Petit problème de probabilité

Dans son livre : « Rationalité » Steven Pinker pose un petit problème de probabilité qui déchaîna les passions aux USA.

Soit  un jeu dans lequel un participant doit choisir entre trois portes, derrière lesquelles il y a une chèvre pour deux d’entre elles et une voiture pour une autre. On suppose que le but du jeu est de trouver la voiture.

Le participant est invité à choisir une porte mais l’animateur du jeu lui demande de ne pas l’ouvrir tout de suite. Mettons que le joueur choisisse la porte 1. Alors l’animateur ouvre l’une des deux autres portes,  qui donne sur une chèvre, mettons la porte 3. Puis il dit au joueur : gardez vous votre premier choix ou changez vous de choix ( autrement dit : gardez vous la porte 1 ou changez vous votre choix en prenant la porte 2 ?)

Que doit faire le joueur pour optimiser ses chances de trouver la voiture? Rester sur la porte1, changer de choix en se positionnant sur la porte 2 ou est ce  indifférent qu’il choisisse la porte 1 ou 2? 
 

Ce petit problème a eu des effets inattendus en mettant en opposition les plus grands mathématiciens contre une femme non diplômée. 
 

Quelle peut bien être la bonne réponse et pourquoi ?

il y a 30 minutes, Annalevine a dit :

Dans son livre : « Rationalité » Steven Pinker pose un petit problème de probabilité qui déchaîna les passions aux USA.

Soit  un jeu dans lequel un participant doit choisir entre trois portes, derrière lesquelles il y a une chèvre pour deux d’entre elles et une voiture pour une autre. On suppose que le but du jeu est de trouver la voiture.

Le participant est invité à choisir une porte mais l’animateur du jeu lui demande de ne pas l’ouvrir tout de suite. Mettons que le joueur choisisse la porte 1. Alors l’animateur ouvre l’une des deux autres portes,  qui donne sur une chèvre, mettons la porte 3. Puis il dit au joueur : gardez vous votre premier choix ou changez vous de choix ( autrement dit : gardez vous la porte 1 ou changez vous votre choix en prenant la porte 2 ?)

Que doit faire le joueur pour optimiser ses chances de trouver la voiture? Rester sur la porte1, changer de choix en se positionnant sur la porte 2 ou est ce  indifférent qu’il choisisse la porte 1 ou 2? 
 

Ce petit problème a eu des effets inattendus en mettant en opposition les plus grands mathématiciens contre une femme non diplômée. 
 

Quelle peut bien être la bonne réponse et pourquoi ?

Pour moi le procédure suivie par l’animateur ne change rien au problème de fond (gagner ou pas) ... car vu qu’il y a deux chèvres que le joueur ait choisi ou non la porte gagnante de toute manière il existe toujours une porte "non choisie" avec une chèvre.

Donc son choix initial ne doit pas être influencé par le faux suspens que veut entretenir l'animateur (quoi qu'il fasse il a une chance sur 3 de gagner).

il y a 31 minutes, Annalevine a dit :

Dans son livre : « Rationalité » Steven Pinker pose un petit problème de probabilité qui déchaîna les passions aux USA.

Soit  un jeu dans lequel un participant doit choisir entre trois portes, derrière lesquelles il y a une chèvre pour deux d’entre elles et une voiture pour une autre. On suppose que le but du jeu est de trouver la voiture.

Le participant est invité à choisir une porte mais l’animateur du jeu lui demande de ne pas l’ouvrir tout de suite. Mettons que le joueur choisisse la porte 1. Alors l’animateur ouvre l’une des deux autres portes,  qui donne sur une chèvre, mettons la porte 3. Puis il dit au joueur : gardez vous votre premier choix ou changez vous de choix ( autrement dit : gardez vous la porte 1 ou changez vous votre choix en prenant la porte 2 ?)

Que doit faire le joueur pour optimiser ses chances de trouver la voiture? Rester sur la porte1, changer de choix en se positionnant sur la porte 2 ou est ce  indifférent qu’il choisisse la porte 1 ou 2? 
 

Ce petit problème a eu des effets inattendus en mettant en opposition les plus grands mathématiciens contre une femme non diplômée. 
 

Quelle peut bien être la bonne réponse et pourquoi ?

Il faut utiliser le théorème de Bayes

il y a 1 minute, hell-spawn a dit :

Il faut utiliser le théorème de Bayes

Oui mais ici il est certain qu’il existe toujours quoi qu’il arrive une porte non choisie avec une chèvre derrière ... on n'est plus dans l'aléatoire concernant cette procédure là ...

Au début j'ai une chance sur 3 d'avoir une voiture... mais dès lorsqu'on me supprime une possibilité j'ai une chance sur 2 de gagner. 

1/2 étant supérieure à 1/3 je décide alors de changer de porte pour maximiser mes chances. 

ça va à l'encontre de l'impression que mon 1er choix était le bon, mais la rationalité devrait l'emporter. Cette impression me fait penser à ce piège à singe consistant à mettre un fruit dans un vase enterré: on peut y mettre la main pour prendre le fruit, mais une fois le fruit en main il est impossible de sortir sa main. Les singes refusent de lâcher le fruit et se font capturer. 

il y a 11 minutes, SolarisXXX a dit :

Pour moi le procédure suivie par l’animateur ne change rien au problème de fond (gagner ou pas) ... car vu qu’il y a deux chèvres que le joueur ait choisi ou non la porte gagnante de toute manière il existe toujours une porte "non choisie" avec une chèvre.

Donc son choix initial ne doit pas être influencé par le faux suspens que veut entretenir l'animateur (quoi qu'il fasse il a une chance sur 3 de gagner).

Votre réponse est celle d’un mathématicien. Et je dois vous dire que votre réponse fut aussi ma réponse, en tenant le même raisonnement que vous.
Mais cette réponse est fausse.  

il y a 13 minutes, hell-spawn a dit :

Il faut utiliser le théorème de Bayes

Et donc quelle est votre réponse ? Et pouvez vous la justifier ?

Qu'est-ce que ouvrir une porte. Le gagant est là.

il y a 8 minutes, Crabe_fantome a dit :

Au début j'ai une chance sur 3 d'avoir une voiture... mais dès lorsqu'on me supprime une possibilité j'ai une chance sur 2 de gagner. 

1/2 étant supérieure à 1/3 je décide alors de changer de porte pour maximiser mes chances. 

 

ça va à l'encontre de l'impression que mon 1er choix était le bon, mais la rationalité devrait l'emporter. Cette impression me fait penser à ce piège à singe consistant à mettre un fruit dans un vase enterré: on peut y mettre la main pour prendre le fruit, mais une fois le fruit en main il est impossible de sortir sa main. Les singes refusent de lâcher le fruit et se font capturer. 

Le bon choix est en effet de choisir la porte 2 mais votre explication n’est pas la bonne. Si j’ai bien compris votre raisonnement vous pensez que la probabilité de gagner avec la porte 1 reste de 1 sur 3 alors que la probabilité de gagner avec la porte 2 est de 1 sur 2. Vous vous trompez sur le calcul des probabilités. 

Pour la petite histoire donc c’est une femme sans compétence mathématique spécifique qui a trouvé la solution. Elle fut traitée de tous les noms par les mathématiciens jusqu’à ce qu’on oppose aux mathématiciens une démonstration. Et même encore un certain mathématicien hyper connu s’opposa à la démonstration. 
En fait ce petit problème fait réfléchir sur la notion même de probabilité dans l’esprit humain. L’erreur des mathématiciens fait partie de ce que les neuros appellent les biais cognitifs dans le domaine de la logique.

Pour bien traiter ce problème il est nécessaire de partir de ce primat : quelle est la bonne stratégie  à suivre avant même que le jeu commence : la stratégie rester sur mon choix ( après que l’animateur a ouvert une porte)  ou changer de choix ( après que l’animateur a ouvert une porte ) ? Posé ainsi le problème est plus aisé à résoudre ( par une démonstration), sinon on reste bloqué par l’exemple précis donné ci dessus ( l’animateur ouvre la porte 3 certes, mais il pourrait bien aussi être amené à ouvrir la porte 2 )

C’est donc la stratégie à suivre avant même que le jeu soit engagé qu’il s’agit d’arrêter. 

C’est d’ailleurs un peu le défaut que je peux reprocher à l’écrivain dans son exposition du problème ( on reste figé sur son exemple circonstanciel).

Donc oui la bonne réponse c’est bien de changer de choix mais comment le démontrer ? En étudiant les valeurs de probabilité. Qui peut donner ces valeurs ?

Il semble que l'énoncé manque de précision. L'animateur ouvre une porte à dessin sur une chèvre. Il l'ouvre en faisant exprès de ne pas tomber sur la voiture et pas par hasard sur une chèvre (ce qui serait l'énoncé d'un autre problème, soit une chance sur deux et pas de raison de changer, mais peu importe).

Une approche s'inspirant de la théorie de l'information, c'est que le présentateur à transmis de l'information, en veillant à ne pas ouvrir sur la voiture (au cas où le participant a choisi une porte chèvre au départ).

L'erreur des mathématiciens est de raisonner trop vite en oubliant l'information transmise et en supposant trop vite que tous les évènements sont aléatoires, y compris l'ouverture de la première porte par l'animateur. (On peut très bien comprendre que l'animateur ouvre une porte, et hop, cette fois ci c'est une chèvre, que doit faire le candidat ?)

D'ailleurs la partie proba ne casse pas des briques. Il est non rare que dans ces petits problèmes, le nœuds de la controverse se trouve dans la formulation de celui-ci ou dans la compréhension de cette formulation.   

J'avoue ne pas avoir compris en quoi la problématique.

Que l'on choisisse de conserver notre choix ou pas, une fois la porte ouverte par l'animateur, il reste donc 2 portes, une chèvre derrière l'une, une voiture derrière l'autre.

Que l'on change ou pas de porte, il reste donc une chance sur deux de tomber sur la voiture et autant de tomber sur la chèvre.

Quand l'animateur demande si on veut changer, qu'il sache ou pas ce qu'il y a derrière les deux autres portes change-t-il quoi que ce soit ?

L'animateur peut pousser le joueur à changer de porte sachant que la porte 1 cache la voiture, ou au contraire il peut essayer de lui faire croire qu'il veut le faire changer pour mieux lui faire conserver son choix initial et garder la porte 1 qui cache en fait la chèvre.

il y a 12 minutes, Annalevine a dit :

Donc oui la bonne réponse c’est bien de changer de choix mais comment le démontrer ? En étudiant les valeurs de probabilité. Qui peut donner ces valeurs ?

Soit la porte choisie est la voiture soit une chance sur 3.

Soit ce n'était pas sur une voiture soit 2 chances sur 3. Dans ce dernier cas, changer de porte tombe sur l'évènement certain (l'animateur n'a pas ouvert sur la voiture), donc une chance sur 1. Soit 2 chances sur 3.

Il faut changer.

il y a une heure, SolarisXXX a dit :

Pour moi le procédure suivie par l’animateur ne change rien au problème de fond (gagner ou pas) ... car vu qu’il y a deux chèvres que le joueur ait choisi ou non la porte gagnante de toute manière il existe toujours une porte "non choisie" avec une chèvre.

Donc son choix initial ne doit pas être influencé par le faux suspens que veut entretenir l'animateur (quoi qu'il fasse il a une chance sur 3 de gagner).

C'est faux et c'est même pas la peine d'y réfléchir, si tu sais programmer tu peux le vérifier en deux secondes avec deux lignes de code.

il y a 18 minutes, korvo a dit :

C'est faux et c'est même pas la peine d'y réfléchir, si tu sais programmer tu peux le vérifier en deux secondes avec deux lignes de code.

Montrez le moi alors .. et vérifier comment ?

Par simulations ?

il y a 21 minutes, Nephalion a dit :

J'avoue ne pas avoir compris en quoi la problématique.

Que l'on choisisse de conserver notre choix ou pas, une fois la porte ouverte par l'animateur, il reste donc 2 portes, une chèvre derrière l'une, une voiture derrière l'autre.

Que l'on change ou pas de porte, il reste donc une chance sur deux de tomber sur la voiture et autant de tomber sur la chèvre.

Quand l'animateur demande si on veut changer, qu'il sache ou pas ce qu'il y a derrière les deux autres portes change-t-il quoi que ce soit ?

L'animateur peut pousser le joueur à changer de porte sachant que la porte 1 cache la voiture, ou au contraire il peut essayer de lui faire croire qu'il veut le faire changer pour mieux lui faire conserver son choix initial et garder la porte 1 qui cache en fait la chèvre.

La vraie question est : les chèvres derrière leurs portes sont-elles en train de bêler ou non ??? 

il y a une heure, Annalevine a dit :

 

Et donc quelle est votre réponse ? Et pouvez vous la justifier ?

On peut faire comme ça :

il y a 3 configurations possible

porte 1 = V ; porte 2=C ; porte 3= C

porte 1=C ; porte 2=V ; porte 3= C

porte 1=C ; porte 2= C ; porte 3= V

Si je choisis l'option toujours garder ( mettons la porte 1 ) j'ai 1 chance sur 3 de gagner

Si je choisis l'option de toujours changer j'ai 2 chances sur 3 de gagner

il y a une heure, Annalevine a dit :

Votre réponse est celle d’un mathématicien. Et je dois vous dire que votre réponse fut aussi ma réponse, en tenant le même raisonnement que vous.
Mais cette réponse est fausse. 

Lorsque je dis qu'au début du jeu le joueur a 1 chance sur 3 de gagner puis que de toute façon quel que soit le choix du joueur l'animateur pourra toujours ouvrir une porte non choisie avec une chèvre derrière ... où serait une erreur de raisonnement ?

Si vous me permettez je vous propose une approche de type dénombrement.

Supposons (sans perte de généralité) que les placements soient du type V / C / C

(donc la voiture derrière la première porte les zanimaux derrière les autres)

Faisons le tour des choix possibles pour le joueur :

1) choix initial : porte 1

Deux possibilités maintenant pour l'animateur

--> soit il ouvre la porte 2 et alors si le joueur ne change pas il GAGNE s'il change il PERD

---> soit il ouvre la porte 3 et alors si le joueur ne change pas il GAGNE s'il change il PERD

2) choix initial : porte 2

L'animateur ouvre forcément la porte 3 et alors si le joueur ne change pas il PERD s'il change il GAGNE

2) choix initial : porte 3

L'animateur ouvre forcément la porte 2 et alors si le joueur ne change pas il PERD s'il change il GAGNE

Donc avec cette approche il vaut mieux changer

il y a 10 minutes, SolarisXXX a dit :

Lorsque je dis qu'au début du jeu le joueur a 1 chance sur 3 de gagner puis que de toute façon quel que soit le choix du joueur l'animateur pourra toujours ouvrir une porte non choisie avec une chèvre derrière ... où serait une erreur de raisonnement ?

Marrant, on dirait un élève contestant sa mauvaise note auprès d'un prof, l'élève ayant fait au début un calcul juste, puis vers la fin une erreur flagrante. Cet élève demande alors au prof de lui démontrer quelle erreur il a fait dans la partie bonne de son calcul.  

il y a 3 minutes, VladB a dit :

Marrant, on dirait un élève contestant sa mauvaise note auprès d'un prof, l'élève ayant fait au début un calcul juste, puis vers la fin une erreur flagrante. Cet élève demande alors au prof de lui démontrer quelle erreur il a fait dans la partie bonne de son calcul.  

Je m'interroge c'est tout

Comme je vis à la campagne je choisis de garder mon premier choix parce que je préfère une chèvre.