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Petit problème de probabilité

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Annalevine

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Membre, 153ans Posté(e)
Annalevine Membre 3 528 messages
Mentor‚ 153ans‚
Posté(e)
Il y a 3 heures, SolarisXXX a dit :

Lorsque je dis qu'au début du jeu le joueur a 1 chance sur 3 de gagner puis que de toute façon quel que soit le choix du joueur l'animateur pourra toujours ouvrir une porte non choisie avec une chèvre derrière ... où serait une erreur de raisonnement ?

En fait j’ai fait la même erreur que vous et je me suis même entêté. À tel point que j’ai refusé de lire les démonstrations en me disant : je vais me faire entourlouper. Ce comportement fut celui de certains mathématiciens réputés. 
J’ai d’abord lu quelques explications de l’origine de l’erreur de jugement mais j’ai zappé. Mais soudain l’auteur parle de nouvelle information. L’animateur en ouvrant une porte ( sur une chèvre) apporte en effet une information nouvelle par rapport au moment où je fais mon choix initial. Et là je me suis dit : une nouvelle information ça peut en effet modifier mon jugement. Mais je n’avais encore fait un travail scientifique du traitement de cette nouvelle information.

Il y a 3 heures, SolarisXXX a dit :

Si vous me permettez je vous propose une approche de type dénombrement.

Supposons (sans perte de généralité) que les placements soient du type V / C / C

(donc la voiture derrière la première porte les zanimaux derrière les autres)

Faisons le tour des choix possibles pour le joueur :

1) choix initial : porte 1

Deux possibilités maintenant pour l'animateur

--> soit il ouvre la porte 2 et alors si le joueur ne change pas il GAGNE s'il change il PERD

---> soit il ouvre la porte 3 et alors si le joueur ne change pas il GAGNE s'il change il PERD

2) choix initial : porte 2

L'animateur ouvre forcément la porte 3 et alors si le joueur ne change pas il PERD s'il change il GAGNE

2) choix initial : porte 3

L'animateur ouvre forcément la porte 2 et alors si le joueur ne change pas il PERD s'il change il GAGNE

Donc avec cette approche il vaut mieux changer :D

Exact.

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Membre, Posté(e)
le merle Membre 21 605 messages
Maitre des forums‚
Posté(e)

bonjour

j'ai fais une petite expérience un jour .nous étions 5 personnes .j'ai acheté 5 cartons à gratter de la Française des jeux .

dans une seule main , j'ai mis les 5 cartons en éventail et n'importe qui pouvait décider de prendre l'un des carton pour commençer .

nous étions deux femmes et trois hommes .tous avions la même chance de gagner ou de perdre mais , il n'était sur qu'il y est un lot sur l'un d'eux ?

chaque personne devait prendre un carton et attendre que tous soit servit pour commencer à gratter .

moi , je ne prendrais que le dernier carton donc , m'à chance était réduite ?

les cartons choisis au hasard par tous sauf moi qui n'avais que le dernier .

j'attendis pour gratter le mien , que tous ai grattés le leurs .

tous avait perdut . je grattais le mien et j'ai gagné 100 euros que jutilisais aussitôt pour payer à boire au quatre autres .

suivant les propabilités , en rapport à l'auteur du problème exposé du topic , comment expliquez vous cela en propabilité ?

bonne soirée

 

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Membre, Explorateur de Nuages, 47ans Posté(e)
Pheldwyn Membre 25 241 messages
47ans‚ Explorateur de Nuages,
Posté(e)
Il y a 3 heures, hell-spawn a dit :

On peut faire comme ça :

il y a 3 configurations possible

porte 1 = V ; porte 2=C ; porte 3= C

porte 1=C ; porte 2=V ; porte 3= C

porte 1=C ; porte 2= C ; porte 3= V

Ok

Il y a 3 heures, hell-spawn a dit :

Si je choisis l'option toujours garder ( mettons la porte 1 ) j'ai 1 chance sur 3 de gagner

Ok

Il y a 3 heures, hell-spawn a dit :

Si je choisis l'option de toujours changer j'ai 2 chances sur 3 de gagner

Pourquoi ? Tu ne cumulés pas tes deux choix.

Tu avais 2 chances sur 3 de passer le premier tour. Changer de l'une de ces deux chances sur l'autre, ou pas, ne change pas que tu n'as plus qu'une chance sur deux au second tour.

Ta probabilité  de gagner en deux étapes est de 2/3 x1/2, soit 2/6 ... Soit les 1/3 en une étape. Puisque quoi que l'on fasse, la voiture est derrière l'une des 3 portes et qu'elle ne bouge pas.

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Membre, 153ans Posté(e)
Annalevine Membre 3 528 messages
Mentor‚ 153ans‚
Posté(e)
Il y a 3 heures, korvo a dit :

Voilà je viens de le faire, je demande à @Nephalion aussi de suivre cette simulation :

from random import choice

def montyhall() :
    # on a 3 portes "a", "b" et "c" dont l'une contient une chèvre
    a, b, c = choice(((0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)))

    # le joueur fait un premier choix
    first_choice = choice('abc')
    
    # on ne sait pas ce que le joueur a choisit 
    # mais il nous reste deux portes non choisis
    rest = [i for i in 'abc' if i != first_choice]
    
    # l'animateur ouvre une porte qui ne contient pas de chèvre
    opened = rest[0] if eval(rest[0])==0 else rest[1]
    
    # maintenant l'animateur demande au joueur s'il veut changer de choix
    # si le joueur décide de ne pas changer de choix
    # on vérifie simplement si le premier choix first_choice = 1
    # mais si le joueur change de choix on va créer second_choice
    second_choice = [i for i in 'abc' if i not in (first_choice, opened)][0]
    
    # et on retourn le premier choix et le deuxieme choix
    return eval(first_choice), eval(second_choice)
    
# maintenant on joue 100 000 fois 
first_choice, second_choice = [], []
for i in range(100000) :
    res = montyhall()
    first_choice.append(res[0])
    second_choice.append(res[1])
    
# et on compte 
print('first_choice : ', sum(first_choice))
print('second_choice : ', sum(second_choice))

Le résultat :

first_choice :  33728
second_choice :  66272

Et la morale de l'histoire : ne faites jamais confiance à vos intuitions.

Je n’ai pas suivi votre développement informatique mais en changeant de choix j’ai exactement deux fois  plus de chances de gagner qu’en gardant mon premier choix. Ce n’est pas ce que vous trouvez.

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Membre, 67ans Posté(e)
VladB Membre 13 881 messages
Maitre des forums‚ 67ans‚
Posté(e)
il y a 16 minutes, Pheldwyn a dit :

Un non événement ?

Tu supprimes l'une des possibilités !

Oui, c'est pourquoi la porte non ouverte qu'aurait pu ouvrir le présentateur vois ses chances se concentrer partant de 0.33, ça devient 0.33 + 0.33 soit 0.66.

Normal que les 0.33 de la première porte choisie par le participant ne change pas, car on savait qu'il était certain que le présentateur arrive à ouvrir une porte donnant sur une chèvre. Et ceci, on le savait avant que le présentateur ouvre cette porte.

Donc, avant ou après que le présentateur ouvre la porte, la probabilité de 0.33 de la porte choisie par le participant ne peut changer. (Vu qu'avant ou après l'ouverture c'est pareil). Donc la proba ne change pas, donc elle reste à 0.33. 

On est donc obligé de compléter à 1, ce qui donne 0.67.

Dit autrement, ouvrir une porte par le présentateur est sans effet sur ce qu'il y a derrière la porte choisie par le participant. Ça ne donne aucune information sur ce qu'il y a derrière. Donc sa proba est inchangée (0.33).

Modifié par VladB
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Membre, 153ans Posté(e)
Annalevine Membre 3 528 messages
Mentor‚ 153ans‚
Posté(e)
Il y a 2 heures, Jim69 a dit :

Un classique.
A chaque tirage une nouvelle donne.
Au premier tirage 1 chance sur 3 de gagner. 
Après ouverture de la porte
Au second tirage si tu ne changes rien, TOUJOURS 1 chance sur 3 car tu n'as pas fait un nouveau choix, donc c'est la même chance qu'au début.
Au second tirage si tu changes hé bien tu as 1 chance sur 2 car tu as choisi ta porte parmi deux (et non pas trois).
En gros le fait de montrer qu'une porte est pas bonne ne change rien à tes chances, au début elle était de une sur trois, après ouverture de la porte elle reste de une sur trois.


 

Oui mais ce qui change c’est la probabilité associée  à la porte non choisie ( et non ouverte bien sûr)

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Membre, 53ans Posté(e)
SolarisXXX Membre 1 067 messages
Mentor‚ 53ans‚
Posté(e)
il y a 1 minute, Annalevine a dit :

Je n’ai pas suivi votre développement informatique mais en changeant de choix j’ai exactement deux fois  plus de chances de gagner qu’en gardant mon premier choix. Ce n’est pas ce que vous trouvez.

Si ... à la fin il a statistiquement deux fois plus d’occurrences en changeant de choix qu’en faisant l'inverse.

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Membre, Explorateur de Nuages, 47ans Posté(e)
Pheldwyn Membre 25 241 messages
47ans‚ Explorateur de Nuages,
Posté(e)
il y a 17 minutes, VladB a dit :

Tu as évoqué plus haut des probas de 33% plus 33% soit 66% décrivant l'ensemble des possibilités.

Ne soit pas de mauvaise foi, tu m'avais compris.

Tu as trois options à 33% chacune. Je te dit que une est en fait à 0%. Comme les 3 étaient au départ équiprobables, les deux qui restent le sont et passent donc a 50% chacune.

il y a 17 minutes, VladB a dit :

Ça n'a pas de sens. Décrit le calcul qui passe de 33 à 50, là on verra bien (c'est impossible cependant car rien n'a changé).

Mais c'était ma question : tu as trois événements possibles et équiprobables.

Donc 33%.

Pourquoi, lorsque l'un tombe à 0% de probabilité, tu te retrouves avec deux événements, équiprobables au départ, mais dont l'un hérite des probabilités d'un tiers qui s'est avéré faux ?

 

il y a 7 minutes, Annalevine a dit :

Je n’ai pas suivi votre développement informatique mais en changeant de choix j’ai exactement deux fois  plus de chances de gagner qu’en gardant mon premier choix. Ce n’est pas ce que vous trouvez.

Si, c'est ce que prouve son programme : en gardant le choix 1 33000 réussites, en passant au choix 2 66000 réussites.

Modifié par Pheldwyn
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Membre, 67ans Posté(e)
VladB Membre 13 881 messages
Maitre des forums‚ 67ans‚
Posté(e)
il y a 2 minutes, Pheldwyn a dit :

Pourquoi, lorsque l'un tombe à 0% de probabilité, tu te retrouves avec deux événements, équiprobables au départ, mais dont l'un hérite des probabilités d'un tiers qui s'est avéré faux ?

Il ne sont plus équiprobables une fois que le présentateur a vendu la mèche.

il y a 4 minutes, Pheldwyn a dit :

Tu as trois options à 33% chacune. Je te dit que une est en fait à 0%. Comme les 3 étaient au départ équiprobables, les deux qui restent le sont et passent donc a 50% chacune.

Faux. :)

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Invité korvo
Invités, Posté(e)
Invité korvo
Invité korvo Invités 0 message
Posté(e)
il y a 9 minutes, Annalevine a dit :

Je n’ai pas suivi votre développement informatique mais en changeant de choix j’ai exactement deux fois  plus de chances de gagner qu’en gardant mon premier choix. Ce n’est pas ce que vous trouvez.

Non c'est la même chose, second_choice correspond à un changement de choix et il est deux fois plus grand.

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Membre, 67ans Posté(e)
VladB Membre 13 881 messages
Maitre des forums‚ 67ans‚
Posté(e)
il y a 6 minutes, Annalevine a dit :

C’est incomplet.

Ceci dit, croyant passer de 1/3 à 1/2 en changeant de porte @Jim69 trouve quand même la bonne stratégie. :D

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Membre, 53ans Posté(e)
SolarisXXX Membre 1 067 messages
Mentor‚ 53ans‚
Posté(e)
il y a 10 minutes, VladB a dit :

Il ne sont plus équiprobables une fois que le présentateur a vendu la mèche.

Faux. :)

De toute manière en sciences le mieux quand c'est compliqué est de simplifier le problème.

Commençons alors avec deux portes : une voiture et une chèvre ... et l’animateur ouvre la porte avec la chèvre ... c'est bon je sors :caez:

Modifié par SolarisXXX
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Membre, 153ans Posté(e)
Annalevine Membre 3 528 messages
Mentor‚ 153ans‚
Posté(e)
Il y a 2 heures, épixès a dit :

C'est le fameux problème de Monty Hall, résolu par Marilyn vos Savant.

Les gens qui décident de changer de porte après l’intervention de l’animateur ont deux fois plus de chances de gagner que ceux qui maintiennent leur premier choix, ce qui est très contre-intuitif.

Comment est-ce possible ? Pour mieux comprendre le phénomène, analysons chaque éventualité.

Scénario 1: vous sélectionnez la chèvre 1 sans le savoir. L’animateur élimine une des autres portes en vous montrant l’emplacement de la chèvre 2. La 3ème porte cache donc la voiture. Si vous modifiez votre choix initial, vous gagnez.

Scénario 2: vous sélectionnez la chèvre 2 sans le savoir. L’animateur élimine une des autres portes en vous montrant l’emplacement de la chèvre 1. La 3ème porte cache donc la voiture. Si vous modifiez votre choix initial, vous gagnez.

Scénario 3: vous sélectionnez la voiture sans le savoir. L’animateur élimine une des autres portes en vous montrant l’emplacement de la chèvre 1ou 2. La 3ème porte cache donc l’autre chèvre. Si vous modifiez votre choix initial, vous perdez.

En modifiant systématiquement votre choix initial, deux scénarios sur trois permettent de gagner.

Comme vous avez seulement une chance sur trois de tomber sur la voiture du premier coup, et deux chances sur trois de vous tromper, mieux vaut changer de porte quand l’occasion se présente. Ce n’est pas un succès garanti, mais les probabilités sont deux fois meilleures.

Vous vous êtes fait avoir ? C’est tout à fait normal. Si le cerveau humain a autant de difficulté à évaluer les événements incertains, c’est en partie parce qu’il est habitué de prendre des raccourcis. La preuve: devant les 2 portes restantes, vous aviez l’impression d’avoir 50% de chances de gagner. Combattre cette présomption nécessite tout un effort de réflexion, et ce même chez les esprits les mieux éduqués.

Un autre biais qui affecte notre manière de penser est ce qu’on appelle l’aversion à la perte. Les gens ont davantage tendance à éviter les pertes qu’à rechercher les gains. En d’autres mots, mieux vaut économiser 5$ que de gagner 5$, même si techniquement il s’agit du même montant.

 Non ce n’est du tout ça. Votre jugement est faussé parce que vous connaissiez le problème pour l’avoir lu. Mais la raison pour laquelle je me suis braqué d’entrée est la même raison pour laquelle @SolarisXXXs’est braqué. Lui comme moi nous nous sommes dit : ce n’est pas un événement donné qui  va changer  ce qu’il y a derrière la porte 1 ( la porte choisie au début). Derrière la porte 1 ce sera soit une voiture soit une chèvre et on ne va pas me faire croire qu’un événement style ´l’animateur a ouvert une porte’  va changer  ce fait. Nous avons eu une réaction culturelle genre raz le bol des gens qui pense qu’un événement qui n’a rien rien à voir avec un autre puisse modifier cet événement. 
En fait notre agacement nous a empêché de voir que c’étaient  les probabilités qui changeaient, pas les événements en soi. Lui comme moi pratiquons suffisamment l’enseignement pour ne pas être déroutés par la question style : ce n’est pas intuitif. 

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Membre, 67ans Posté(e)
VladB Membre 13 881 messages
Maitre des forums‚ 67ans‚
Posté(e)
il y a 23 minutes, Pheldwyn a dit :

Tu avais 2 chances sur 3 de passer le premier tour. Changer de l'une de ces deux chances sur l'autre, ou pas, ne change pas que tu n'as plus qu'une chance sur deux au second tour.

Ta probabilité  de gagner en deux étapes est de 2/3 x1/2, soit 2/6 ... Soit les 1/3 en une étape. Puisque quoi que l'on fasse, la voiture est derrière l'une des 3 portes et qu'elle ne bouge pas.

Gné ? :hum:

On parle du même jeu ?

il y a 2 minutes, SolarisXXX a dit :

De toute manière en sciences le mieux quand c'est compliqué est de simplifier le problème.

Commençons alors avec deux portes : une voiture et une chèvre ... et l’animateur ouvre la porte avec la chèvre ... c'est bon je sors :caez:

C'est logique :

  • Une chance sur 3 que la voiture soit derrière la 1ère porte choisie.
  • Une chance sur 3 que la voiture soit derrière la 2ème porte non ouverte.
  • Et une chance sur 3 que la chèvre se transforme en voiture.
  • Le participant choisit de prendre la porte déjà ouverte par le présentateur.

Envoyez la pub ! 

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Membre, 67ans Posté(e)
VladB Membre 13 881 messages
Maitre des forums‚ 67ans‚
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il y a 3 minutes, Annalevine a dit :

En fait notre agacement nous a empêché de voir que c’étaient  les probabilités qui changeaient, pas les événements en soi. Lui comme moi pratiquons suffisamment l’enseignement pour ne pas être déroutés par la question style : ce n’est pas intuitif. 

Puisse qu'on parle d'enseignement, je trouve qu'il faut un énoncé plus motivant pour les étudiants ou les téléspectateurs.

Alors si le participant est une homme, ce n'est pas des chèvres mais des blondes à gros seins qu'il faut mettre, surtout quand on pense à l'ouverture de la porte par le présentateur.

La voiture est une Ferrari avec toutes les options évidemment, de quoi faire hésiter les garçons.

Si la participante est une femme, on pourrait mettre une sorte de Tom Cruise ou deux à la place des blondasses.

Si c'est @Jim69on lui mettrait des sortes de Keanu Reeves évidemment. 

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Membre, Explorateur de Nuages, 47ans Posté(e)
Pheldwyn Membre 25 241 messages
47ans‚ Explorateur de Nuages,
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il y a 32 minutes, VladB a dit :

Normal que les 0.33 de la première porte choisie par le participant ne change pas, car on savait qu'il était certain que le présentateur arrive à ouvrir une porte donnant sur une chèvre. Et ceci, on le savait avant que le présentateur ouvre cette porte.

Oki, ça y est, j'ai compris mon erreur.

J'avais en effet ignoré le rôle du présentateur.

Je réfléchissais en partant du principe que celui-ci ouvrait une des deux portes restantes au hasard (et tant pis si c'était la voiture).

Du coup, là évidemment, changer ou pas (si l'on n'avait pas perdu) avait la même probabilité. Je pensais que le débat était sur ce point, et j'avoue que je ne comprenais pas vos conclusions.

 

Mais oui, évidemment, il y a intervention de l'animateur. Celui-ci supprime un choix mais pas complétement au hasard.

Soit on avait bien choisi au départ (1 chance sur 3) et l'animateur supprime au hasard l'un des deux choix restants.

Soit on a mal choisi dès le départ (2 chances sur 3) et l'animateur a gardé l'unique choix possible.

Du coup... Si on ne change pas, on reste à une chance sur 3.

Si on change, on passe à 2 chances sur 3.

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Membre, 153ans Posté(e)
Annalevine Membre 3 528 messages
Mentor‚ 153ans‚
Posté(e)
Il y a 1 heure, Pheldwyn a dit :

J'avoue que je ne comprend pas la logique. 

Les chances étaient équiprobables pour les 3 au départ.

Donc la porte A, B et C étaient chacune a 1/3.

Si tu as choisi A, et qu'on élimine C, je ne vois pas pourquoi B deviendrait 1/2 lorsque A resterait 1/3.

Bah si, tu fais un nouveau choix : tu choisis de conserver ta porte en sachant qu'il y en a 2 (et plus 3 comme au départ).

Les conditions ont changé, même si tu garde ta porte, cela reste un choix (ne serait-ce que parce que tu aurais pu changer).

Ce qu’il faut intégrer c’est que l’action de l’animateur ( ouvrir une porte ) apporte une information nouvelle. Cette information modifie non la réalité des faits ( s’il y a une voiture derrière la porte 1 il y aura toujours une voiture derrière la porte 1) mais les probabilités. C’est la confusion entre réalité des faits et probabilités qui crée le trouble. Dans une situation donnée toute nouvelle information pertinente modifie les probabilités liées à tel événement possible, elle ne modifie l’évènement lui même.

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Membre, Posté(e)
Jim69 Membre 21 859 messages
Maitre des forums‚
Posté(e)
il y a 5 minutes, VladB a dit :

Si c'est @Jim69on lui mettrait des sortes de Keanu Reeves évidemment. 

Eurk...  Ryan Reynolds plutôt pour moi, si on doit prendre quelqu'un de famous :sleep:.

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Membre, 67ans Posté(e)
VladB Membre 13 881 messages
Maitre des forums‚ 67ans‚
Posté(e)
il y a 9 minutes, Pheldwyn a dit :

Oki, ça y est, j'ai compris mon erreur.

J'avais en effet ignoré le rôle du présentateur.

Je réfléchissais en partant du principe que celui-ci ouvrait une des deux portes restantes au hasard (et tant pis si c'était la voiture).

Du coup, là évidemment, changer ou pas (si l'on n'avait pas perdu) avait la même probabilité. Je pensais que le débat était sur ce point, et j'avoue que je ne comprenais pas vos conclusions.

En effet et c'était précisément le reproche que je faisais à l'énoncé initial.

Il était tout à fait possible de le comprendre ainsi : Le présentateur ouvre une porte au hasard, hop, on tombe sur une chèvre, que doit faire le participant ?

Rien car 50/50.

Mais le problème (intéressant) est bien : le présentateur s'assure d'ouvrir la porte sur une chèvre (car il sait ce qu'il y a derrière les portes).

Modifié par VladB
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