Les nombres complexes

Le 29/01/2019 à 18:58, satinvelours a dit :

Vous êtes choux, de vrais bébés. 

En plus Quasi Modo renchérit !!! De vrais bébés je vous dis !!!

Vous me faites rire les petits. Ne vous présentez pas au bac cette année les petits, vous n’êtes vraiment pas au point, ah ! ah ! ah !!!

Arrête! Tu es en train de montrer une image dégradante de toi ...  

Le 05/02/2019 à 18:06, hell-spawn a dit :

Il est intéressant cet exercice, j'ai essayé de voir si on pouvait donner un développement sous forme de produit de cosinus  de sin(x)/sin(x/5^n) et il s'avére que oui.

Qui  peut le trouver ?

L'expression en cause (y = sin(u)/sin(u/5^p) - désolé d'être contraint au changement de notation - s'apparente à celle que l'on rencontre en physique, dans l'étude de la diffraction de la lumière par un réseau:

y = sin(nx)/n.sin(x) [en posant x = u/5^p  et nx = u = x*5^p , d'où n = 5^p] ;

il n'en intervient alors aucun développement.

Quelle piste as-tu suivie en commençant tes calculs ?

Je n'ai trouvé d'indications intéressantes que dans MathWorld

(http://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html), mais qui ne conduisent qu'à des polynômes au lieu du produit espéré:

1°) À partir de la formule d'Euler:

qui conduirait dans le cas le plus simple (p = 1 , d'où n = 5) à

sin(5x)/5sin(x) = cos(x)^4 - 2con²(x)sin²(x) + (1/5)sin(x)^4 .

2°) En partant des polynômes de Tchebychev de première espèce (puisque n = 5^p est par définition impair):  https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_de_Tchebychev

on obtiendrait: sin(5x)/5sin(x) = 1 - 4sin²(x) + (16/5)sin(x)^4

résultat qui doit être déductible du précédent.

La seule formule disponible sous forme de produit est celle mentionnée en haut du 2nd document, mais elle ne se prête malheureusement pas à une factorisation par sin(x).

@Hérisson_

Tu y étais presque en développant sin(5X) en fonction de sin(X)  ( X=x/5)

Tu obtiens bien  sin(x)/sin(x/5 )  =  5cos(x/5)^4 -10 cos(x/5)^2 * sin(x/5)^2 +sin(x/5)^4

que tu transformes en expression cosinus comme ceci:  sin(x)/sin(x/5 )=1+2cos(2*x/5)+2cos(4*x/5)

Et on verifie par récurrence que c'est vrai pour le produit ( comme pour l'exercice en  x/3)

Pas besoin des polynomes de Tchebyshev, trés interessant par ailleurs et que j'essaye d'assimiler en ce moment.

Et il me semble bien que l'on puisse procéder ainsi pour tout expression  sin(x)/sin(x/a)   avec a impair, a vérifier.

Oh j'arrive au résultat remarquable suivant :

sin(x)/sin(x/a)  (a impair) = produit de ( 1+2cos(2x/a^k)+2cos(4x/a^k) +2cos(6x/a^k)+....)

(k va de 1 a n et pour a=3 on a les 2 premiers termes, pour a=5 3 termes, pour a=7 4 termes...)

Il y a 3 heures, hell-spawn a dit :

Oh j'arrive au résultat remarquable suivant :

sin(x)/sin(x/a)  (a impair) = produit de ( 1+2cos(2x/a^k)+2cos(4x/a^k) +2cos(6x/a^k)+....)

(k va de 1 a n et pour a=3 on a les 2 premiers termes, pour a=5 3 termes, pour a=7 4 termes...)

Je n'ai pas compris ce que tu as écrit:

produit de ( 1+2cos(2x/a^k)+2cos(4x/a^k) +2cos(6x/a^k)+....)

Où s'arrête l'énoncé de la somme, que représente chaque terme du produit ?

L'écriture supposerait l'intervention de deux indices courants, l'un pour la somme et l'autre pour le produit ...

J'ai relu l'énoncé initial, dont tu as voulu sans doute t'inspirer:

Il suffit peut-être d'envisager la relation de récurrence que l'on peut déduire de la relation supposée vraie

sin(x)/sin(x/5^n) = Produit[de k=1 à k=n](Tk) pour parvenir à l'expression du facteur (Tk).

PS: je viens de retrouver à partir des deux formules citées (et avec la notation correspondante):

sin(5x)/5sin(x) = (1/5) - (12/5)cos²(x) + (16/5)cos(x)^4

Tu devrais donc obtenir quelque chose de la forme: Tk = 1 - 12cos²(u) + 16cos(u)^4

convertible en une autre expression en (cos(2u)).

il y a une heure, Hérisson_ a dit :

Je n'ai pas compris ce que tu as écrit:

produit de ( 1+2cos(2x/a^k)+2cos(4x/a^k) +2cos(6x/a^k)+....)

Où s'arrête l'énoncé de la somme, que représente chaque terme du produit ?

L'écriture supposerait l'intervention de deux indices courants, l'un pour la somme et l'autre pour le produit ...

J'ai relu l'énoncé initial, dont tu as voulu sans doute t'inspirer:

Il suffit peut-être d'envisager la relation de récurrence que l'on peut déduire de la relation supposée vraie

sin(x)/sin(x/5^n) = Produit[de k=1 à k=n](Tk) pour parvenir à l'expression du facteur (Tk).

PS: je viens de retrouver à partir des deux formules citées (et avec la notation correspondante):

sin(5x)/5sin(x) = (1/5) - (12/5)cos²(x) + (16/5)cos(x)^4

Tu devrais donc obtenir quelque chose de la forme: Tk = 1 - 12cos²(u) + 16cos(u)^4

convertible en une autre expression en (cos(2u)).

Je te donne les 3 premiers exemples:

                             sin(x)/sin(x/3^n) = Produit de ( 1+2*cos(2x/3^k))  ça c'était l'exercice proposé

Mais on a aussi:  sin(x)/sin(x/5^n)  = Produit de (1+2*cos(2x/5^k) +2 cos(4x/5^k) )

                             sin(x)/sin(x/7^n)  =Produit  de  ( 1+2cos(2x/7^k) +2 cos(4x/7^k) +2 cos(6x/7^k) )

Et ainsi de suite pour tout sin(x)/sin(x/a^n)  avec a impair.

Ce n'est pas évident d'expliciter ça en une formule mathématique.

Il y a 4 heures, hell-spawn a dit :

Je te donne les 3 premiers exemples:

                             sin(x)/sin(x/3^n) = Produit de ( 1+2*cos(2x/3^k))  ça c'était l'exercice proposé

Mais on a aussi:  sin(x)/sin(x/5^n)  = Produit de (1+2*cos(2x/5^k) +2 cos(4x/5^k) )

                             sin(x)/sin(x/7^n)  =Produit  de  ( 1+2cos(2x/7^k) +2 cos(4x/7^k) +2 cos(6x/7^k) )

Et ainsi de suite pour tout sin(x)/sin(x/a^n)  avec a impair.

Ce n'est pas évident d'expliciter ça en une formule mathématique.

Effectivement, surtout si l'on ne dispose pas d'un traitement de texte approprié; il vaut alors mieux taper les calculs à l'aide de Libre Office, ou autre.

La séquence des résultats fournis apparaît clairement, et laisse deviner la généralisation. La démontrer est sans doute un peu lourd, mais pas hors de portée.

il y a 6 minutes, Hérisson_ a dit :

Tout à fait, et les exemples que tu donnes ici sont très clairs. La généralisation paraît à portée de main ... mais il faut la vérifier.

Deja ce n'est valable que pour les exposants impairs, ils se décomposent tous en sin(X)* (  )   et on peut simplifier.

Puisque cela paraît t'intéresser, tu pourrais regarder l'expression de la somme

S = 1 + cos(w) + cos(2w) + cos(3w) + ... + cos(Mw) = Sigma[h=0 à h=M]cos(hw)

en utilisant les exponentielles complexes: cos(t) = (1/2)(exp(it) + exp(-it)) .

Il y a 1 heure, Hérisson_ a dit :

Puisque cela paraît t'intéresser, tu pourrais regarder l'expression de la somme

S = 1 + cos(w) + cos(2w) + cos(3w) + ... + cos(Mw) = Sigma[h=0 à h=M]cos(hw)

en utilisant les exponentielles complexes: cos(t) = (1/2)(exp(it) + exp(-it)) .

ça ne présente pas de difficulté, il faut juste ne pas se tromper dans les calculs fastidieux.

J'obtiens:  (1-cos(w)+cos(nw)-cos(n+1)w)/ ( 2-2cos(w) )

J'ai pas vérrifié, une erreur de ma part reste possible.

Il y a 12 heures, hell-spawn a dit :

ça ne présente pas de difficulté, il faut juste ne pas se tromper dans les calculs fastidieux.

J'obtiens:  (1-cos(w)+cos(nw)-cos(n+1)w)/ ( 2-2cos(w) ) 

 

J'ai pas vérrifié, une erreur de ma part reste possible.

l'expression peut encore se simplifier.

Mais sinon a propos de l'exercice précédent, quand on trace la courbe de sin(x)/sin(x/a)  on obtient un tracé qui fait penser a u cours d'une vie: des petites hauts et des petits bas suivis a intervalle espacés de pics, le plus souvent bas.

C'est une fonction de période T = (81π) , qui présente entre deux grands pics 80 maximums secondaires alternant avec 81 minimums secondaires.

Elle n'est définie que pour x différent de (kT), mais on observe une limite finie simple lorsque (x) se rapproche de l'une de ces valeurs: si l'on pose en effet x = kT + h , il vient:

F(x) = Sin(81kπ + h)/Sin(kπ + h/81) = Sin(h)/Sin(h/81)

et lorsque (h) tend vers zéro, les deux termes du quotient tendent aussi vers (0) en devenant équivalents à leur argument, d'où: F(x) ~ h/(h/81) = 81 . La limite observés en ces points est donc: L = 81 .

On peut donc obtenir une fonction continue définie pour tout réel, coïncidant avec la précédente hors de ses points singuliers en posant:

F(x) = L si x = kT sinon F(x) = Sin(x)/Sin(x/81) .

Il y a 3 heures, hell-spawn a dit :

Mais sinon a propos de l'exercice précédent, quand on trace la courbe de sin(x)/sin(x/a)  on obtient un tracé qui fait penser a u cours d'une vie: des petites hauts et des petits bas suivis a intervalle espacés de pics, le plus souvent bas.

La courbe ci-dessus construite à parti de fonctions sinus ressemble aux fronts de vagues exceptionnelles appelées vagues scélérates dont il a été question dans un autre sujet.

La houles "normale" est sinusoïdale mais il arrive parfois des "sur-vagues" qui n'ontpas le profil sinusoïdal et qui sont redoutées par les gens de mer.

Je ne sais pas si ces "solitons redoutés peuvent être réécrits par des lois en sinus, mais ce purrait -être intéressant à développer.

Excusez-moi pour le hors sujet

Le graphe fait effectivement penser à un paquet de très hautes vagues.

Tu évoques en fait 3 sortes de phénomènes, qui relèvent de la mécanique des fluides incompressibles à surface libre.

1°) Le profil instantané de la houle ordinaire, d'aspect sinusoïdal à faible amplitude, est en fait décrit par une cycloïde lorsque la profondeur de l'eau est infiniment grande; la limite critique pour laquelle le graphe présente un point de rebroussement correspond à l'apparition du déferlement: il se produit alors une rupture de la continuité de la surface libre instantanée du liquide, et le phénomène devient beaucoup plus complexe avec l'apparition des rouleaux.

J'ai vu cela il y a longtemps, et je pourrai peut-être retrouver des documents.

2°) Les vagues scélérates résultent de la superposition de vagues inégales, dont les plus hautes rattrapent et absorbent celles qui les devancent; c'est un phénomène rare mais pas exceptionnel, redouté des marins, et qui n'a pu être correctement décrit qu'en tenant rigoureusement compte de son caractère non-linéaire; ce sont des spécialistes de mécanique ondulatoire qui ont fourni la solution il y a une vingtaine d'années (?) parce qu'ils avaient rencontré des problèmes analogues dans leur spécialité.

Vous trouverez sans difficulté sur la Toile des vidéos concernant ce sujet.

3°) Les solitons consistent en la propagation d'une perturbation unique, non oscillante, le long d'une direction donnée; ils sont caractérisés par une absence de déformation et ont été découverts au 19me siècle, un cavalier situé près d'une écluse ayant pu suivre à la fermeture brutale de celle-ci l'ondulation qui est apparue et s'est propagée identique à elle-même le long du canal sur plusieurs kilomètres.

Ils sont aussi connus en mécanique ondulatoire. Je crois que leur profil est lié à la courbe de Gauss (point à vérifier).

Vérifiez @Hérisson_ je vous en prie...

Ce n'est pas tant qu'avoir une bonne réponse fasse une différence avec une mauvaise pour une question qu'on ne vous posait pas mais ce serait tout de même un comble de priver le plaisir de cette grande spécialité "scientifique" du hors sujet

Vous pourriez aider cet idiot tant qu'on y est ?

Ou la recette d'une tarte a la fraise peut-être ?

Désolé, je vous laisse sinus cosinus idées en zig zaggant entre amis.

Je prends la tangente..un peu comme vous du reste...

J'ai un problème de complexe pour vous @Hérisson_ dont la racine n'est pas imaginaire 

Vous pouvez vous appuyez sur la forme algébrique ou trigonometrique ou exponentielle si vous préférez pour résoudre cette équation à deux inconnus 

Le 05/02/2019 à 17:05, Hérisson_ a dit :

Et entre Hawking et Dindalpha

Qu'est-ce qui pourrait bien autoriser la susdite volaille à se croire l'interprète exclusive des opinions de son maître ?

Poser la question, c'est y répondre. Ce forum n'est pas celui d'une secte.

Le 31/01/2019 à 19:21, zenalpha a dit :

Combattre c'est prendre son courage à deux mains 

Fuir c'est prendre son courage à deux pieds.

Il y a 22 heures, hell-spawn a dit :

l'expression peut encore se simplifier.

 

Mais sinon a propos de l'exercice précédent, quand on trace la courbe de sin(x)/sin(x/a)  on obtient un tracé qui fait penser a u cours d'une vie: des petites hauts et des petits bas suivis a intervalle espacés de pics, le plus souvent bas.

On dirait une fonction sinus cardinal.

Donc si je ne m'abuse nous aurions quelque chose comme : sin(x)/sin(x/n) = n * sin(x) / x

Soit en l'occurrence sin(x) / sin (x / 81) = 81 * sin(x) / x

PS : En fait non, trop pas il vaut mieux oublier la connerie que je viens d'écrire qui provient d'une approximation graphique érronnée

J'me disais aussi qu'un truc aussi gros on s'en serait aperçus depuis le temps

il y a 27 minutes, Quasi-Modo a dit :

On dirait une fonction sinus cardinal. 

... / ...

Donc si je ne m'abuse nous aurions quelque chose comme : sin(x)/sin(x/n) = n * sin(x) / x

Soit en l'occurrence sin(x) / sin (x / 81) = 81 * sin(x) / x

... / ...

PS : En fait non, trop pas il vaut mieux oublier la connerie que je viens d'écrire qui provient d'une approximation graphique erronée

J'me disais aussi qu'un truc aussi gros on s'en serait aperçus depuis le temps

Le rapprochement n'est pas une connerie: si l'on a x << 81 , alors (x/81) <<1

et sin(x/81) ~ x/81 , ce qui conduit à l'expression approchée:

sin(x)/sin(x/81) ~ sin(x)/(x/81) = 81.sinc(x) .

Les deux graphes se superposent approximativement au voisinage du pic central.