Le plus petit nombre strictement positif (ε > 0)

Salut,

Je me demande comment peut-on accéder au nombre réel ε qui soit le plus proche possible de zéro sans être égal à zéro.

Existe-t-il ? Si oui, il devrait avoir une tête comme ε = 0,......0001 ?

Je ne comprends pas ta question. Il n'existe pas de nombre reel le plus proche de zero et non egal a zero.

à l’instant, Virtuose_en_carnage a dit :

Je ne comprends pas ta question. Il n'existe pas de nombre reel le plus proche de zero et non egal a zero.

ah d'accord mais pq ?

Supposons qu'il existe un nombre ɛ reel qui soit le reel le plus proche de zero et non egal a zero. Alors on a que ɛ/2 est un nombre reel plus petit que  ɛ, il est toujours superieur a zero et ca contredit le fait qu'il existe un nombre reel le plus proche de zero et non egal a zero.

Bonjour.

Il me semble qu'on peut définir cet epsilon : "epsilon est le plus petit nombre réel différent de zéro".

Par contre, on ne peut pas l'exhiber.

Ce qui signifie que pour un mathématicien classique, epsilon existe (exister par le fait qu'il est descriptible) alors que pour un intuitionniste, il n'existe pas (car pour un intuitionniste, n'existe que ce qui est montrable). C'est rigolo, non ?

A+

il y a 44 minutes, Spontzy a dit :

Bonjour.

Il me semble qu'on peut définir cet epsilon : "epsilon est le plus petit nombre réel différent de zéro".

Par contre, on ne peut pas l'exhiber.

Ce qui signifie que pour un mathématicien classique, epsilon existe (exister par le fait qu'il est descriptible) alors que pour un intuitionniste, il n'existe pas (car pour un intuitionniste, n'existe que ce qui est montrable). C'est rigolo, non ?

A+

Je serais curieux que tu prouves comment tu peux definir un nombre qui n'existe pas.

"Le sage a un comportement exponentiel avec les femmes. Il s'en approche toujours davantage mais n'y touche jamais." JJ Rousseau

Il y a 4 heures, Virtuose_en_carnage a dit :

Je serais curieux que tu prouves comment tu peux definir un nombre qui n'existe pas.

Je ne crois pas que ce soit prouvable de "définir un nombre qui n'existe pas". Par contre, je crois que ma définition d'epsilon est tout à fait valable (on pourrait la reformuler plus dans le langage des maths, un truc du genre "soit epsilon un nombre réel strictement positif tel quel que soit y réel strictement positif, on a toujours 0<epsilon<y).

Je ne vois rien de "faux" dans la définition. Je vois par contre qu'on ne peut pas donner de valeur à epsilon qui satisfasse la définition. Du coup, on peut dire qu'epsilon n'existe pas (si exister veut dire être montrable = intuitionnisme) ou qu'il existe (si exister veut dire avoir une définition).

Me trompe-je (c'est fort possible vu mon niveau en math) ?

A+

il y a 4 minutes, Spontzy a dit :

Je ne crois pas que ce soit prouvable de "définir un nombre qui n'existe pas". Par contre, je crois que ma définition d'epsilon est tout à fait valable (on pourrait la reformuler plus dans le langage des maths, un truc du genre "soit epsilon un nombre réel strictement positif tel quel que soit y réel strictement positif, on a toujours 0<epsilon<y).

Je ne vois rien de "faux" dans la définition. Je vois par contre qu'on ne peut pas donner de valeur à epsilon qui satisfasse la définition. Du coup, on peut dire qu'epsilon n'existe pas (si exister veut dire être montrable = intuitionnisme) ou qu'il existe (si exister veut dire avoir une définition).

Me trompe-je (c'est fort possible vu mon niveau en math) ?

A+

 

Quelques soit y = epsilon / 2 ? 

il y a 9 minutes, Spontzy a dit :

Je ne crois pas que ce soit prouvable de "définir un nombre qui n'existe pas". Par contre, je crois que ma définition d'epsilon est tout à fait valable (on pourrait la reformuler plus dans le langage des maths, un truc du genre "soit epsilon un nombre réel strictement positif tel quel que soit y réel strictement positif, on a toujours 0<epsilon<y).

Je ne vois rien de "faux" dans la définition. Je vois par contre qu'on ne peut pas donner de valeur à epsilon qui satisfasse la définition. Du coup, on peut dire qu'epsilon n'existe pas (si exister veut dire être montrable = intuitionnisme) ou qu'il existe (si exister veut dire avoir une définition).

Me trompe-je (c'est fort possible vu mon niveau en math) ?

A+

 

J'avais essayé comme ça sauf que en théorie tu peux prendre y = epsilon et te retrouver avec epsilon < epsilon, donc que epsilon n'est pas égal à lui-même. En fait, si epsilon existe, il n'appartient  à l'ensemble des réels et si on décidait de l'ajouter, il faudrait redéfinir toutes les opérations avec ce "nouvel objet epsilon", en particulier il faudrait redéfinir l'égalité, l'inégalité, la somme, etc.

il y a 1 minute, Niou a dit :

J'avais essayé comme ça sauf que en théorie tu peux prendre y = epsilon et te retrouver avec epsilon < epsilon, donc que epsilon n'est pas égal à lui-même. En fait, si epsilon existe, il n'appartient  à l'ensemble des réels et si on décidait de l'ajouter, il faudrait redéfinir toutes les opérations avec ce "nouvel objet epsilon", en particulier il faudrait redéfinir l'égalité, l'inégalité, la somme, etc.

Je dis aussi qu'il n'est pas possible de le trouver. Je dis pourtant qu'on peut le définir. Et je pense l'avoir fait. Définissable et existant ne sont pas synonymes.

A+

il y a 3 minutes, Spontzy a dit :

Je dis aussi qu'il n'est pas possible de le trouver. Je dis pourtant qu'on peut le définir. Et je pense l'avoir fait. Définissable et existant ne sont pas synonymes.

Quelle différence fais-tu ?

il y a 21 minutes, Spontzy a dit :

Je ne crois pas que ce soit prouvable de "définir un nombre qui n'existe pas". Par contre, je crois que ma définition d'epsilon est tout à fait valable (on pourrait la reformuler plus dans le langage des maths, un truc du genre "soit epsilon un nombre réel strictement positif tel quel que soit y réel strictement positif, on a toujours 0<epsilon<y).

Je ne vois rien de "faux" dans la définition. Je vois par contre qu'on ne peut pas donner de valeur à epsilon qui satisfasse la définition. Du coup, on peut dire qu'epsilon n'existe pas (si exister veut dire être montrable = intuitionnisme) ou qu'il existe (si exister veut dire avoir une définition).

Me trompe-je (c'est fort possible vu mon niveau en math) ?

A+

 

Je ne suis pas un grand logicien et un Dieu vivant de la theorie des ensembles mais ce que tu me dis me semble abherant. Tu as tout a fait le droit de definir l'assertion "soit epsilon un nombre réel strictement positif tel quel que soit y réel strictement positif, on a toujours 0<epsilon<y). ". Mais ca ne definit en rien ton epsilon vu que ton epsilon n'existe pas. Ton assertion est juste fausse dans la theorie des ensembles.

il y a 2 minutes, Virtuose_en_carnage a dit :

Ton assertion est juste fausse dans la theorie des ensembles.

Je n'écrit pas une proposition. Une définition n'est pas une proposition.

"Soit y un réel" n'est pas une proposition vraie ou fausse. C'est une définition.

"Soit y un réel strictement négatif" est également une définition. Ce n'est ni vrai ni faux.

"Soit y un réel strictement négatif et strictement positif" est également une définition. Ce n'est ni vrai ni faux.

La proposition "y existe" avec comme définition de y la seconde version est une proposition vraie.

La proposition "y existe" avec comme définition de y la troisièmee version est une proposition fausse.

Sauf erreur de ma part.

Il y a 8 heures, Virtuose_en_carnage a dit :

Je serais curieux que tu prouves comment tu peux definir un nombre qui n'existe pas.

Spontzy n'a pas dit que son epsilon n'existait pas. Bien au contraire, Il a seulement précisé qu'un intuitionniste ne pouvait pas l' appréhender. Ne serait-ce que parce que (je le cite) epsilon / 2 existe lui aussi et qu'il est encore moins intuitif.

Pour un mathématicien un nombre aussi petit soit-il existe toujours. Pas pour un physicien.

Il y a 9 heures, Spontzy a dit :

epsilon est le plus petit nombre réel différent de zéro".

bonsoir

peut on dire "epsilon est le plus grand nombre réel différent de 1"?

il y a 35 minutes, azad2B a dit :

Spontzy n'a pas dit que son epsilon n'existait pas. Bien au contraire, Il a seulement précisé qu'un intuitionniste ne pouvait pas l' appréhender. Ne serait-ce que parce que (je le cite) epsilon / 2 existe lui aussi et qu'il est encore moins intuitif.

Pour un mathématicien un nombre aussi petit soit-il existe toujours. Pas pour un physicien.

Oui, en physique c'est pas compliqué. Pouvoir de résolution, plus petite trace détectable, plus petit mesurable, etc.

Mais ce n'est pas la question car parait-il on est en maths.

Et là je ne comprend pas car sur R, on a des propriétés mais aussi et surtout une axiomatique qui s'exprime par des équations (genre un corps totalement ordonné et archimédien). Ce qui se vérifient avec une notation, donc en exprimant les nombres vérifiant les propriétés. Donc on vérifierait qu'il contredit certaines équations de l'axiomatique. Bon, si on n'a pas le droit de faire ça je pige pas. Soit à créer un nouveau R (prime) avec un nouvel axiome : ce truc existe aussi.

Ce qui me convient aussi, sauf que si c'est la seule solution (R prime) pour le ranger quelque part, ça revient à dire qu'il n'existe pas dans R.

il y a 13 minutes, mic1 a dit :

bonsoir

peut on dire "epsilon est le plus grand nombre réel différent de 1"?

S'il est le plus grand nombre réel, il est forcément différent de 1.

Pardon

il y a 18 minutes, Niou a dit :

S'il est le plus grand nombre réel, il est forcément différent de 1.

il y a 32 minutes, mic1 a dit :

peut on dire "epsilon est le plus grand nombre réel différent de 1"?

peut on dire "epsilon est le plus grand nombre réel différent de >1"?

Il y a 10 heures, Spontzy a dit :

Bonjour.

Il me semble qu'on peut définir cet epsilon : "epsilon est le plus petit nombre réel différent de zéro".

Non il n’existe pas . Donc on ne peut pas . Bonne soirée