ?

Puisque 1/100 signifie une partie d'un ensemble de 100... l'équation est simple puisque si je divise l'unité par n'importe quoi alors le résultat sera égale en quantité à ce qu'en contient l'unité.

Quand on veut découper des gateaux, ca marche bien... mais quand vous dites "quantité"... quantité de quoi ?? ... Quelle est la quantité contenue dans 1 ???? Oo

Non... pas de sens... je zappe...

Pour ce qui serait de 001 je vous dirais qu'il n'a pas de réalité mathématique puisque c'est 01 en réalité.

Mais si vous voulez considérer le cas irréel...

Ah... 001 n'a pas de réalité mathématique... si vous le dites...

Donc, je ne peux appliquer aucun oppérateur sur 001... hum... bref...

Continuons notre petit voyage au pays des rêves ...

Je ne comprendrai jamais le fait que vous considériez l'infini comme un fait réalisé...

Moi non plus...

qu'un ensemble infini puisse contenir tous ses éléments à priori...

IR contient bien, a priori, tous les nombres réels non ?

Alors je me demande bien si ça vaut la peine de continuer.

Tiens, je me faisais la même réflexion

Dans ma tête, l'infini implique qu'il n'y a pas de dernier élément alors que le fait de considérer qu'un ensemble infini contienne tous ses éléments signifie pour moi que le premier et le dernier y sont présents ensemble en même temps. J'y vois une contradiction, tout simplement.

Non, parceque la "quantité" d'élément peut elle même être infini... exmple des nombres réels. Il y en a une infinité... Même entre deux nombre réel distinct (j'anticipe :blush: ...) il y a une infinité de nombre réels...

Il n'y a donc pas de premier ni de dernier nombre réel. ... On peut, à la rigueur près, définir arbitrairement un premier nombre réel (par exmple 0) mais pas de dernier... quelque soit celui que vous me proposerez je vous dirai : "non, non, ... j'ai plus grand encore (ou plus petit...) "

Un peu comme le fait de considérer que 1/X^infini pourrait s'exprimer comme une fraction d'entier alors que X^infini ne serait pas un entier lui-même... qu'on pourrait diviser 1 par un entier qui contiendrait une infinité de chiffres alors que par définition un entier en contiendrait un nombre fini.

Vous n'avez pas lu les posts précédents...

Un peu comme de dire que 1/X^infini = 0 qui impliquerait que 0 * X^infini = 1, qu'une quantité multipliée par 0 ne serait pas égale à 0...

1/X^infini n'existe pas. 1/Xⁿ avec n qui tend vers l'infini existe (il s'agit d'une limite) et = 0

Quelque soit l'élément de IR que vous multiplirez par 0, ca fera 0. Mais, infini n'est pas un élément de IR.

Si je prend la fonction : f(x) = 1/x

et la fonction g(x) = x

g tend vers infini (en infini)

f tend vers 0 (en infini)

et f*g tend vers... 1 .

ou encore,

si je prend le même f et g(x) = sin(x)

g tend vers 0 en 0

f tend vers infini en 0

pourtant...

sin(x)/x tend vers ... 1 (en 0)

mais encore plus que 1/X^infini qui serait égale à 0

Ce que vous dites est déjà faux ...

serait inclus dans une expression où on considérerait qu'il y a une infinité de 9 alors que l'on y retrouverait justement 0 en position infini... etc etc...

''... quelque soit celui que vous me proposerez je vous dirai : "non, non, ... j'ai plus grand encore (ou plus petit...) "

-9,9 comme premier.

0 au milieu.

+9,9 comme dernier.

Autement dit vous remplacez les 0 de +0,0 et -0,0 par des 9.

Et en plus vous ne direz pas... "non, non, ... j'ai plus grand encore (ou plus petit...) "

Mais plutôt : '' non, non, ... ils n'existent pas. Je peux exprimé 0,9 mais pas 9,0... je peux exprimé une suite de puissances négatives de 10 mais pas une suite de puissances positives.

Vous faîtes bien de ne pas vous enfoncez dans les notions philosophiques... vaut mieux accepter les choix arbitraires plutôt que de les questionner.

''... Quand on veut découper des gateaux, ca marche bien... mais quand vous dites "quantité"... quantité de quoi ?? ... Quelle est la quantité contenue dans 1 ???? Oo

Non... pas de sens... je zappe...''

Quantité infinie... c'est à dire pas de quantité... ou quantité de rien... 1 et 1/100 n'ont pas de quantités puisque ce sont des quantités... 1 est comme 1/100 ou 1 = 1/100 = infini.

C'est dans la même logique que celle de la droite... droite = droite/100 = infini.

''Quelle est la "longueur" d'une droite ? elle n'en a pas, elle est infini.''

La droite n'a pas de longueur... c'est une longueur. Tout comme une demi-droite n'a pas de longueur, car même si c'est une demi-longueur c'est une longueur quand même... vous vous souvenez, ça avait du sens à ce moment, lorsque vous nous parliez de l'infini.

Les mathématiques sont-elles logiques dîtes-moi... car si vous ne voulez pas entrer dans le jeu des notions philosophiques, la logique est une de ces notions importantes... vous souvenez de ceci :

f(a) = a

f(b) = b

f(x) = ?

Répondrez-vous x... ou trouverez-vous des indices logiques dans cette propositions qui vous permettrons d'affirmer que non.

f(b) = b

f(x) = ?

Répondrez-vous x... ou trouverez-vous des indices logiques dans cette propositions qui vous permettrons d'affirmer que non.

Si a b et x sont de même nature alors si pour tout a dans un ensemble défini f(a)=a

on aura f(b)=b et f(x)=x

Non ?

Parlez-en à Mad_World, c'est un problème récurrent entre nous deux... a,b et x sont de même nature (entier naturel) et f() représente une même propriété s'appliquant dans les 3 cas.

Pour ma part je suis d'accord avec vous... mais vous verrez que le résultat obtenu vous fera changer d'idée.

Une fois de plus, je ne vous suivrai pas dans votre tentative de transformer des mathématiques en une sorte de réflexion philosophique...

DOnc je ne répond qu'à ce qui ressemble un peu à des maths...

Je sais à quel point , cette démonstration est importante pour toi , mais tu ne peux dissocier les mathématiques et le caractère philosophique que constitue le nombre 1 ,si l'on peut et si l'on doit le considérer comme tel;

on ne peut écarter, que de grands mathématiciens , philosophes, d'hier et d' aujourd'hui aussi ..

se posent des questions sur la signification et la compréhension des bases mathématiques et surtout le nombre 1 ...

L'essence même du nombre 1 est troublante ..

il n'est nul pareil à un autre nombre ,quel qu'il soit

Mais c'est vrai que dans le cursus d'un mathématicien , et c'est dommage, on apprend pas assez l'histoire et le déroulement de celle-ci ,à travers de grands personnages qui se sont questionnés , et qui se questionnent encore sur les bases

mais des démonstrations peuvent rapporter gros ,c'est vrai

c'est un ensemble :blush:

Je sais à quel point , cette démonstration est importante pour toi , mais tu ne peux dissocier les mathématiques et le caractère philosophique que constitue le nombre 1 ,si l'on peut et si l'on doit le considérer comme tel;

Ne pas se concentrer, pour une démonstration, sur le caractère métaphysique des objets mathématiques est à mon sens complètement différent du dénigrement total de ce caractère métaphysique. Je ne nie aucunement la valeur philosophique des objets mathématiques et plus particulièrement ici, du nombre "1". Toutefois, ces mêmes philosophes scientifiques dont vous parlez se sont pour la plupart bien rendu compte que la philosophie et les mathématiques, si elles pouvaient être complémentaires, ne peuvent pas vraiment interférer entre elles.

Lorsque l'on parle d'un espace vectoriel de dimension n, on ne sait pas vraiemnt, philosophiquement de quoi on parle. Les mathématiciens ont mis plusieurs siècles pour comprendre la nature de tels objets mathématiques. Ce n'est malheureusement pas en deux minutes, et malgré tous les efforts philosophiques qu'on veut, que cela se comprend... Mais sans même comprendre la vrai nature d'un objet, on peut tout de même étudier ses propriétés. En physique, l'énergie est un grand mystère... pourtant, on sait bien s'en servir, même si on ne peut que supposer sa nature réelle pour le moment. En maths, il en va de même. Nous pouvons, pour comprendre ou démontrer une propriété d'un objet se passer de son caractère philosophique... sans pour autant le renier...

on ne peut écarter, que de grands mathématiciens , philosophes, d'hier et d' aujourd'hui aussi ..

se posent des questions sur la signification et la compréhension des bases mathématiques et surtout le nombre 1 ...

Tout à fait. Je ne suis pas forcément convaincu qu'on se pose plus de question sur le nombre 1 que sur d'autres objets mathématiques, mais c'est pas faux dans l'idée je pense. Cependant, encore une fois, si la signification du nombre 1 peut être une aide à la démonstration de certaine propriété, elle n'est pas indispensable...

L'essence même du nombre 1 est troublante ..

il n'est nul pareil à un autre nombre ,quel qu'il soit

Je dirai que l'essence même de TOUS les objet mathématiques est troublante.

Qu'ils soient nombres : i, 1, 0, pi, (1+R(5))/2 (nombre d'or) , r(2), ... et j'en passe

Qu'ils soient applications : Fonctions, Primitives, Dérivées, ...

Ou, et je dirai que ce sont peut être les plus étonnant, qu'ils appartiennent à la théorie des groupes...

Aucun objet mathématique n'est "évident". Ils sont tous troublant à mon sens...

Mais c'est vrai que dans le cursus d'un mathématicien , et c'est dommage, on apprend pas assez l'histoire et le déroulement de celle-ci ,à travers de grands personnages qui se sont questionnés , et qui se questionnent encore sur les bases

Je le déplore aussi... mais dans un cursus de mathématicien (ou de physicien... puisque c'est plutôt le mien...) rien n'a jamais empêché la curiosité, la lecture, ... donc bon, même si elle n'est pas imposée, la culture épistémologique existe...

mais des démonstrations peuvent rapporter gros ,c'est vrai

c'est un ensemble :blush:

:bo: :)

Si a b et x sont de même nature alors si pour tout a dans un ensemble défini f(a)=a

on aura f(b)=b et f(x)=x

Non ?

Non...

Exemple : Fonction racine carré.

pour tout x de IR, f(x) = racine(x)

f(0) = 0

f(1) = 1

Mais pour tout a différent de 1 a appartenant à IR*+ f(a) différent de a

...

Je sais pas où vous êtes partis pécher ça Oo...

-9,9 comme premier.

+9,9 comme dernier.

Ces deux nombres n'appartiennent pas à IR.

Et en plus vous ne direz pas... "non, non, ... j'ai plus grand encore (ou plus petit...) "

Mais plutôt : '' non, non, ... ils n'existent pas. Je peux exprimé 0,9 mais pas 9,0... je peux exprimé une suite de puissances négatives de 10 mais pas une suite de puissances positives.

On peux exprimer ce qu'on veut. J'ai pas dit que 9,0 n'existait pas... j'ai dit qu'il n'appartenait pas à IR.

Pour rappel : 0,9 est une limite. C'est la limite d'une série. Cette limite est égale à 1.

Si vous cherchez à définir 9,0 de la même manière, nous aurions, 9,0 est une limite, la limite d'une série :

S(n) = somme sur n (9*10^n)

La limite de cette série est l'infini.

Donc, de manière abusive : "9,0 = infini" ... et n'appartient pas à IR.

Vous faîtes bien de ne pas vous enfoncez dans les notions philosophiques... vaut mieux accepter les choix arbitraires plutôt que de les questionner.

Non, je n'accepte pas de choix arbitraire, je considère que ce qui est démontré, est démontré... Cela me semble intellectuellement honnête...

Quantité infinie... c'est à dire pas de quantité... ou quantité de rien... 1 et 1/100 n'ont pas de quantités puisque ce sont des quantités... 1 est comme 1/100 ou 1 = 1/100 = infini.

C'est dans la même logique que celle de la droite... droite = droite/100 = infini.

@Pascalin : tu vois... c'est dangereux de vouloir utiliser de la philosophie pour démontrer... question de rigueur...

@Genie : ... que dire... c'est vaseux... Vous n'avez toujours pas défini le mot "quantité".... Soit 1 et 100 sont de même nature : ce sont des nombres réel (même naturel ici) et l'oppération suit une règle claire et bien défini, que vous bafouez, soit 1 et 100 ne sont pas de même nature, et donc l'oppération ne s'applique pas... donc vous bafouez encore des règles, définitions, théorèmes, ...

C'est bien de vouloir révolutionner les mathématiques, mais ce serait dommage de perdre la rigueur au passage...

''Quelle est la "longueur" d'une droite ? elle n'en a pas, elle est infini.''

La droite n'a pas de longueur... c'est une longueur. Tout comme une demi-droite n'a pas de longueur, car même si c'est une demi-longueur c'est une longueur quand même... vous vous souvenez, ça avait du sens à ce moment, lorsque vous nous parliez de l'infini.

Une droite n'est pas une longueur. Dire qu'une droite est une longueur c'est perdre le caractère orienté (dans un repère cartésien ou autre) de la droite. La droite ne se limite pas à une longueur. Elle se défini dans un repère par un vecteur unitaire, c'est à dire, une direction. Une droite, c'est une direction. Pas une longueur.

Les mathématiques sont-elles logiques dîtes-moi... car si vous ne voulez pas entrer dans le jeu des notions philosophiques, la logique est une de ces notions importantes... vous souvenez de ceci :

f(a) = a

f(b) = b

f(x) = ?

Répondrez-vous x... ou trouverez-vous des indices logiques dans cette propositions qui vous permettrons d'affirmer que non.

non. f(x)=f(x).

Rien ne permet d'affirmer l'égalité entre f(x) et x... d'autant que votre logique manque encore et toujours de RIGUEUR

Mais comme je suis gentil je vais compléter l'énoncé :

Soit (a,b) appartenant à IR²

Soit f, une fonction quelconque définie sur IR telle que :

f(a) = a

f(b) = b

L'affirmation pour tout x de IR, f(x)=x est elle vrai ?

Non, démonstration :

Par le contre éxemple :

Soit f(x) ---> |x| (valeur absolue) définie sur IR.

soit a=1 et b=2

f(a) = 1 = a

f(b) = 2 = b

Nous répondons donc aux condition de l'énoncé.

Or pour x < 0 f(x) = -x (différent de x donc)

D'où l'impossibilité d'affirmer f(x)=x pour tout x

Ou encore.

f, a, b et x reste définis tels que dans l'énoncé.

dire : f(a)=a signifie que la courbe représentative de f coupe la droite y=x en a.

dire f(b)=b signifie que la courbe représentative de f coupe la droite y=x en b.

Prenez un papier, un crayon, tracer la droite y=x et n'importe quelle parabole.

Vous verrez que vous avez bien deux solution pour f(x)=x. Nommez les a et b.

Et vous constatez qu'il existe x différent de a et b tel que f(x) différent de x.

-9,9 comme premier.

+9,9 comme dernier.

Ces deux nombres n'appartiennent pas à IR.

Et en plus vous ne direz pas... "non, non, ... j'ai plus grand encore (ou plus petit...) "

Mais plutôt : '' non, non, ... ils n'existent pas. Je peux exprimé 0,9 mais pas 9,0... je peux exprimé une suite de puissances négatives de 10 mais pas une suite de puissances positives.

On peux exprimer ce qu'on veut. J'ai pas dit que 9,0 n'existait pas... j'ai dit qu'il n'appartenait pas à IR.

Pour rappel : 0,9 est une limite. C'est la limite d'une série. Cette limite est égale à 1.

Si vous cherchez à définir 9,0 de la même manière, nous aurions, 9,0 est une limite, la limite d'une série :

S(n) = somme sur n (9*10^n)

La limite de cette série est l'infini.

Donc, de manière abusive : "9,0 = infini" ... et n'appartient pas à IR.

Vous faîtes bien de ne pas vous enfoncez dans les notions philosophiques... vaut mieux accepter les choix arbitraires plutôt que de les questionner.

Non, je n'accepte pas de choix arbitraire, je considère que ce qui est démontré, est démontré... Cela me semble intellectuellement honnête...

Quantité infinie... c'est à dire pas de quantité... ou quantité de rien... 1 et 1/100 n'ont pas de quantités puisque ce sont des quantités... 1 est comme 1/100 ou 1 = 1/100 = infini.

C'est dans la même logique que celle de la droite... droite = droite/100 = infini.

@Pascalin : tu vois... c'est dangereux de vouloir utiliser de la philosophie pour démontrer... question de rigueur...

@Genie : ... que dire... c'est vaseux... Vous n'avez toujours pas défini le mot "quantité".... Soit 1 et 100 sont de même nature : ce sont des nombres réel (même naturel ici) et l'oppération suit une règle claire et bien défini, que vous bafouez, soit 1 et 100 ne sont pas de même nature, et donc l'oppération ne s'applique pas... donc vous bafouez encore des règles, définitions, théorèmes, ...

C'est bien de vouloir révolutionner les mathématiques, mais ce serait dommage de perdre la rigueur au passage...

''Quelle est la "longueur" d'une droite ? elle n'en a pas, elle est infini.''

La droite n'a pas de longueur... c'est une longueur. Tout comme une demi-droite n'a pas de longueur, car même si c'est une demi-longueur c'est une longueur quand même... vous vous souvenez, ça avait du sens à ce moment, lorsque vous nous parliez de l'infini.

Une droite n'est pas une longueur. Dire qu'une droite est une longueur c'est perdre le caractère orienté (dans un repère cartésien ou autre) de la droite. La droite ne se limite pas à une longueur. Elle se défini dans un repère par un vecteur unitaire, c'est à dire, une direction. Une droite, c'est une direction. Pas une longueur.

Les mathématiques sont-elles logiques dîtes-moi... car si vous ne voulez pas entrer dans le jeu des notions philosophiques, la logique est une de ces notions importantes... vous souvenez de ceci :

f(a) = a

f(b) = b

f(x) = ?

Répondrez-vous x... ou trouverez-vous des indices logiques dans cette propositions qui vous permettrons d'affirmer que non.

non. f(x)=f(x).

Rien ne permet d'affirmer l'égalité entre f(x) et x... d'autant que votre logique manque encore et toujours de RIGUEUR

Mais comme je suis gentil je vais compléter l'énoncé :

Soit (a,b) appartenant à IR²

Soit f, une fonction quelconque définie sur IR telle que :

f(a) = a

f(b) = b

L'affirmation pour tout x de IR, f(x)=x est elle vrai ?

Non, démonstration :

Par le contre éxemple :

Soit f(x) ---> |x| (valeur absolue) définie sur IR.

soit a=1 et b=2

f(a) = 1 = a

f(b) = 2 = b

Nous répondons donc aux condition de l'énoncé.

Or pour x < 0 f(x) = -x (différent de x donc)

D'où l'impossibilité d'affirmer f(x)=x pour tout x

Ou encore.

f, a, b et x reste définis tels que dans l'énoncé.

dire : f(a)=a signifie que la courbe représentative de f coupe la droite y=x en a.

dire f(b)=b signifie que la courbe représentative de f coupe la droite y=x en b.

Prenez un papier, un crayon, tracer la droite y=x et n'importe quelle parabole.

Vous verrez que vous avez bien deux solution pour f(x)=x. Nommez les a et b.

Et vous constatez qu'il existe x différent de a et b tel que f(x) différent de x.

Les math sont logiques ET rigoureuses et SOURTOUT RIGOUREUSE !!!!!

Pour l'illustrer et détendre l'atmosphère, laissez moi vous raconter une blague.

Un mathématicien, un physicien et un biologiste sont dans un train qui passe sous la manche (pas de pub... :blush:)

Arrivés en Angleterre, Ils aperçoivent un troupeau de mouton... dans lequel se dégage un mouton particulier... à laine verte... Le biologiste s'étonne en premier (évidemment ) : "Tiens, c'est étonnant, ils ont des moutons verts ici !!"

Le physicien le corrige alors... : "non mon ami..., ils ont UN mouton vert au moins..."

Et le mathématicien rectifie à son tour le physicien... "vous vous plantez tous les deux... ils ont au moins la moitié d'un mouton vert ici..." .

TOut cela pour dire que la logique et l'intuition ou notre percepetion de la réalité sont différentes... Ce n'est pas parceque nous n'avons jamais vu de mouton à moitié vert... que cela ne peut exister. C'est le raisonnement des mathématique. Ce n'est pas celui de la physique ou de la biologie qui raisonnent plus "a priori" : (si je vois un mouton vert, c'est qu'il doit y en avoir d'autres... rien ne le prouve... donc c'est mathématiquement faux a priori).

''... Exemple : Fonction racine carré.

pour tout x de IR, f(x) = racine(x)

f(0) = 0

f(1) = 1

Mais pour tout a différent de 1 a appartenant à IR*+ f(a) différent de a

...

Je sais pas où vous êtes partis pécher ça Oo... ''

Vous parliez de rigueur...

f(0) = 0

f(1) = -1 puisque -1² = 1

Ce qui ne répond pas au critère voulant que f(b) = b.

Ambiguïté peut-être... car lorsque l'on parle de rigueur on se doit de tout prendre en compte.

''... Mais comme je suis gentil je vais compléter l'énoncé :

Soit (a,b) appartenant à IR²

Soit f, une fonction quelconque définie sur IR telle que :

f(a) = a

f(b) = b

L'affirmation pour tout x de IR, f(x)=x est elle vrai ?

Non, démonstration :

Par le contre éxemple :

Soit f(x) ---> |x| (valeur absolue) définie sur IR.

soit a=1 et b=2

f(a) = 1 = a

f(b) = 2 = b

Nous répondons donc aux condition de l'énoncé.''

On parle de f(x) = x dans ce cas vous devriez prendre f(|x|) = |x|... vous ajoutez ici une seconde fonction... une propriété supplémentaire.

Vous ne répondez donc pas aux conditions de l'énoncé.

Ce qui ne veut pas dire que vous ne seriez pas gentil pour autant...

Mon cher Génie, je ne vous avez pas reconnu au départ.

Et pourtant c'est dans la signature au bas de chacun de mes messages cher Gallium...

Mais il est vrai qu'on ne fait pas toujours attention à tout ce que j'écris...

Ou à ce que j'ai Christ... :blush:

Est-ce que je vous manquais cher Gallium...

''... Une droite n'est pas une longueur. Dire qu'une droite est une longueur c'est perdre le caractère orienté (dans un repère cartésien ou autre) de la droite. La droite ne se limite pas à une longueur. Elle se défini dans un repère par un vecteur unitaire, c'est à dire, une direction. Une droite, c'est une direction. Pas une longueur.''

Ce qui caractérise une longueur c'est la mesure... la dimension. Et une droite n'a qu'une dimension.

Vous parlez de vecteur unitaire... alors qu'un vecteur est une partie de droite, un segment auquel ont greffe d'autres propriétés. C'est donc la droite qui participe à la définition de ce qu'est un vecteur et non le vecteur qui définit la droite.

Vous confondez droite et vecteur...