Pourquoi 1=0.999999999...

Logique de base...

Je vous demande de couper 1 en 2... puis de répéter le processus avec une des parties que vous obtiendrez... et de le faire jusqu'à ce que vous n'obteniez plus rien.

Logiquement vous aurez toujours quelquechose à couper à moins d'admettre qu'il existe un plus petit morceau que vous ne pourrez pas coupé en 2, qu'en le coupant vous n'obtiendrez plus rien... vous resterez donc toujours avec 2 morceaux identiques au final car il est posé qu'il n'existe pas de plus petits morceaux... pas de morceaux oui, mais de plus petit, non.

Maintenant il est évident que si je laisse un des morceaux de côté et je que rassemble tous les morceaux obtenus alors je ne reviendrai pas 1... qu'il me manquera toujours le morceau que j'ai mis de côté.

J'appelle donc limite la quantité que je ne peux pas obtenir du fait que j'ai laissé un morceau de côté...

La limite sera donc 1.

J'appelle donc somme le processus de rajout de tous les morceaux...

La somme sera donc 0,9.

J'appelle donc 1/n le morceau laissé de côté...

Limite - somme = 1/n

Ainsi la limite que la somme n'atteindra jamais sera 1 ou encore 1 est et sera toujours différent de 0,9 par 1/n.

Ainsi dire que 1 = 0,9 serait avouer que je n'ai pas laissé un morceau de côté... que la limite et la somme sont une seule et même chose.

Est-ce logique Mad_World... le language est-il assez simple pour qu'il n'y ait pas de confusion.

é vous de me reprendre maintenant...

Est-ce que je vous manquais cher Gallium...

Assurément. Je suis sérieux en plus.

Logiquement vous aurez toujours quelquechose à couper à moins d'admettre qu'il existe un plus petit morceau que vous ne pourrez pas coupé en 2, qu'en le coupant vous n'obtiendrez plus rien...

Il faudrait en arriver à un point. C'est la plus petite chose en géométrie que l'on admet en maths. D'ailleurs, Euclide disait que c'est "ce qui n'a pas de partie".

Je vous demande de couper 1 en 2... puis de répéter le processus avec une des parties que vous obtiendrez... et de le faire jusqu'à ce que vous n'obteniez plus rien.

Logiquement vous aurez toujours quelquechose à couper à moins d'admettre qu'il existe un plus petit morceau que vous ne pourrez pas coupé en 2, qu'en le coupant vous n'obtiendrez plus rien... vous resterez donc toujours avec 2 morceaux identiques au final car il est posé qu'il n'existe pas de plus petits morceaux... pas de morceaux oui, mais de plus petit, non.

Nous sommes d'accord.

Maintenant il est évident que si je laisse un des morceaux de côté et je que rassemble tous les morceaux obtenus alors je ne reviendrai pas 1... qu'il me manquera toujours le morceau que j'ai mis de côté.

Oui

J'appelle donc limite la quantité que je ne peux pas obtenir du fait que j'ai laissé un morceau de côté...

Ce n'est pas la définition d'une limite. Mais admettons, puisque dans ce cas bien particulier, les résultat devrait se confondre en effet.

La limite sera donc 1.

Oui

J'appelle donc somme le processus de rajout de tous les morceaux...

La somme sera donc 0,9.

Non, la somme sera : 0,99999 avec une quantité FINIE de 9, aussi grande soit cette quantité, elle reste finie...

0,9 est la limite de cette somme en l'infini.

J'appelle donc 1/n le morceau laissé de côté...

Limite - somme = 1/n

Oui

Ainsi la limite que la somme n'atteindra jamais sera 1 ou encore 1 est et sera toujours différent de 0,9 par 1/n.

NON !!!!!! c'est ce qu'on se tue à expliquer depuis le début !!!!!

0,9 EST LA LIMITE DE LA SOMME

Ainsi dire que 1 = 0,9 serait avouer que je n'ai pas laissé un morceau de côté...

C'est le cas puisque 0,9 EST LA LIMITE DE LA SOMME

que la limite et la somme sont une seule et même chose.

Si vous considérez la somme, elle sera toujours finie, et le calcul numérique vous donnera 0,9999...999 avec un nombre de 9 toujours fini. Ce qui est toujours différent de 0,9... avec une infinité de 9.

Est-ce logique Mad_World... le language est-il assez simple pour qu'il n'y ait pas de confusion.

é vous de me reprendre maintenant...

C'est gentil de me considérer comme un idiot, mais vous n'en seriez pas là si vous aviez simplement pris la peine de lire...

(0*infini)

Dans ce cas la la réponde vaux 0 ou infinis ? Oo

Puisque zéro ne vaut rien et que infinis est illimité ?

Oo

Il n'y a pas de réponse. Cela dépend des cas. Il s'agit de ce qu'on apelle communément : "forme indéterminée".

y a 27 pages pour expliquer que 0,9999.... = 1 ??????? :D :D :D

Quand même !!! :D :D :D

''... J'appelle donc somme le processus de rajout de tous les morceaux...

La somme sera donc 0,9.''

Somme = processus... et le processus se déroule à l'infini, c'est à dire qu'il n'a pas de fin.

Mais le processus tient tout de même compte du fait qu'un morceau manquera toujours... car il est posé au départ que je le laisse de côté.

L'infini de ce processus est 0,9 car c'est cette valeur irréelle qu'atteindrait le processus en l'infini... toute considération partielle du processus ne vaudra jamais 0,9... et la valeur 1 elle-même est inatteignable même en l'infini par le processus car par principe il manquera toujours un morceau que je laisse de côté par définition.

0,9 est le résultat du processus en l'infini... mais comme l'infini est inatteignable alors c'est la limite suprême que le processus n'atteindra pas si il est partiel, mais seulement dans l'irréalité...

1,0 est la valeur suprême que le processus n'atteindra jamais, même en l'infini, par le fait qu'il y a un morceau qu'on laisse de côté.

''...C'est gentil de me considérer comme un idiot, mais vous n'en seriez pas là si vous aviez simplement pris la peine de lire...''

Si le fait d'utiliser des mots simples revient à vous considérer comme un idiot alors veuillez m'excusez... ceci étant dit avec des mots simples alors excusez-moi doublement... il faudrait que je répète ces excuses à l'infini pour que le tout deviennent assez compliqué et qu'à la limite vous ne considèreriez plus que je vous considèrerais comme idiot alors je m'excuse infiniment... mais comme l'infini n'en finit plus de finir alors je préfère que vous considériez que je vous considère comme idiot... mais ce sont vos considérations et non les miennes.

Pour ma part, utiliser des mots simples est signe que l'on désire se faire comprendre avec des bases irréductibles et partagées. Mais ce sont mes considérations et non les vôtres.

Si j'avais seulement pris la peine de lire, je n'aurais alors pas cherché à comprendre. Et je me rends bien compte que c'est ce à quoi vous vous limitez par vous-même, lire et apprendre... sans nécéssairement chercher à comprendre.

Somme = processus, par exemple... et non valeur totale.

Mais vous savez bien que ce ne sont que des définitions... comme le fait de considérer l'infini comme n'ayant pas de fin mais que qu'irréellement on peut dire qu'à la fin on lui ajoute quelquechose et ça ne change pas son état.

Ou le fait déguisé que 0,9 ou 0,6 ou 0,3 ne sont pas des nombres décimaux en réalité... et qu'ils n'ont donc pas un certains nombres ou un nombre certain de décimales.

Assurément. Je suis sérieux en plus.

Il faudrait en arriver à un point. C'est la plus petite chose en géométrie que l'on admet en maths. D'ailleurs, Euclide disait que c'est "ce qui n'a pas de partie".

En accord avec ce que vous dîtes cher Gallium... mais il faudrait alors considérez le fait que rien existerait seulement si il n'y en a qu'un (1 * 0 = 0)... que deux fois rien (2 * 0 > 0) vaudrait plus que rien (quantité minimale) alors que moins que rien n'existerait pas (0 * 0 n'égale jamais).

Merci de votre accueil Gallium... débattre et discuter avec vous me manquait également sachez-le... nous nous retrouverons bien sous d'autres topics, vous devez bien vous en doutez, et ce sera avec plaisir...

bon moi j'abandonne... de toute façon, il est inutile d'expliquer... il n'y a pire sourd que celui qui ne veux pas entendre...

++

Il faut croire que l'on a atteint la limite de votre patience... c'est-à dire qu'elle ne serait pas infinie, ou que vous n'auriez plus d'attentes. Et je ne parle pas d'une certaine quantité de patience, mais de la qualité de celle-ci.

Que peut-on attendre d'autre lorsque l'on considère que l'infini comprendrait tous ses éléments à priori en même temps, alors que ''tous ses éléments'' implique que le premier et le dernier s'y trouve, même si on ne peut pas les identifier... Et qu'il est dit justement que ce qui est infini ne contient pas de dernier élément dans les prémisses... qu'il y a toujours un suivant à l'infini.

Il n'y a qu'à faire comme si... comme si l'infini n'était pas l'infini. Mais on peut aussi bien définir l'infini comme n'étant pas ce qu'il est, ou comme étant ce qu'il n'est pas... Ce ne sont que des définitions de toute façon.

Cette discussion m'aura apporté tout de même quelquechose Mad_World... elle m'aura fait voir qu'il n'y a pas de limites à ce que les mathématiques peuvent faire... qu'on a qu'à définir l'impossible comme étant possible et l'irréel comme une réalité pour avancer.

é bon entendeur (et ce n'est pas de moi que je parle, c'est compréhensible) je vous salue.

mais il faudrait alors considérez le fait que rien existerait seulement si il n'y en a qu'un (1 * 0 = 0)... que deux fois rien (2 * 0 > 0) vaudrait plus que rien (quantité minimale) alors que moins que rien n'existerait pas (0 * 0 n'égale jamais).

Mais un point n'existe pas. C'est un objet mathématique qui n'existe pas. Comme quoi il faut de l'imagination pour faire des maths.

bon moi j'abandonne... de toute façon, il est inutile d'expliquer... il n'y a pire sourd que celui qui ne veux pas entendre...

++

Il faut croire que l'on a atteint la limite de votre patience... c'est-à dire qu'elle ne serait pas infinie, ou que vous n'auriez plus d'attentes. Et je ne parle pas d'une certaine quantité de patience, mais de la qualité de celle-ci.

Que peut-on attendre d'autre lorsque l'on considère que l'infini comprendrait tous ses éléments à priori en même temps, alors que ''tous ses éléments'' implique que le premier et le dernier s'y trouve, même si on ne peut pas les identifier... Et qu'il est dit justement que ce qui est infini ne contient pas de dernier élément dans les prémisses... qu'il y a toujours un suivant à l'infini.

Il n'y a qu'à faire comme si... comme si l'infini n'était pas l'infini. Mais on peut aussi bien définir l'infini comme n'étant pas ce qu'il est, ou comme étant ce qu'il n'est pas... Ce ne sont que des définitions de toute façon.

Cette discussion m'aura apporté tout de même quelquechose Mad_World... elle m'aura fait voir qu'il n'y a pas de limites à ce que les mathématiques peuvent faire... qu'on a qu'à définir l'impossible comme étant possible et l'irréel comme une réalité pour avancer.

é bon entendeur (et ce n'est pas de moi que je parle, c'est compréhensible) je vous salue.

Je suis mort de rire ,c'est vraiment excellent ce passage entre vous deux :D je ne me moque pas , je trouve ça très pertinent de votre part :D

je me régale merci :D

Mais un point n'existe pas. C'est un objet mathématique qui n'existe pas. Comme quoi il faut de l'imagination pour faire des maths.

Euh , la je ne comprends pas ?

L'unité existe quand même ?

Euh , la je ne comprends pas ?

L'unité existe quand même ?

Un point c'est ce qui est indivisible, ce qui n'a pas de partie. Un point c'est donc un objet mathématique infiniment petit, et qui n'existe pas dans la réalité. Tout comme une droite au sens mathématique n'existe pas, car c'est une infinité de points.

Le point " . ou x " que nous représentons est l'image que nous nous faisons du point, car il faut bien le représenter.

Comment peut-on dire mathématiquement que le tout est aussi grand que la partie dans ce cas cher Gallium... un point ne serait alors pas une partie de droite puisqu'il devrait y avoir autant de parties dans une droite qu'il devrait y avoir de parties dans un point.

Comment peut-on dire qu'il y aurait une infinité de parties dans ce qui n'aurait pas de partie... à moins qu'en disant qu'une droite est une infinité de points vous vouliez dire qu'elle n'en a certainement pas une quantité... que l'on n'est point ce que l'on a... que l'on n'a point ce que l'on est.

Que peut-on attendre d'autre lorsque l'on considère que l'infini comprendrait tous ses éléments à priori en même temps, alors que ''tous ses éléments'' implique que le premier et le dernier s'y trouve, même si on ne peut pas les identifier... Et qu'il est dit justement que ce qui est infini ne contient pas de dernier élément dans les prémisses... qu'il y a toujours un suivant à l'infini.

Heuu l'infini, ça n'est pas le tout

Même si le tout est infini ^^

Boutades à part, quelqu'un pourrait m'expliquer vos positions ?

Un petit récapitulatif. ça porte toujours sur le 0,999.... = 1 ?

Qui est pour et qui est contre ?

Vos postes ne contiennent plus grand chose de lisible pour ceux qui n'auraient pas fait la synthèse de vos positions depuis les 20 pages précédentes, et j'ai pas vraiment envie de me taper 20 pages ^^

PS : La folie, on ne peut pas concevoir une droite comme un ensemble de point uniquement.

Vu que deux points qui se "touchent" sont en fait confondu, la droite ne peut pas être conçu uniquement comme un ensemble de point qui se touchent, car un ensemble de point qui se touchent, ça donne un point, qui reste de dimension 0, pas une droite de dimension 1.

C'est d'ailleurs précisément ça qui fait que 0,9999... = 1

(Puisqu'il n'existe aucun point entre 0,9999... et 1, alors il s'agit du même point.)

Une droite est définie par deux points distant ! En réalité, c'est ce distant qui fait tout, car c'est lui qui introduit la dimension supplémentaire que ne peuvent pas introduire les points par eux mêmes.

Pour introduire une dimension supplémentaire, il est indispensable de sortir de l'ensemble des éléments précédents.

Comment peut-on dire mathématiquement que le tout est aussi grand que la partie dans ce cas cher Gallium... un point ne serait alors pas une partie de droite puisqu'il devrait y avoir autant de parties dans une droite qu'il devrait y avoir de parties dans un point.

Comment peut-on dire qu'il y aurait une infinité de parties dans ce qui n'aurait pas de partie... à moins qu'en disant qu'une droite est une infinité de points vous vouliez dire qu'elle n'en a certainement pas une quantité... que l'on n'est point ce que l'on a... que l'on n'a point ce que l'on est.

En mathématique, il y a de nombreux cas où nous pouvons considérer que la partie n'est pas plus grande que le tout. Et un cas facilement déductible est celui où la partie est aussi grande que le tout. Le point est ce qui n'a pas de partie, dans le sens où l'on ne peut pas "découper" un point, car il est indivisible. Le point est un tout, et si l'on doit considérer une partie dans un point, alors cette partie est le tout.

Une droite est une infinité de points. Les points peuvent donc former une droite. Une droite est un tout, mais elle a des parties : les segments (qui sont également des points) ou tout simplement les points, ces derniers étant une partie de droite mais le tout de lui-même.

0.99999999999999999999999999=p

9.9999999999999999999999999999.......=10p

9+0.999999999999999...........=10p

9+p=10p

9p=9

p=1=0.99999999999999999999.........

" Est-ce que 0,9=1 ? "

Cette question est magique : elle a la faculté de provoquer des débats surréalistes sur toutes sortes de forums... Sûrement parce qu'elle est à la fois suffisamment simple pour être comprise par tous et bien trop complexe pour être abordée naïvement par la seule intuition. Moi en tout cas ça m'a toujours amusé de prendre part à ce genre de discussion. Mais il s'avère souvent que le fait que la réponse soit oui heurte tellement l'intuition qu'il est impossible de convaincre les gens ( d'où l'intérêt d'essayer ).

Comme Tista, je suis donc curieux de connaître l'état du débat afin de pouvoir y participer activement.

Et en attendant, je réagis sur quelques trucs que je viens de lire :

- Le mot "infini" est un peu utilisé à toutes les sauces. Dans une optique purement mathématique, ce mot est un adjectif qui qualifie un ensemble. On dit qu'un ensemble est infini... s'il n'est pas fini. Et un ensemble est fini s'il peut être mis en bijection avec [1,n]. Toute autre utilisation du mot "infini" n'a pas de sens correctement défini en mathématique.

- Une droite est un ensemble de points. Par exemple dans un repère cartésien de dimension 2 c'est l'ensemble des points dont les coordonnées (x,y) vérifient une équation du type ax+by+c=0 ( une telle équation caractérise une droite ).

- Mon point de vue sur la question d'origine : 0,9=1 ( même si je n'aime pas parler de "point de vue" pour parler d'une réalité mathématique qui ne devrait pas être sujette à controverse ).

Pour conclure : je suis scientifique de formation, et je répondrai en tant que tel. Les points de vue philosophiques, bien qu'intéressants en tant que réflexion, ne peuvent apporter aucun élément de réponse à une question purement mathématique. Je ne me lancerai donc pas dans une discussion philosophique.

En tout temps pour n allant de 1 à infini... n représentant la quantité de décimales.

10⁰ * 0,9 = 10⁰ * (10ⁿ - 1) / 10ⁿ = (10⁰ * 10ⁿ / 10ⁿ) - (10⁰ / 10ⁿ)

10¹ * 0,9 = 10¹ * (10ⁿ - 1) / 10ⁿ = (10¹ * 10ⁿ / 10ⁿ) - (10¹ / 10ⁿ)

en posant que n = infini

10⁰ * 0,9 = 10⁰ * (10^infini - 1) / 10^infini = (10⁰ * 10^infini / 10^infini) - (10⁰ / 10^infini)

10¹ * 0,9 = 10¹ * (10^infini - 1) / 10^infini = (10¹ * 10^infini / 10^infini) - (10¹ / 10^infini)

qui devient

10⁰ * 0,9 = 10⁰ * (10^infini - 1) / 10^infini = (10^{infini + 0} / 10^infini) - (1 / 10^{infini - 0})

10¹ * 0,9 = 10¹ * (10^infini - 1) / 10^infini = (10^{infini + 1} / 10^infini) - (1 / 10^{infini - 1})

Sur une base ou infini + 1 = infini

Sur une base ou infini - 1 = infini

10⁰ * 0,9 = (10^infini / 10^infini) - (1 / 10^infini )

10¹ * 0,9 = (10^infini / 10^infini) - (1 / 10^infini)

Ainsi 10⁰ * 0,9 = 10¹ * 0,9

Sur quelle base peut-on poser au départ que 10 * 0,9 = 9,9 dans ce cas...

En mathématique, il y a de nombreux cas où nous pouvons considérer que la partie n'est pas plus grande que le tout. Et un cas facilement déductible est celui où la partie est aussi grande que le tout...

Moi qui croyait qu'il n'existait aucun cas ou l'on pouvait même considérer la partie comme étant plus grande que le tout... vous avez une drôle de façon de présenter le tout cher Gallium... du moins en partie.

... Le point est ce qui n'a pas de partie, dans le sens où l'on ne peut pas "découper" un point, car il est indivisible...

Dire que le point est indivisible serait de le considérer comme la plus petite ''quantité'' que l'on pourrait obtenir par division... ce qui n'existe pas en mathématique je crois bien... le 0 ne pouvant être obtenu par division et l'infini n'étant pas une quantité.

Le point est un tout, et si l'on doit considérer une partie dans un point, alors cette partie est le tout.

Une droite est une infinité de points. Les points peuvent donc former une droite. Une droite est un tout, mais elle a des parties : les segments (qui sont également des points) ou tout simplement les points, ces derniers étant une partie de droite mais le tout de lui-même.

Un point c'est rien... un point c'est tout.

Serait-ce ce qu'il faut comprendre... que c'est tout ce que ce n'est pas tout en n'étant pas tout ce que c'est...

N'est-il pas...