Pourquoi 1=0.999999999...

plus on rajoute de 9 derriere la virgule,plus on se raproche de 1.

peut on se raprocher d'un point a l'infini sans jamais l'ateindre ?

Je ne vous contredis en rien RainfallCaesia...

Je dis seulement pour ma part que lorsque l'on considère ce à quoi on peut toujours ajouter une quantité de plus comme étant ce à quoi on ne peut rien ajouter de plus, et bien on ne parle plus d'une science exacte. :blush:

C'est comme de dire qu'une chose est son contraire... peu importe ce que vous en direz, le contraire sera vrai.

En philosophie je rattacherais le tout au concept d'être soi-même... que ce soit voici 10 ans ou dans 10 ans, je suis toujours moi-même même et ce même si je ne suis pas le même.

Et pourtant les maths sont tout ce qu'il y a de plus exact et la notion d'infini est très bien formalisée.

Je suis d'accord avec RainfallCaesia, passer 23 pages à débattre sur une démonstration exacte, je n'ai pas eu le courage de tout lire...

''... Et pourtant les maths sont tout ce qu'il y a de plus exact et la notion d'infini est très bien formalisée.

Je suis d'accord avec RainfallCaesia, passer 23 pages à débattre sur une démonstration exacte, je n'ai pas eu le courage de tout lire...''

Mais encore, Max2357... est-ce que 0,9 = 1 selon vous?

Ou croyez-vous plutôt qu'il existera toujours une différence de 10^-n entre les deux... soit que 1 - 0,9 = 10^-n avec (ⁿ) égalant la quantité de 9 suivant la virgule?

Ce n'est pas selon moi...

Une demo en maths est tout ce qu'il y a de plus objectif. Une fois le resultat prouve, il n'y a pas lieu de le remettre en cause. Les demos qui ont ete proposees dans ce topic sont correctes.

Pour la deuxieme question, la reponse est non, vu que 0.999... = 1 donc la difference est nulle. Il n'y a pas convergence mais bien egalite. J'espere que c'est un peu plus clair :blush:

(desole pour les accents, clavier QWERTY)

Ce n'est pas selon moi...

Une demo en maths est tout ce qu'il y a de plus objectif. Une fois le resultat prouve, il n'y a pas lieu de le remettre en cause. Les demos qui ont ete proposees dans ce topic sont correctes.

Pour la deuxieme question, la reponse est non, vu que 0.999... = 1 donc la difference est nulle. Il n'y a pas convergence mais bien egalite. J'espere que c'est un peu plus clair :blush:

(desole pour les accents, clavier QWERTY)

0,9 est l'expression de (10ⁿ - 1) / 10ⁿ à chaque étape du processus... ⁿ étant un entier marquant la situation de l'étape du processus.

n=1 donc 10¹ - 1 / 10¹ = 0,9

n=2 donc 10² - 1 / 10² = 0,99

n=3 donc 10³ - 1 / 10³ = 0,999

n=X donc 10x - 1 / 10x = 0,autant de 9 que la valeur de X

...

étant donné que ∞ (infini) n'est pas plus un nombre qu'un entier... comment pouvez-vous affirmer objectivement qu'à n'importe quelle étape du processus vous obtiendrez un résultat voulant que (10ⁿ - 1) / 10ⁿ = 1 !!! soit que :

(10ⁿ - 1) = 10ⁿ ou encore que (10ⁿ - 10ⁿ⁾ = 1 que l'on pourrais ramener à (X - X) = 1.

Considérez-vous cette démonstration comme objective, Max2357?

Je comprends ce que vous voulez dire. 0.9 a un nombre infini de 9, c'est ca le point important, donc il ne represente (10ⁿ-1)/10ⁿ a aucune etape du processus...excepte a la limite a l'infini.

Donc ca veut dire qu'il n'existe aucun n tel que (10ⁿ-1)/10ⁿ = 1

Ce n'est vrai que pour n qui tend vers l'infini.

Je ne pense pas qu'on puisse dire que 0,99999... = 1 ou même que 0,99999... n'existe pas.

En maths, les nombres sont définis par leur écriture même, le fait qu'on puisse écrire 0,99999... suffit à la fois à prouver son existence et sa différence avec 1 . Par contre, ce qui est sur, c'est que ce n'est pas vraiment un nombre à proprement parler (vu qu'il n'est pas fini).

Si je reprends ma démonstration là où je l'avais arrêté, c'est à dire à :

9x = 8,99999...91

en continuant le calcul, je tombe sur :

x = 8,99999...91/9

x = 0,9999999...

Je retrouve donc la valeur initiale de x, ce qui tend à prouver la théorie des décimales décalées.

Je comprends ce que vous voulez dire. 0.9 a un nombre infini de 9, c'est ca le point important, donc il ne represente (10ⁿ-1)/10ⁿ a aucune etape du processus...excepte a la limite a l'infini.

Donc ca veut dire qu'il n'existe aucun n tel que (10ⁿ-1)/10ⁿ = 1

Ce n'est vrai que pour n qui tend vers l'infini.

Vous dîtes ''excepté à la limite, à l'infini''... l'infini ne se caractérise-t-il pas justement par le fait qu'il n'a pas de limite?

En posant qu'il y a un nombre infini de 9, ne voulez-vous pas justement affirmer le fait qu'il n'y a pas de limite à la quantité de 9?

Pour préciser, j'aurais du dire, excepté lorsqu'on atteint la limite (c'est à dire 1) lorsque n tend vers l'infini. Donc ça veut bien dire qu'il n'y a plus de limite à la quantité de neuf, on a atteint 0.999 c'est à dire 1.

''... excepté lorsqu'on atteint la limite...''

Quelle limite... puisque par définition il y a une quantité infinie... donc illimitée.

On ne peut atteindre une limite qui n'existe pas.

C'est comme de dire que c'est ce que ce n'est pas.

Aussitôt que vous saurez ce que c'est, ce ne le sera pas.

Je ne pense pas qu'on puisse dire que 0,99999... = 1 ou même que 0,99999... n'existe pas.

En maths, les nombres sont définis par leur écriture même, le fait qu'on puisse écrire 0,99999... suffit à la fois à prouver son existence et sa différence avec 1 .

Non. Un nombre ne se défini pas par son écriture. Mais par sa valeur. La valeur de 0.99999.... est 1.

Comme la valeur de i² est-1, comme la valeur de

Par contre, ce qui est sur, c'est que ce n'est pas vraiment un nombre à proprement parler (vu qu'il n'est pas fini).

Dans ce cas, "pi" n'est pas un nombre. Au même titre que Racine de 2 ou même 1/3...

Si je reprends ma démonstration là où je l'avais arrêté, c'est à dire à :

9x = 8,99999...91

en continuant le calcul, je tombe sur :

x = 8,99999...91/9

x = 0,9999999...

Votre démonstration est fausse. Pour raison simple mais pas évidente. L'erreur et toujours la même : la confusion entre fini et infini.

Un nombre qui admet une dernière décimale est fini. Nécessairement, car le nombre à une première décimale (juste derrière la virgule) et une derrnière. Donc ce qui il a entre deux point bien distincts est clairement fini.

Cependant vous écrivrez : 8.99999....91

Ceci est un nombre qui admet une première décimale (9) une dernière décimale (1) et qui a une quantité infinie de décimal (...). Ceci n'a pas de réalité mathématique. Tout comme une division par zéro ou un rapport de vecteur... Ceci "n'existe" pas. Les guillemets servent simplement à montrer que cette inexistence est innérente même à la propriété de l'objet en question.

Donc la démonstration ne fonctionne pas du tout.

Définition de l'infini... selon Wiki.

''...L'infini (du latin finitus, « limité », noté habituellement ∞) est un concept qui s'attache à quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille...''

... Et ?

En résumé on dit qu'il y a une infinité de 9 dans 0,9 parce qu'il n'y a pas de limite au nombre de 9 (décimales) qu'il contient... que je peux toujours rajouter une décimale supplémentaire.

Je parlais de rajoutter une décimale "à la fin"... Comment mettre qualque chose à la fin de ce qui n'en a pas ? ... Si vous pouvez, je vous appelle bonhomme...

Citation Mad_World...

''... Là où le sujet devient intéressant, c'est quand je considère le nombre : 0.99999.... tel que je ne peux pas rajouter une décimale supplémentaire...''

J'y vois une contradiction flagrande... car si je ne peux rajouter de décimales c'est qu'il y a une limite au nombre de décimales que je peux rajouter.

Ce serait donc comme de dire que je considère le nombre X comme si il n'était pas le nombre X.

Ou encore que je considère l'infini comme si ce n'était pas l'infini...

Non, ça veut dire que je considère l'infini comme ce qu'il est : un concept, pas un nombre. Vous pouvez appliquer des oppérateur à "l'infini".Vous pouvez dans certains cas même écrire des horreurs du genre "infini +1= infini" ... ce ne fait pas de "infini" un nombre. On ne peut pas le classer comme tel car considéront que vous ajoutiez une décimale. Il y a donc une infinité de décimale. Mais il y en a plus qu'avant. Donc l'infini est suppérieure à l'infini.

En fat quand je dit 'on ne peu plus rajouter de décimal" cela signifie que, comme les mathématiques nous le permettent, nous considéront le cas irrelle qui consiste à dire que vous avez déjà ajouter toutes les décimale à l'infini. De sorte que si vous en rajouter une de plus, la quantité de décimale reste la même puisqu'en fait on considère que cette nousvelle décimale... était déjà présente... vous voyez ??

''... En effet, l'infini n'étant pas un nombre, on n'est pas sensé avoir le droit de l'écire comme borne d'une sommation... mais disons qu'on le tolère, puisque qu'il n'y a pas de confusion possible...''

En effet Mad_World, ce n'est pas parce qu'on n'est pas sensé avoir le droit qu'on ne peut pas le prendre... surtout lorsque l'on définit l'infini au préalable comme étant ce qu'il n'est pas, ou comme n'étant pas ce qu'il est...

1/ Montrez une quelconque contradiction / erreur dans ma démonstration

2/ Je pense sincèrement savoir connaitre très légèrement mieux le sujet que vous dans la mesure où je retranscris ce que des mathématiciens avérés, diplomés, professionnels, considère comme étant une démonstration justes. Et ceux parce qu'au lieu de penser et réfléchir, je pense, réfléchis... et m'informe. ... Ce que je vous invite à imiter...

Mais lorsque qu'on est pas sensé... ne produit-on pas des résultats qui ne sont pas sensés également?

Ca n'a strictement aucun rapport... d'autant que la réponse peut être aussi bien oui que non... tout dépent de la définission de sensé, produit, résultat...

Si je définis un concept comme pouvant remplacer un nombre comme borne de sommation alors je peux dire :

Somme des Xⁿ pour n allant de 0 jusqu'à ce qu'il n'y en ait ''jamais trop'' mais en considérant ''jamais trop'' comme voulant dire assez... ou allant de 0 jusqu'à encore mais en considérant encore comme voulant dire suffisamment.

Le concept ne remplace pas. Je l'ai expliqué déjà. Il s'agit d'une notation, une abréviation. Tout comme lorsque l'on parle de la limite d'une suite ou d'une série, on n'écris pas "quand n tend vers l'infini". n ne peut pas tendre vers autre chose que l'infini, car dans les cas des suites et séries, la définission de "limite" ne s'applique que en +infini. Donc pas de confusion possible. On abrège.

Tout comme dans un développement limité, o(x²) représente une fonction de x², x^3, x^4, ... que l'on considère pas si on fait un développement au premier ordre. ...

Ce sont des notations. Vous n'allez pas commencer à philosopher sur des notations ??? ce serait vraiment pitoyable et sortirai totalement du contexte.

Je me dis que 1/2 vaut 0,5 et que je ne peux pas lui ajouter de décimales supplémentaire... sinon il ne vaudrait plus 1/2... serait-ce à dire qu'il a une infinité de 5 parceque il est tel que je ne peux pas lui rajouter une décimale supplémentaire...

Si si... je peux lui rajouter un 0 :

0.50

0.500

0.50000

0.5000000......

Je peux lui rajouter plein de décimale... et ca vaudra toujour 1/2...

Je pourrais aussi vous demandez quelle quantité représente l'étape venant juste avant le point ou je ne pourrais plus rajouter une décimale de plus à 0,9. Puis la quantité venant avant cette quantité et voir si je pourrais remonter aussi à contre-courant jusqu'à 0...

Il n'y a aucune étape. Ce n'est pas une science expériementale. On ne s'interesse pas à la manière de construire 0.9999.... , on s'interesse à sa valeur.Ne mélangeons pas les choses. Il n'y a aucune étape. ...

Mais il n'y a pas de limite à ce que les mathématiques peuvent produire... même de mettre une limite à ce qui n'en a pas...

... juste pour info... vous conaissez la définition d'une limite ?

Vous savez que ce n'est pas la même que celle du petit robert au moins ?

0,9 NON : 0.9(n fois) est l'expression de (10ⁿ - 1) / 10ⁿ à chaque étape du processus... ⁿ étant un entier marquant la situation de l'étape du processus il n'y a pas d'étape. Si on veut, on peut tout à fait construire directement le cas n=5 ou n=1564 ... il s'agit de ce qu'on apelle l'expression explicite d'une suite.

n=1 donc 10¹ - 1 / 10¹ = 0,9

n=2 donc 10² - 1 / 10² = 0,99

n=3 donc 10³ - 1 / 10³ = 0,999

n=X donc 10x - 1 / 10x = 0,autant de 9 que la valeur de X X étant un entier naturel

...

étant donné que ∞ (infini) n'est pas plus un nombre qu'un entier... comment pouvez-vous affirmer objectivement qu'à n'importe quelle étape du processus vous obtiendrez un résultat voulant que (10ⁿ - 1) / 10ⁿ = 1 !!! : personne n'a dit ça... vous n'avez pas compris... soit que :

(10ⁿ - 1) = 10ⁿ ou encore que (10ⁿ - 10ⁿ⁾ = 1 que l'on pourrais ramener à (X - X) = 1.

Mais ce n'est pas à n'importe quelle étape... ce n'est même pas à une étape.

La limte de (10ⁿ - 1) / 10ⁿ quand n tend vers l'infini est égale à 1... il s'agit d'une égalité liée au concept de l'infini. C'est une valeur qu'il n'est pas possible d'atteindre expériementalement. Mais nous travaillons sur un concept qui a une sens mathématique.

Considérez-vous cette démonstration comme objective, Max2357?

Moi en tout cas je considère que votre... euuuuh.... truc... est faux.

Vous dîtes ''excepté à la limite, à l'infini''... l'infini ne se caractérise-t-il pas justement par le fait qu'il n'a pas de limite?

En posant qu'il y a un nombre infini de 9, ne voulez-vous pas justement affirmer le fait qu'il n'y a pas de limite à la quantité de 9?

Vous confondez le mot limite en français avec le concept mathématique communément connu sous le nom de limite...

et c'est un défaut récurent chez vous...

je vous invite à lire (surtout au milieu de la page 7 du pdf) :

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rombal...nalyseChap4.pdf

un cours de l'université de bordeaux

a regarder la correction de cet exos trouvé je sais pas trop où...

http://mathscyr.free.fr/themes/nombresetca...eEXOCORRIGE.pdf

ou encore un truc qui sort rien que de jussieu... (fin de la page 2...)

http://people.math.jussieu.fr/~maurey/m3023/m3023_02.pdf

je vous autorise à faire confiance à l'auteur en ce qui concerne les calculs...

mais ecore

http://megamaths.perso.neuf.fr/cours/ari/csui0001.pdf (début page 4)

si vous voulez voue exercer (in sais jamais :blush:)

http://math.univ-lille1.fr/~ipeis/Devoirs/DM1ipe07.pdf

si vous pensez que j'invente consultez ce livre :

http://www.techno-science.net/?onglet=ouvr...p;ID=2842250575

ou le tome 2 du livre de mathématiques de Lelong-Ferrand (analyse) de 1972 (comme quoi...)

si vous aimez vous faire du mal ... tentez le CAPES :

http://capes-math.univ-rennes1.fr/cours-pdf/decimaux.pdf (p.3, au milieu)

et je pense que ca fait déja un sacré taff

Sur ce... si certains sont encore un peu septique parce que c'est pas tout à fait intuitif, je peux comprendre... mais ouvrez juste un livre denigme, et vous verrez que les truc les plus intuitif... peuvent être faux... par contre si il y en a qui soutiennent encore dur comme fer que 0.999... est différent de 1 sans pour autant apporter la moindre de preuve qui n'ai pas déjà été réfuté, là, j'avoue, a part vous conseiller de ne jamais tenter de faire des étude de math, je vois plus trop quoi faire... désolé...

Si notre cher génie que nous avons tous reconnu propose une nouvelle démo, je montrerai l'erreur... mais de grace, ouvrez les yeux...

J'espère bien que vous m'aviez reconnu... il n'y avait qu'à lire la signature. :blush: Ce n'était pas mathématique comme vérité, mais logique. Pas de comme si, juste du c'est...

''... Si si... je peux lui rajouter un 0 :

0.50

0.500

0.50000

0.5000000......

Je peux lui rajouter plein de décimale... et ca vaudra toujour 1/2...''

Et bien non Mad_World...

On écrit 0,5 par paresse plutôt que 0,50 car tout le monde sait bien qu'il y a déjà une infinité de 0 après le 5 de 0,5 pour marquer la valeur des puissances 10 inférieures tout comme il y a une infinité de 0 devant n'importe lequel des entiers naturels aussi pour mentionnez que les puissances de 10 supérieures ont comme valeur 0...

01 = 1

001 = 1

0001 = 1

0...1 = 1

On ne peut donc pas ajouter de décimales derrière 0,5 car il y a déjà une infinité de 0 à sa suite.

0,5 = 0,50

''... En fat quand je dit 'on ne peu plus rajouter de décimal" cela signifie que, comme les mathématiques nous le permettent, nous considéront le cas irrelle qui consiste à dire que vous avez déjà ajouter toutes les décimale à l'infini...''

Considérer que vous avez déjà ajouté toutes les décimales à l'infini est comme de dire que vous avez aussi la dernière... puisque ''toute'' implique une totalité, soit du premier jusqu'au dernier... ne parliez-vous pas de m'appeller bonhomme si je réussissais ce tour de force... ce n'est pas si difficile en fait puisque que comme vous le dites si bien je n'ai qu'à considérer la réalité de cas ''irréel''... ce que les mathématiques semblent me permettre.

''... Je pense sincèrement savoir connaitre très légèrement mieux le sujet que vous dans la mesure où je retranscris ce que des mathématiciens avérés, diplomés, professionnels, considère comme étant une démonstration justes. Et ceux parce qu'au lieu de penser et réfléchir, je pense, réfléchis... et m'informe...''

Que croyez-vous que je fais par cette discussion... pour ma part je ne retranscris en rien... je pense et je réfléchis car je ne considère rien comme acquis... avoir une foi aveugle et une attitude religieuse envers une discipline qui ne peut prouver sa propre cohérence n'est pas une attitude qui me caractérise.

Au-delà du fait d'apprendre par coeur, je considère que comprendre est de loin préférable. Mais il me semble un peu compliqué de comprendre l'irréalité.

Vos arguments ne m'ont pas convaincus... sinon de votre agressivité.

Je reviendrai ce dimanche pour vous faire part de ce que je trouve incohérent dans votre réponse et, qui sait, peut-être vous offrirai-je une contradiction... je réfléchis encore à savoir si vous considérez X^-infini comme une réalité en posant l'infini comme borne de sommation.

J'ai un ami mathématicien en recherche fondamentale.

Vous pouvez lui donner des cours particuliers ?

hors mis le fait que Mad World a un peu mal exprimé son concept avec 0,5, 0,50, etc...

il a tout a fait raison sur le reste. Sa démonstration est bonne.

Un nombre ayant un nombre infini de décimales n'a pas de dernière décimale (vu que, étymologiquement, la dernière impose une fin...). Dire que 2 nombres infinis diffèrent par leur dernière décimale c'est un peu paradoxal quand même.

J'ai un ami mathématicien en recherche fondamentale.

Vous pouvez lui donner des cours particuliers ?

Si il s'intéresse aux fondements en particulier... peut-être devrait-il regarder du côté du vôtre. Question ouverture vous semblez en avoir plus que moi de ce côté. Mais peut-être est-ce déjà pour cette raison que ce serait votre ami.

Par contre si il s'intéresse aux nombres premiers et à une façon toute mécanique de les représenter sans utiliser le moindre calcul... je peux lui proposer quelquechose.