Limites

Bonjour,

J'ai quelques doutes sur mes réponses accordées à un exercice de calcul de limites, particulièrement le premier cas.
Je vous remercie pour toute aide que vous m'apporterez.

a) lim lorsque x tend vers + de x(lnx)² - x²

Voici ma réponse :

x(lnx)² - x² = x²((lnx)²/x - 1)
Puisque x est prépondérant sur lnx, il l'est également sur (lnx)², donc limite de (lnx)²/x lorsque x tend vers + = 0, donc limite de (lnx)²/x - 1 = -1
Au final, limite de x(lnx)² - x² lorsque x tend vers + = -

b) lim lorsque x tend vers + de exp(1/(1-exp(1/x)))

Voici ma réponse :
Limite de 1/x lorsque x tend vers + = 0
Limite de exp(y) lorsque y tend vers 0 = 1⁺ (donc dénominateur = 1-1⁺ = 0^-)
Limite de 1/w lorsque w tend vers 0^- = -
Limite de exp(z) lorsque z tend vers - = -
Donc limite de exp(1/(1-exp(1/x))) lorsque x tend vers + = +

Est-ce correct ?

il y a 1 minute, Aurélien Bouillod a dit :

Bonjour,

J'ai quelques doutes sur mes réponses accordées à un exercice de calcul de limites, particulièrement le premier cas.
Je vous remercie pour toute aide que vous m'apporterez.

a) lim lorsque x tend vers + de x(lnx)² - x²

Voici ma réponse :

x(lnx)² - x² = x²((lnx)²/x - 1)
Puisque x est prépondérant sur lnx, il l'est également sur (lnx)², donc limite de (lnx)²/x lorsque x tend vers + = 0, donc limite de (lnx)²/x - 1 = -1
Au final, limite de x(lnx)² - x² lorsque x tend vers + = -

b) lim lorsque x tend vers + de exp(1/(1-exp(1/x)))

Voici ma réponse :
Limite de 1/x lorsque x tend vers + = 0
Limite de exp(y) lorsque y tend vers 0 = 1⁺ (donc dénominateur = 1-1⁺ = 0^-)
Limite de 1/w lorsque w tend vers 0^- = -
Limite de exp(z) lorsque z tend vers - = -
Donc limite de exp(1/(1-exp(1/x))) lorsque x tend vers + = +

Est-ce correct ?

  Dis donc Aurélien quand t' auras fini de parler un mélange de chinois et d' hébreu ancien peut être que je comprendrai ce que tu nous dis là .

il y a 10 minutes, Maurice Clampin a dit :

  Dis donc Aurélien quand t' auras fini de parler un mélange de chinois et d' hébreu ancien peut être que je comprendrai ce que tu nous dis là .

Allons, un grand garçon comme vous, c' est ce que l' on appelle traditionnellement les limites de l' exercice...

Certes... Mais encore ?

Oui, c'est juste. Mais tu sais que tu as des forums dédiés aux maths?

Il y a 2 heures, Maurice Clampin a dit :

  Dis donc Aurélien quand t' auras fini de parler un mélange de chinois et d' hébreu ancien peut être que je comprendrai ce que tu nous dis là .

C'est pas parce que tu es limité que tu dois le faire savoir à tout le monde. Ceci dit chacun de nous est infiniment limité. Moi c'est ma flemme qui est sans limites.

J'ai été prof de maths dans le vieux temps (1973), je suis un peu triste d'avoir oublié plein de trucs et j'ai peu de courage pour me replonger dans les cours

Avec ces réserves, pour moi

le résultat du a) est exact, je suis moins convaincu par la rigueur de la démonstration

le b) me parait correct aussi bien en termes de résultat que de démonstration @Aurélien Bouillod

PS: j'espère que c'est un pseudo et pas ton nom. C'est très exposé de fournir son identité à toutes sortes d'inconnus cachés sous un pseudo

"L'idée de l'Indéfini est l'idée d'une chose dont nous ne voyons point les bornes. L'idée de l'Infini est une chose qu'on voit n'avoir point de bornes." Montesquieu

Il y a 16 heures, Aurélien Bouillod a dit :

Bonjour,

J'ai quelques doutes sur mes réponses accordées à un exercice de calcul de limites, particulièrement le premier cas.
Je vous remercie pour toute aide que vous m'apporterez.

a) lim lorsque x tend vers + de x(lnx)² - x²

Voici ma réponse :

x(lnx)² - x² = x²((lnx)²/x - 1)
Puisque x est prépondérant sur lnx, il l'est également sur (lnx)², donc limite de (lnx)²/x lorsque x tend vers + = 0, donc limite de (lnx)²/x - 1 = -1
Au final, limite de x(lnx)² - x² lorsque x tend vers + = -

b) lim lorsque x tend vers + de exp(1/(1-exp(1/x)))

Voici ma réponse :
Limite de 1/x lorsque x tend vers + = 0
Limite de exp(y) lorsque y tend vers 0 = 1⁺ (donc dénominateur = 1-1⁺ = 0^-)
Limite de 1/w lorsque w tend vers 0^- = -
Limite de exp(z) lorsque z tend vers - = -
Donc limite de exp(1/(1-exp(1/x))) lorsque x tend vers + = +

Est-ce correct ?

Vous faites une erreur dans le b).

limite de exp(z)lorsque z tend vers - l’infini égale zéro et non pas - l’infini.

Pour éviter ce type d’erreur je recommande aux élèves de faire un petit graphique représentant la fonction exponentielle. Ce secours visuel évite des erreurs.

Une autre méthode pour ne pas se tromper ( dans le cas où vous n’auriez pas encore étudié la représentation géométrique de la fonction exp.)

Cette fonction, exp (x) est toujours positive. Donc quelle que soit la valeur de la limite vers laquelle tend la variable x, exp (x) sera toujours positive. Donc quand x tend vers - l’infini, exp (x) ne peut pas tendre vers un nombre négatif ni vers - l’infini.

D'accord, merci.

Je reprends donc le b) :

Limite de 1/x lorsque x tend vers + = 0
Limite de exp(y) lorsque y tend vers 0 = 1⁺ (donc dénominateur = 1-1⁺ = 0^-)
Limite de 1/w lorsque w tend vers 0^- = -
Limite de exp(z) lorsque z tend vers - = 0
Donc limite de exp(1/(1-exp(1/x))) lorsque x tend vers + = 0

Ai-je juste pour le a) ?
 

il y a 38 minutes, Aurélien Bouillod a dit :

D'accord, merci.

Je reprends donc le b) :

Limite de 1/x lorsque x tend vers + = 0
Limite de exp(y) lorsque y tend vers 0 = 1⁺ (donc dénominateur = 1-1⁺ = 0^-)
Limite de 1/w lorsque w tend vers 0^- = -
Limite de exp(z) lorsque z tend vers - = 0
Donc limite de exp(1/(1-exp(1/x))) lorsque x tend vers + = 0

Ai-je juste pour le a) ?
 

Oui le a) est bon, et maintenant le b ) aussi.

Bonne soirée.

Très bien, merci beaucoup pour vos retours.

Bonne soirée à vous également !