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Comparaison des nombres réels


InstantEternité

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Membre, 43ans Posté(e)
InstantEternité Membre 1 134 messages
Baby Forumeur‚ 43ans‚
Posté(e)

Bonjour,

Ma question est simple (un peu philosophique) :

Comment peut-on par exemple considérer que "4.7" est supérieur à "3.3" alors qu'entre ces deux nombres, sur l'ensemble des nombres réels ils en existe une infinité de nombre réels qui chacun d'entre eux est aussi infini.

En gros, comment peut-on comparer deux nombres réels alors qu'entre les deux il existe une infinité de nombre infini : ne serions nous pas plutôt dans un cas indéterminé ?!

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Membre, Talon 1, 79ans Posté(e)
Talon 1 Membre 24 180 messages
79ans‚ Talon 1,
Posté(e)

Dans quel sens est la progression? La flèche d'un archer parcours la moitié du chemin pour atteindre la cible. Quand elle a parcouru la moitié, elle va encore parcourir la moitié de la moitié restante, et ainsi de suite. Combien de tirs pour atteindre la cible ?

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Membre, 107ans Posté(e)
bondgers Membre 1 508 messages
Baby Forumeur‚ 107ans‚
Posté(e)
il y a une heure, InstantEternité a dit :

chacun d'entre eux est aussi infini

Non, un nombre réel n'est jamais infini, c'est juste le nombre de ses chiffres après la virgule qui peut être infini.

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Membre, 43ans Posté(e)
InstantEternité Membre 1 134 messages
Baby Forumeur‚ 43ans‚
Posté(e)
il y a 10 minutes, Talon 1 a dit :

Dans quel sens est la progression? La flèche d'un archer parcours la moitié du chemin pour atteindre la cible. Quand elle a parcouru la moitié, elle va encore parcourir la moitié de la moitié restante, et ainsi de suite. Combien de tirs pour atteindre la cible ?

Vous parlez de l'infiniment petit ?

il y a 4 minutes, bondgers a dit :

Non, un nombre réel n'est jamais infini, c'est juste le nombre de ses chiffres après la virgule qui peut être infini.

Comment ça se fait ? 

Autrement dit vous insinuez qu'un nombre réel bien qu'il ne soit pas infini il n'est pas possible pour nous humain d'en faire une représentation finie ?

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Membre, 107ans Posté(e)
bondgers Membre 1 508 messages
Baby Forumeur‚ 107ans‚
Posté(e)
il y a 13 minutes, InstantEternité a dit :

Comment ça se fait ? 

Autrement dit vous insinuez qu'un nombre réel bien qu'il ne soit pas infini il n'est pas possible pour nous humain d'en faire une représentation finie ? 

Oui, car les valeurs dépendent de la base utilisée (base 10, base 3, base 2... ) et aussi des unités choisies. Par ex si tu prends un truc qui mesure un mètre, et que tu le coupes en 3, chaque morceau mesurera 0.333... mètre, avec une infinité de décimales. Maintenant si tu redéfinis la valeur du mètre et que tu décides que ce morceau est le mètre étalon, alors il mesurera désormais... 1 mètre tout rond. Ou alors si tu passes juste en base 3, la valeur .3333... se transforme en 1 ;)

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Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 484 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)
Il y a 1 heure, InstantEternité a dit :

Bonjour,

Ma question est simple (un peu philosophique) :

Comment peut-on par exemple considérer que "4.7" est supérieur à "3.3" alors qu'entre ces deux nombres, sur l'ensemble des nombres réels ils en existe une infinité de nombre réels qui chacun d'entre eux est aussi infini.

En gros, comment peut-on comparer deux nombres réels alors qu'entre les deux il existe une infinité de nombre infini : ne serions nous pas plutôt dans un cas indéterminé ?!

Le mot magique concernant la mesure des infinis est bijection et son grand maître incantatoire est Cantor.

Ne pas confondre la valeur d'un nombre et le cardinal de l'ensemble qui le contient.

Et donc par exemple 1 reste < à 2 dans N alors que l'ensemble des nombres pairs a le même cardinal que l'ensemble des nombres impaires et tous les deux ont le même cardinal que l'ensemble de tous les nombres dans N (qui pourtant les contient)

Pourquoi ? Parce qu'à 1 seul élément d'un ensemble tu peux faire correspondre 1 seul élément d'un autre ensemble et réciproquement 

Etudie l'hotel de hilbert....

Par ailleurs l'ensemble R des réels est un infini plus grand que l'infini des entiers naturels (la bijection est impossible)

Et ton problème est exactement le paradoxe de Zénon posé dans tes propres mots

Mais une suite infinie de nombres peut converger vers un nombre fini....

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Membre, 43ans Posté(e)
InstantEternité Membre 1 134 messages
Baby Forumeur‚ 43ans‚
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il y a 45 minutes, bondgers a dit :

Oui, car les valeurs dépendent de la base utilisée (base 10, base 3, base 2... ) et aussi des unités choisies. Par ex si tu prends un truc qui mesure un mètre, et que tu le coupes en 3, chaque morceau mesurera 0.333... mètre, avec une infinité de décimales. Maintenant si tu redéfinis la valeur du mètre et que tu décides que ce morceau est le mètre étalon, alors il mesurera désormais... 1 mètre tout rond. Ou alors si tu passes juste en base 3, la valeur .3333... se transforme en 1 ;)

D'accord, donc tout est une question de base choisie. Alors je me pose la question quelle est la base la plus "naturelle" pour l'humain... J'ai tendance à penser que c'est bizarrement la base 2 : "0 ou 1" = "être ou ne pas être"... puisque apparemment avec l'informatique (base 2) on refait le monde (virtuel bien sûr) pourquoi ne pas faire des maths en base 2 ?! :)

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Membre, 43ans Posté(e)
InstantEternité Membre 1 134 messages
Baby Forumeur‚ 43ans‚
Posté(e)
il y a 28 minutes, zenalpha a dit :

Le mot magique concernant la mesure des infinis est bijection et son grand maître incantatoire est Cantor.

Ne pas confondre la valeur d'un nombre et le cardinal de l'ensemble qui le contient.

Et donc par exemple 1 reste < à 2 dans N alors que l'ensemble des nombres pairs a le même cardinal que l'ensemble des nombres impaires et tous les deux ont le même cardinal que l'ensemble de tous les nombres dans N (qui pourtant les contient)

Pourquoi ? Parce qu'à 1 seul élément d'un ensemble tu peux faire correspondre 1 seul élément d'un autre ensemble et réciproquement 

Etudie l'hotel de hilbert....

Par ailleurs l'ensemble R des réels est un infini plus grand que l'infini des entiers naturels (la bijection est impossible)

Et ton problème est exactement le paradoxe de Zénon posé dans tes propres mots

Mais une suite infinie de nombres peut converger vers un nombre fini....

C'est bizarre car effectivement le paradoxe de Zénon parle de l'infiniment petit et d'après la physique quantique l'infiniment petit n'existe pas, donc le paradoxe de Zénon est résolu.

Mais le problème que je soulève concerne au contraire l'infiniment grand, est-ce qu'il faut considérer que l'infiniment grand n'existe pas non plus ? Par exemple il est vrai que la célérité ne peut pas être dépassée (en temps normal :) )

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Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 484 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)
à l’instant, InstantEternité a dit :

C'est bizarre car effectivement le paradoxe de Zénon parle de l'infiniment petit et d'après la physique quantique l'infiniment petit n'existe pas, donc le paradoxe de Zénon est résolu.

Mais le problème que je soulève concerne au contraire l'infiniment grand, est-ce qu'il faut considérer que l'infiniment grand n'existe pas non plus ? Par exemple il est vrai que la célérité ne peut pas être dépassée (en temps normal :) )

Ce qui a resolu le paradoxe n'est pas le caractère discret ou discontinu de la physique, c'est une résolution d'ordre mathématique qui a été apportée 

J'arrive à la gare

J'y reviendrai 

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Membre, 107ans Posté(e)
bondgers Membre 1 508 messages
Baby Forumeur‚ 107ans‚
Posté(e)
il y a 34 minutes, InstantEternité a dit :

D'accord, donc tout est une question de base choisie. Alors je me pose la question quelle est la base la plus "naturelle" pour l'humain... J'ai tendance à penser que c'est bizarrement la base 2 : "0 ou 1" = "être ou ne pas être"... puisque apparemment avec l'informatique (base 2) on refait le monde (virtuel bien sûr) pourquoi ne pas faire des maths en base 2 ?! :)

C'est sûr que si c'était à refaire on choisirait plutôt la base 8 ou 16, car compatible avec l'informatique. Mais voilà, les hommes ont appris à compter avec leurs 10 doigts, et donc on a compté en base 10. Mais si on n'avait eu que 8 doigts on aurait sans doute compté en base 8. Comme quoi il n'a pas fallu grand chose ;)

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Membre, Le prendre au sérieux, nuit gravement à la santé, Posté(e)
azad2B Membre 5 932 messages
Le prendre au sérieux, nuit gravement à la santé,
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Il y a 2 heures, InstantEternité a dit :

Comment ça se fait ? 

Autrement dit vous insinuez qu'un nombre réel bien qu'il ne soit pas infini il n'est pas possible pour nous humain d'en faire une représentation finie ?

Hélas, oui. Un bon exemple est le nombre Pi.

Si j' écris 3.14159265359...  j'en obtiens une représentation à 10 - 11 près . Cependant tu sais parfaitement que je pourrais allonger la liste des décimales sans jamais arriver à représenter Pi exactement.

Le seul moyen d' y arriver et de retrouver un semblant de confiance serait d' écrire Pi = ∏, mais même cela ne rassure qu'à moitié.

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Membre, Posté(e)
Boutetractyxreqs Membre 5 959 messages
Baby Forumeur‚
Posté(e)
Il y a 2 heures, InstantEternité a dit :

C'est bizarre car effectivement le paradoxe de Zénon parle de l'infiniment petit et d'après la physique quantique l'infiniment petit n'existe pas, donc le paradoxe de Zénon est résolu.

Mais le problème que je soulève concerne au contraire l'infiniment grand, est-ce qu'il faut considérer que l'infiniment grand n'existe pas non plus ? Par exemple il est vrai que la célérité ne peut pas être dépassée (en temps normal :) )

Un infiniment petit est égale à zéro, d'où le "ça n'existe pas" je suppose, mais plus d'infiniment petits ce n'est plus zéro, car dans le cas d'une infinité d'infiniment petits ça donne l'infiniment grand est l'infiniment grand c'est l'infini et non pas zéro.

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Membre, 43ans Posté(e)
InstantEternité Membre 1 134 messages
Baby Forumeur‚ 43ans‚
Posté(e)
Il y a 1 heure, azad2B a dit :

Hélas, oui. Un bon exemple est le nombre Pi.

Si j' écris 3.14159265359...  j'en obtiens une représentation à 10 - 11 près . Cependant tu sais parfaitement que je pourrais allonger la liste des décimales sans jamais arriver à représenter Pi exactement.

Le seul moyen d' y arriver et de retrouver un semblant de confiance serait d' écrire Pi = ∏, mais même cela ne rassure qu'à moitié.

Merci. Apparemment ce type de nombre (comme Pi ou racine carré de 2) sont appelés des nombres irrationnels en math.

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Membre, 79ans Posté(e)
Hérisson_ Membre 693 messages
Forumeur forcené ‚ 79ans‚
Posté(e)
Il y a 10 heures, InstantEternité a dit :

Bonjour,

Ma question est simple (un peu philosophique) :

Comment peut-on par exemple considérer que "4.7" est supérieur à "3.3" alors qu'entre ces deux nombres, sur l'ensemble des nombres réels ils en existe une infinité de nombre réels qui chacun d'entre eux est aussi infini.

En gros, comment peut-on comparer deux nombres réels alors qu'entre les deux il existe une infinité de nombre infini : ne serions nous pas plutôt dans un cas indéterminé ?!

Bonjour,

Tu t'embrouilles en confondant deux notions:

a) il existe effectivement une infinité de réels (r) compris entre deux bornes données (a) et (b), et vérifiant : a < r < b ;

b) ces réels ne sont pas pour autant infinis, puisqu'ils sont encadrés par deux valeurs finies (a, b); ce que tu veux peut-être dire, c'est que ces réels peuvent comporter, en numération de position, une infinité de décimales - ce qui ne contrevient pas au fait qu'ils présentent une valeur finie.

La propriété (b > a) est très simplement liée à l'inéquation (b - a) > 0 .

Citation

Autrement dit vous insinuez qu'un nombre réel bien qu'il ne soit pas infini il n'est pas possible pour nous humain d'en faire une représentation finie ?

C'est l'inconvénient de la numération décimale, quelle qu'en soit la base:

7^(1/2) = 2,6457513110645905905016157536393...

Ln(3) = 1,0986122886681096913952452369225...

défaut que l'on retrouve pour certains rationnels; la suite des décimales est alors périodique:

1/9 = 0,11111111111111111111111111111111...      (période = 1)

1/7 = 0,14285714285714285714285714285714...      (période = 6)

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Membre, 43ans Posté(e)
InstantEternité Membre 1 134 messages
Baby Forumeur‚ 43ans‚
Posté(e)
il y a 40 minutes, Hérisson_ a dit :

 

Bonjour,

Tu t'embrouilles en confondant deux notions:

a) il existe effectivement une infinité de réels (r) compris entre deux bornes données (a) et (b), et vérifiant : a < r < b ;

b) ces réels ne sont pas pour autant infinis, puisqu'ils sont encadrés par deux valeurs finies (a, b); ce que tu veux peut-être dire, c'est que ces réels peuvent comporter, en numération de position, une infinité de décimales - ce qui ne contrevient pas au fait qu'ils présentent une valeur finie.

La propriété (b > a) est très simplement liée à l'inéquation (b - a) > 0 .

 

Ma question n'est pas purement mathématique, elle touche un peu à la philosophie si j'ose dire :

Si   a < r < b  et que "r" représente une infinité de valeurs réelles donc quelque part on est entrain de mettre des bornes inférieure et supérieure à un espace infini (notre "r")... est-ce qu'il n'y a pas là une contradiction ?

 

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Membre, 79ans Posté(e)
Hérisson_ Membre 693 messages
Forumeur forcené ‚ 79ans‚
Posté(e)
Il y a 5 heures, Boutetractyxreqs a dit :

Un infiniment petit est égale à zéro, d'où le "ça n'existe pas" je suppose, mais plus d'infiniment petits ce n'est plus zéro, car dans le cas d'une infinité d'infiniment petits ça donne l'infiniment grand est l'infiniment grand c'est l'infini et non pas zéro.

Un infiniment petit est égale à zéro, d'où le "ça n'existe pas" je suppose,

Un infiniment petit n'est pas égal à zéro, mais sa valeur absolue inférieure à tout seuil positif.

dans le cas d'une infinité d'infiniment petits ça donne l'infiniment grand

Non, cela peut donner n'importe quoi.

Posons A = n^2 , B = n^3, C = n^4 et Y = 1/n^3 ;

Quand n tend vers l'infini, A, B, C tendent aussi vers l'infini tandis que Y tend vers zéro.

Cependant les produits

# AY = 1/n tend vers zéro ,

# BY = 1 reste égal à l'unité,

# CY = n tend vers l'infini.

Il faut être prudent dans ce domaine.

 

 

 

 

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Membre, 79ans Posté(e)
Hérisson_ Membre 693 messages
Forumeur forcené ‚ 79ans‚
Posté(e)
Citation

Si   a < r < b  et que "r" représente une infinité de valeurs réelles donc quelque part on est entrain de mettre des bornes inférieure et supérieure à un espace infini (notre "r")... est-ce qu'il n'y a pas là une contradiction ?

Entre deux réels quelconques, on peut toujours caser un autre nombre réel, et même autant que l'on veut !

# Un nombre vérifiant A < R < B :R = (A + B)/2

# (K) nombres vérifiant A < Rk < B en posant:

Rk = A + (B - A)*k/(K + 1) , avec 0 < k < K + 1 .

On pourra poursuivre demain ...

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Membre, 43ans Posté(e)
InstantEternité Membre 1 134 messages
Baby Forumeur‚ 43ans‚
Posté(e)
Il y a 2 heures, Hérisson_ a dit :

Entre deux réels quelconques, on peut toujours caser un autre nombre réel, et même autant que l'on veut !

Donc on parle bien de l'infiniment petit. Et vu que le paradoxe de Zénon a été résolu et aussi que d'après la physique quantique l'infiniment petit n'existe pas alors la notion d'infini n'est plus d'actualité entre 2 nombre réels (en tout cas cet "infini" tend vers 0) => Mon problème semble être résolu ! ;) 

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Membre, Agitateur Post Synaptique, 56ans Posté(e)
zenalpha Membre 22 484 messages
56ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)
Il y a 3 heures, InstantEternité a dit :

Donc on parle bien de l'infiniment petit. Et vu que le paradoxe de Zénon a été résolu et aussi que d'après la physique quantique l'infiniment petit n'existe pas alors la notion d'infini n'est plus d'actualité entre 2 nombre réels (en tout cas cet "infini" tend vers 0) => Mon problème semble être résolu ! ;) 

Il faut bien dissocier les mathématiques qui sont entièrement conceptuelles de la physique qui est en relation a l'expérience, cette dernière utilise une partie des mathématiques mais le monde mathématique est bien plus vaste que le monde physique 

La mécanique quantique n'est pour rien dans votre questionnement

Tu peux par exemple toujours caler une fraction entre deux nombres décimaux quels que soient ces nombres décimaux alors que le plus petit élément physique sera le quark dans le modèle standard ou la corde en théorie des cordes.

Mais cet ensemble de nombre rationnels peut toujours être mis en relation bi univoque avec les entiers naturels, il n'est ni plus grand ni plus petit que les entiers naturels bien que les comprenant en lui.

On dit simplement qu'il est denombrable et s'appelle Aleph 0

Mais malgré ces nombres rationnels, il existe toujours et quoi que tu fasses des vides entre deux nombres rationnels, de plus en plus petits mais présents

Ce sont les nombres irrationnels, ceux que tu peux écrire avec une infinité de décimales qui viennent les combler.

Tous les infinis ne sont pas égaux...et entre ces infinis discrets denombrables et la continuité parfaite qui est contre intuitif et qui a pour conséquence qu'une aire ne possède pas plus de points...qu'une droite...l'hypothèse qu'il existe d'autres types d'infini, l'hypothèse du continu, est indécidable.

Le fameux Levinas utilisé par un autre forumiste pour lui faire dire n'importe quoi a propos de Kierkegaard a dit

"Le rapport avec l'infini ne peut certes pas se dire en terme d'expérience car l'infini déborde la pensée qui le pense"

Cantor est mort...dans un hôpital psychiatrique et non dans l'hôtel de hilbert...

La plus grande partie des écrits de Zenon s'est perdue.

Ce que nous en avons vient des commentaires de Platon et d'Aristote et ces paradoxes reposent sur nos limites intuitives

Ils ne furent évidemment jamais réfutés de son vivant et frappent génération après génération l'imagination contemporaine 

Paul Valery dans le cimetière marin en 1920 lui ecrit un poème..

Ce sont ces paradoxes qui amenerent de la méfiance des grecs envers l'infini...

Pour Pascal que j'ai pris en exemple pour sa quête du vide physique et ses expériences célèbres, Pascal postule ce lien pourtant faux entre physique et infini.

Pour lui, l'infini est partout de l'infiniment petit a l'infiniment grand.

La solution a Zénon est simple malgré tout, les distances parcourues par Achille sont de plus en plus petites et convergent vers zéro, ce qui fait que la somme d'un nombre infini de nombres peut être fini.

Si mathématiquement celà est clair on peut raisonner par l'absurde et se dire que tout mouvement serait impossible puisqu'une infinité de points séparent toujours deux points aléatoires..

L'infini accouche du fini, le fini accouche de l'infini.

Yin...yang..

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Membre, 43ans Posté(e)
InstantEternité Membre 1 134 messages
Baby Forumeur‚ 43ans‚
Posté(e)
il y a 48 minutes, zenalpha a dit :

 le monde mathématique est bien plus vaste que le monde physique 

Et le monde de la philosophie encore plus vaste que celui des mathématique et cerise sur le gâteau le monde de la poésie précède celui de la philosophie... ce qui pour moi voudrait dire que les inventions technologiques les plus complexes de l'homme découle de loin, et même de très loin, d'un vers de poésie  :) 

il y a 48 minutes, zenalpha a dit :

Tous les infinis ne sont pas égaux..

D'accord avec vous car en effet lim ln(x) / x tend vers 0 lorsque x tend vers infini.

il y a 50 minutes, zenalpha a dit :

L'infini accouche du fini, le fini accouche de l'infini.

Yin...yang..

Encore d'accord avec vous... vous parlez de la cyclicité de l'univers. Effectivement 2 droites parallèles se coupent à l'infini et cela ne peut être que si l'espace temps est courbé, c'est à dire l'univers est fini et le point le plus "lointain" est effectivement le point de "départ" (un cercle).

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