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Pourquoi 1=0.999999999...

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Membre, 37ans Posté(e)
Akarkop Membre 228 messages
Baby Forumeur‚ 37ans‚
Posté(e)

Si, ce sont deux écritures différentes du même nombre :blush:

1.000... est-il aussi différent de 1 alors pour toi?

Et 1/3 et 0.33333... ce ne sont pas non plus les mêmes nombres?

Je n'en reviens pas que tellement de gens n'acceptent pas que 0.999... et 1 désignent le même nombre, vous n'avez jamais eu de cours de math ou quoi?

On parle bien d'une infinité de 9 dans 0.9999..., sinon évidemment ce ne sont pas les mêmes nombres.

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Membre, Posté(e)
8 Go Membre 45 messages
Baby Forumeur‚
Posté(e)

je ne parlais pas de 1 et 1.0000 mais de 1 et 0,99999... ces deux derniers ne sont pas égaux, ce ne sont donc pas deux écritures du même nombre, tu es de mauvaise foi en prétendant le contraire ! Tu peux mettre une infinité de 9 après la virgule ça ne fera jamais 1.

Et les gens qui accepteraient un tel résultat sont de toute évidence nuls en math !

edit : d'ailleurs 0,9999999... est un nombre irrationnel (impossible à mettre sous forme d'une fraction) tandis que 1 est rationnel. De même que 1 est un nombre entier et 0,9999999... ne l'est pas.

Et 0,3333333... bien égal à 1/3 et donc rationnel puisqu'il est possible de le mettre en fraction, et là c'est effectivement deux écritures du même nombre.

Modifié par 8 Go
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Membre, Tête en l'air, 41ans Posté(e)
Feuille Membre 10 893 messages
41ans‚ Tête en l'air,
Posté(e)

SI, ça fait 1.

x = 0,99999999999999...

10x = 9,9999999999...

10x = 9 + x

9x = 9

x = 1

On a bien 1 = 0,999999999999999..

et y'a pas de division par zéro.

Par ailleurs, 2/14 = 1/7 ; 1/2 = 0,5 ... là encore, on a différentes écritures pou un même nombre.

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Membre, Posté(e)
8 Go Membre 45 messages
Baby Forumeur‚
Posté(e)

Non il y a bien une division par 0, elle est juste implicite dans ta démonstration (cf ma démonstration générale page précédente dans laquelle la division n'apparait pas explicitement non plus mais qui existe pourtant bel et bien), que tu n'as d'ailleurs pas saisi puisque tu l'as mal recopié et qu'elle contient deux erreurs de plus :blush: que celle du premier post du topic.

Pour 2/14 = 1/7 ; 1/2 = 0,5 on est bien d'accord, d'ailleurs ce sont là des nombres rationnels contrairement à 0,999999... (je serais curieux de voir comment tu le mets en fraction) qui n'est en aucun cas égal à 1 !

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Membre, Tête en l'air, 41ans Posté(e)
Feuille Membre 10 893 messages
41ans‚ Tête en l'air,
Posté(e)

Implicite ? :blush:

Je ne la vois pas, la soi-disant division par zéro dans mon calcul. Je n'ai rien recopié du tout, j'ai calculé.

Et 'faudrait que tu m'expliques elle est, mon "erreur"... :coeur:

Quel est, précisément, l'opération que je suis supposée ne pas avoir le droit de faire.

A quelle ligne elle apparaît.

Et 'faudra aussi que tu expliques à tous les profs de maths que j'ai pu avoir, de la seconde à la prépa, qu'ils sont nuls en maths.

Dans ton calcul de la page précédente, tu as fait en sorte, sciemment, de diviser par zéro. Pas implicitement du tout. Dans ton étape 8. Ici, ce n'est pas le cas. Aucune division par zéro. A moins que tu considères que 9 = 0 vu que la seule et unique division de mon calcul a pour diviseur 9. :coeur:

Pour ce qui est des fractions

0,99999999999999999999... = 1. Qui est rationnel.

Tout comme 0,33333333333333333... = 1/3

Modifié par Feuille
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Membre, 37ans Posté(e)
Akarkop Membre 228 messages
Baby Forumeur‚ 37ans‚
Posté(e)
je ne parlais pas de 1 et 1.0000 mais de 1 et 0,99999... ces deux derniers ne sont pas égaux, ce ne sont donc pas deux écritures du même nombre, tu es de mauvaise foi en prétendant le contraire ! Tu peux mettre une infinité de 9 après la virgule ça ne fera jamais 1.

Et les gens qui accepteraient un tel résultat sont de toute évidence nuls en math !

edit : d'ailleurs 0,9999999... est un nombre irrationnel (impossible à mettre sous forme d'une fraction) tandis que 1 est rationnel. De même que 1 est un nombre entier et 0,9999999... ne l'est pas.

Pour expliquer autrement, es-tu d'accord que 1 - 0.999... est égal à 0 ?

Mais je suppose que tu t'imagines que 1 - 0.999... = 0.00...001, avec un 1 après une infinité de 0.

Sauf qu'un 1 après une infinité de 0, ça veut justement dire que le 1 ne vient jamais... Donc qu'il n'y a que des 0.

Et merci mais je pense quand même être fort en math, je fais justement des études de math!

Si tu veux avoir d'autre opinions que celles que tu trouves sur ce forum tu peux toujours aller demander sur un forum de math (les-mathematiques.net par exemple), regarder sur Wikipedia, ou simplement demander à un prof ou quelqu'un ayant étudié les mathématiques pures, je suis sûr que tous te diront la même chose (mais bon, je n'aime pas les arguments d'autorité, je préférerais que tu le comprennes tout seul).

Et sinon quand le développement décimal d'un nombre est périodique, le nombre est toujours rationnel.

Par exemple, 0.123123123... peut s'écrire comme la fraction 123/999 ou 123123/999999.

En utilisant le même "truc", on voit que 0.9999... est la fraction 999/999 (par exemple), c'est à dire le nombre 1.

Par définition, 0.9999... = limite de la série 0 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...

Et la limite de cette série est 1 (le concept de limite n'est quand même pas si nouveau!).

Si tu n'es pas d'accord, donne-moi ta définition personnelle de ce que signifie 0.9999... (mais sache que celle que je t'ai donnée est la définition "officielle", celle qui est sous-entendue partout en mathématiques).

C'est un peu comme le paradoxe de Zénon : pour parcourir une distance, tu dois d'abord parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de la moitié restante, puis la moitié de la moitié de la moitié,... (en termes modernes : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... = 1).

Modifié par Akarkop
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Membre, Posté(e)
8 Go Membre 45 messages
Baby Forumeur‚
Posté(e)
Implicite ? :blush:

Je ne la vois pas, la soi-disant division par zéro dans mon calcul. Je n'ai rien recopié du tout, j'ai calculé.

Et 'faudrait que tu m'expliques elle est, mon "erreur"... :coeur:

Quel est, précisément, l'opération que je suis supposée ne pas avoir le droit de faire.

A quelle ligne elle apparaît.

Et 'faudra aussi que tu expliques à tous les profs de maths que j'ai pu avoir, de la seconde à la prépa, qu'ils sont nuls en maths.

Dans ton calcul de la page précédente, tu as fait en sorte, sciemment, de diviser par zéro. Pas implicitement du tout. Dans ton étape 8. Ici, ce n'est pas le cas. Aucune division par zéro. A moins que tu considères que 9 = 0 vu que la seule et unique division de mon calcul a pour diviseur 9. :coeur:

Pour ce qui est des fractions

0,99999999999999999999... = 1. Qui est rationnel.

Tout comme 0,33333333333333333... = 1/3

commençons par ton erreur (au temps pour moi il n'y en a qu'une) :

x = 0,99999999999999...

10x = 9,9999999999...

10x = 9 + x

9x = 9

x = 1

Si on regarde entre la deuxième et troisième ligne, d'après toi 9,999999...=9 + x si ça c'est pas une erreur.

Et tu peux appeler n'importe quel prof de maths que tu veux il me donnera raison, c'est absurde de dire que 0,999999... = 1 tout autant que de dire que 1 est la fraction de 0,999999...

De plus tu ne sembles pas connaitre la différence entre nombre rationnel et irrationnel

tu ne me feras pas croire que tu as fait une prépa en maths :snif:

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Membre, 37ans Posté(e)
Akarkop Membre 228 messages
Baby Forumeur‚ 37ans‚
Posté(e)

Pourquoi est-ce une erreur de dire que 9.9999... = 9 + x, avec x = 0.9999... ?

D'après toi, 9 + 0.9999... ça fait combien alors?

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Membre, Tête en l'air, 41ans Posté(e)
Feuille Membre 10 893 messages
41ans‚ Tête en l'air,
Posté(e)

Tu veux aussi un certificat de scolarité ?

Revenons au calcul :

Entre la deuxième et la troisième ligne, je passe de

10 x = 9,99999999... à 10x = 9 + x

Et ? Si tu y vois une erreur, c'est que tu as un gros problème...

(Et que tu devrais apprendre à compter, aussi)

9,99999..; (une infinité de 9, donc), c'est 9 + 0,99999

Or, on a posé x=0,99999...

Donc 9 + 0,99999 = 9 + x

Donc 9,9999999... = 9 + x

Donc on a bien 10x = 9 + x

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction. 0,99999999999999999999... peut s'écrire sous la forme d'une fraction (1, soit 1/1). Il est donc rationnel. Tout comme 0,33333333333333333....

Il ne suffit pas qu'un nombre ait une infinité de décimales pour qu'il soit irrationnel...

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Membre, Posté(e)
8 Go Membre 45 messages
Baby Forumeur‚
Posté(e)
Pour expliquer autrement, es-tu d'accord que 1 - 0.999... est égal à 0 ?

Mais je suppose que tu t'imagines que 1 - 0.999... = 0.00...001, avec un 1 après une infinité de 0.

Sauf qu'un 1 après une infinité de 0, ça veut justement dire que le 1 ne vient jamais... Donc qu'il n'y a que des 0.

Pareil pour le 0.999999... tu peux ajouter une infinité de 9 au bout de celui ci, tu te rapprocheras de 1 sans jamais l'atteindre, la valeur 1 ne viendra jamais si tu ajoutes des 9 même une infinité.

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Membre, Posté(e)
8 Go Membre 45 messages
Baby Forumeur‚
Posté(e)
Pourquoi est-ce une erreur de dire que 9.9999... = 9 + x, avec x = 0.9999... ?

D'après toi, 9 + 0.9999... ça fait combien alors?

Tu veux aussi un certificat de scolarité ?

Revenons au calcul :

Entre la deuxième et la troisième ligne, je passe de

10 x = 9,99999999... à 10x = 9 + x

Et ? Si tu y vois une erreur, c'est que tu as un gros problème...

(Et que tu devrais apprendre à compter, aussi)

9,99999..; (une infinité de 9, donc), c'est 9 + 0,99999

Or, on a posé x=0,99999...

Donc 9 + 0,99999 = 9 + x

Donc 9,9999999... = 9 + x

Donc on a bien 10x = 9 + x

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction. 0,99999999999999999999... peut s'écrire sous la forme d'une fraction (1, soit 1/1). Il est donc rationnel. Tout comme 0,33333333333333333....

Il ne suffit pas qu'un nombre ait une infinité de décimales pour qu'il soit irrationnel...

effectivement, j'ai été trop vite et j'ai dit une connerie.

toujours est il que 0.99999... = 1 est une absurdité, 0.99999... tend vers 1 mais ne sera jamais égal à 1

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Membre, Tête en l'air, 41ans Posté(e)
Feuille Membre 10 893 messages
41ans‚ Tête en l'air,
Posté(e)

Donc on te démontre le truc, clairement, proprement, mais comme ça te perturbe, c'est faux ? 'vais te laisser sur ton nuage... :blush:

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Invité Mad_World
Invités, Posté(e)
Invité Mad_World
Invité Mad_World Invités 0 message
Posté(e)

Vous feriez tous bien de relire ça :

Un réel r peut se définir avec sa partie entière e et la suite infinie de ses décimales a_1 a_2... a_i...

On a alors r= e + (Somme pour i =1 à l'infini de a_i/10^i).

où 10^i signifie ici "10 puissance i".

La somme jusqu'à l'infini est défini comme une limite :

Somme pour i =1 à l'infini de a_i/10^i = limite lorsque n tend vers l'infini de (Somme pour i =1 à n de a_i/10^i)

Or, la limite lorsque n tend vers l'infini de (Somme pour i =1 à n de 9/10^i) vaut 1.

Donc 0.999999... vaut 1.

0,99999... est appelé le développement décimal impropre de 1.

Plus généralement, tout nombre décimal a un développement décimal propre (avec un nombre fini de chiffres après la virgule) et un dévellopement décimal impropre (avec une infinité de 9 après la virgule).

Par ailleurs, je suis capable de sortir 3 autres démonstration que 1=0.9

(où 0.9 = 0.9999999.....).

Je ne vais pas le faire... car vous les trouverez n'importe où...

Il s'agit d'une égalité qui est, je l'admet, pas du tout intuitive, mais qui tire son exactitude du caractère INFINI du nombre de décimal. Cette égalité serait totalement fausse si le nombre de 9 était fini.

Comprendre "pourquoi" cette égalité est par contre dénué de sens...

C'est comme si je vous demandais "pourquoi 1=1 ? "

Il n'y a pas d'autre explication qu'une démonstration. Donc, comme à moi tout seul j'en connais 4 pour 1=0.9 et qu'on a du en poster ici deux ou trois... je pense qu'on peut s'arrêter là non ?

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Membre, 37ans Posté(e)
Akarkop Membre 228 messages
Baby Forumeur‚ 37ans‚
Posté(e)
toujours est il que 0.99999... = 1 est une absurdité, 0.99999... tend vers 1 mais ne sera jamais égal à 1

Pourrais-tu me donner ta définition de "tendre vers" ? :blush:

On ne dit pas qu'un nombre tend vers un autre, ça ne veut rien dire du tout.

On dit qu'une suite ou une série tend vers un nombre.

Or à ma connaissance la notation 0.9999... désigne bien un nombre et pas une suite ou une série.

Et ce nombre est, par définition (je sais je me répète mais c'est nécessaire apparemment), celui vers lequel tend la série 0 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...

Si ça te plait pas dis nous c'est quoi pour toi 0.9999... alors, mais jusqu'à présent tu n'as pas répondu à la question.

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Invité Mad_World
Invités, Posté(e)
Invité Mad_World
Invité Mad_World Invités 0 message
Posté(e)
je ne parlais pas de 1 et 1.0000 mais de 1 et 0,99999... ces deux derniers ne sont pas égaux, ce ne sont donc pas deux écritures du même nombre, tu es de mauvaise foi en prétendant le contraire ! Tu peux mettre une infinité de 9 après la virgule ça ne fera jamais 1.

Et les gens qui accepteraient un tel résultat sont de toute évidence nuls en math !

Les "gens" qui ont dit et démontré cette égalité étaient mathématicien...

edit : d'ailleurs 0,9999999... est un nombre irrationnel

Non

(impossible à mettre sous forme d'une fraction) tandis que 1 est rationnel. De même que 1 est un nombre entier et 0,9999999... ne l'est pas.

Non...

Et 0,3333333... bien égal à 1/3 et donc rationnel puisqu'il est possible de le mettre en fraction, et là c'est effectivement deux écritures du même nombre.

D'accord...

0.3 = 1/3

3*0.3 = 0.9

3*0.3 = 3*1/3 = 1

=> 0.9 = 1

0.9 est un entier rationnel...

Je crois que vous devriez revoir votre définition de : "nul en maths..." :blush:

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Membre, Tu n'auras d'autre batracien devant ma face, 109ans Posté(e)
Grenouille Verte Membre 32 822 messages
109ans‚ Tu n'auras d'autre batracien devant ma face,
Posté(e)
De plus tu ne sembles pas connaitre la différence entre nombre rationnel et irrationnel

Quelle est, selon vous, un nombre rationnel ?

Savez vous comment on reconnait un nombre rationnel à partir de son développement décimal ?

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Membre, 37ans Posté(e)
Akarkop Membre 228 messages
Baby Forumeur‚ 37ans‚
Posté(e)
Savez vous comment on reconnait un nombre rationnel à partir de son développement décimal ?

éa s'il ne le sait pas il ne faut pas lui en vouloir par contre :blush:

Enfin, si le développement décimal est fini ou périodique, c'est rationnel évidemment.

Dans le cas contraire je pense que c'est vraiment une question difficile de déterminer si c'est rationnel ou pas.

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Membre, Tu n'auras d'autre batracien devant ma face, 109ans Posté(e)
Grenouille Verte Membre 32 822 messages
109ans‚ Tu n'auras d'autre batracien devant ma face,
Posté(e)

En fait, un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique.

Cela se montre à partir de l'algorithme classique de la division.

Toute la question est alors : est-ce que 0,9 a un développement décimal périodique ? :blush:

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Invité Le Génie
Invités, Posté(e)
Invité Le Génie
Invité Le Génie Invités 0 message
Posté(e)
SI, ça fait 1.

x = 0,99999999999999...

10x = 9,9999999999...

10x = 9 + x

9x = 9

x = 1

On a bien 1 = 0,999999999999999..

et y'a pas de division par zéro.

Par ailleurs, 2/14 = 1/7 ; 1/2 = 0,5 ... là encore, on a différentes écritures pou un même nombre.

En fait vous oubliez de mentionnez que la multiplication par 10 décale tous les chiffres d'un cran et ce du dernier jusqu'au premier...et donc qu'il y a un chiffre de moins (9) après la virgule suite à la mutiplication par 10 car le dernier passe en avant-dernière place puis son précédent fait de même... que celui en Xième position passe en (X-1)ième position et ce jusqu'au premier qui traverse la virgule... que si il y avait X chiffres après la virgule alors il y en aura maintenant X-1... donc qu'il n'y a plus autant de 9 avant qu'après la multiplication.

En posant que x = 0,9

et que 10X = 9,9

vous ne pouvez dire que

10X = 9 + X

mais seulement que

10X = 9X + X

Car ce serait comme de dire que vous avez deux nombre qui seraient égaux alors qu'ils ne possèdent pas la même quantité de chiffre après la virgule...

Vous pouvez aussi voir le tout comme étant l'incrémentation par 1 de toutes les puissances de 10... que le chiffre marquant les Xn devient celui marquant les Xn+1 dans ce cas commencez par le chiffre marquant la plus petite puissance et dîtes-moi ce que sera sa nouvelle position...

Modifié par Le Génie
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Invité Le Génie
Invités, Posté(e)
Invité Le Génie
Invité Le Génie Invités 0 message
Posté(e)

Dans une même logique...

si 0,9 = 1,0

alors

0,8 = ?

0,7 = ?

Pourriez-vous me remplacer les ? par d'autres nombres... j'aimerais bien savoir la valeur équivalente pour ceux-ci également.

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