Kurt Gödel, ce nom vous dit quelque chose ?

@zenalpha

C'est pourquoi au début, je t'ai dit, est ce que pour toi, le sens de variable discret ou variable continue porte sur les variables ''aléatoires'' au sens des probabilités ? Est ce que tu sais ce qu'est la notion de variable aléatoire en théorie des probabilités ?

Il y a 13 heures, Neopilina a dit :

J'aimerais ton avis sur la thèse d'une théorie mathématique de la psyché ? C'est possible ?

A ce jour, non

Mais comme je l'expliquais à propos du Post sur Alain Connes au début de ce fil

Il a la conviction que le formalisme mathématiques de Grothendieck et ses topos sont un cadre mathématique pour avancer dans ce domaine et il a travaillé avec Patrick Gauthier Lafayes qui est psychiatre et psychanalyse 

Il y a 1 heure, Philo007 a dit :

Merci pour ces explications détaillées.

Ce que je ne comprends pas, est lorsque tu dis qu'il n y a pas d'applications de N dans R. Moi, je t'ai dit que l'injection canonique en est un exemple trivial. Et tu dis que c'est à cause du fait que, Card N < Card R, mais, si Card N < Card R, on ne peut dire qu'il n'existe pas d'applications de N dans R, mais, d'applications bijectives de N dans R, oui, je suis d'accord avec toi à ce moment là. Mais, il existe toujours des applications de N dans R en général. Il peut toujours avoir d'applications de N dans R.

Oui tu as parfaitement raison

Je détaille...c'est compliqué de bien formuler et intégrer ce point

Ce que tu m'indiques est même la définition intuitive d'une variable réelle 

Il y a un ensemble X et une application de X vers f(X) dans R

Les valeurs de f(X) sont les valeurs qui sont atteintes par cette application 

Peut-être que l'application atteint meme plusieurs fois une même valeur f(X)

Mais voici le problème 

C'est que si f(x) est une variable continue, l'ensemble X doit être non dénombrable (on ne peut en faire une énumération 1,2,3...)

Mais à ce moment là si tu prends n'importe quelle autre variable réelle sur X dont l'image est dénombrable (et c'est ce qu'on a dans les observables de la mécanique quantique), alors il est certain que ta fonction f(x) pour rester continue devra être atteinte par les valeurs de x une infinité de fois et même une infinité non dénombrable de fois

Je ne parle pas de bijection puisque tu vois bien que de R indénombrable vers N dénombrable, il n'y a pas de bijection possible

Bref...

On ne peut pas mettre en relation par une fonction à 1 élément de N 1 élément de R et un seul

Et on ne peut pas mettre en relation par une fonction inverse 1 élément de R avec 1 élément de N et 1 seul

Or

En mécanique quantique, des valeurs continues coexistent avec des valeurs discrètes et sont en directe relation

Ce que ne permet pas ce formalisme classique 

Pourquoi ?

Parce  qu'une variable réelle dans le formalisme de la mécanique quantique est formalisé par un opérateur auto adjoint dans l'espace de Hilbert qui a exactement les mêmes caractéristiques qu'une variable réelle 

Les valeurs de cet opérateur sont discrètes, c'est ce qu'on appelle le spectre de l'opérateur auto adjoint

Donc...dans le même espace de Hilbert, tu fais coexister à la fois ces opérateurs auto adjoint continus avec leur spectre mathématique qui est discret

La seule "nouveauté", c'est que ces opérateurs auto adjoint Discrets ne peuvent pas commuter avec les opérateurs auto adjoint continus

Si elles commutaient...il y aurait un x commun pour les deux et cela est formellement impossible 

Il y a 2 heures, Philo007 a dit :

@zenalpha

C'est pourquoi au début, je t'ai dit, est ce que pour toi, le sens de variable discret ou variable continue porte sur les variables ''aléatoires'' au sens des probabilités ? Est ce que tu sais ce qu'est la notion de variable aléatoire en théorie des probabilités ?

Oui

Un nombre réel est associé à chaque issue de l'univers des possibles

Mais les algèbres d'operateurs n'ont strictement rien à voir avec une distribution de probabilités dans le sens que tu lui donnes

Ceci dit bien vu

https://webcast.in2p3.fr/video/alea_du_quantique_et_passage_du_temps

Il y a 8 heures, zenalpha a dit :

... et que l'erreur du raisonnement de Zénon est parfaitement bien cernée.

Tu continues à dire in fine que Zénon d'Élée était juste un débile mental. Il n'y a aucune erreur dans les constructions des 4 paradoxes de Zénon, c'est noir sur blanc dans la littérature spécialisée depuis 1950. Il n'est pas question de mathématiques. Zénon prend des postulats pythagoriciens, pas les siens, il les met en scène pour montrer que ça mène à des aberrations (rappel : il sait très bien qu'Achille rattrapera la tortue, etc.), et c'est parfaitement réussit, l'histoire, la suite, entérinent la leçon 5/5 : certaines prétentions ne sont pas du ressort des mathématiques. Après cet épisode, les mathématiques sont exclues du champ de la philosophie (pas un mot chez Aristote, etc.), c'est elle qui m'intéresse, pas les mathématiques. Chez les pythagoriciens, les mathématiques ont encore des prétentions ontologiques, philosophiques et métaphysiques. Après cette correction infligée par Zénon, c'est terminée. Évite-moi tes épanchements gazeux, surdimensionnés, etc., contente-toi de dire que tu t'en fous des mathématiques pré-euclidiennes, ça sera largement suffisant.

Il y a 8 heures, zenalpha a dit :

Je te le dis, je ne te promets que la vérité...

Les vérités mathématiques ne m'intéressent absolument pas, au dernier degré.

il y a 58 minutes, zenalpha a dit :

Oui tu as parfaitement raison

Je détaille...c'est compliqué de bien formuler et intégrer ce point

Ce que tu m'indiques est même la définition intuitive d'une variable réelle 

Il y a un ensemble X et une application de X vers f(X) dans R

Les valeurs de f(X) sont les valeurs qui sont atteintes par cette application 

Peut-être que l'application atteint meme plusieurs fois une même valeur f(X)

Mais voici le problème 

C'est que si f(x) est une variable continue, l'ensemble X doit être non dénombrable (on ne peut en faire une énumération 1,2,3...)

Mais à ce moment là si tu prends n'importe quelle autre variable réelle sur X dont l'image est dénombrable (et c'est ce qu'on a dans les observables de la mécanique quantique), alors il est certain que ta fonction f(x) pour rester continue devra être atteinte par les valeurs de x une infinité de fois et même une infinité non dénombrable de fois

Je ne parle pas de bijection puisque tu vois bien que de R indénombrable vers N dénombrable, il n'y a pas de bijection possible

Bref...

On ne peut pas mettre en relation par une fonction à 1 élément de N 1 élément de R et un seul

Et on ne peut pas mettre en relation par une fonction inverse 1 élément de R avec 1 élément de N et 1 seul

Or

En mécanique quantique, des valeurs continues coexistent avec des valeurs discrètes et sont en directe relation

Ce que ne permet pas ce formalisme classique 

Pourquoi ?

Parce  qu'une variable réelle dans le formalisme de la mécanique quantique est formalisé par un opérateur auto adjoint dans l'espace de Hilbert qui a exactement les mêmes caractéristiques qu'une variable réelle 

Les valeurs de cet opérateur sont discrètes, c'est ce qu'on appelle le spectre de l'opérateur auto adjoint

Donc...dans le même espace de Hilbert, tu fais coexister à la fois ces opérateurs auto adjoint continus avec leur spectre mathématique qui est discret

La seule "nouveauté", c'est que ces opérateurs auto adjoint Discrets ne peuvent pas commuter avec les opérateurs auto adjoint continus

Si elles commutaient...il y aurait un x commun pour les deux et cela est formellement impossible 

Tu ne comprends rien aux mathématiques, ceci est une catastrophe. 

il y a une heure, zenalpha a dit :

Oui tu as parfaitement raison

Je détaille...c'est compliqué de bien formuler et intégrer ce point

Ce que tu m'indiques est même la définition intuitive d'une variable réelle 

Il y a un ensemble X et une application de X vers f(X) dans R

Les valeurs de f(X) sont les valeurs qui sont atteintes par cette application 

Peut-être que l'application atteint meme plusieurs fois une même valeur f(X)

Mais voici le problème 

C'est que si f(x) est une variable continue, l'ensemble X doit être non dénombrable (on ne peut en faire une énumération 1,2,3...)

Mais à ce moment là si tu prends n'importe quelle autre variable réelle sur X dont l'image est dénombrable (et c'est ce qu'on a dans les observables de la mécanique quantique), alors il est certain que ta fonction f(x) pour rester continue devra être atteinte par les valeurs de x une infinité de fois et même une infinité non dénombrable de fois

Je ne parle pas de bijection puisque tu vois bien que de R indénombrable vers N dénombrable, il n'y a pas de bijection possible

Bref...

On ne peut pas mettre en relation par une fonction à 1 élément de N 1 élément de R et un seul

Et on ne peut pas mettre en relation par une fonction inverse 1 élément de R avec 1 élément de N et 1 seul

Or

En mécanique quantique, des valeurs continues coexistent avec des valeurs discrètes et sont en directe relation

Ce que ne permet pas ce formalisme classique 

Pourquoi ?

Parce  qu'une variable réelle dans le formalisme de la mécanique quantique est formalisé par un opérateur auto adjoint dans l'espace de Hilbert qui a exactement les mêmes caractéristiques qu'une variable réelle 

Les valeurs de cet opérateur sont discrètes, c'est ce qu'on appelle le spectre de l'opérateur auto adjoint

Donc...dans le même espace de Hilbert, tu fais coexister à la fois ces opérateurs auto adjoint continus avec leur spectre mathématique qui est discret

La seule "nouveauté", c'est que ces opérateurs auto adjoint Discrets ne peuvent pas commuter avec les opérateurs auto adjoint continus

Si elles commutaient...il y aurait un x commun pour les deux et cela est formellement impossible 

N'écoute pas ceux qui essayent de te décourager. Tu es sur la bonne voix. La discussion avec toi est très passionnante. Laisse les raconter ce qu'ils veulent. Ils sont jaloux de toi.

il y a une heure, Philo007 a dit :

Laisse les raconter ce qu'ils veulent. Ils sont jaloux de toi.

Il suffisait de dire : la mystique pythagoricienne et les mathématiques pré-euclidiennes, c'est pas mon rayon, c'est quoi ces prémisses, je les donnais, parfaitement référencées (deux titres auraient suffit, indication de pages, tout bien, etc.), fin de " l'histoire ". Ce n'est pas pour rien que les matheux s'en foutent de Zénon, depuis les années cinquante. En temps normal, je suis très bon cheval, mais faut pas pas exagérer.

il y a une heure, Neopilina a dit :

Tu continues à dire in fine que Zénon d'Élée était juste un débile mental. Il n'y a aucune erreur dans les constructions des 4 paradoxes de Zénon, c'est noir sur blanc dans la littérature spécialisée depuis 1950. Il n'est pas question de mathématiques. Zénon prend des postulats pythagoriciens, pas les siens, il les met en scène pour montrer que ça mène à des aberrations (rappel : il sait très bien qu'Achille rattrapera la tortue, etc.), et c'est parfaitement réussit, l'histoire, la suite, entérinent la leçon 5/5 : certaines prétentions ne sont pas du ressort des mathématiques. Après cet épisode, les mathématiques sont exclues du champ de la philosophie (pas un mot chez Aristote, etc.), c'est elle qui m'intéresse, pas les mathématiques. Chez les pythagoriciens, les mathématiques ont encore des prétentions ontologiques, philosophiques et métaphysiques. Après cette correction infligée par Zénon, c'est terminée. Évite-moi tes épanchements gazeux, surdimensionnés, etc., contente-toi de dire que tu t'en fous des mathématiques pré-euclidiennes, ça sera largement suffisant.

 

Zenon est un pur génie de son époque qui a su conceptualiser l'infini pour la première fois de manière abstraite en mathématiques 

Et bien évidemment un paradoxe en mathématiques ou en physique est un raisonnement formel cohérent de prime abord mais qui se heurte à une incohérence logique dans les conclusions

Donc Zénon est un génie de son époque qui ne pouvait pas résoudre les questions extrêmement pertinentes qu'il a posé

Et dont les réponses sont totalement fausses

il y a 29 minutes, Neopilina a dit :

Il suffisait de dire : la mystique pythagoricienne et les mathématiques pré-euclidiennes, c'est pas mon rayon, c'est quoi ces prémisses, je les donnais, parfaitement référencées (deux titres auraient suffit, indication de pages, tout bien, etc.), fin de " l'histoire ". Ce n'est pas pour rien que les matheux s'en foutent de Zénon, depuis les années cinquante. En temps normal, je suis très bon cheval, mais faut pas pas exagérer.

Mystique c'est le mot

-> Rayon religion pour étayer ta croyance 

Concernant les paradoxes de Zenon, ils ont tous une résolution mathématiques qui invalident son raisonnement 

-> Rayon Science 

Il y a 1 heure, Virtuose_en_carnage a dit :

Tu ne comprends rien aux mathématiques, ceci est une catastrophe. 

https://webcast.in2p3.fr/video/alea_du_quantique_et_passage_du_temps

5 minutes 40 sec

J'ai trouvé une de ses conf

Alain Connes médaille Fields de mathématiques 

il y a 22 minutes, zenalpha a dit :

https://webcast.in2p3.fr/video/alea_du_quantique_et_passage_du_temps

5 minutes 40 sec

J'ai trouvé une de ses conf

Alain Connes médaille Fields de mathématiques 

Ça faisait longtemps que vous ne nous aviez pas mis cette vidéo. Mais là on parle de votre nullité mathématiques. Vous ne comprenez rien à la topologie du coup votre définition d'espace discret ne tient pas la route. Vous confondez fonction bijective et fonction continue. Mais comme vous ne comprenez rien à la topologie, vous ne comprenez de facto rien à la continuité d'une fonction.

à l’instant, Virtuose_en_carnage a dit :

Ça faisait longtemps que vous ne nous aviez pas mis cette vidéo. Mais là on parle de votre nullité mathématiques. Vous ne comprenez rien à la topologie du coup votre définition d'espace discret ne tient pas la route. Vous confondez fonction bijective et fonction continue. Mais comme vous ne comprenez rien à la topologie, vous ne comprenez de facto rien à la continuité d'une fonction.

Tu n'as absolument pas besoin de topologie pour appréhender la continuité d'une fonction du programme de première non.

Évidemment faut connaître un peu.

il y a 19 minutes, zenalpha a dit :

Donc Zénon est un génie de son époque qui ne pouvait pas résoudre les questions extrêmement pertinentes qu'il a posé.

Dans les quatre paradoxes, Zénon ne formule aucune question, aucun problème : lui qui a été formé chez les pythagoriciens, comme son maître Parménide, comprend que le pythagorisme, qui veut être bien plus que des mathématiques, aussi une mystique, etc., est traversé par de graves contradictions internes. Et il va le montrer, en prenant des postulats pythagoriciens à partir desquels il construit les 4 paradoxes. A l'époque, tout le monde, sans exception, comprend très très bien ce qu'il a fait, que le pythagorisme est fini, et que les mathématiques doivent en rabattre sur leur champ de compétences. Alors que jusque là, tous les philosophes grecs sont aussi des mathématiciens, ce n'est plus le cas après. Postérieurement, les paradoxes intéressent les mathématiciens, avec leurs " lunettes ", et donc, également ignorants du contexte, commettent anachronismes sur anachronismes. La réaction a lieu au milieu du XX° siècle avec des gens qui s'intéressent à la fois à la Grèce antique et aux mathématiques pré-euclidiennes. Fin d'une mauvaise polémique parce que mal posée, accaparée, par des matheux pur sucre, talentueux, etc., mais qui ne savent rien du pythagorisme !!

il y a 28 minutes, zenalpha a dit :

Concernant les paradoxes de Zénon, ils ont tous une résolution mathématiques qui invalident son raisonnement.

" Résolutions " totalement hors sujet (voir ci-dessus, bis-repetita). Si on admet les prémisses, pythagoriciennes, les conséquences sont rigoureusement aberrantes, c'est fait exprès, oui, il n'empêche que la construction à partir de ces prémisses est rien de moins qu'irréprochable. C'est les pythagoriciens qui ont la tête dans leur propre " mouise ", certainement pas Zénon dont tout le talent est à saluer. Avec des prémisses très conceptuelles sur le temps, l'espace et l'infini en vigueur chez les pythagoriciens, il réussit à construire des paradoxes extrêmement parlants, concrets, comme Achille qui ne rattrapera jamais la tortue qu'on laisse prendre de l'avance. Devoir préciser qu'il sait très bien que ce n'est pas le cas, devrait inquiéter.

il y a 44 minutes, zenalpha a dit :

Rayon religion pour étayer ta croyance.

Laquelle ?, par curiosité !

il y a 56 minutes, Virtuose_en_carnage a dit :

Vous ne comprenez rien à la topologie du coup votre définition d'espace discret ne tient pas la route. 

@Neopilina

Concernant à la fois Zenon et donc jusqu'au concept  d'espace discret passons donc à un peu de lecture... puisque les mathématiques ne conviennent ni à l'un ni à l'autre 

Jean Pierre Luminet, l'écume de l'espace temps

De Zénon aux causets :
Le concept d’« ensemble causal » repose sur certaines hypothèses de base qui ont elles-mêmes une longue histoire. L’idée que l’espace puisse être discret (au sens de discontinu) remonte au moins à Zénon d’Élée, ce philosophe grec du Ve siècle avant notre ère, célèbre pour avoir énoncé des paradoxes semblant s’opposer à la croyance en la continuité du mouvement : selon Zénon, Achille ne rejoint jamais la tortue dans sa course, ni la flèche n’atteint sa cible, parce que le mobile doit atteindre le milieu de la distance pour arriver au but, et auparavant le milieu du milieu, et auparavant le milieu du milieu du milieu, ainsi de suite.

Si les paradoxes de Zénon ont été par la suite résolus grâce aux avancées mathématiques sur les séries infinies mais convergentes, l’idée d’une discrétisation des mouvements, et corrélativement de l’espace qui en permet le déploiement, a été reprise de façon bien plus profonde et plus argumentée par l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire : Bernhard Riemann. Dans son exposé de 1854 qui a donné naissance à la géométrie des espaces courbes, Riemann écrit : « La question de la validité des présupposés de la géométrie de l’infiniment petit est intimement liée à la question des relations métriques de l’espace à son niveau le plus fondamental. Pour une variété discrète, le principe de ses relations métriques est déjà contenu dans le concept même de variété, alors que pour une variété continue, elle doit venir de quelque chose d’autre. Par conséquent, ou bien la réalité qui sous-tend l’espace physique doit former une variété discrète, ou bien la base de ses relations métriques doit être cherchée en dehors. »

Cela peut sembler obscur en première lecture, mais en substance Riemann se demande quel type de structure de l’espace permet de définir des entités mesurables comme la distance, l’aire, le volume, les angles – ce qu’il appelle les « relations métriques » –, et il souligne le contraste entre le cas où la structure de l’espace est continue et celui où elle est discrète. Dans un espace continu, comme celui de la géométrie euclidienne ordinaire ou dans les espaces-temps non euclidiens utilisés en relativité générale, entre deux points quelconques il existe toujours une infinité d’autres points, et n’importe quel volume peut être indéfiniment subdivisé en volumes plus petits. Dans un espace discret, en revanche, toute région finie est composée d’un nombre fini d’éléments ou « blocs de construction » non ponctuels, de sorte que le processus de subdivision d’un volume ne peut pas se poursuivre au-delà du bloc élémentaire

Préalablement, pour être sûr, ci-dessous, c'est une citation de Jean-Pierre Luminet (que je connais en tant que lecteur depuis longtemps), oui ou non ? :

il y a 29 minutes, zenalpha a dit :

Le concept d’« ensemble causal » repose sur certaines hypothèses de base qui ont elles-mêmes une longue histoire. L’idée que l’espace puisse être discret (au sens de discontinu) remonte au moins à Zénon d’Élée, ce philosophe grec du Ve siècle avant notre ère, célèbre pour avoir énoncé des paradoxes semblant s’opposer à la croyance en la continuité du mouvement : selon Zénon, Achille ne rejoint jamais la tortue dans sa course, ni la flèche n’atteint sa cible, parce que le mobile doit atteindre le milieu de la distance pour arriver au but, et auparavant le milieu du milieu, et auparavant le milieu du milieu du milieu, ainsi de suite.

à l’instant, Neopilina a dit :

Préalablement, pour être sûr, ci-dessous, c'est une citation de Jean-Pierre Luminet (que je connais en tant que lecteur depuis longtemps), oui ou non ? :

 

Tu as l'auteur et le livre

Chapitre 12 - Les causets - paragraphe 1

il y a 29 minutes, zenalpha a dit :

Tu as l'auteur et le livre

Chapitre 12 - Les causets - paragraphe 1

il y a une heure, zenalpha a dit :

Luminet : " Si les paradoxes de Zénon ont été par la suite résolus grâce aux avancées mathématiques sur les séries infinies mais convergentes, ... "

Bien, très très bien. Comme quoi, encore aujourd'hui. Si Jean-Pierre Luminet (dont je ne remets pas en cause les compétences, il va de soi) avait lu:

- " De Pythagore à Euclide ", de Paul-Michel Henri, 1950

- " L'école éléate ", de Jean Zafiropulo, 1950.

- " Zénon d'Élée. Prolégomènes aux doctrines du continu ", Maurice Caveing, 1982.

Il saurait que " l’idée que l’espace puisse être discret (au sens de discontinu) ... " est une thèse pythagoricienne, et que Zénon, via ses paradoxes, attaque celle-ci, entre autres, et " que les séries infinies mais convergentes " n'ont rien à faire ici . Il connaîtrait les prémisses, et donc comprendrait la construction, en gouterait la qualité, et saluerait la performance. Et il remettrait discrètement au placard " les séries infinies mais convergentes ".

Je relève, le plus tristement du monde :

il y a une heure, zenalpha a dit :

Zénon d’Élée, ce philosophe grec du Ve siècle avant notre ère, célèbre pour avoir énoncé des paradoxes semblant s’opposer à la croyance en la continuité du mouvement : ...

Heureusement qu'il dit " semblant " ...

il y a 13 minutes, Neopilina a dit :

 

Bien, très très bien. Comme quoi, encore aujourd'hui. Si Jean-Pierre Luminet (dont je ne remets pas en cause les compétences, il va de soi) avait lu:

- " De Pythagore à Euclide ", de Paul-Michel Henri, 1950

- " L'école éléate ", de Jean Zafiropulo, 1950.

- " Zénon d'Élée. Prolégomènes aux doctrines du continu ", Maurice Caveing, 1982.

Il saurait que " l’idée que l’espace puisse être discret (au sens de discontinu) ... " est une thèse pythagoricienne, et que Zénon, via ses paradoxes, attaque celle-ci, entre autres, et " que les séries infinies mais convergentes " n'ont rien à faire ici . Il connaîtrait les prémisses, et donc comprendrait la construction, en gouterait la qualité, et saluerait la performance.

Je relève, le plus tristement du monde :

Heureusement qu'il dit " semblant " ...

Très bien

Il faudrait que tu demandes aussi un droit de révision sur Wikipedia 

La dichotomie⁸.

« Il n'y a pas de mouvement car ce qui est en mouvement doit parvenir à la moitié avant d'atteindre son terme. »

C'est sous cette forme qu'il est mentionné dans La Physique (VI, 9) d'Aristote^9,10.

L'argument de la dichotomie est analysée sous deux formes, une ascendante et une descendante¹¹

Aristote précise ce qu'il pense être le raisonnement de Zénon : on doit toujours traverser la demi-distance. Il y a un nombre infini de demi-distances (de 0 à 1/2 puis de 1/2 à 3/4, puis de 3/4 à 7/8 etc.). Il est impossible de parcourir complètement une infinité de choses¹².

Mais d'autres analyses sont aussi présentées: le mouvement est impossible car avant d'arriver à son terme, il doit arriver à la moitié et avant d'arriver à la moitié, il doit arriver à la moitié de la moitié, et avant d'arriver à la moitié de la moitié, il doit arriver à la moitié de la moitié de la moitié... Le mouvement n'a donc pas de commencement^13,14,15.

Le paradoxe se résout en soutenant que le mouvement est continu ; le fait qu'il soit divisible à l'infini ne le rend pas impossible pour autant. De plus, en analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu'une somme infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.

il y a 9 minutes, zenalpha a dit :

Le paradoxe se résout en soutenant que le mouvement est continu ; le fait qu'il soit divisible à l'infini ne le rend pas impossible pour autant. De plus, en analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu'une somme infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.

Manifestement, Wikipédia, n'est pas plus à jour que Luminet !!!!!! A ce sujet. " Chacun son ou ses trucs ". J'ai fournis trois titres qui suppléent très bien à tout ça depuis, encore faut-il s'intéresser. Dis-moi que les trois auteurs en question ne t'arrivent pas à la cheville, etc., c'est ce qu'on attend de ta part.