Les nombres complexes

[azad2B 3 289]

Tu te répète alliocha ! Et par ailleurs, et comme d' habitude tu te plante lamentablement. Ton équation, n' est pas le vrai bijou salué par les mathématiciens. Cherche mieux, peut-être dans Pif Gadgets, sa formulation plus concise et plus belle.

[satinvelours 1 279]

[zenalpha 8 621]

 

[satinvelours 1 279]

Des imaginaires aux complexes

Au dix huitième siècle les mathématiciens travaillent sur la forme des imaginaires. Les racines non réelles des équations ne sont pas encore caractérisées sous leur forme générique : a + b √-1.

On trouve une première exposition de cette forme en 1746 chez d’Alembert. En 1749 Euler reviendra sur la démonstration de d’Alembert : « Si une équation algébrique de quelque degré que ce soit a des racines imaginaires chacune sera comprise dans cette formule général M + N √-1, les lettres M et N marquant des quantités réelles » [Recherche sur les racines imaginaires des équations, 1749] .

Cette représentation des imaginaires sous la forme a + ib marque un saut considérable en mathématique. Elle ouvrira sur des représentations géométriques dont les applications seront cruciales dans tous les domaines des mathématiques et de la physique.

C’est ainsi donc que furent conçus les nombres complexes, c’est-à-dire les nombres écrits sous la forme a + ib.

Le nom même de complexe fut introduit par le mathématicien allemand Gauss en 1831, le premier à distinguer l’imaginaire i du complexe a + bi

[satinvelours 1 279]

Le Suisse Argand (1768-1822) est celui qui marqua le plus clairement l’histoire de la représentation géométrique des nombres complexes. On peut ainsi synthétiser ses travaux.

Un nombre imaginaire a + ib est représenté par un segment de droite faisant avec une droite donnée (d) un angle Ɵ tel que tangente Ɵ = b/a.

Soit O le point d’intersection du segment avec (d) et A l’extrémité du segment. Le segment OA est tel que sa projection sur (d) = a et que sa distance à (d) = b. Alors on voit que tangente Ɵ = b/a.

Ainsi avec la seule connaissance de la valeur de a et de b on peut construire un point A (et un segment OA) qui représentera géométriquement l’imaginaire a + ib. Si on appelle r la longueur OA on a :

a = r cos Ɵ et b = r sin Ɵ ,

Soit a + ib = r cos Ɵ + i r sin Ɵ = r (cos Ɵ + i sin Ɵ ).

[zebusoif 5 380]

Un ou deux problème que j'ai trouvé sur Mathprepa.fr

Un pour s'échauffer, et un un peu plus difficile 

 

 

Modifié le 27 janvier 2019 par zebusoif

[Hérisson_ 442]

Bonjour,

Pour le premier, il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué de ce dernier:

p/q = (p*q)/(q*q) = (1/N(q)²)*(p*q)

où N(q)² représente le carré du modiule de (q): N(q)² = Re(q)² + Im(q)² .

Pour l'autre c'est moins évident (pour moi, tout au moins): faut-il commencer par exprimer par récurrence le produit (Pn) des (n) premiers termes ?

 

PS: Dans quelles classes enseignes-tu ?

Modifié le 27 janvier 2019 par Hérisson_

[Hérisson_ 442]

Finalement, ce n'est pas très difficile ...

Un matheux mettra cela sous une présentation appropriée.

Il se peut que quelques lecteurs aient un peu de mal à suivre.

Modifié le 27 janvier 2019 par Hérisson_

[Invité Quasi-Modo]

Je venais de le trouver aussi mais d'une autre façon, je suis dégoûté de m'être fait doublé

Enfin quand je dis une autre façon j'ai plus ou moins procédé pareil en regardant bien.

[PetiteNeige 56]

Concernant les nombres complexes, ils ont été "imaginés" afin de résoudre des équations.

Pourrait-on généraliser ce type de démarche à n'importe quel problème mathématique ?

[Invité Quasi-Modo]

Il y a 2 heures, Hérisson_ a dit :

Un matheux mettra cela sous une présentation appropriée.

Il se peut que quelques lecteurs aient un peu de mal à suivre.

Finalement ton écriture est compacte, la démonstration que tu proposes est plutôt limpide et succincte quand on maîtrise les formules de trigonométrie. Ma copie est beaucoup moins bien structurée, mais j'ai écrit au brouillon, un coup dans le coin en haut à droite, un coup dans le coin en bas à gauche

Comme nous sommes dans un sujet sur les nombres complexes, j'ai d'abord cherché une solution qui y était liée en passant par les formules d'Euler entre autres, mais c'était bien trop compliqué pour moi. En tous cas ça dérouille les méninges c'est bien. Je ne serais pas étonné d'apprendre que tu travaillais dans l'enseignement toi aussi.  

[zebusoif 5 380]

Il y a 4 heures, Hérisson_ a dit :

PS: Dans quelles classes enseignes-tu ?

Lycée 

[zebusoif 5 380]

il y a 38 minutes, Quasi-Modo a dit :

Comme nous sommes dans un sujet sur les nombres complexes, j'ai d'abord cherché une solution qui y était liée en passant par les formules d'Euler entre autres, mais c'était bien trop compliqué pour moi.

Moi aussi, la solution de @Hérisson_ est plus élégante 

[satinvelours 1 279]

Il y a 2 heures, PetiteNeige a dit :

Concernant les nombres complexes, ils ont été "imaginés" afin de résoudre des équations.

Pourrait-on généraliser ce type de démarche à n'importe quel problème mathématique ?

En mathématiques il n’y a pas de pure imagination. Le mot imaginaire, concernant √-1 a même été conçu tardivement. Bompelli dans ses calculs tombe sur un radical négatif. En principe c’est impossible, ça n’a pas de sens. D’ailleurs longtemps on parlera de nombres impossibles, pas de nombres imaginaires. Bompelli va accepter l’impossible et trimballer son radical négatif et se rendre compte qu’à la fin, dans ces calculs, ce nombre impossible se simplifie et disparaît. Ouf ! Mais ce qui a frappé les esprits c’est que trimballer cette aberration permet de résoudre certains calculs. Bref l’impossible a fini par être accepté. Mais comment formaliser ce nombre ? Euler a décidé de le formaliser sous la forme i et de l’appeler imaginaire. Vous voyez donc que ce nombre impossible n’a pas été imaginé de toutes pièces.

Autre exemple. Le cinquième postulat d’Euclide est ainsi récrit : par un point extérieur à une droite il passe une et une seule parallèle à la dite droite. Ce postulat nul n’ a pu le démontrer et les Grecs pensaient qu’il était douteux. Ils pensaient qu’à l’infini deux droites pouvaient bien ne plusêtre parallèles car ils avaient de solides notions concernant les asymptotes. Certains mathématiciens se sont dit : et s’il passait plusieurs parallèles par ce point (ou aucune) ? Ce n’étaitpas pur imaginaire de leur part, c’était une exploration construite à partir d’un doute. Cette exploration a permis de fonder des géométries non euclidiennes grâce auxquelles la relativité par exemple a pu voir le jour.

[satinvelours 1 279]

Corrigé de l’exo 3.3.9 proposé ci-dessus.

[La solution proposée ci-dessus serait notée zéro par un enseignant. Il soupçonnerait l’élève d’avoir copié la réponse sur son voisin, sur internet ou sur un bouquin]. 

De plus le raisonnement par récurrence n’est pas respecté (copier internet c’est bien mais il faut le faire avec intelligence ; ceux qui donnent les réponses par internet supposent que le « copieur » est tout de même assez intelligent, ou sachant, pour documenter les vides du raisonnement).

Voici un corrigé qui tient la route.

Soit à démontrer par récurrence P(k= 1 à n) [1+ 2cos(2x/3^k)] = sinx / sin(x/3^n) = Q(n) pour tout n strictement positif.

INITIALISATION

Démontrons que la proposition est vraie pour k = 1

P(1) = 1 + 2cos (2x/3)

Q (1) = sin x / sin (x/3)

sin x = sin (2x/3 + x/3) = sin (2x/3) cos (x/3) + sin (x/3) cos (2x/3)

d’où Q (1) = (sin (2x/3) cos (x/3) + sin (x/3) cos (2x/3))/ sin (x/3) = cos (2x/3) + (sin (2x/3) cos (x/3)) / sin (x/3)

sin 2x = 2 sin x cos x, d’où sin (2x/3) = 2 sin (x/3) cos (x/3)

et Q(1) = cos (2x/3) + 2sin (x/3) cos² (x/3) / sin (x/3) = cos (2x/3) + 2 cos² (x/3)

2 cos²x = 1 + cos 2x d’où 2 cos² (x/3) = 1 + cos (2x/3)

d’où Q (1) = cos (2x/3) + 1 + cos (2x/3) = 1 + 2 cos (2x/3)

Donc P(1) = Q (1)

HEREDITE

Supposons que la proposition est vraie pour k = n, n étant un entier naturel quelconque et fixé (ne pas spécifier cela c’est supposer que la proposition est vraie pour tout n, or c’est justement ce qu’il faut démontrer!).

Nous supposons donc que P (n) = Q (n) pour n quelconque et fixé et nous devons démontrer que la proposition est vraie pour n + 1 (à cet égard la solution donnée ci-dessus ne respecte en rien le raisonnement par récurrence ; note méritée = 0, encore une fois il ne suffit pas de copier internet messieurs les bluffeurs et pseudo prof)

Démontrons maintenant que la proposition est vraie pour n + 1

 

(A suivre)

 

[Invité Spontzy]

@zenalpha

Si vous doutiez encore de la réincarnation féminine de verkiev, il suffit de le lire ci-dessus !

A+

[satinvelours 1 279]

Suite du raisonnement :

P(n+1) / P(n) = 1 + 2 cos (2x/3^(n+1))

Q (n + 1) / Q (n) = sin (x/3^ n) / sin (x / 3^(n+1))

Mais sin (x/3^n) = sin (3 x/3^(n+1)) = sin (2 x/ 3^(n+1) + x / 3^(n+1)) = sin (2 x/ 3 ^(n+1)) cos (x/ 3 ^(n+1)) + sin (x / 3 ^(n+1)) cos (2x/ 3^(n+1))

D’où Q (n+1) / Q (n) = cos (2x / 3^(n+1)) + sin (2x/3^(n+1)) cos (x/ 3 ^(n+1))/ sin (x/ 3 ^(n+1))

Or sin (2x/ 3^(n+1)) = 2 sin (x/3^(n+1))cos (x/3^(n+1))

D’où Q (n+1) / Q (n) = cos (2x / 3^(n+1)) + 2 cos² (x/3^(n+1))

Mais 2 cos² (x/ 3^(n+1)) = 1 + cos (2x/3^(n+1))

D’où Q (n+1) / Q (n) = cos (2x/3^(n+1)) + 1 + cos (2x/3^(n+1)) = 1 + 2 cos (2x/3^(n+1))

Ainsi P(n+1) / P (n) = Q(n+1) / Q (n), soit P(n+1) / Q (n+1) = P (n) / Q (n).

Mais par hypothèse de récurrence P(n) = Q (n) donc P(n) / Q (n) = 1.

En conséquence P (n+1) / Q (n+1) = 1 et 

P(n+1) = Q (n+1).

La proposition est donc vraie pour n+ 1

 

CONCLUSION

La proposition est vraie pour tout entier naturel strictement positif.

 

[satinvelours 1 279]

Tiens un petit problème simple :

En se plaçant dans le plan complexe résoudre l'exo suivant :

Soit ABCD un quadrilatère convexe. A l’extérieur on construit quatre triangles rectangles isocèles A'BC, B'CB, C'DC et D'AD, Démontrer que les segments [A'C'] et [B'D'] sont orthogonaux et de même longueur.

[Hérisson_ 442]

@ la Bécasse qui se prend pour le docte professeur qu'elle rêve d'être, et qu'elle n'a jamais été:

La solution proposée ci-dessus serait notée zéro par un enseignant ... note méritée = 0, encore une fois ...

Un forum est un lieu de partage, et il serait malvenu et indécent que quelques participants se permettent d'en évaluer d'autres, sous quelques rapport que ce soit.

... Il soupçonnerait l’élève d’avoir copié la réponse sur son voisin, sur internet ou sur un bouquin ...

Tout enseignant est un jour ou l'autre confronté à la fraude; cependant engager une accusation contre un élève exige de bien connaître son niveau, son mode d'expression, et de repérer la source documentaire. L'expérience apprend combien les situations sont variées et déconcertantes, et les apparences parfois trompeuses: seule une conversation avec le (ou les) élèves concernés permet de confirmer (ou d'infirmer) les soupçons de fraude - il arrive parfois que les élèves avouent beaucoup plus qu'on n'en demandait, pour se libérer du poids de la dissimulation ...

Accuser sans aucune preuve relève d'un comportement imbécile et odieux - mais rassure-toi, cela ne m'empêchera pas de dormir. Cela montre seulement que tu n'as jamais enseigné.

... copier internet c’est bien mais il faut le faire avec intelligence ; ceux qui donnent les réponses par internet supposent que le « copieur » est tout de même assez intelligent, ou sachant, pour documenter les vides du raisonnement ... il ne suffit pas de copier internet messieurs les bluffeurs et pseudo prof ...

J'ai rédigé la solution par simple jeu, parce qu'il me paraissait intéressant de la trouver, et de la faire connaître; je n'ai pas eu connaissance du corrigé (l'accès du site est payant), et si je l'avais trouvé, j'aurais tout simplement donné le lien, ou une capture d'écran.

J'ajoute: a) qu'une démonstration toute faite peut ne présenter qu'un faible intérêt, parce qu'il faut adapter sa présentation au contexte du forum, et ...

b) que la notation a été improvisée, et que de ce fait tu ne trouveras aucun texte apparenté sur la Toile.

Le prof t'emmerde.

De plus le raisonnement par récurrence n’est pas respecté ... Voici un corrigé qui tient la route.

Soit à démontrer par récurrence P(k= 1 à n) [1+ 2cos(2x/3^k)] = sinx / sin(x/3^n) = Q(n) pour tout n strictement positif.

INITIALISATION

Démontrons que la proposition est vraie pour k = 1 ... Donc P(1) = Q (1)

HEREDITE

Supposons que la proposition est vraie pour k = n, n étant un entier naturel quelconque et fixé ...

Et ce que j'avais présenté en 17 lignes, tu l'étales péniblement sur 38, en suivant le même plan et en adoptant la même notation, ce qui signe une escroquerie minable.

Cerise sur le gâteau: tu t'es emmêlé les pinceaux dans la notation que tu m'a empruntée en confondant la valeur (Pn) du produit des (n) premiers termes avec l'expression de ce produit

C'est tout à fait conforme à ta vocation de précieuse ridicule.

Il y a 2 heures, Spontzy a dit :

Si vous doutiez encore de la réincarnation féminine de verkiev, il suffit de le lire ci-dessus !

Pourquoi pas, après tout ? Ce genre de comportement m'échappe totalement.

 

Modifié le 27 janvier 2019 par Hérisson_

[Hérisson_ 442]

Il y a 6 heures, Quasi-Modo a dit :

... Comme nous sommes dans un sujet sur les nombres complexes, j'ai d'abord cherché une solution qui y était liée en passant par les formules d'Euler entre autres, mais c'était bien trop compliqué pour moi. En tous cas ça dérouille les méninges c'est bien.  

J'ai rédigé la solution telle qu'elle m'est venue à l'esprit, et je me suis demandé après coup si je n'avais pas répondu à côté, en n'utilisant pas les complexes.

Mais je me suis dit comme toi que ce serait beaucoup trop lourd, puisque la seule formule en cause est le quotient sin(3t)/sin(t).

Citation

... Je ne serais pas étonné d'apprendre que tu travaillais dans l'enseignement toi aussi.

C'est vrai, et je suis toujours des élèves (collégiens et lycéens) en soutien scolaire.

Citation

... Ma copie est beaucoup moins bien structurée, mais j'ai écrit au brouillon, un coup dans le coin en haut à droite, un coup dans le coin en bas à gauche ...

Je me suis investi depuis plusieurs années sur un forum de programmation, où j'ai découvert qu'on gagnait beaucoup, avec un minimum d'entraînement, à taper directement les calculs ou les démonstrations: ce qui est écrit ne change plus et reste toujours très clair, et cela permet de mieux réfléchir à la suite.

Se méfier cependant de l'éventuelle instabilité du site: un frôlement de la souris ou du clavier peut faire tout disparaître ! Préférer un bon traitement de texte (Libre Office ou Open Office).

Modifié le 27 janvier 2019 par Hérisson_