Les formules a la John Machin permettant de calculer pi

(atg=arctan)

On sait que pi/4 =atg(1)=4atg(1/5)-atg(1/239)   John Machin

Et on appelle formule a la J M celle de la forme pi/4 = a*atg(1/n1)+b*atg(1/n2)+c*atg(1/n3)........

On a en outre: atg(a)+atg(b)= atg ( (a+b )/(1-ab) )  et          atg(1/n)= atg(1/(n+p) ) + atg( p/(n^2 +n*p+1) )  ( remplacer p par la valeur 1 )

On peut aussi voir que la formule de Machin peut s'écrire dans les complexes comme ceci :   pi/4= argument de : ( 5+i)^4 * (239+i)^-1

Gauss arrive a trouver : pi/4=12*atg(1/18)+8*atg(1/57)-5*atg(1/239) pour ce faire il passe par:

atg(1/5)=atg(17/331) + atg (123/836)   Comment trouve t-il cela ?

Et atg(123/836)=2*atg(3/41)          ?  Encore une énigme

atg( 3/41)=atg(1/18)+atg(1/57)      ?

atg(17/331)=atg(1/18)-atg(1/239)  ?

Extralove a piraté ton compte ?   

Non ça fait un bout de temps que je suis dessus mais je sèche.

Il y a 1 heure, hell-spawn a dit :

Non ça fait un bout de temps que je suis dessus mais je sèche.

ça tombe bien : la météo annonce une fin de mois de mai plutôt sèche !

Il y a 12 heures, hell-spawn a dit :

Non ça fait un bout de temps que je suis dessus mais je sèche.

Et a te sert à quoi ?

je vois pas le virus là dedans

Il y a 13 heures, hell-spawn a dit :

(atg=arctan)

On sait que pi/4 =atg(1)=4atg(1/5)-atg(1/239)   John Machin

Et on appelle formule a la J M celle de la forme pi/4 = a*atg(1/n1)+b*atg(1/n2)+c*atg(1/n3)........

On a en outre: atg(a)+atg(b)= atg ( (a+b )/(1-ab) )  et          atg(1/n)= atg(1/(n+p) ) + atg( p/(n^2 +n*p+1) )  ( remplacer p par la valeur 1 )

On peut aussi voir que la formule de Machin peut s'écrire dans les complexes comme ceci :   pi/4= argument de : ( 5+i)^4 * (239+i)^-1

Gauss arrive a trouver : pi/4=12*atg(1/18)+8*atg(1/57)-5*atg(1/239) pour ce faire il passe par:

 

atg(1/5)=atg(17/331) + atg (123/836)   Comment trouve t-il cela ?

Et atg(123/836)=2*atg(3/41)          ?  Encore une énigme

atg( 3/41)=atg(1/18)+atg(1/57)      ? 

atg(17/331)=atg(1/18)-atg(1/239)  ?

bonjour,

je vais soumettre ceci à ma voisine, prof de math...histoire de voir ce que cela veut dire, car au début j'ai bien cru que c'était le pilote de ma carte graphique qui faisait des siennes !

bon courage .

Encore un vieux plan drague: La formule de maths.

il y a une heure, Fuck Them All a dit :

Encore un vieux plan drague: La formule de maths.

Ah bon ?   ça eut marché ?

Il y a 1 heure, pic et repic a dit :

bonjour,

je vais soumettre ceci à ma voisine, prof de math...histoire de voir ce que cela veut dire, car au début j'ai bien cru que c'était le pilote de ma carte graphique qui faisait des siennes !

bon courage .

Merci.

C'est en lisant le livre " le fascinant nombre pi" que j'ai découvert ce truc la.

Il y a 15 heures, hell-spawn a dit :

(atg=arctan)

On sait que pi/4 =atg(1)=4atg(1/5)-atg(1/239)   John Machin

Et on appelle formule a la J M celle de la forme pi/4 = a*atg(1/n1)+b*atg(1/n2)+c*atg(1/n3)........

On a en outre: atg(a)+atg(b)= atg ( (a+b )/(1-ab) )  et          atg(1/n)= atg(1/(n+p) ) + atg( p/(n^2 +n*p+1) )  ( remplacer p par la valeur 1 )

On peut aussi voir que la formule de Machin peut s'écrire dans les complexes comme ceci :   pi/4= argument de : ( 5+i)^4 * (239+i)^-1

Gauss arrive a trouver : pi/4=12*atg(1/18)+8*atg(1/57)-5*atg(1/239) pour ce faire il passe par:

 

atg(1/5)=atg(17/331) + atg (123/836)   Comment trouve t-il cela ?

Et atg(123/836)=2*atg(3/41)          ?  Encore une énigme

atg( 3/41)=atg(1/18)+atg(1/57)      ?

atg(17/331)=atg(1/18)-atg(1/239)  ?

 

Tu as essayé avec atg(a)+arg(b) = atg(a+b/1-ab) ?

https://www.maths-forum.com/lycee/demontrez-que-arctan-arctan-arctan-t132439.html

il y a 3 minutes, DroitDeRéponse a dit :

Tu as essayé avec atg(a)+arg(b) = atg(a+b/1-ab) ?

https://www.maths-forum.com/lycee/demontrez-que-arctan-arctan-arctan-t132439.html

Oui bien sur, je le dit dans l'énoncé.

il y a 17 minutes, hell-spawn a dit :

Oui bien sur, je le dit dans l'énoncé.

Ben tu l’appliques et tu as ça :

atg(1/5)=atg(17/331) + atg (123/836)   Comment trouve t-il cela ?

Il y a 2 heures, DroitDeRéponse a dit :

Ben tu l’appliques et tu as ça :

 

 

atg(1/5)=atg(17/331) + atg (123/836)   Comment trouve t-il cela ?

Il est facile de démontrer que les formules de Gauss sont vraies mais ma question portait sur comment parvient-il a les trouver ?

Il y a 4 heures, hell-spawn a dit :

Il est facile de démontrer que les formules de Gauss sont vraies mais ma question portait sur comment parvient-il a les trouver ?

 

Il y a 4 heures, hell-spawn a dit :

Il est facile de démontrer que les formules de Gauss sont vraies mais ma question portait sur comment parvient-il a les trouver ?

 

Là c’est de l’histoire et plus des maths 

Machin’s formula was explained above, but regarding its derivation, just how the formula was discovered seems to be unknown. Perhaps Machin’s formula was discovered by accident. Or perhaps it was obtained by building on a mathematical concept. 
 

http://personalpages.to.infn.it/~zaninett/pdf/machin.pdf

En fouillant un peu on trouve plusieurs démo mais ça ne te dit pas comment lui l’a trouvé. En tout ça Machin était mort quand Gauss fait des maths , donc ce n’est pas par cette voie .

Il y a 13 heures, DroitDeRéponse a dit :

Là c’est de l’histoire et plus des maths 

Comment ça ce n'est pas des maths !?  La compréhension d'un  raisonnement  pour arriver a un résultat c'est le coeur des mathématiques sinon on est seulement dans l'application.

Gauss et d'autres ont essayé de trouver des formules plus élaborées a partir de la formule de John Machin et y sont arrivés ce qui a permis de calculer des milliards de décimales de pi jusqu'a nos jours.

Il y a 4 heures, hell-spawn a dit :

Comment ça ce n'est pas des maths !?  La compréhension d'un  raisonnement  pour arriver a un résultat c'est le coeur des mathématiques sinon on est seulement dans l'application.

Gauss et d'autres ont essayé de trouver des formules plus élaborées a partir de la formule de John Machin et y sont arrivés ce qui a permis de calculer des milliards de décimales de pi jusqu'a nos jours.

Tu m’as mal compris . La question de savoir comment Machin est arrivé au résultat ne relève pas des maths , mais de l’histoire des maths et de ce que j’ai pu lire on ne sait pas .....

Il y a plusieurs démos ca ne répond pas à ta question comment il y est arrivé lui .... 

Par exemple On y arrive par les fonctions complexes de Gauss , mais peu de chance que Machin qui était mort quand Gauss étudiait les fonctions holomorphes les ait utilisées . Mac Laurin par contre peut être ?

Il y a 2 heures, DroitDeRéponse a dit :

Tu m’as mal compris . La question de savoir comment Machin est arrivé au résultat ne relève pas des maths , mais de l’histoire des maths et de ce que j’ai pu lire on ne sait pas .....

Il y a plusieurs démos ca ne répond pas à ta question comment il y est arrivé lui .... 

Par exemple On y arrive par les fonctions complexes de Gauss , mais peu de chance que Machin qui était mort quand Gauss étudiait les fonctions holomorphes les ait utilisées . Mac Laurin par contre peut être ?

D'accord mais ma question portait sur Gauss, comment il trouve sa formule a la John Machin a partir de l'originale ?

il y a 56 minutes, hell-spawn a dit :

D'accord mais ma question portait sur Gauss, comment il trouve sa formule a la John Machin a partir de l'originale ?

https://books.google.com/books/about/L_analyse_au_fil_de_l_histoire.html?hl=fr&id=aj6WpC1g_tQC

Tu as le calcul itératif de Machin et ensuite la référence sur le calcul de Gauss Werke vol 2 p477-502 . 
 

Sinon on trouve tout un tas de démo mais Gauss ne cherchait pas pi quand il est tombé dessus donc on trouve des démos mais pas celle de gauss . 
 

Le pdf se trouve en ligne . Mais sur smartphone pas terrible , j’essaie à l’occase , si tu trouves avant moi .... merci de poster le lien 

Bonjour,

On trouve beaucoup de liens sur la question. Ces relations semblent d'origine géométrique:

La Formule de Machin
http://sorciersdesalem.math.cnrs.fr/Autour_de_pi/formule_de_Machin.html

Problème  Enoncé Les formules à la John Machin
https://www.mathprepa.fr/wp-content/uploads/sujets/dmana1e/www.mathprepa.fr-dm-formules_a_la_John-Machin-e.pdf

Pour les autres aspects sur ce sujet:
Formule de Machin
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Machin

Calcul du nombre π selon Machin
http://serge.mehl.free.fr/anx/pi_machin.html

La formule de Machin
https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/dl/node15.html

L'univers de Pi
http://www.pi314.net/fr/machin.php

0 < Arctan(1/5)=Arctan(17/331) + Arctan (123/836)   Comment trouve t-il cela ?

Il s’agit en soi d’un simple problème d’arthmétique, admettent un nombre illimité de solutions.

En partant en effet de la relation générale

Arctan(1/5) = Arctan(m/n) + Arctan(p/q) , avec

0 < m < 5n , 0 < p < 5q (contraintes découlant de l’énoncé),

n < q < 1000 , Pgcd(m, n) = 1 , Pgcd(p, q) = 1 (conditions balisant la recherche des quadruplets d’entiers),

on obtient en effet en passant à la tangente :

1/5 = (m/n + p/q)/(1 – mp/nq) = (mq + np)/(nq – mp) ,

d’où : nq – mp = 5(mq + np) .

Un inventaire programmé des solutions fait apparaître plusieurs milliers de solutions dans le cadre que l’on s’est donné :

On remarque cependant :

a) que les formules évoquées se rattachent à la construction de triangles rectangles, et

b) que l’un des doublets en cause (123, 836) appartient à un triplet pythagoricien (123² + 836² = 845²) ;

on peut donc restreindre la recherche aux quadruplets d’entiers (m, n, p, q) tels que (p² + q²) corresponde au carré d’un entier.

On observe alors une réduction drastique du nombre de solutions (pour la même limitation arbitraire  q ≤ 1000) :

Certaines des solutions trouvées devraient pouvoir se traduire par une construction géométrique, à l’aide de points à coordonnées entières.