Petit problème de probabilité

Il y a 4 heures, Crabe_fantome a dit :

Au début j'ai une chance sur 3 d'avoir une voiture... mais dès lorsqu'on me supprime une possibilité j'ai une chance sur 2 de gagner. 

1/2 étant supérieure à 1/3 je décide alors de changer de porte pour maximiser mes chances. 

J'avoue que je ne comprend pas la logique. 

Les chances étaient équiprobables pour les 3 au départ.

Donc la porte A, B et C étaient chacune a 1/3.

Si tu as choisi A, et qu'on élimine C, je ne vois pas pourquoi B deviendrait 1/2 lorsque A resterait 1/3.

Il y a 1 heure, Jim69 a dit :

Un classique.
A chaque tirage une nouvelle donne.
Au premier tirage 1 chance sur 3 de gagner. 
Après ouverture de la porte
Au second tirage si tu ne changes rien, TOUJOURS 1 chance sur 3 car tu n'as pas fait un nouveau choix, donc c'est la même chance qu'au début.
 

Bah si, tu fais un nouveau choix : tu choisis de conserver ta porte en sachant qu'il y en a 2 (et plus 3 comme au départ).

Les conditions ont changé, même si tu garde ta porte, cela reste un choix (ne serait-ce que parce que tu aurais pu changer).

il y a 2 minutes, Pheldwyn a dit :

J'avoue que je ne comprend pas la logique. 

Les chances étaient équiprobables pour les 3 au départ.

Donc la porte A, B et C étaient chacune a 1/3.

Si tu as choisi A, et qu'on élimine C, je ne vois pas pourquoi B deviendrait 1/2 lorsque A resterait 1/3.

A moins que A devienne 1/2 sachant ce qui vient de se passer ? 

à l’instant, VladB a dit :

A moins que A devienne 1/2 sachant ce qui vient de se passer ? 

Là oui.

Mais du coup, ce que l'on calcule, c'est la probabilité que ma succession de choix amène à gagner... Sauf que cette probabilité a peu d'intérêt, car j'ai déjà fait mon premier choix.

Mais une fois que l'on a plus que deux portes , une chèvre et une voiture... J'ai dû mal à concevoir que mes chances aillent plus vers une porte que l'autre .

il y a 41 minutes, hanss a dit :

T’ouvres les 3 portes tu prends les chèvres et la voiture epicetou. 

Il y a en Ukraine une variante du jeu télévisé présenté par Zelenski himself :

Derrière deux des portes il y a un bouquet de fleurs et dans la 3ème il y a un missile Javelin, ensuite le présentateur... 

il y a 27 minutes, Pheldwyn a dit :

Là oui.

Mais du coup, ce que l'on calcule, c'est la probabilité que ma succession de choix amène à gagner... Sauf que cette probabilité a peu d'intérêt, car j'ai déjà fait mon premier choix.

Mais une fois que l'on a plus que deux portes , une chèvre et une voiture... J'ai dû mal à concevoir que mes chances aillent plus vers une porte que l'autre .

Plusieurs fois la bonne réponse supra, de toutes les façons de calculer possibles...

Il y a 1 heure, épixès a dit :

C'est le fameux problème de Monty Hall, résolu par Marilyn vos Savant.

Les gens qui décident de changer de porte après l’intervention de l’animateur ont deux fois plus de chances de gagner que ceux qui maintiennent leur premier choix, ce qui est très contre-intuitif.

Comment est-ce possible ? Pour mieux comprendre le phénomène, analysons chaque éventualité.

Scénario 1: vous sélectionnez la chèvre 1 sans le savoir. L’animateur élimine une des autres portes en vous montrant l’emplacement de la chèvre 2. La 3ème porte cache donc la voiture. Si vous modifiez votre choix initial, vous gagnez.

Scénario 2: vous sélectionnez la chèvre 2 sans le savoir. L’animateur élimine une des autres portes en vous montrant l’emplacement de la chèvre 1. La 3ème porte cache donc la voiture. Si vous modifiez votre choix initial, vous gagnez.

Scénario 3: vous sélectionnez la voiture sans le savoir. L’animateur élimine une des autres portes en vous montrant l’emplacement de la chèvre 1ou 2. La 3ème porte cache donc l’autre chèvre. Si vous modifiez votre choix initial, vous perdez.

 

Ça, ce sont les scénarios de départ.

On peut avoir choisit la chèvre 1 (scénario A), la chèvre 2 (scénario B) ou la voiture (scénario C).

Mais une fois une porte ouverte avec la chèvre 2 (par exemple), on sait avec certitude que le scénario B n'a pas eut lieu (puisque la chèvre 2 était ailleurs).

Nous sommes donc dans le scénario A ou C, à ce moment là.

il y a 7 minutes, Pheldwyn a dit :

Ça, ce sont les scénarios de départ.

On peut avoir choisit la chèvre 1 (scénario A), la chèvre 2 (scénario B) ou la voiture (scénario C).

Mais une fois une porte ouverte avec la chèvre 2 (par exemple), on sait avec certitude que le scénario B n'a pas eut lieu (puisque la chèvre 2 était ailleurs).

Nous sommes donc dans le scénario A ou C, à ce moment là.

 

Lisez ma première intervention, un peu au dessus de celle à laquelle vous avez réagi, peut être cela vous permettra-t-il de mieux comprendre la démarche.

il y a 9 minutes, Pheldwyn a dit :

Nous sommes donc dans le scénario A ou C, à ce moment là.

Certes mais @épixèsmène un calcul par dénombrement qui est exact.

Le fait qu'un évènement ne sorte pas ne change pas pour autant les probabilités de survenue qu'il avait, ni celle des autres.

A nouveau l'erreur de raisonnement consiste à faire table rase de la réponse du présentateur au premier choix du participant, réponse qui apporte une information ne rendant pas équiprobables (en terme de possession de la voiture) les deux portes restantes. 

Il y a 1 heure, épixès a dit :

Suite à votre choix initial, vous serez d’accord avec moi que la voiture a 33% de chance d’être derrière la porte numéro 1 que vous avez choisie et 67% de chances d’être derrière l’une des deux autres portes.

Oui, là je comprend sans problème 

Il y a 1 heure, épixès a dit :

Cependant, une fois que la porte numéro 2 est éliminée, cela signifie que la voiture a 67% de chance d’être derrière la porte numéro 3 !

Bah non.

Pour moi révéler la porte 3 a fait passer ses probabilités de 33% à 0, de fait.

Donc la porte B garde ses 33%, et l'ensemble des deux portes B et C 3st donc de 33%... comme la porte A. Donc 50-50 au final.

Justement parce que je sais qu'il y a une chèvre derrière la porte C.

il y a 2 minutes, Pheldwyn a dit :

Bah non.

Pour moi révéler la porte 3 a fait passer ses probabilités de 33% à 0, de fait.

Donc la porte B garde ses 33%, et l'ensemble des deux portes B et C 3st donc de 33%... comme la porte A. Donc 50-50 au final.

Justement parce que je sais qu'il y a une chèvre derrière la porte C.

Il s'avère que si l'on ne sait pas que la somme des probas des possibles doive faire 1, il va être difficile de s'accorder sur les calculs. 

il y a 2 minutes, VladB a dit :

Certes mais @épixèsmène un calcul par dénombrement qui est exact.

Le fait qu'un évènement ne sorte pas ne change pas pour autant les probabilités de survenue qu'il avait, ni celle des autres.

Celles qu'il avait oui, mais celles qu'il a désormais ?

il y a 2 minutes, VladB a dit :

A nouveau l'erreur de raisonnement consiste à faire table rase de la réponse du présentateur au premier choix du participant, réponse qui apporte une information ne rendant pas équiprobables (en terme de possession de la voiture) les deux portes restantes. 

Bah non, je ne fais pas table rase : je sais qu'il y a une chèvre en moins dans l'équation, et qu'il ne reste que deux possibilités.

il y a 1 minute, VladB a dit :

Il s'avère que si l'on ne sait pas que la somme des probas des possibles doive faire 1, il va être difficile de s'accorder sur les calculs. 

Bah les chances repassent à 50% pour chacune, du coup. Bref je ne vois pas pourquoi les 33% de la porte C qui s'avèrent faux viendraient s'agréger davantage à la porte B qu'à la porte C.

il y a 2 minutes, Pheldwyn a dit :

Bah non, je ne fais pas table rase : je sais qu'il y a une chèvre en moins dans l'équation, et qu'il ne reste que deux possibilités.

Deux possibilités ne veux pas forcément dire équiprobables.

Par exemple, demain, soit tu es vivant, soit tu est mort. 

Bon, disons une chance sur deux.

Après demain, tu as une chance sur 4 d'avoir survécu, ensuite...

il y a 11 minutes, Pheldwyn a dit :

Oui, là je comprend sans problème 

Bah non.

Pour moi révéler la porte 3 a fait passer ses probabilités de 33% à 0, de fait.

Donc la porte B garde ses 33%, et l'ensemble des deux portes B et C 3st donc de 33%... comme la porte A. Donc 50-50 au final.

Justement parce que je sais qu'il y a une chèvre derrière la porte C.

Oui mais il ne faut pas considérer les 2 autres portes individuellement mais comme un ensemble. Ensemble qui avait 67% de probabilités de cacher la voiture et qui les garde une fois éliminée une des portes.

il y a 8 minutes, Pheldwyn a dit :

Celles qu'il avait oui, mais celles qu'il a désormais ?

Tu as mis le doigt dessus avec désormais.

Est-ce que ça change quelque chose ? Non car c'est un non évènement. Il était certain que le présentateur arriverait à ouvrir une porte donnant sur une chèvre. Ce n'est donc pas un évènement et ça ne peux donc pas changer la probabilité initiale de la porte désignée qui est toujours d'1/3.

Par contre c'est une transmission d'information.

Il y a 4 heures, VladB a dit :

Il semble que l'énoncé manque de précision. L'animateur ouvre une porte à dessin sur une chèvre. Il l'ouvre en faisant exprès de ne pas tomber sur la voiture et pas par hasard sur une chèvre (ce qui serait l'énoncé d'un autre problème, soit une chance sur deux et pas de raison de changer, mais peu importe).

Une approche s'inspirant de la théorie de l'information, c'est que le présentateur à transmis de l'information, en veillant à ne pas ouvrir sur la voiture (au cas où le participant a choisi une porte chèvre au départ).

L'erreur des mathématiciens est de raisonner trop vite en oubliant l'information transmise et en supposant trop vite que tous les évènements sont aléatoires, y compris l'ouverture de la première porte par l'animateur. (On peut très bien comprendre que l'animateur ouvre une porte, et hop, cette fois ci c'est une chèvre, que doit faire le candidat ?)

D'ailleurs la partie proba ne casse pas des briques. Il est non rare que dans ces petits problèmes, le nœuds de la controverse se trouve dans la formulation de celui-ci ou dans la compréhension de cette formulation.   

Oui tout à fait, c’est exactement cela : l’animateur apporte une information. Et cela il faut le déceler. Et étonnamment c’est une femme qui n’a pas fait d’études qui perçoit ce fait, cet apport d’une information. Il est bien évident que l’animateur ne va pas ouvrir une porte qui donne sur la voiture. C’est pour cela que j’ai un peu pioché au début dans la compréhension du problème. Nous ne sommes plus dans des modèles mais dans la vie.

il y a 10 minutes, Pheldwyn a dit :

Bah les chances repassent à 50% pour chacune, du coup. Bref je ne vois pas pourquoi les 33% de la porte C qui s'avèrent faux viendraient s'agréger davantage à la porte B qu'à la porte C.

Non, l'erreur de raisonnement est exactement là. Tu n'as aucune raison de changer la proba de la première porte désignée de 33% à 50%.

il y a 3 minutes, épixès a dit :

Oui mais il ne faut pas considérer les 2 autres portes individuellement mais comme un ensemble. Ensemble qui avait 67% de probabilités de cacher la voiture et qui les garde une fois éliminée une des portes.

Pourquoi ? Les probabilités ne sont de fait plus les mêmes, puisque les conditions ne sont plus les mêmes 

Tiens, si deux joueurs jouent en même temps. Que le premier ait pris la porte A. Le second la porte B.

Le présentateur révèle la porte C avec une chèvre.

Du coup, la porte B représente 67% de chance de gagner pour le premier candidat.

Et la porte A représente 67% de chance de gagner pour le candidat C.

Vu de l'extérieur, les deux portes ont 67% de chance. C'est étrange tout de même, non ?

Il y a 4 heures, Nephalion a dit :

J'avoue ne pas avoir compris en quoi la problématique.

Que l'on choisisse de conserver notre choix ou pas, une fois la porte ouverte par l'animateur, il reste donc 2 portes, une chèvre derrière l'une, une voiture derrière l'autre.

Que l'on change ou pas de porte, il reste donc une chance sur deux de tomber sur la voiture et autant de tomber sur la chèvre.

Quand l'animateur demande si on veut changer, qu'il sache ou pas ce qu'il y a derrière les deux autres portes change-t-il quoi que ce soit ?

L'animateur peut pousser le joueur à changer de porte sachant que la porte 1 cache la voiture, ou au contraire il peut essayer de lui faire croire qu'il veut le faire changer pour mieux lui faire conserver son choix initial et garder la porte 1 qui cache en fait la chèvre.

 

 

La problématique est la suivante : sachant ce qui va se passer avant même que commence le jeu, c’est à dire que, quand j’aurai désigné une porte, que je n’ouvrirai pas, l’animateur ouvrira l’une des deux autres portes restantes évidemment sur une chèvre et non pas sur la voiture, quel est mon intérêt : rester sur mon choix originel ou changer  de choix ? La réponse est : changer de choix. Pour comprendre le jeu imaginez que vous répétez l’opération cent fois ( en fait cet imaginaire a été exploré par informatique), et bien vous avez beaucoup plus de chance de gagner en changeant de choix, en fait vous avez deux fois plus de chances de gagner. Cette expérience permet de souligner certains biais cognitifs dans le domaine de la logique.

Il y a 4 heures, VladB a dit :

Soit la porte choisie est la voiture soit une chance sur 3.

Soit ce n'était pas sur une voiture soit 2 chances sur 3. Dans ce dernier cas, changer de porte tombe sur l'évènement certain (l'animateur n'a pas ouvert sur la voiture), donc une chance sur 1. Soit 2 chances sur 3.

Il faut changer.

Exact. Bravo.

il y a 11 minutes, VladB a dit :

Tu as mis le doigt dessus avec désormais.

Est-ce que ça change quelque chose ? Non car c'est un non évènement.

Un non événement ?

Tu supprimes l'une des possibilités !

La voiture est derrière A, B ou C devient de fait la voiture est derrière A ou B.

Ça change tout de même carrément le problème, non ?

il y a 11 minutes, VladB a dit :

Par contre c'est une transmission d'information.

Bah oui : tu n'as pas perdu, la voiture est derrière l'une des deux dernières portes.

Il y a 3 heures, hell-spawn a dit :

On peut faire comme ça :

il y a 3 configurations possible

porte 1 = V ; porte 2=C ; porte 3= C

porte 1=C ; porte 2=V ; porte 3= C

porte 1=C ; porte 2= C ; porte 3= V

 

Si je choisis l'option toujours garder ( mettons la porte 1 ) j'ai 1 chance sur 3 de gagner

Si je choisis l'option de toujours changer j'ai 2 chances sur 3 de gagner

Exact, bravo.

il y a 1 minute, Pheldwyn a dit :

Un non événement ?

Tu supprimes l'une des possibilités !

La voiture est derrière A, B ou C devient de fait la voiture est derrière A ou B.

Ça change tout de même carrément le problème, non ?

Nan mais de toutes façon on ne peut pas se comprendre.

Tu as évoqué plus haut des probas de 33% plus 33% soit 66% décrivant l'ensemble des possibilités.

Puis lorsqu'on t'a dit que la somme devait faire 1 tu as répondu, bon d'accord alors c'est 50-50.

Ça n'a pas de sens. Décrit le calcul qui passe de 33 à 50, là on verra bien (c'est impossible cependant car rien n'a changé).

Et non un pirouette genre ça doit être 50 pour que ça tombe juste.