Réflexions mathématiques

Certains sujets mathématiques traités ici donnent le désir de les approfondir et de les traiter différemment. Il est bien entendu possible de se saisir des « mystères » de la mathématique et de la physique pour nourrir ses propres rêveries ou céder à cette pesanteur religieuse conduisant à admirer ou à vénérer un homme (ou une femme) pour en faire un dieu, mais il est aussi possible de sortir de ces errements mentaux et de se saisir de ces sujets pour en comprendre la technique. En comprendre la technique est un bon exercice mental, surtout lorsqu’elle est complexe, de même qu’une course quotidienne par exemple est un bon moyen entretenir son corps.

Le sujet « une théorie qui affirme sa propre consistance est-elle consistante » m’a rappelé qu’il y a quelques mois je m’étais intéressé à la logique mathématique mais que j’avais dû laisser tomber, faute de temps. Il s’agissait alors de mener une dizaine de lycéens au bac, ce qui me prit toute mon énergie. Je suis surtout intéressé par la transmission, par les difficultés de la transmission : comment transmettre les mathématiques à des lycéens qui n’y comprennent rien ? Ce type de transmission est éreintant. Transmettre et se soumettre à l’expérience vécue permet aussi de mieux affiner sa propre technique mathématique. L’expérience vécue, c’est-à-dire la réussite ou l’échec de ses élèves, permet en outre de se dégager du jugement éthéré de spectateurs par définition non engagés dans l’action.

J’ai toujours pensé que transmettre à des lycéens doués ne présentait guère de difficultés. Mais quand le hasard permet de rencontrer un lycéen doué, alors cela anime d’une nouvelle énergie le désir de transmettre. Il ne s’agit plus alors de comprendre comment fonctionne l’esprit du lycéen en difficulté mais de s’ouvrir à la science elle-même, la mathématique, pour en déceler, en rendre explicite les mystères dont je peux penser alors que l’élève en fera un usage « magnifique » quand il les saisira. La science reste pour moi un moyen de communication avec l’autre.

J’en reviens à la consistance d’une théorie, il vaudrait sans doute mieux écrire, la consistance d’un système mathématique.

Bien sûr il est nécessaire de définir ce qu’est la consistance. « Un ensemble donné de postulats ou d’axiomes servant de fondement à un système est consistant lorsqu’il est impossible d’en tirer des théorèmes contradictoires » [Ernest Nagel et James R. Newman, la démonstration de Gödel]. Un système consistant ne viole pas le principe de non-contradiction.

Je ne m’étais jamais demandé si la géométrie euclidienne par exemple était consistante. Cette géométrie pourrait-elle enfanter des contradictions ? Nous pouvons la déclarer inadaptée dans certaines questions de la physique, puisque cette géométrie est celle de notre quotidien sur terre et non celle du photon par exemple. Mais jusqu’à présent nul dans son quotidien n’a été acculé à une contradiction éprouvante en utilisant la géométrie euclidienne. Je peux continuer de borner mon terrain en pensant que la ligne droite entre mes deux piquets est le plus court chemin.

Cette question de la consistance renvoie à une autre question. Est-il possible que certaines propositions ne soient pas démontrables ? Oui selon Gödel. Il y a des propositions indécidables en arithmétique.

Ce qui m’a étonné c’est qu’il a pu démontrer que telle ou telle question ne pouvait pas obtenir de réponse. C’est un peu rageant de penser qu’il n’est même pas utile approfondir une question parce qu’un homme a démontré qu’elle ne pouvait pas avoir de réponse ! Mais du coup cela m’incite à m’intéresser au raisonnement mathématique en général. Je dois pour cela étudier d’abord la logique mathématique ou du moins certains de ses aspects.

Il y a 6 heures, Annalevine a dit :

Je dois pour cela étudier d’abord la logique mathématique ou du moins certains de ses aspects.

Oui. Définitivement oui (pensez à revoir votre compréhension de l'induction, ça servira toujours).

Il y a 6 heures, Annalevine a dit :

Ce qui m’a étonné c’est qu’il a pu démontrer que telle ou telle question ne pouvait pas obtenir de réponse.

Voir au dessus. Pour comprendre Gödel, il faut a minima avoir des bases en logique. Il n'a surtout pas montré "qu'on ne peut pas obtenir de réponse". Il les a donné, les réponses.

Il y a 7 heures, Annalevine a dit :

 

Je ne m’étais jamais demandé si la géométrie euclidienne par exemple était consistante. Cette géométrie pourrait-elle enfanter des contradictions ? Nous pouvons la déclarer inadaptée dans certaines questions de la physique, puisque cette géométrie est celle de notre quotidien sur terre et non celle du photon par exemple. Mais jusqu’à présent nul dans son quotidien n’a été acculé à une contradiction éprouvante en utilisant la géométrie euclidienne. Je peux continuer de borner mon terrain en pensant que la ligne droite entre mes deux piquets est le plus court chemin.

 

Cette question de la consistance renvoie à une autre question. Est-il possible que certaines propositions ne soient pas démontrables ? Oui selon Gödel. Il y a des propositions indécidables en arithmétique.

 

Ce qui m’a étonné c’est qu’il a pu démontrer que telle ou telle question ne pouvait pas obtenir de réponse. C’est un peu rageant de penser qu’il n’est même pas utile approfondir une question parce qu’un homme a démontré qu’elle ne pouvait pas avoir de réponse ! Mais du coup cela m’incite à m’intéresser au raisonnement mathématique en général. Je dois pour cela étudier d’abord la logique mathématique ou du moins certains de ses aspects.

Oh my god...il y a dejà un tissu d'âneries et en plus, je m'attends à devoir tricoter un pull complet..

Gödel n'a jamais démontré qu'il n'était pas possible d'approfondir une question...et du reste vous devriez....

Mais là, je vous conseille d'en rester à des choses simples.

Ayez... pitié de nous...drapeau blanc vous êtes magnifique on vous croit mais pitié....pas ce sujet...

Il y a 8 heures, Annalevine a dit :

Mais jusqu’à présent nul dans son quotidien n’a été acculé à une contradiction éprouvante en utilisant la géométrie euclidienne. Je peux continuer de borner mon terrain en pensant que la ligne droite entre mes deux piquets est le plus court chemin.

A tel point que même le cadastre prend en compte la rotondité de la Terre pour définir la surface des parcelles... (comme quoi la Terre plate c'est de l'arnaque : les surfaces calculées seraient plus petites, on va pas se plaindre :-D )

CQFD. Pour le reste rien à ajouter, pas envie de m'épuiser à tout démonter. Trop long.

Il y a 10 heures, Annalevine a dit :

J’ai toujours pensé que transmettre à des lycéens doués ne présentait guère de difficultés. Mais quand le hasard permet de rencontrer un lycéen doué, alors cela anime d’une nouvelle énergie le désir de transmettre. Il ne s’agit plus alors de comprendre comment fonctionne l’esprit du lycéen en difficulté mais de s’ouvrir à la science elle-même, la mathématique, pour en déceler, en rendre explicite les mystères dont je peux penser alors que l’élève en fera un usage « magnifique » quand il les saisira. La science reste pour moi un moyen de communication avec l’autre.

Dit celle qui, il y a peu, expliquait à la cantonade qu'il a fallu attendre Cantor pour éclairer le paradoxe de Zénon.

Ceci dit il y a un truc convenable dans la démarche, c'est de trouver plus motivant de s'intéresser à des élèves en difficulté, peut être par un mécanisme de proximité entre l'élève et le professeur ? Ce qui sera salutaire pour les plus doués. 

Les recherches de Gödel et les questions sur la consistance d’un système d’axiomes renvoient à la question des fondements des mathématiques. La géométrie euclidienne pose qu’il est possible, à partir de propositions élémentaires appelées axiomes, considérées comme étant vraies, et à l’application d’une logique mathématique, le raisonnement, de démontrer de nouvelles propositions, appelées théorèmes, considérées comme étant, conséquemment, vraies. L’édifice euclidien fut assez impressionnant pour convaincre les penseurs que la forme axiomatique de la géométrie euclidienne était le modèle même de la connaissance scientifique, et que cette connaissance était la seule qui nous assure d’atteindre le vrai.

Lorsque je montre à un élève qu’il est possible d’atteindre de nouvelles connaissances sur le monde (théorèmes) à partir d’axiomes et du raisonnement, sans recourir à l’expérience, j’éveille aussitôt en lui un intérêt émerveillé pour les mathématiques à condition que je lui montre bien que cette connaissance est issue de son esprit et non de l’expérience.

Par exemple démontrer que dans un triangle rectangle, la mesure du carré de l’hypoténuse est égale à la somme des mesures des carrés des deux autres cotés par le seul effet d’axiomes et du raisonnement lors même que dans certaines civilisations les géomètres devaient sans cesse, par la mesure effective au moyen de cordes, s’assurer que cette propriété était vraie pour chaque triangle rectangle particulier, impressionne les esprits encore ouverts des élèves.

Démontrer encore, en utilisant il est vrai le cinquième postulat d’Euclide, plutôt contesté quant à sa valeur de vérité, que la somme des angles d’un triangle est égale à un angle plat sans recourir à un quelconque instrument de mesure a l’art aussi de les émerveiller. C’est ainsi que je parviens à faire aimer les maths à des enfants par ailleurs complètement réfractaires à cette discipline. Engendrer l’émerveillement c’est engendrer une émotion qui permet de mobiliser leur attention.

Cette possibilité d’acquérir des connaissances vraies sans passer par l’expérience, connaissances appelées « a priori » par Kant (dans le cadre des jugements synthétiques) a fondé sa Critique de la raison pure : comment est-il possible d’acquérir des connaissances sur le monde sans passer par l’observation et l’expérience ?

Il y a 1 heure, Annalevine a dit :

Les recherches de Gödel et les questions sur la consistance d’un système d’axiomes renvoient à la question des fondements des mathématiques. La géométrie euclidienne pose qu’il est possible, à partir de propositions élémentaires appelées axiomes, considérées comme étant vraies, et à l’application d’une logique mathématique, le raisonnement, de démontrer de nouvelles propositions, appelées théorèmes, considérées comme étant, conséquemment, vraies. L’édifice euclidien fut assez impressionnant pour convaincre les penseurs que la forme axiomatique de la géométrie euclidienne était le modèle même de la connaissance scientifique, et que cette connaissance était la seule qui nous assure d’atteindre le vrai.

 

Lorsque je montre à un élève qu’il est possible d’atteindre de nouvelles connaissances sur le monde (théorèmes) à partir d’axiomes et du raisonnement, sans recourir à l’expérience, j’éveille aussitôt en lui un intérêt émerveillé pour les mathématiques à condition que je lui montre bien que cette connaissance est issue de son esprit et non de l’expérience.

 

Par exemple démontrer que dans un triangle rectangle, la mesure du carré de l’hypoténuse est égale à la somme des mesures des carrés des deux autres cotés par le seul effet d’axiomes et du raisonnement lors même que dans certaines civilisations les géomètres devaient sans cesse, par la mesure effective au moyen de cordes, s’assurer que cette propriété était vraie pour chaque triangle rectangle particulier, impressionne les esprits encore ouverts des élèves.

 

Démontrer encore, en utilisant il est vrai le cinquième postulat d’Euclide, plutôt contesté quant à sa valeur de vérité, que la somme des angles d’un triangle est égale à un angle plat sans recourir à un quelconque instrument de mesure a l’art aussi de les émerveiller. C’est ainsi que je parviens à faire aimer les maths à des enfants par ailleurs complètement réfractaires à cette discipline. Engendrer l’émerveillement c’est engendrer une émotion qui permet de mobiliser leur attention.

 

Cette possibilité d’acquérir des connaissances vraies sans passer par l’expérience, connaissances appelées « a priori » par Kant (dans le cadre des jugements synthétiques) a fondé sa Critique de la raison pure : comment est-il possible d’acquérir des connaissances sur le monde sans passer par l’observation et l’expérience ?

Hello camarade

Les propositions mathématiques dont on peut donner une valeur de vérité ne donnent une valeur de vérité vrai / faux qu'au sein de la théorie ... et pas sur le monde lui même ... si on parle bien du monde physique 

En revanche, vous n'avez toujours strictement mais alors strictement... rien compris de Kant et cette faculté extraordinaire que vous avez a ne pas comprendre la philosophie continue toujours de m'emerveiller comme le sont vos élèves 

En fait je pense que si j'avais un doute un jour sur un sujet, je viendrai solliciter votre avis.

Car si une réponse attendue à une question du type vrai / faux est attendue au sein d'un questionnement complexe, vous avez une étonnante faculté à cristalliser les erreurs grossières bien au delà de ce qu'un mécanisme aléatoire pourrait générer 

C'est un peu comme si, au fonds de vous, dormait un pur génie capable de vous sussurer une mauvaise réponse systématiquement histoire de se détendre.

Si je devais couper un fil, dans le doute, c'est à Vous que j'irai poser la question  pour couper l'autre couleur que celle indiquée.

CouCou Annalevine 

Le 01/10/2020 à 11:47, Annalevine a dit :

Certains sujets mathématiques traités ici donnent le désir de les approfondir et de les traiter différemment. Il est bien entendu possible de se saisir des « mystères » de la mathématique et de la physique pour nourrir ses propres rêveries ou céder à cette pesanteur religieuse conduisant à admirer ou à vénérer un homme (ou une femme) pour en faire un dieu, mais il est aussi possible de sortir de ces errements mentaux et de se saisir de ces sujets pour en comprendre la technique. En comprendre la technique est un bon exercice mental, surtout lorsqu’elle est complexe, de même qu’une course quotidienne par exemple est un bon moyen entretenir son corps.

Je ne doute pas que tu sois un merveilleux prof de philo.

Citation

 

Le sujet « une théorie qui affirme sa propre consistance est-elle consistante » m’a rappelé qu’il y a quelques mois je m’étais intéressé à la logique mathématique mais que j’avais dû laisser tomber, faute de temps. Il s’agissait alors de mener une dizaine de lycéens au bac, ce qui me prit toute mon énergie. Je suis surtout intéressé par la transmission, par les difficultés de la transmission : comment transmettre les mathématiques à des lycéens qui n’y comprennent rien ? Ce type de transmission est éreintant. Transmettre et se soumettre à l’expérience vécue permet aussi de mieux affiner sa propre technique mathématique. L’expérience vécue, c’est-à-dire la réussite ou l’échec de ses élèves, permet en outre de se dégager du jugement éthéré de spectateurs par définition non engagés dans l’action.

l'enseignement est souvent mal compris par le grand public. Oui tu as raison, c'est " éreintant".

Citation

 

J’ai toujours pensé que transmettre à des lycéens doués ne présentait guère de difficultés. Mais quand le hasard permet de rencontrer un lycéen doué, alors cela anime d’une nouvelle énergie le désir de transmettre. Il ne s’agit plus alors de comprendre comment fonctionne l’esprit du lycéen en difficulté mais de s’ouvrir à la science elle-même, la mathématique, pour en déceler, en rendre explicite les mystères dont je peux penser alors que l’élève en fera un usage « magnifique » quand il les saisira. La science reste pour moi un moyen de communication avec l’autre.

La philo est en soit une science (humaine).

Je prends ici le soin de t'écrire car je ne comprends pas que tu évoques à chaque instant les MATH.  On s'en fout des Math...ta philo est une démarche tout aussi respectable et  intéressante pour nous autre et pour tes élèves. 

Citation

 

J’en reviens à la consistance d’une théorie, il vaudrait sans doute mieux écrire, la consistance d’un système mathématique.

...

Citation

 

Bien sûr il est nécessaire de définir ce qu’est la consistance. « Un ensemble donné de postulats ou d’axiomes servant de fondement à un système est consistant lorsqu’il est impossible d’en tirer des théorèmes contradictoires » [Ernest Nagel et James R. Newman, la démonstration de Gödel]. Un système consistant ne viole pas le principe de non-contradiction.

 

Je ne m’étais jamais demandé si la géométrie euclidienne par exemple était consistante. Cette géométrie pourrait-elle enfanter des contradictions ? Nous pouvons la déclarer inadaptée dans certaines questions de la physique, puisque cette géométrie est celle de notre quotidien sur terre et non celle du photon par exemple. Mais jusqu’à présent nul dans son quotidien n’a été acculé à une contradiction éprouvante en utilisant la géométrie euclidienne. Je peux continuer de borner mon terrain en pensant que la ligne droite entre mes deux piquets est le plus court chemin.

 

Cette question de la consistance renvoie à une autre question. Est-il possible que certaines propositions ne soient pas démontrables ? Oui selon Gödel. Il y a des propositions indécidables en arithmétique.

 

Ce qui m’a étonné c’est qu’il a pu démontrer que telle ou telle question ne pouvait pas obtenir de réponse. C’est un peu rageant de penser qu’il n’est même pas utile approfondir une question parce qu’un homme a démontré qu’elle ne pouvait pas avoir de réponse ! Mais du coup cela m’incite à m’intéresser au raisonnement mathématique en général. Je dois pour cela étudier d’abord la logique mathématique ou du moins certains de ses aspects.

Je suis atterré par ton sentiment. Mais enfin, la philo à tes yeux serait elle dépendante des sciences dites "dures"? 

Il y a 3 heures, Annalevine a dit :

Les recherches de Gödel et les questions sur la consistance d’un système d’axiomes renvoient à la question des fondements des mathématiques. La géométrie euclidienne pose qu’il est possible, à partir de propositions élémentaires appelées axiomes, considérées comme étant vraies, et à l’application d’une logique mathématique, le raisonnement, de démontrer de nouvelles propositions, appelées théorèmes, considérées comme étant, conséquemment, vraies. L’édifice euclidien fut assez impressionnant pour convaincre les penseurs que la forme axiomatique de la géométrie euclidienne était le modèle même de la connaissance scientifique, et que cette connaissance était la seule qui nous assure d’atteindre le vrai.

espace euclidien= 2 dimensions

Atteindre "le vrai" en occultant une dimension? ( ou deux avec le temps)

Citation

 

Lorsque je montre à un élève qu’il est possible d’atteindre de nouvelles connaissances sur le monde (théorèmes) à partir d’axiomes et du raisonnement, sans recourir à l’expérience, j’éveille aussitôt en lui un intérêt émerveillé pour les mathématiques à condition que je lui montre bien que cette connaissance est issue de son esprit et non de l’expérience.

...et il te comprend?   

Citation

 

Par exemple démontrer que dans un triangle rectangle, la mesure du carré de l’hypoténuse est égale à la somme des mesures des carrés des deux autres cotés par le seul effet d’axiomes et du raisonnement lors même que dans certaines civilisations les géomètres devaient sans cesse, par la mesure effective au moyen de cordes, s’assurer que cette propriété était vraie pour chaque triangle rectangle particulier, impressionne les esprits encore ouverts des élèves.

Quel est ton enseignement?  

l'Égypte ancienne cordait en 3-4-5 certes. Pythagore l'a formulé. ok!  et la philo dans tout cela?

Citation

 

Démontrer encore, en utilisant il est vrai le cinquième postulat d’Euclide, plutôt contesté quant à sa valeur de vérité, que la somme des angles d’un triangle est égale à un angle plat sans recourir à un quelconque instrument de mesure a l’art aussi de les émerveiller. C’est ainsi que je parviens à faire aimer les maths à des enfants par ailleurs complètement réfractaires à cette discipline. Engendrer l’émerveillement c’est engendrer une émotion qui permet de mobiliser leur attention.

 

Cette possibilité d’acquérir des connaissances vraies sans passer par l’expérience, connaissances appelées « a priori » par Kant (dans le cadre des jugements synthétiques) a fondé sa Critique de la raison pure : comment est-il possible d’acquérir des connaissances sur le monde sans passer par l’observation et l’expérience ?

Oui, je comprends maintenant ta noble intention en tant que prof de philo:  leur faire aimer les math, leur insuffler une émotion pour cette terrible discipline. Mais est ce vraiment ton taf? 

J'avoue que j'aime ta démarche, j'apprécie que toi, prof de philo, s'inquiéte et s'occupe d'attirer l'attention des gamins sur les Math. Quand à la critique de la raison je suis bien certain que tu as une toute autre idée car tu  sais bien qu'il n'existe que Deux manières de " Savoir": L'observation et l'expérimentation "  ( phénomènes reproductibles)

Un petit mot pour rire: Triangle. la somme des angles= 180°. juste valable ds un espace euclidien, donc 2 dimensions. En 3 dim ( globe terrestre) la somme augmente. 

Je trouve sympa ce que tu fais pour les gamins, mais pourrais tu synthétiser le langage philo pour qu'ils en retiennent au moins les fondamentaux  ?   

un petit outil de plus dans la boite à outils du gamin..

il y a 43 minutes, saxopap a dit :

 

Je trouve sympa ce que tu fais pour les gamins, mais pourrais tu synthétiser le langage philo pour qu'ils en retiennent au moins les fondamentaux  ?   

un petit outil de plus dans la boite à outils du gamin..

Pauvres gosses, merde, t'es impitoyable 

L’axiomatique d’Euclide est-elle vraie ? Ses axiomes sont-ils vrais ? Il allait de soi que l’axiomatique d’Euclide, pour chacun, était vraie bien qu’aucun de ses axiomes fût démontré. D’où tiraient-ils donc leur vérité ? Ces axiomes sont en fait en lien avec notre expérience spatiale du monde. Où nous voyons que l’expérience tout de même est bien là, même si le raisonnement permet de nous en affranchir : il y a correspondance entre l’énoncé verbal de l’axiome, la pensée verbale, analytique, et l’intuition, la pensée spatiale, celle dont la vérité surgit non d’un raisonnement mais d’une inspiration. C’est cette pensée intuitive, spatiale, qui confère sa vérité aux axiomes de la géométrie euclidienne, puisque la géométrie, à la différence de l’arithmétique, est directement en lien, par l’image, avec la pensée spatiale. Kant ira encore plus loin : l’expérience reste réelle même dans le seul raisonnement géométrique car ce raisonnement se déroule dans la forme a priori de l’intuition : l’espace. L’espace étant une forme a priori de notre « esprit » au sens global, nous continuons d’évoluer dans l’espace, par l’imagination reproductrice et créatrice, même lorsque nous raisonnons en nous affranchissant de l’expérience.

Il existait toutefois un postulat qui ne parvenait pas à entraîner une adhésion automatique à son caractère de vérité : le cinquième. Ce postulat était-il vrai par l’effet de la pensée spatiale, ou n’était-il vrai qu’en tant que produit d’un raisonnement ? En résumé s’agissait-il d’un axiome ou d’un théorème ? ( Postulat et axiome sont synonymes).

Il y a 2 heures, saxopap a dit :

espace euclidien= 2 dimensions

géométrie euclidienne...

il y a 1 minute, Annalevine a dit :

L’axiomatique d’Euclide est-elle vraie ? Ses axiomes sont-ils vrais ? Il allait de soi que l’axiomatique d’Euclide, pour chacun, était vraie bien qu’aucun de ses axiomes fût démontré. D’où tiraient-ils donc leur vérité ? Ces axiomes sont en fait en lien avec notre expérience spatiale du monde. Où nous voyons que l’expérience tout de même est bien là, même si le raisonnement permet de nous en affranchir : il y a correspondance entre l’énoncé verbal de l’axiome, la pensée verbale, analytique, et l’intuition, la pensée spatiale, celle dont la vérité surgit non d’un raisonnement mais d’une inspiration. C’est cette pensée intuitive, spatiale, qui confère sa vérité aux axiomes de la géométrie euclidienne, puisque la géométrie, à la différence de l’arithmétique, est directement en lien, par l’image, avec la pensée spatiale. Kant ira encore plus loin : l’expérience reste réelle même dans le seul raisonnement géométrique car ce raisonnement se déroule dans la forme a priori de l’intuition : l’espace. L’espace étant une forme a priori de notre « esprit » au sens global, nous continuons d’évoluer dans l’espace, par l’imagination reproductrice et créatrice, même lorsque nous raisonnons en nous affranchissant de l’expérience.

 

Il existait toutefois un postulat qui ne parvenait pas à entraîner une adhésion automatique à son caractère de vérité : le cinquième. Ce postulat était-il vrai par l’effet de la pensée spatiale, ou n’était-il vrai qu’en tant que produit d’un raisonnement ? En résumé s’agissait-il d’un axiome ou d’un théorème ? ( Postulat et axiome sont synonymes).

Bon....pas mal de choses a reprendre...

Fondamentalement, un postulat n'est pas un axiome

L'axiome est posé comme une proposition qui n'aura pas à être démontrée

Le postulat est un fondement qui est posé afin de construire les théorèmes de la théorie qui en sont les conséquences  mais sur lequel on pense qu'il pourra être l'objet d'une démonstration ultérieure par les axiomes de la théorie (on le pose en indecidable)

Si l'axiome d'Euclide a eté renomme en cinquième postulat d'Euclide, c'est justement parce que les 4 premiers axiomes sont des axiomes alors que ce 5eme élément est un indecidable 

Si tu le poses VRAI alors du débouches sur la géométrie euclidienne 

Si tu le poses FAUX alors tu débouches sur d'autres géométrie 

Je trouve intéressante ton idée de rapprocher les axiomes à un a priori de notre sensibilité mais ton développement est maladroit 

Comme on va pas tout mélanger commençons par clarifier l'axiome du postulat

il y a 33 minutes, Condorcet a dit :

géométrie euclidienne...

oui pardon , je restais dans la dimension plane...

il y a 6 minutes, saxopap a dit :

oui pardon 

T'etais pas si loin en acceptant la généralisation  à l'espace euclidien 

Disons que tu vois grand comme grand chef quivoitdepuislesommetdelacollinelesbisonsfutés qui malheureusement n'a laissé de traces que dans les histoires alternatives de Feynman

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_euclidien

il y a 1 minute, zenalpha a dit :

T'etais pas si loin en acceptant la généralisant à l'espace euclidien 

Disons que tu vois grand comme grand chef quivoitdepuislesommetdelacollinelesbisonsfutés qui malheureusement n'a pas laissé de traces que dans les histoires alternatives de Feynman

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_euclidien

Mdr

Pfff de toute façon je ne vous parlerai plus ni de mon pote Niels Bohr ni même de Ricardo Feynman, vous ne pourriez pas comprendre.

Ricardo ( avé l'assent) me téléphone souvent pour me demander mon avis. J'en parle avec mon aspirateur qui est de bon conseil puis je répond à Ricardo ( avé l'assent ). Mais bon je n'ai pas que ça à foutre ! 

il y a 4 minutes, saxopap a dit :

 J'en parle avec mon aspirateur qui est de bon conseil puis je répond à Ricardo ( avé l'assent ). Mais bon je n'ai pas que ça à foutre ! 

Arg tu as mangé le s de réponds avec l'aspirateur 

Avec du sel ou avec du sucre ?

il y a 1 minute, zenalpha a dit :

Arg tu as mangé le s de réponds avec l'aspirateur 

Avec du sel ou avec du sucre ?

 

Oui mais non.

( minute je cherche une excuse pourrite) 

En fait je met pas les s parce que tout le monde les met. C'est pas que ça lasse mais bon..seuls les poissons morts vont avec le courant !  

Proverbe de mon pote Géronimo .

Au fait, question subsidiaire:

Pourquoi notre philosophe de service @Annalevine   super drôle et éclairé se prend le chou avec une réflexion sur les Math au risque de dire des bêtises ( comme moi)  ? 

Perso je capte pas trop bien du tout le langage philo, et à peine un peu plus moins pas trop bien le langage math. 

Alors chapeau bas pour celui qui jongle avec les deux.

PS:   @zenalpha t'es hors concours, hors cases.   

Le cinquième postulat est ainsi libellé :

« Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. »

Que se passe-t-il si la somme des mesures des angles intérieurs en question est égale à deux droits ?

C’est ainsi que ce postulat a été récrit ainsi : « Par un point extérieur à une droite on ne peut mener qu’une parallèle à cette droite. »

Les Grecs ne pensaient pas que ce postulat allait de soi pour cette raison que nul ne peut savoir ce qui se passe à l’infini. A l’infini se pourrait-il que ces droites se rejoignent ? Nous voyons que ce postulat n’est pas directement reconnu comme vrai par la pensée spatiale, la pensée intuitive ; en conclusion les mathématiciens se demandèrent si ce postulat n’était pas un théorème et ils essayèrent de le démontrer à l’aide des autres axiomes d’Euclide. Au XIX siècle des mathématiciens (Gauss, Riemann notamment) démontrèrent qu’il était impossible de déduire l’axiome des parallèles à partir des autres axiomes.

Bien sûr il est possible alors de ranger l’énoncé d’Euclide comme postulat. Mais s’il ne s’agit pas d’un postulat, il s’avère donc possible que certaines propositions dans un système axiomatique donné, soient indémontrables et partant indécidables. La voie était tracée pour Gödel.

Mais mieux encore : n’était-il pas possible d’abandonner le postulat des parallèles d’Euclide et de le remplacer par un autre postulat ? Par exemple ne peut-on pas le remplacer par ce postulat : par un point extérieur à une droite il est impossible de tracer une parallèle à cette droite, ou encore : par un point extérieur à une droite, il est possible de tracer plusieurs parallèles à cette droite ?

En faisant cette substitution il était possible de créer une nouvelle axiomatique et une nouvelle géométrie, non euclidienne. Ce qui fut fait.

C’est ainsi qu’Ernest Nagel et James R Newman écrivent : « L’opinion courante selon laquelle les axiomes de la géométrie pouvaient être établis par l’apparente évidence qui les caractérise perdait ainsi tout fondement ».

La séparation état consommée entre l’analyse, la pensée séquentielle et temporelle, et la pensée spatiale, intuitive.

Mais cette révolution alla encore plus loin.

Les mêmes auteurs écrivent : « il apparut clairement que la tache véritable du mathématicien consiste à déduire des théorèmes à partir d’hypothèses admises à titre de postulats et que, en tant que telle, la question de savoir si les axiomes qu’il se donne sont effectivement vrais ne le concerne pas ».  Ce qui, à bien regarder de près, est énorme.

Mais alors si la vérité des axiomes fondamentaux est indifférente, qu’est-ce que qui n’est pas indifférent pour cette nouvelle mathématique ?

il y a 29 minutes, Annalevine a dit :

Les mêmes auteurs écrivent : « il apparut clairement que la tache véritable du mathématicien consiste à déduire des théorèmes à partir d’hypothèses admises à titre de postulats et que, en tant que telle, la question de savoir si les axiomes qu’il se donne sont effectivement vrais ne le concerne pas ».  Ce qui, à bien regarder de près, est énorme.

Marrant, de mon coté je trouve cela très banal.

Cela m'évoque une histoire drôle ou plutôt une boutade.

En l'honneur d'un centenaire de je ne sais plus quel grand physicien les enseignants du lycée montent un manip visant à mesurer avec une grande précision le temps pris par une pomme pour choir du pommier et calculer ainsi l'accélération de la pesanteur. Est-ce que de savants calculs vont prédire le résultat de l'expérience ? Les élèves sont invités à réaliser la construction théorique.

La différence entre un mathématicien et un physicien, c'est que si les savants calculs prédisent qu'une fois détachée, la pomme va s'envoler dans les cieux, le mathématicien s'exclamera avoir hâte qu'on lui montre un pommier alors que le physicien cherchera dans le papier où se trouve l'erreur de signe.