Réflexions mathématiques

il y a une heure, Annalevine a dit :

 

Les mêmes auteurs écrivent : « il apparut clairement que la tache véritable du mathématicien consiste à déduire des théorèmes à partir d’hypothèses admises à titre de postulats et que, en tant que telle, la question de savoir si les axiomes qu’il se donne sont effectivement vrais ne le concerne pas ».  Ce qui, à bien regarder de près, est énorme.

Mais alors si la vérité des axiomes fondamentaux est indifférente, qu’est-ce que qui n’est pas indifférent pour cette nouvelle mathématique ?

 

J'ai malheureusement...cette intime conviction pour toi que la logique chez les mathématiciens sous toutes ses formes ne correspond en rien à ...  ta "logique"

Et j'ai malheureusement ..  cette intime conviction que la valeur de vérité d'une proposition mathématique dans un système axiomatique ne correspond en rien a ... ta recherche ni a ta définition de la vérité 

Et tu te retrouves face à une alternative dans le fonds

Est ce que le monde des mathématiques, universellement compris et utilisé.par tant de mathematiciens, avec autant de succès dans tant de domaines est une énorme aberration extérieure qui t'agresse ?

Ou est ce que ta compréhension limitée, comme tout le monde du reste et ... chacun sa limite n'est pas confrontée à cette aberration de ne pas savoir situer tes propres limites ?

Je serai si intéressé par ta définition de la vérité en mathématiques...

Un peu comme ça ?

il y a 13 minutes, zenalpha a dit :

  Il y a 1 heure, Annalevine a dit :

 

Les mêmes auteurs écrivent : « il apparut clairement que la tache véritable du mathématicien consiste à déduire des théorèmes à partir d’hypothèses admises à titre de postulats et que, en tant que telle, la question de savoir si les axiomes qu’il se donne sont effectivement vrais ne le concerne pas ».  Ce qui, à bien regarder de près, est énorme.

Mais alors si la vérité des axiomes fondamentaux est indifférente, qu’est-ce que qui n’est pas indifférent pour cette nouvelle mathématique ?

 

Je suis désolé Annalevine mais je ne comprends pas ta démarche. 

_La tache des mathématiciens me semble t'il est de calculer de la manière la plus "esthétique" possible. 

_ Entre Math théoriques et Math appliquées il y a un monde. ( par ex: le calcul montre théoriquement que la face intérieur d'un Tore peut passer à l'extérieur, comme une chaussette que l'on retournerai. )

_ enfin pardonne moi, je t'ai lu mais probablement pas avec l'attention nécessaire, mais je ne comprends pas l'énormité de l'axiome ni même me semble t'il le reproche de son acceptation que tu fais à l'encontre du mathématicien. 

PS: et si tu nous décrivais les lois de la philo, les méthodes, le langage...  ça serait sympa. 

il y a 15 minutes, saxopap a dit :

Je suis désolé Annalevine mais je ne comprends pas ta démarche. 

_La tache des mathématiciens me semble t'il est de calculer de la manière la plus "esthétique" possible. 

_ Entre Math théoriques et Math appliquées il y a un monde. ( par ex: le calcul montre théoriquement que la face intérieur d'un Tore peut passer à l'extérieur, comme une chaussette que l'on retournerai. )

_ enfin pardonne moi, je t'ai lu mais probablement pas avec l'attention nécessaire, mais je ne comprends pas l'énormité de l'axiome ni même me semble t'il le reproche de son acceptation que tu fais à l'encontre du mathématicien. 

 

PS: et si tu nous décrivais les lois de la philo, les méthodes, le langage...  ça serait sympa. 

 

Si je comprends bien, il est doté d'une "pensée spatiale" atypique qui lui permet de saisir intuitivement certains concepts comme un triangle équilatéral par exemple, une droite, un cercle, ce genre d'objets mathématiques  extrêmement complexes qu'il est seul a pouvoir conceptualiser 

Mais disons qu'à partir du moment ou sa "pensée spatiale" ne permet pas de comprendre certains concepts rationnels qui ont succédé à ceux de la grèce antique, Gödel par exemple, comme ils n'entrent pas bien sur sa feuille de papier géométrique, c'est donc qu'ils n'existent pas ou qu'ils sont faux.

Si ma vérité est l'ensemble de ma propre "spatialisation" qui se résume a un schéma géométrique sur ma feuille, tout ce qui est rationnellement en dehors de ce cadre est faux ou douteux.

Et la vérité absolue existe puisque c'est ce qu'il y a sur ma feuille que je conçois dans ma tête.

Une philosophie puissante, celle du Kant dira t'on.

Il y a 3 heures, Annalevine a dit :

Le cinquième postulat est ainsi libellé :

 

« Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. »

 

Que se passe-t-il si la somme des mesures des angles intérieurs en question est égale à deux droits ?

 

C’est ainsi que ce postulat a été récrit ainsi : « Par un point extérieur à une droite on ne peut mener qu’une parallèle à cette droite. »

???   ...un point...une seule droite possible??       pas deux points? 

Il y a 3 heures, Annalevine a dit :

 

Les Grecs ne pensaient pas que ce postulat allait de soi pour cette raison que nul ne peut savoir ce qui se passe à l’infini. A l’infini se pourrait-il que ces droites se rejoignent ? Nous voyons que ce postulat n’est pas directement reconnu comme vrai par la pensée spatiale, la pensée intuitive ; en conclusion les mathématiciens se demandèrent si ce postulat n’était pas un théorème et ils essayèrent de le démontrer à l’aide des autres axiomes d’Euclide. Au XIX siècle des mathématiciens (Gauss, Riemann notamment) démontrèrent qu’il était impossible de déduire l’axiome des parallèles à partir des autres axiomes.

 

Bien sûr il est possible alors de ranger l’énoncé d’Euclide comme postulat. Mais s’il ne s’agit pas d’un postulat, il s’avère donc possible que certaines propositions dans un système axiomatique donné, soient indémontrables et partant indécidables. La voie était tracée pour Gödel.

 

.......................................................................elle mathématique ?

 

 

 

( texte réduit en accord avec les règles du forum..désolé)

Je ne pense pas que tu vas me lire et encore moins , malheureusement, me répondre.  j'énonce un fait, loin de moi l'idée de te le reprocher. Je respect trop nos libertés.

Mais enfin Annalevine, relis toi et tu constateras que tu ne respecte pas les règles fondamentales de la philosophie, celles qui nous éclaire lorsque elle fait état des différentes options, les fameuses thèses et antithèses. 

La philosophie est utile.

Et si de nombreux scientifiques s'y aventurent, jamais ils n'auront ton talent, ta réflexion orientée philo, ton expérience  et la force de tes lectures sur nos ancien philo.

Bon en un mot:  bise et fais nous de la philo, explique nous cette discipline, balance !

Amicalement.  Saxo 

Kant en effet adopte l'hypothèse philosophique (la philosophie est un sens donne aux concepts, non une vérité) qu'existent des connaissances a priori, non impliquée par ce qu'on apprend de notre expérience empirique 

Et de ce point de vue, l'approche d' @Annalevine est judicieuse par rapport à la manière dont les grecs ont posé les premières pierres de l'axiomatique 

Je dirai que le concept de causalité lui même, de l'espace temps causal est une forme de notre entendement et de notre intuition a priori pour kant. Aucune pensée ne peut se faire hors de ce cadre qui est une forme a priori de notre sensibilité 

Tout celà est exact sauf que sauf que

Les sciences ont montré bien avant Bachelard, qui l'a formulé ainsi "que nous devions penser contre notre cerveau"

L'intuition est mauvaise conseillère pour les lois de la nature comme les lois mathématiques

Et la notion même de vérité, de causalité est refondée par des espaces mathématiques abstrait comme par des sciences physique mettant à jour des lois complètement contraires a l'intuition, à cette connaissance a priori

Ce qu'ont montré les mathématiques et la physique comme la logique, c'est que si on en reste au bon sens commun il est impossible d'approfondir les choses

Beaucoup sont restés plantés là

Et confondent le sens qu'ils donnent aux choses avec... la vérité 

Ce deuil là, c'est la relativité générale qui l'a généré chez moi

J'avais 17 ans...

il y a une heure, zenalpha a dit :

Kant en effet adopte l'hypothèse philosophique (la philosophie est un sens donne aux concepts, non une vérité) qu'existent des connaissances a priori, non impliquée par ce qu'on apprend de notre expérience empirique

Non, je ne suis pas dac Zena. 

L'observation n'est pas une démarche empirique. Les études observationnelles sont bien moins heterogenes que les études dites randomisées. 

L'une des explications possibles est que dans les études randomisées les sujets sont sélectionnés et sont moins représentatifs..

Les études observationnelles pourrait mieux représenter le contexte de l'événement

Citation

Et de ce point de vue, l'approche d' @Annalevine est judicieuse par rapport à la manière dont les grecs ont posé les premières pierres de l'axiomatique 

Je dirai que le concept de causalité lui même, de l'espace temps causal est une forme de notre entendement et de notre intuition a priori pour kant. Aucune pensée ne peut se faire hors de ce cadre qui est une forme a priori de notre sensibilité 

Tout celà est exact sauf que sauf que

Les sciences ont montré bien avant Bachelard, qui l'a formulé ainsi "que nous devions penser contre notre cerveau"

 L'intuition est mauvaise conseillère pour les lois de la nature comme les lois mathématiques

Et la notion même de vérité, de causalité est refondée par des espaces mathématiques abstrait comme par des sciences physique mettant à jour des lois complètement contraires a l'intuition, à cette connaissance a priori

Ce qu'ont montré les mathématiques et la physique comme la logique, c'est que si on en reste au bon sens commun il est impossible d'approfondir les choses

...( c'était mon intention de vous faire participer au paradoxe de Zenon...un sujet que vous avez violemment écarté

Citation

Beaucoup sont restés plantés là

Et confondent le sens qu'ils donnent aux choses avec... la vérité 

Ce deuil là, c'est la relativité générale qui l'a généré chez moi

J'avais 17 ans...

Tu exagère mon cher zena. 

La vérité bien souvent emmerge du sens que l'on donne. aux choses.

Certaines réalités méritent une plus ample réflexion.. ( périhélie  elie de mercure, ,déviation lumiere au passage d'un corps céleste etc....).

bise

zut: une partie importante de mon message a disparu..

il y a 58 minutes, saxopap a dit :

Non, je ne suis pas dac Zena. 

L'observation n'est pas une démarche empirique. Les études observationnelles sont bien moins heterogenes que les études dites randomisées. 

L'une des explications possibles est que dans les études randomisées les sujets sont sélectionnés et sont moins représentatifs..

Les études observationnelles pourrait mieux représenter le contexte de l'événement à observer

 

...( c'était mon intention de vous faire participer au paradoxe de Zenon...un sujet que vous avez violemment écarté

Tu exagère mon cher zena. 

La vérité bien souvent emmerge du sens que l'on donne. aux choses.

Certaines réalités méritent une plus ample réflexion.. ( périhélie  elie de mercure, ,déviation lumiere au passage d'un corps céleste etc....).

 

bise

 

Hello

On ne parle pas avec Kant des différents types d'expériences et de la randomisation double aveugle des échantillons representatifs

Je peux t'en parler en statisticien 

Non

Kant parle philosophiquement du rapport a la connaissance 

Selon lui, si certaines choses s'apprennent d'autres sont inées, une forme a priori de notre sensibilité d'homme

Aucun chien par exemple ne va se demander en voyant une baballe d'ou vient la baballe, comment il se fait qu'il y ait une baballe, comment on va expliquer causalement le mouvement de la baballe 

Pour Kant, toutes nos idées sont reliées à ce concept de causalité et a une forme a priori de notre sensibilité humaine 

Ce sont les lunettes posées sur nous pour voir le monde de la manière dont nous le voyons, une nature innée, ce que notre ami appelle une intuition spatiale qui ne s'apprend pas par l'expérience...de nos vies.

C'est de la philosophie, non des techniques d'échantillonnage dont nous parlons, pourtant c'est un peu ma spécialité...

Ce que je crois, c'est que je comprends notre ami, sauf qu'il n'a pas fait violence a son bon sens pour se forger des images mentales plus complexe 

Quand j'analyse une base de données, des images mentales viennent structurer ma pensée

Quand je vois une équation, quand on parle d'espaces abstraits multidimensionnels...

Oui, il y a un entraînement a la plasticité cérébrale 

Et je vois beaucoup de techniciens calculer sans donner sens à leur calcul, sans se demander ce qu'ils font et comment il se fait qu'ils le font ainsi

Les images mentales, tout le monde s'en forge

Mais si il y a une forme a priori de notre sensibilité, la relativité par exemple remet en cause le rapport du temps et de l'espace, la mécanique quantique remet en cause le concept de causalité 

Quelles images mentales ressortent de ces formalismes ?

Concernant le paradoxe de Zenon, j'ai non seulement la technique mathématique mais les images mentales qui me permettent de comprendre que ce n'est pas un paradoxe 

Mais peut-être que s'etre forgé une image mentale sur la conjecture de Rieman m'aide

En gros si on saute 5m, on saute 1m

Il faut entraîner son cerveau 

Tient petite question ; quelle image mentale te fais tu d'une sommation sur des nombres complexes ?

Est ce qu'un nombre complexe fait ressortir une image mentale de l'espace vectoriel associé ?

Plus simplement se forge t'on une image mentale instantanée de la somme de 2 vecteurs ?

Suis pas certain que sans travailler des sujets les images mentales idoines se forment de manière innée...

Je suis dépité car la moitié de mon message  a disparu , je ne parvenais pas à "envoyer la réponse" durant de longues minutes, puis ceci fait mon texte à été amputé  . C'etait la partie la plus intéressante, celle qui aurait pu ou du fête faire fermer ton clapet. ( rire... lol...

On peut rêver n'est ce pas? 

PS: si l'un de vous trouve quelques lignes magnifiquement et intelligemment écrites, elle sont à moi.

Soyez aimable de les adresser à:    Saxopap le merveilleux ( ben oui c'est mon nom de famille, j y suis pour rien). Rue du Forum d'ici,  code postal:  arobase. Notreforumpréféré ( tout attaché sans majuscule ni espace ) 

Merci. 

La question de la vérité des axiomes ne se pose plus dès lors que le mathématicien se libère de la contrainte de la preuve physique, observable, de ses assertions. Nous pouvons illustrer ce propos par l’exemple suivant donné par les auteurs précités.

Soient deux classes d’objets sur lesquels nous ne disons rien. K = a, b, c etc. et L = α ,β, γ, etc. Nous voyons que nous sommes déjà là dans une totale abstraction. Il ne s’agit pas de savoir si ces objets correspondent à des objets physiques, il s’agit de concevoir ces objets comme pures abstractions. Des lors le problème de leur existence et de leur « vérité » ne se pose plus.

Dotons ces classes d’objets de postulats tout aussi abstraits :

1) Tous les membres de K pris deux à deux sont contenus dans un seul membre de L

2) Aucun membre de K n’est contenu dans plus de deux membres de L

3) Les membres de K ne sont pas tous contenus dans un seul membre de L

4) Tous les membres de L pris deux à deux contiennent un seul membre de L

5) Aucun membre de L ne contient plus de deux membres de K

Nous voyons là encore que la question de la vérité des axiomes ne se pose plus, pas plus que leur éventuelle fausseté, il s’agit de créations pures.

Cela permet de préciser ce que nous entendons par vrai ou faux. La détermination du vrai ou du faux exige de mettre en correspondance deux mondes, un monde pensé un monde observé. C’est en établissant une correspondance entre ces deux mondes que je peux accéder aux critères de vérité ou de fausseté. Mais si je ne dispose que d’un monde, le monde pensé, le monde conçu, sans aucune référence à un monde observable, alors le problème de la vérité est évacué.

il y a 59 minutes, Annalevine a dit :

La question de la vérité des axiomes ne se pose plus dès lors que le mathématicien se libère de la contrainte de la preuve physique, observable, de ses assertions. Nous pouvons illustrer ce propos par l’exemple suivant donné par les auteurs précités.

Ce que je ne comprends pas c'est que par définition l'axiome n'a pas à être prouvé, car il est l'expression de propriétés élémentaires (un segment de droite peut etre prolongé indéfiniment etc..)

Est il possible d'observer l'infinie longueur d'une droite?

En quoi le mathématicien se libèrerait il de cette contrainte ( la preuve physique) alors qu'elle n'a pas lieu d'être par définition de l'axiome?

Citation

Soient deux classes d’objets sur lesquels nous ne disons rien. K = a, b, c etc. et L = α ,β, γ, etc. Nous voyons que nous sommes déjà là dans une totale abstraction. Il ne s’agit pas de savoir si ces objets correspondent à des objets physiques, il s’agit de concevoir ces objets comme pures abstractions. Des lors le problème de leur existence et de leur « vérité » ne se pose plus.

 

Dotons ces classes d’objets de postulats tout aussi abstraits :

 

1) Tous les membres de K pris deux à deux sont contenus dans un seul membre de L

2) Aucun membre de K n’est contenu dans plus de deux membres de L

3) Les membres de K ne sont pas tous contenus dans un seul membre de L

4) Tous les membres de L pris deux à deux contiennent un seul membre de L

5) Aucun membre de L ne contient plus de deux membres de K

 

Nous voyons là encore que la question de la vérité des axiomes ne se pose plus, pas plus que leur éventuelle fausseté, il s’agit de créations pures.

 

Cela permet de préciser ce que nous entendons par vrai ou faix. La détermination du vrai ou du faux exige de mettre en correspondance deux mondes, un monde pensé un monde observé.

C’est en établissant une correspondance entre ces deux mondes que je peux accéder aux critères de vérité ou de fausseté. Mais si je ne dispose que d’un monde, le monde pensé, le monde conçu, sans aucune référence à un monde observable, alors le problème de la vérité est évacué.

Merci pour cette belle littérature philosophique, j'aime bien te lire lorsque je comprends. 

Donc si j'ai bien compris, les axiomes n'expliquent pas tout, ne sont pas utiles partout, et ne s'appliquent que dans dans le domaine des faits observés et non discutables dont ils ont été l'expression écrite.

Bien

Je suis tres intéressé par les deux mondes dont tu parles.

Si je comprends bien, qu'il s'agisse de vérité ou de raison, tout tourne autour d'un support matériel. 

Concernant l'utilité des deux monde il est inutile  d'épiloguer, tu as bien raison. ( il faudra épingler les voleurs)

Mais les deux mondes dont tu parle méritent que l'on y jette un coup d'oeil.

Le monde de l'affect, la pensée humaine sensible, sa subjectivité  conséquente .

Le monde cartesien, rigoureux et observant 

Peut etre m'as tu lu il y a quelques moi à ce sujet lorsque j'avais dit que le rationnel et l'irationnel se complètent mutuellement !!  Individuellement ils fonctionnent beaucoup moins bien.

À l'image de notre cerveau 

il y a 47 minutes, Annalevine a dit :

La question de la vérité des axiomes ne se pose plus dès lors que le mathématicien se libère de la contrainte de la preuve physique, observable, de ses assertions. Nous pouvons illustrer ce propos par l’exemple suivant donné par les auteurs précités.

 

Soient deux classes d’objets sur lesquels nous ne disons rien. K = a, b, c etc. et L = α ,β, γ, etc. Nous voyons que nous sommes déjà là dans une totale abstraction. Il ne s’agit pas de savoir si ces objets correspondent à des objets physiques, il s’agit de concevoir ces objets comme pures abstractions. Des lors le problème de leur existence et de leur « vérité » ne se pose plus.

 

Dotons ces classes d’objets de postulats tout aussi abstraits :

 

1) Tous les membres de K pris deux à deux sont contenus dans un seul membre de L

2) Aucun membre de K n’est contenu dans plus de deux membres de L

3) Les membres de K ne sont pas tous contenus dans un seul membre de L

4) Tous les membres de L pris deux à deux contiennent un seul membre de L

5) Aucun membre de L ne contient plus de deux membres de K

 

Nous voyons là encore que la question de la vérité des axiomes ne se pose plus, pas plus que leur éventuelle fausseté, il s’agit de créations pures.

 

Cela permet de préciser ce que nous entendons par vrai ou faux. La détermination du vrai ou du faux exige de mettre en correspondance deux mondes, un monde pensé un monde observé. C’est en établissant une correspondance entre ces deux mondes que je peux accéder aux critères de vérité ou de fausseté. Mais si je ne dispose que d’un monde, le monde pensé, le monde conçu, sans aucune référence à un monde observable, alors le problème de la vérité est évacué.

Et bien tu as raison sur un point, c'est qu'il ne va pas de soi que l'abstraction soit une activité évidente 

Nietzsche à juste titre marque le saut prodigieux par exemple d'associer un nombre abstrait pour comptabiliser de la même manière conceptuelle des objets de nature différente

9 chiens ou 9 pierres, c'est toujours 9 pour un dénombrement 

En revanche un système axiomatique n'est pas "un ensemble hasardeux d'axiomes" posés là au hasard afin d'en déterminer les conséquences 

Le but est toujours de limiter le nombre des axiomes afin que les propositions premières considérées vraies soient minimales en nombre et nécessaires.

On parle de théories récursivement axiomatisables....récursivement 

Les mathématiciens ont travaillé dans l'histoire les axiomes des théories pour les rendre et nécessaires et minimum

Quant à ton concept de vérité...quelle misère...

La vérité n'est pas la confrontation d'un monde réel à un monde pensé...

C'est le fait de savoir si une proposition formulée dans une axiomatique données sera vraie ou fausse au sein du système axiomatique donc dans ce monde pensé....

Si A un point extérieur a une droite ne passe qu'une parallèle te semble vrai, comme en géométrie euclidienne, il se trouve que non dans le monde reel...

Pourtant, c'est ce qui semblait le plus intuitif...

Reprend ta définition de la vérité en mathématiques 

Elle est ... fausse

Du coup la cohérence de ton discours tombe

il y a 16 minutes, zenalpha a dit :

Et bien tu as raison sur un point, c'est qu'il ne va pas de soi que l'abstraction soit une activité évidente 

Nietzsche à juste titre marque le saut prodigieux par exemple d'associer un nombre abstrait pour comptabiliser de la même manière conceptuelle des objets de nature différente

9 chiens ou 9 pierres, c'est toujours 9 pour un dénombrement 

En re................

........................ui semblait le plus intuitif...

Reprend ta définition de la vérité en mathématiques 

Elle est ... fausse

Du coup la cohérence de ton discours tombe

C'était pas mal tu sais, si si je t'assure, n'en doute pas...  j'ai même tout compris bien plus vite que Annalevine, mais à raz décharge c'est plus compliqué la philo. 

Pourquoi?  bon ben si tu me le demande je t'explique: 

La philo c'est simple parce que ça dit des trucs si compliqués que personne ne s'y retrouve. Du coup tu lache l'affaire en disant que c'est pas le jour pour te prendre le chou.. 

Lacher l'affaire est la meilleur manière de gérer la philo. ça ne donne aucun résultats, tout comme la philo, et tu t'évite ainsi une ridicule compétence universelle. 

Certain disent que c'est tout, benef, je préfère dire que c'est gagnant gagnant sauf si tu perds le fil à un moment donné, ....

Voila, c'est dit.

Ça n'a aucun sens, et j'y ai bien pris garde, peut etre ainsi gagnerais je mes premiers galons de philosophe niveau d'en bas. 

PS:  pfff j ai même pas eu like pour mon message d'avant, oui souviens toi, celui que t'es resté sur le cul, sidéré par tant de clairvoyance ( c'était moi...je l avais deja dit?    ah ok , erreur de me répéter que c'est de moi ce super texte qui est pas loin en haut , de moi!  )

il y a 9 minutes, saxopap a dit :

c'est plus compliqué la philo. 

La mauvaise philo est du jargon vide.

La bonne philo est un ensemble de mots simples pour des concepts riches

Comme les echecs

La philo n'est pas la vérité c'est la mise en perspective du sens

Et le sens est toujours un parti pris

[Erratum : le quatrième axiome est ainsi libellé : tous les membres de L pris deux à deux contiennent un seul membre de K]

Le système précité dispose donc d’axiomes établis sur deux classes d’objets. Nous pouvons rendre plus concret une telle construction en pensant que les classes d’objets sont par exemple des points et des droites, et les axiomes des propositions élémentaires reliant des éléments des points et des éléments des droites.

Revenons à notre modèle.

Nous pouvons grâce aux règles d’inférence propres aux mathématiques déduire, à partir des axiomes, des théorèmes.

Par exemple soient deux éléments de K, a et b. Ils sont contenus dans un seul membre de L selon l’axiome 1). Prenons maintenant a et c. Ils sont contenus dans un autre membre de L différent du précédent, car selon l’axiome 5) aucun membre de L contient plus de deux membres de K.

Supposons que K contienne un quatrième élément, d. Alors a et d sont contenus en principe dans un autre membre de L. Mais alors a, élément de K, serait contenu dans plus de deux membres de L. Ce qui n’est pas possible selon l’axiome 2).

En conséquence premier théorème : K ne contient que trois membres, a, b et c.

Et nous pouvons ainsi établir de proche en proche de nouveaux théorèmes.

Nous avons donc là un système doté d’axiomes portant sur des classes d’objets non définis, engendrant des théorèmes par application de la logique mathématique.

Nous voyons que nous atteignons là une abstraction totale.

La question qui se pose : est-ce que ce système est consistant ? Autrement dit : est-ce que ce système engendre des théorèmes contradictoires ou pas ?

Le 03/10/2020 à 10:38, zenalpha a dit :

La mauvaise philo est du jargon vide.

La bonne philo est un ensemble de mots simples pour des concepts riches

Comme les echecs

La philo n'est pas la vérité c'est la mise en perspective du sens

Et le sens est toujours un parti pris

• Alors monsieur, c'est quoi pour vous des philosophes ?
• C'est des types qui posent des questions auxquelles il n'y a pas de réponses.
• Ce serait donc un exercice vain ?
• Mais pas du tout au contraire, savoir ce que l'on ne sait pas est la connaissance la plus importante !
• Hum, hum, vous êtes sûr de cela ?
• Mais non !

La manière idéale de démontrer qu’un système mathématique est consistant est de démontrer la vérité de ces axiomes. En effet les règles de la pure logique mathématique posées à l’origine par les philosophes grecs permettent de poser ceci :

Que le vrai engendre le vrai est une assertion vraie. Que le vrai engendre le faux est une assertion fausse. En revanche que le faux puisse engendrer aussi aussi bien le vrai que le faux est une assertion vraie. Il s’agit là de la table de vérité de l’implication, déjà découverte du temps des Grecs.

Si les axiomes du système sont vrais par démonstration alors les théorèmes sont vrais et le système est consistant.

Mais comment démontrer que des axiomes sont vrais dès lors qu’un axiome est en principe une proposition indémontrable ?

Une méthode employée est de construire un modèle euclidien en regard du système dont il s’agit, c’est-à-dire un modèle géométrique (visuel : pensée spatiale) dans lequel les axiomes dudit système renvoient à des théorèmes consacrés par la géométrie euclidienne.

Ainsi il est possible de construire face au système des cinq axiomes décrit ci-dessus un triangle. Les cinq axiomes deviennent alors des théorèmes dont la vérité est éprouvée par la géométrie euclidienne. Il est possible par ce truchement d’affirmer que le système est consistant.

Il est possible de faire de même par exemple avec la géométrie plane de Riemann. Ainsi le mot plan dans cette géométrie renvoie à la surface d’une sphère euclidienne, le mot point à un point sur cette surface, le mot droite à un arc d’un grand cercle, etc. Chaque postulat de Riemann devient un théorème d’Euclide. Par exemple en faisant une telle relation, l’axiome des parallèles de Riemann (par un point extérieur à une droite on ne peut tracer aucune parallèle à cette droite) signifie que par un point pris sur le surface d’une sphère on ne peut tracer aucun arc d’un grand cercle parallèle à l’arc d’un grand cercle donné.

Mais ce type de démonstration n’est pas satisfaisant. Car la consistance des systèmes dont on bâtit un modèle euclidien suppose la consistance de la géométrie euclidienne. Et nous en revenons à la question initiale : le système euclidien est il consistant ? Ou encore : tous ses postulats sont-ils vrais ?

Le topic sciences fait de plus en plus pitié quand même...

Il y a 5 heures, Annalevine a dit :

La manière idéale de démontrer qu’un système mathématique est consistant est de démontrer la vérité de ces axiomes. En effet les règles de la pure logique mathématique posées à l’origine par les philosophes grecs permettent de poser ceci :

...........................

 

Mais ce type de démonstration n’est pas satisfaisant. Car la consistance des systèmes dont on bâtit un modèle euclidien suppose la consistance de la géométrie euclidienne. Et nous en revenons à la question initiale : le système euclidien est il consistant ? Ou encore : tous ses postulats sont-ils vrais ?

Oui ce n'est pas satisfaisant . C'est dommage car à ma troisième lecture je sentais que ça venait...mais cela était faux! et je sais tres bien pourquoi; car si cela avait été vrai, j'aurais probablement réussi à démêler le vrai du faux. Je persiste tout de même à croire que je suis dans le vrai.  La vie est un combat.

Il y a deux genres de personnes dans la vie: 

  _ ceux qui disent des connerie sans le savoir

et ceux qui font savoir qu'ils vont dire une connerie.

Je signe pour l'entre deux, à condition qu'une âme chaleureuse vienne me sortir de là. 

Il y a 14 heures, Annalevine a dit :

1 La manière idéale de démontrer qu’un système mathématique est consistant est de démontrer la vérité de ces axiomes. En effet les règles de la pure logique mathématique posées à l’origine par les philosophes grecs permettent de poser ceci :

 

2 Que le vrai engendre le vrai est une assertion vraie. Que le vrai engendre le faux est une assertion fausse. En revanche que le faux puisse engendrer aussi aussi bien le vrai que le faux est une assertion vraie. Il s’agit là de la table de vérité de l’implication, déjà découverte du temps des Grecs.

 

3 Si les axiomes du système sont vrais par démonstration alors les théorèmes sont vrais et le système est consistant.

 

Mais comment démontrer que des axiomes sont vrais dès lors qu’un axiome est en principe une proposition indémontrable ?

 

4 Une méthode employée est de construire un modèle euclidien en regard du système dont il s’agit, c’est-à-dire un modèle géométrique (visuel : pensée spatiale) dans lequel les axiomes dudit système renvoient à des théorèmes consacrés par la géométrie euclidienne.

 

Ainsi il est possible de construire face au système des cinq axiomes décrit ci-dessus un triangle. Les cinq axiomes deviennent alors des théorèmes dont la vérité est éprouvée par la géométrie euclidienne. Il est possible par ce truchement d’affirmer que le système est consistant.

 

Il est possible de faire de même par exemple avec la géométrie plane de Riemann. Ainsi le mot plan dans cette géométrie renvoie à la surface d’une sphère euclidienne, le mot point à un point sur cette surface, le mot droite à un arc d’un grand cercle, etc. Chaque postulat de Riemann devient un théorème d’Euclide. Par exemple en faisant une telle relation, l’axiome des parallèles de Riemann (par un point extérieur à une droite on ne peut tracer aucune parallèle à cette droite) signifie que par un point pris sur le surface d’une sphère on ne peut tracer aucun arc d’un grand cercle parallèle à l’arc d’un grand cercle donné.

 

Mais ce type de démonstration n’est pas satisfaisant. Car la consistance des systèmes dont on bâtit un modèle euclidien suppose la consistance de la géométrie euclidienne. Et nous en revenons à la question initiale : le système euclidien est il consistant ? Ou encore : tous ses postulats sont-ils vrais ?

1 Non...pas du tout...

Etre coherent ou consistant, c'est ne pas pouvoir démontrer une chose et son contraire (theorèmes contradictoires) à partir d'axiomes considérés vrais.

2 Bravo...

 Aristote a aussi soutenu que la matière etait composée d'air, de terre, d'eau et de feu

La question est de savoir, que devons nous retenir des convictions grecques au regard de nos actuelles connaissances...

3 Je te decerne le prix de la sottise 2020 toutes catégories confondues...

Un axiome ne peut ... JAMAIS... être démontré au sein d'un système axiomatique donné dont il fait partie, jamais.

Car s'il le pouvait, ce serait sur base d'éléments plus fondamentaux que lui...qui seraient alors...axiomatisés...et lui-même se nommerait alors théorème 

On est niveau 6eme quoi...

4 une autre méthode serait que tu prennes conscience de tes âneries...

La géométrie euclidienne fonctionne pour les espaces ... euclidiens...

Il n'y a que toi pour penser que les mathematiciens n'ont pas une multitude d'autres espaces dont les principes sont incompatibles à la géométrie euclidienne ...

Bon je m'arrête là mais on en est a un niveau mais a un niveau....je sais pas...me manquent les mots...

Ce que je me demande, c'est comment on en est arrivés là ?

Pitié dis moi la vérité si je mens s'il te plait 

Promet moi que tu es pas professeur s'il te plait..aie pitié de nos enfants.

Ya un moment oû ca devient pathétique vraiment