Passionnant sujet de probabilités ....

L'axiomatique de Kolmogorov n'a cependant pas fait directement le consensus auprès de la communauté mathématique et n'a été largement reconnue qu'en 1959[32]. Par exemple, Gustave Choquet souligne en 1962 que le groupe Bourbaki ferme à ses disciples les portes du calcul des probabilités[33]. Dans les années 1960, Mark Kac considère que la théorie des probabilités est plus proche de l'analyse, de la physique et de la statistique que de la théorie de la mesure[34].

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_probabilit%C3%A9s

Donc les probas théoriques n'ont été admises dans l'enseignement que récemment...

Pas étonnant que Zenalpha ne connaît pas bien.... 

Il y a 10 heures, SolarisXXX a dit :

La réponse est oui ... et on peut en général simuler (à l'aide de méthodes diverses et variées) des réalisations de cette variable aléatoire si besoin est (si par exemple la fonction de répartition est bijective c'est facile).

Ce que je ne parviens pas à imaginer, concernant la variable aléatoire associée à la densité 1/x2, c’est ce que peut bien signifier son espérance ( infinie). Je ne parviens pas à passer de l’abstraction pure au concret. Et ce concret est : mais que peut bien signifier pratiquement, pour cette variable aléatoire, le fait que son espérance tende vers l’infini ?

Cela dit si je devais faire de l’histoire ( je ne connais pas l’histoire des proba) je dirai donc que nous sommes probablement partis de cas pratiques pour élaborer des modèles, puis nous avons dû extraire des schémas théoriques à partir de ces modèles, notamment la fonction densité, puis donc, à partir de ce modèle théorique « nous inventons » nous imaginons possibles en quelque sorte de nouvelles variables aléatoires.

C’est toujours impressionnant ce va et vient entre observation et théorie. Entre la physique et la mathématique. La physique, à l’origine la simple technique pratique, engendre la mathématique ( avec ses modèles, ses mesures, etc), laquelle réagit sur la physique, la technique, et ainsi de suite.

Ce rapport entre le matériel ( la physique ) et l’immatériel ( la mathématique), l’existence même de l’immatériel, tout cela reste mystérieux. Tout comme ce rapport entre le cérébral ( le cerveau) et le mental ( l’esprit).

Nous devons tout de mème nous retrouver dans des situations complexes si nous décidons de partir du modèle théorique de la fonction densité. 
Nous pouvons dans un premier temps imaginer des fonctions densités. Puis nous devons alors en trouver l’intégrale ( trouver la primitive).  Et déjà là nous pouvons rencontrer de sérieuses difficultés, peut être même des difficultés insurmontables. Ensuite il faut tenter de concrétiser tout cela dans des modèles pratiques ( concevoir une variable aléatoire qui ait du sens ). Ce doit être je suppose un thème de recherche.

Il y a 3 heures, Annalevine a dit :

Ce que je ne parviens pas à imaginer, concernant la variable aléatoire associée à la densité 1/x2, c’est ce que peut bien signifier son espérance ( infinie). Je ne parviens pas à passer de l’abstraction pure au concret. Et ce concret est : mais que peut bien signifier pratiquement, pour cette variable aléatoire, le fait que son espérance tende vers l’infini ?

Bonjour !

En fait d'un point de vue théorique, et même si tout ceci est unifié par la théorie de la mesure, lorsque vous travaillez avec des probabilités vous pouvez vous retrouver sur trois type de situations.

Soit vous êtes sur des ensembles finis (style le dé à 6 faces ... seule situation qu'arrive vaguement à appréhender Zenalpha) et là zéro problème bien évidement que tous les indicateurs usuels vont exister.

Soit vous êtes sur de l'infini dénombrable (style N, lois de Poisson ..)  et là de suite vu qu'une espérance sera calculée par une série numérique la matheux se dit "danger ça ne va pas tout le temps exister" !

Et encore pire pour le cas continu où une espérance étant calculée par une intégrale elle peut aussi ne pas être finie dès lorsque que l'on est sur des intervalles non-bornés.

Et pour répondre à votre question ce type de densité de probabilités "pathologiques" telles que 1/x**2 sur [1,infini[ sont surtout utiles pour bien montrer à nos chers étudiants qu'en mathématiques les hypothèses ne sont pas là pour décorer.

Si vous simulez cette loi en TP (sur machine) vous pouvez montrer par exemple que :

1) la loi des grands nombres ne s’applique pas ... la moyenne sur votre échantillon ne va plus converger vers l'espérance ... car la loi des grands nombres n'est valide que si l'espérance est finie.

2) le théorème central-limite idem ... démontré sous hypothèse qu'espérance et variance sont finies. Comme ici l'espérance est infinie (ainsi que la variance) si vous simulez cette loi et représentez la densité empirique à l'aide d'un histogramme vous aurez tout et n'importe quoi mais pas une forme "en cloche".

... etc ...

Voilà, donc pour ma part je vois ces cas limites comme de bonnes illustrations sur le fait qu'il ne faut pas faire n'importe quoi et bien vérifier les hypothèses avant d'appliquer des théorèmes.

Bonne journée.

Le 04/02/2022 à 13:23, zenalpha a dit :

Prenez n'importe quelle fonction de densité de n'importe quelle loi de probabilité.... la fonction de densité aura TOUJOURS une forme "de cloche" qui part de l'abscisse ou P=0 pour revenir sur l'abscisse avec cette forme

Où l'on apprend qu'il n'y a de loi que de Gauss ou approchant.

Là on rentre dans la 4ème dimension !

Faut dire que les Bogdanov ont laissé un vide dont la nature a horreur. 

Le pire étant que plus Zenalpha raconte de conneries affligeantes plus il semble fier de lui !