Les théorèmes de Gödel et leurs implications

il y a 15 minutes, Spontzy a dit :

Oui nous en sommes sûrs, sauf à refuser le tiers exclus.

Mais comme on le sait bien, ce tiers exclus n'est maintenant plus discutable dans ZFC.

A+

Vous me donnez la démonstration ? je suis preneur. 

Au demeurant je ne vois absolument pas le rapport entre la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec le principe de récurrence. Expliquez moi. 

 

Modifié le 14 décembre 2017 par aliochaverkiev

Le 13/12/2017 à 08:38, deja-utilise a dit :

Je m'excuse d'être dans l'incapacité de réagir aux commentaires qui m'ont été adressés, toutefois pour lever toute ambiguïté ou raccourcis au sujet de l'exercice cité un peu avant, je mets ci-joint l'énoncé ( exo 1 ), merci d'avance aux participants, dont j'espère que Jedino fera parti, en plus au moins d'Aliochaverkiev et Quasi-modo ( C'est un sujet connexe au Topic lui-même, mais qui ne lui est pas étranger, que Quasi ne m'en tienne nullement rigueur ):

 

Merci d'avance aux courageux/motivé !

La démonstration a été faite en survolant auparavant, je n'ai donc pas besoin de m'y risquer après plusieurs années à ne pas faire la moindre démonstration par récurrence.

Si je saisis bien à la lecture du sujet le problème que tu soulèves par rapport à ça est de savoir si ce raisonnement n'est pas circulaire. De mémoire, la démonstration pose en quelque sorte un axiome, une conjecture qu'on fait pour citer quelqu'un qui semble bien mieux s'y connaître que moi, pour départ. En effet, on ne peut pas partir de rien, voilà pourquoi il faut supposer vrai le premier élément. De là ensuite on cherche à démontrer que le suivant, le suivant et le suivant encore sont vrais si on suppose le premier vrai, chose qui ne va pas de soi. Autrement dit, pour tout n, et donc n+1, ce qu'on veut démontrer est correct si on suppose que le premier l'est, ce qui est une condition nécessaire pour que la démonstration soit vraie.

Faisons une analogie : supposons que je veuille te démontrer que le réel diffère de la vérité. Le raisonnement étant abstrait, et n'ayant donc aucune matière observable pour prouver ce que j'avance, il me faudra avancer ce qu'on pourrait appeler des axiomes, et qui sont en fait des définitions des concepts principaux que nous supposerons compris de la même manière (auquel cas, sinon, nous discuterons en théorie d'abord de cela afin de définir une base commune sur laquelle il est possible de développer). De fait, à partir de ces deux concepts que sont la vérité et le réel, je pourrai dérouler un raisonnement qui m'amènera à faire appel à d'autres concepts connexes jusqu'à aboutir à ma conclusion. Et donc, après avoir discuté des définitions, nous pourrons discuter des arguments et de si ils permettent vraiment d'aboutir à cette conclusion-ci.

Cette analogie est, je crois, ce qui rapproche en quelque sorte la philosophie de la mathématique, toutes deux étant dans un raisonnement qui est finalement assez abstrait et aux principes relativement semblables : d'abord, on définit ce qu'on suppose vrai, et cela est nécessaire pour obtenir une démonstration qui soit cohérente ; ensuite, on déroule une démonstration à partir de ces définitions ; enfin, on en tire la conclusion qui découle et que justifie nos arguments.

Une différence existe toutefois et j'ai lu quelqu'un qui en faisait la remarque : la philosophie entend décrire le réel, la mathématique pas le moins du monde. C'est une construction purement intellectuelle qui trouve des applications concrètes, mais cela n'en fait pas un objet concret, voilà pourquoi elle se passe de l'étape qui existe finalement par ailleurs en science, à savoir la confrontation à ce qui est le seul juge : le réel.

il y a 53 minutes, Jedino a dit :

La démonstration a été faite en survolant auparavant, je n'ai donc pas besoin de m'y risquer après plusieurs années à ne pas faire la moindre démonstration par récurrence.

Si je saisis bien à la lecture du sujet le problème que tu soulèves par rapport à ça est de savoir si ce raisonnement n'est pas circulaire. De mémoire, la démonstration pose en quelque sorte un axiome, une conjecture qu'on fait pour citer quelqu'un qui semble bien mieux s'y connaître que moi, pour départ. En effet, on ne peut pas partir de rien, voilà pourquoi il faut supposer vrai le premier élément. De là ensuite on cherche à démontrer que le suivant, le suivant et le suivant encore sont vrais si on suppose le premier vrai, chose qui ne va pas de soi. Autrement dit, pour tout n, et donc n+1, ce qu'on veut démontrer est correct si on suppose que le premier l'est, ce qui est une condition nécessaire pour que la démonstration soit vraie.

Faisons une analogie : supposons que je veuille te démontrer que le réel diffère de la vérité. Le raisonnement étant abstrait, et n'ayant donc aucune matière observable pour prouver ce que j'avance, il me faudra avancer ce qu'on pourrait appeler des axiomes, et qui sont en fait des définitions des concepts principaux que nous supposerons compris de la même manière (auquel cas, sinon, nous discuterons en théorie d'abord de cela afin de définir une base commune sur laquelle il est possible de développer). De fait, à partir de ces deux concepts que sont la vérité et le réel, je pourrai dérouler un raisonnement qui m'amènera à faire appel à d'autres concepts connexes jusqu'à aboutir à ma conclusion. Et donc, après avoir discuté des définitions, nous pourrons discuter des arguments et de si ils permettent vraiment d'aboutir à cette conclusion-ci.

Cette analogie est, je crois, ce qui rapproche en quelque sorte la philosophie de la mathématique, toutes deux étant dans un raisonnement qui est finalement assez abstrait et aux principes relativement semblables : d'abord, on définit ce qu'on suppose vrai, et cela est nécessaire pour obtenir une démonstration qui soit cohérente ; ensuite, on déroule une démonstration à partir de ces définitions ; enfin, on en tire la conclusion qui découle et que justifie nos arguments.

Une différence existe toutefois et j'ai lu quelqu'un qui en faisait la remarque : la philosophie entend décrire le réel, la mathématique pas le moins du monde. C'est une construction purement intellectuelle qui trouve des applications concrètes, mais cela n'en fait pas un objet concret, voilà pourquoi elle se passe de l'étape qui existe finalement par ailleurs en science, à savoir la confrontation à ce qui est le seul juge : le réel.

La démonstration est vraie (dans la récurrence) mais elle s'appuie sur des principes qui, eux, sont sujets à caution. Nous savons que dans un syllogisme, la démonstration peut être vraie mais conduire à des résultats aberrants si nous ne prenons pas garde à la cohérence des prémisses.

En fait en étudiant à l'instant le premier théorème de Gödel je vois qu'il est affirmé qu'il est impossible  de démontrer qu'une proposition est vraie pour n =1, n = 2, n =3,  etc. et de démontrer en même temps qu'il existe un "n" tel que la proposition soit fausse. C'est même la base du théorème de Gödel pour en déduire qu'il existe des propositions ni réfutables, ni démontrables ! Je pouvais donc m'échiner pendant des heures sans succès ! Je cherchais à démontrer l'indémontrable !

Il est impossible de faire une analogie entre l'arithmétique et des notions telles que le réel, le vrai etc. Rien à voir. Le vrai en maths n'a rien à voir avec la notion de vérité en philosophie. En maths nous décidons de certaines définitions, de certains axiomes, etc. et nous désignons du vocable "vrai" ce qui découle de ces définitions et de ces axiomes selon les règles de la logique générale; les objets dont nous traitons sont désignables et précis : des nombres, des points. Rien à voir avec le flou des mots de la philosophie. La précision de nos objets résulte de ce fait : nous travaillons dans les formes a priori de la sensibilité, l'espace et le temps. Tandis que le philosophe souvent (pas tous !) se déconnecte totalement du sensible jusqu'à tomber dans la métaphysique c'est-à-dire dans l'imaginaire pur. C'est tout le paradoxe, le mathématicien est in fine relié au réel par les formes pures de la sensibilité tandis que le métaphysicien déconnecte, lui, complètement; c'est d'ailleurs parce que le mathématicien travaille dans les formes pures du temps et de l'espace que ses "produits" mentaux sont utilisables par les physiciens.

Prenons la notion de réel. Cette notion ne cesse de changer depuis que nous savons que ce que nous appelons réel est d'abord un modèle, une représentation (en fait nous le savons depuis Kant et Schopenhauer, le monde est ma représentation).

Nous n'avons pas accès au réel, c'est ce que nous découvrons. Cela ne signifie pas qu'il n'existe pas une réalité, il y a bien une réalité qui s'impose à nous, nous en faisons sans cesse l'expérience, cela signifie que nous ne pouvons rien faire d'autre que d'en construire un modèle, une représentation.

L'attitude philosophique n'est pas de décrire le réel, elle est de prendre de la distance avec soi et de décrire ce qui se passe, ce qui apparaît en soi. C'est la conscience réflexive. Maintenant savoir si ce que je découvre en moi, si je décris comme vu en moi,  est le réel en soi c'est une autre paire de manche. Ce qui est réel c'est ce que je découvre en moi. C'est le seul réel dont je sois sûr.

Enfin le mathématicien ne s'intéresse pas au réel, enfin pas à votre réel. Mais c'est lui qui fournit les instruments qui vous permettent de vivre, de vous soigner, de vous déplacer etc. Sans les mathématiciens Einstein serait resté impuissant. Ce sont les mathématiciens qui lui fabriquent l'espace-temps, cet instrument mathématique qui lui permet d'accoucher de sa théorie. Sans le mathématicien, pas de sciences physiques, rien.

Modifié le 14 décembre 2017 par aliochaverkiev

il y a 28 minutes, aliochaverkiev a dit :

La démonstration est vraie (dans la récurrence) mais elle s'appuie sur des principes qui, eux, sont sujets à caution. Nous savons que dans un syllogisme, la démonstration peut être vraie mais conduire à des résultats aberrants si nous ne prenons pas garde à la cohérence des prémisses.

En fait en étudiant à l'instant le premier théorème de Gödel je vois qu'il est affirmé qu'il est impossible  de démontrer qu'une proposition est vraie pour n =1, n = 2, n =3,  etc. et de démontrer en même temps qu'il existe un "n" tel que la proposition soit fausse. C'est même la base du théorème de Gödel pour en déduire qu'il existe des propositions ni réfutables, ni démontrables ! Je pouvais donc m'échiner pendant des heures sans succès ! Je cherchais à démontrer l'indémontrable !

Il est impossible de faire une analogie entre l'arithmétique et des notions telles que le réel, le vrai etc. Rien à voir. Le vrai en maths n'a rien à voir avec la notion de vérité en philosophie. En maths nous décidons de certaines définitions, de certains axiomes, etc. et nous désignons du vocable "vrai" ce qui découle de ces définitions et de ces axiomes selon les règles de la logique générale; les objets dont nous traitons sont désignables et précis : des nombres, des points. Rien à voir avec le flou des mots de la philosophie. La précision de nos objets résulte de ce fait : nous travaillons dans les formes a priori de la sensibilité, l'espace et le temps. Tandis que le philosophe souvent (pas tous !) se déconnecte totalement du sensible jusqu'à tomber dans la métaphysique c'est-à-dire dans l'imaginaire pur. C'est tout le paradoxe, le mathématicien est in fine relié au réel par les formes pures de la sensibilité tandis que le métaphysicien déconnecte, lui, complètement; c'est d'ailleurs parce que le mathématicien travaille dans les formes pures du temps et de l'espace que ses "produits" mentaux sont utilisables par les physiciens.

Prenons la notion de réel. Cette notion ne cesse de changer depuis que nous savons que ce que nous appelons réel est d'abord un modèle, une représentation (en fait nous le savons depuis Kant et Schopenhauer, le monde est ma représentation).

Nous n'avons pas accès au réel, c'est ce que nous découvrons. Cela ne signifie pas qu'il n'existe pas une réalité, il y a bien une réalité qui s'impose à nous, nous en faisons sans cesse l'expérience, cela signifie que nous ne pouvons rien faire d'autre que d'en construire un modèle, une représentation.

L'attitude philosophique n'est pas de décrire le réel, elle est de prendre de la distance avec soi et de décrire ce qui se passe, ce qui apparaît en soi. C'est la conscience réflexive. Maintenant savoir si ce que je découvre en moi, si je décris comme vu en moi,  est le réel en soi c'est une autre paire de manche. Ce qui est réel c'est ce que je découvre en moi. C'est le seul réel dont je sois sûr.

Enfin le mathématicien ne s'intéresse pas au réel, enfin pas à votre réel. Mais c'est lui qui fournit les instruments qui vous permettent de vivre, de vous soigner, de vous déplacer etc. Sans les mathématiciens Einstein serait resté impuissant. Ce sont les mathématiciens qui lui fabriquent l'espace-temps, cet instrument mathématique qui lui permet d'accoucher de sa théorie. Sans le mathématicien, pas de sciences physiques, rien.

Si je ne définirais pas forcément la philosophie et sa visée ainsi, j'ai du mal à voir en quoi ce que j'ai pu dire ne correspond pas à ce que vous m'expliquez ici.

Mais j'insiste : quand en philosophie nous construisons un raisonnement, nous décidons tout autant des bases que sont les concepts et leurs définitions. Si l'objet derrière n'est pas le même, la démarche n'est pas si lointaine. Cela n'est vrai, cependant, que si on fait de la philosophie autre chose qu'une introspection et un dialogue personnel, ce qu'elle semble être puisque nous sommes là à en discuter. C'est donc une construction collective et de réflexion également.

D'autre part, lorsque vous prenez les oeuvres les plus explicites sur la méthode de raisonnement et de démonstration en philosophie, vous finissez forcément par songer à l'Ethique de Spinoza qui témoigne tout de même d'une logique tout à fait semblable à ce qui peut se faire en mathématique.

Pour le dire autrement, donc, la philosophie n'est pas qu'une réflexion sur soi-même, elle l'est aussi sur le monde, et nécessairement sur le réel. Parfois jusqu'à la métaphysique, en effet, mais la science elle-même apporte des réponses qui sont de cet ordre-là et qu'on appelle théorie.

En tant que tel, les notions évoluent aussi en science, et pas qu'en philosophie : le réel en physique n'est plus le réel de Newton, je pense que vous en conviendrez. Les choses ne sont pas figées, évoluent et font débat, c'est la base même de tout progrès et de la réflexion.

Et je n'ai pas dit autre chose que la même chose que toi sur le dernier paragraphe.

Bonjour.

Citation

Il y a 14 heures, Spontzy a dit :

Oui nous en sommes sûrs, sauf à refuser le tiers exclus.

Vous me donnez la démonstration ? je suis preneur. 

Il doit y avoir une subtilité dans vos propos que je ne saisis pas.

Nous sommes dans le cas ou P(n) est fausse (ou plutôt n’est pas vraie, donc fausse si on accepte le tiers exclus). Et nous aboutissons à une conclusion à notre raisonnement. Sauf erreur de raisonnement ou sauf incohérence de la théorie utilisée, cette conclusion doit être fausse. Je ne vois pas comment démontrer cela, car c’est la définition même d’une démonstration que de conserver la valeur de vérité.

 

Citation

Au demeurant je ne vois absolument pas le rapport entre la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec le principe de récurrence. Expliquez moi. 

Je ne vois pas non plus de rapport entre ZFC et le raisonnement par récurrence. Donc je ne l'ai pas évoqué.

Que voulez-vous que je vous explique ?

A+

Modifié le 15 décembre 2017 par Spontzy

Le 10/12/2017 à 04:20, Quasi-Modo a dit :

J'ouvre donc ce topic pour faire le points sur les implications philosophiques des théorèmes de Gödel. Je vois d'autres implications mais je ne veux pas faire trop lourd pour un premier message 

Salut,

Les conséquences du TI de Gödel :

1/Vu que l'arithmétique fait partie de notre vie, cela veut donc dire que la vie n'est pas un jeu, c'est à dire il n'existe pas un ensemble de régles fixées pour toutes éternités et dont tout découlerait.

2/La logique n'est pas le bon raisonnement pour faire de l'arithmétique, je pense que le raisonnement empirique est plus adapté, en acceptant le fait que vrai un jour, n'est pas forcément vrai pour toujours (l'irréfutabilité est à remplacer par la non réfutabilité)

Cordialement.

Le ‎16‎/‎12‎/‎2017 à 16:03, contrexemple a dit :

Salut,

Les conséquences du TI de Gödel :

1/Vu que l'arithmétique fait partie de notre vie, cela veut donc dire que la vie n'est pas un jeu, c'est à dire il n'existe pas un ensemble de régles fixées pour toutes éternités et dont tout découlerait.

2/La logique n'est pas le bon raisonnement pour faire de l'arithmétique, je pense que le raisonnement empirique est plus adapté, en acceptant le fait que vrai un jour, n'est pas forcément vrai pour toujours (l'irréfutabilité est à remplacer par la non réfutabilité)

Cordialement.

Un raisonnement est un raisonnement, qu'il soit empirique ou pas.

Il n'y a pas de bon ou de mauvais raisonnement, il y a un raisonnement juste, un point c'est tout, le reste s'appelant paralogisme, sophisme, etc.

D'autre part vous faites les mêmes erreurs de raisonnement que l'auteur de ce fil. A partir d'un problème local (les fondements de l'arithmétique) vous en déduisez des considérations sur la vie. Or vous ne "déduisez" pas du tout, vous êtes en fait dans l'induction ou l'extrapolation. A partir d'un évènement précis, vous "induisez" des règles, des considérations  générales. Vous partez du particulier pour en déduire des idées sur le général. 

Nous sommes confrontés tous les jours à ce type de "raisonnement".

Exemple :

"Un immigré a commis un larcin, donc tous les immigrés sont des voleurs".

 

Ce n'est pas sérieux.

Induire, à partir du théorème (ou des théorèmes) de Gödel que, par exemple Ockham  a tout faux, n'a, non plus, aucun sens.

 

Citation

Un raisonnement est un raisonnement, qu'il soit empirique ou pas.

Il n'y a pas de bon ou de mauvais raisonnement, il y a un raisonnement juste, un point c'est tout, le reste s'appelant paralogisme, sophisme, etc.

Sauf qu'un raisonnement est fait en utilisant une logique donnée. Il existe différentes logiques. On peut démontrer des propositions en utilisant une logique et ne pas savoir le démontrer en utilisant une autre logique.

D'où les questions de Déjà-utilisé sur l’intuitionnisme et d'où ma proposition d'utiliser ZFC qui réduit le problème.

A+

Il y a 10 heures, aliochaverkiev a dit :

D'autre part vous faites les mêmes erreurs de raisonnement que l'auteur de ce fil. A partir d'un problème local (les fondements de l'arithmétique) vous en déduisez des considérations sur la vie. Or vous ne "déduisez" pas du tout, vous êtes en fait dans l'induction ou l'extrapolation. A partir d'un évènement précis, vous "induisez" des règles, des considérations  générales. Vous partez du particulier pour en déduire des idées sur le général. 

Nous sommes confrontés tous les jours à ce type de "raisonnement".

Sauf que ce "raisonnement" dans le cas de l'auteur de ce fil est également le raisonnement que faisait Gödel. Et qu'en tant que mathématicien et logicien il n'aurait certainement pas commis (ni moi-même) le sophisme que vous lui prêtez, quel que celui-ci soit par ailleurs.

Les vérités mathématiques sont bien une sorte de vérité en général. L'admettre suffit (ainsi que les théorèmes d'incomplétude) pour conclure qu'il y a des vérités abstraites qui existent en tant que tel. Sinon comment connaîtrions-nous leur existence (puisqu'elles sont indémontrables) et leur caractère vrai?

Il y a 10 heures, Spontzy a dit :

Sauf qu'un raisonnement est fait en utilisant une logique donnée.

Es-tu d'accord que pour parler de logique il faut des régles fixés et immuables ?

Es-tu d'accord que dans le cas du raisonnement empirique les régles (affirmation EC) peuvent changer ?

Il y a 10 heures, Spontzy a dit :

On peut démontrer des propositions en utilisant une logique et ne pas savoir le démontrer en utilisant une autre logique.

Cela dit je n'ai toujours pas compris l'intérêt profond de logiques alternatives à la logique classique bivalente puisqu'aucun résultat scientifique concret ne me semble avoir été fourni et permis par ces autres logiques. Mais vous aviez peut-être un exemple en tête en affirmant ce que je cite, non?

Il y a 10 heures, aliochaverkiev a dit :

"Un immigré a commis un larcin, donc tous les immigrés sont des voleurs".

Si tous les corbeaux que je ne connais sont noirs avec au moins 10 exemples et sans aucun contre-exemple qui me soit connue, ne crois tu pas que je peux dire qu'il est raisonnable de croire que tous les corbeaux soient noirs, jusqu'à la découverte d'un contre-exemple ?

Pour éviter un hors sujte ici, je continue sur ce sujet ici : 

 

Citation

Cela dit je n'ai toujours pas compris l'intérêt profond de logiques alternatives à la logique classique bivalente puisqu'aucun résultat scientifique concret ne me semble avoir été fourni et permis par ces autres logiques. Mais vous aviez peut-être un exemple en tête en affirmant ce que je cite, non?

Demandez donc à Déjà-utilisé. Lui ne reconnait pas le tiers exclus "par principe philosophique", enfin si je le comprends. Il ne peut donc pas utiliser la logique classique. Enfin en principe car le tiers exclus se démontre si on admet l'axiome du choix.

Sinon je crois, sans savoir, qu'il y a des intérêt à utiliser d'autres logiques (type logiques floues) dans certains cas. Je vous laisse creuser et me raconter. #paresseux

A+

 

Il y a 6 heures, Spontzy a dit :

Sinon je crois, sans savoir, qu'il y a des intérêt à utiliser d'autres logiques (type logiques floues) dans certains cas. Je vous laisse creuser et me raconter. #paresseux

C'est beau d'avoir la foi #CassePieds...

Il y a 13 heures, Spontzy a dit :

Demandez donc à Déjà-utilisé. Lui ne reconnait pas le tiers exclus "par principe philosophique", enfin si je le comprends. Il ne peut donc pas utiliser la logique classique. Enfin en principe car le tiers exclus se démontre si on admet l'axiome du choix.

Sinon je crois, sans savoir, qu'il y a des intérêt à utiliser d'autres logiques (type logiques floues) dans certains cas. Je vous laisse creuser et me raconter. #paresseux

A+

 

Il ne s'agit pas de reconnaître ou pas le tiers exclus. Le tiers exclus est un principe de construction de l'arithmétique. Une décision. En mathématique nous décidons. Puis après avoir décidé des principes nous construisons. Dans un premier temps l'arithmétique se fout du réel. Après si l'instrument que nous avons créé vous sert, vous les réalistes, tant mieux pour vous, nous on s'en fout : nous sommes des créateurs de mondes.

Mais nous pouvons très bien créer aussi des mondes où il y aurait d'autres principes. Par exemple le tiers, ou le quart pourquoi pas, ne serait pas exclus, le principe de contradiction ne serait pas non plus exclus.

Nous pouvons imaginer des mondes à 10, 20, 50 dimensions. Des mondes hyperboliques, des mondes sphériques, des mondes coniques, nous ne nous refusons rien question imagination.

Nous sommes des artistes. Nous sommes donc insupportables. Ou même délirants (à vos yeux) ; ne considérez-vous pas d'ailleurs que Gödel était fou lorsqu'il parla de la glande pinéale ? Avez-vous déjà rencontré un mathématicien qui soit raisonnable ? Ah ah ah !!!

Et nous sommes heureux de constater, que nos créations, parfois, vous sont utiles et même nécessaires pour comprendre le monde physique.

 

Modifié le 20 décembre 2017 par aliochaverkiev

Citation

Il ne s'agit pas de reconnaître ou pas le tiers exclus. Le tiers exclus est un principe de construction de l'arithmétique. Une décision.

C'est votre décision que d'accepter le tiers exclus. D'autre ont choisi de ne pas l'accepter et construit d'autres logiques conformes à leur idées. De quel droit décrétez vous votre position supérieure à la leur ?

Citation

En mathématique nous décidons

C'est bien. Mais là, on est en dehors des maths. Les maths utilisent des règles de raisonnement, qui fort heureusement, sont établies en dehors des maths.

 

Citation

Ou même délirants (à vos yeux)

Merci de ne pas me prêter de propos que je n'ai pas tenu.

 

A+

Modifié le 20 décembre 2017 par Spontzy

Il y a 12 heures, Spontzy a dit :

C'est votre décision que d'accepter le tiers exclus. D'autre ont choisi de ne pas l'accepter et construit d'autres logiques conformes à leur idées. De quel droit décrétez vous votre position supérieure à la leur ?

C'est bien. Mais là, on est en dehors des maths. Les maths utilisent des règles de raisonnement, qui fort heureusement, sont établies en dehors des maths.

 

Merci de ne pas me prêter de propos que je n'ai pas tenu.

 

A+

Mais en l'occurrence nous parlons d'arithmétique, domaine dans lequel opère le tiers exclus. Maintenant vous pouvez inventer n'importe quoi d'autre; créez vote monde au lieu de palabrer. Beaucoup de parlotes mais jamais rien de concret; moi je veux bien que vous créiez d'autres mondes, alors je vous dis : allez bossez, montrez nous ce que vous savez faire. 

 

Je reviens sur la récurrence et l'apparente circularité de ce raisonnement.

Il m'apparait que la critique de "déjà utilisé" est fondée. Si nous partons de l'hypothèse qu'une proposition P (n) [proposition qui dépend d'une valeur n appartenant à l'ensemble des entiers naturels] est vraie, puis après avoir démontré que l'implication P(n) implique P(n+1) est vraie, nous en concluons que P(n) est vraie ça n'a aucun sens.

Cette critique m'a conduit à mieux étudier le principe de récurrence (l'axiome devrait-on dire).

Et, en effet, la récurrence est mal enseignée. Cela dit la logique mathématique pure est une branche des mathématiques qui n'est pas toujours étudiée par les enseignants. Je ne sais même pas si, aujourd'hui, cette branche est étudiée dans le cadre du CAPES par exemple. Je remarque que l'implication n'est plus utilisée dans le vocabulaire des nouveaux programmes de maths en secondaire, ce qui pourrait bien être la conséquence d'une réflexion sur le sujet chez les concepteurs des programmes. L'implication n'est pas aisée à comprendre, ni à enseigner.

 

Revenons sur la récurrence.

 

L' axiome de Peano, sur ce sujet (la récurrence) est celui-ci  (je passe sur les axiomes constitutifs de l'ensemble N) :

Soit, pour tout n dans N, P(n) une propriété dépendant de n. Si P(0) est vraie et si, pour tout n appartenant à N, l'implication P(n) implique P(n+1) est vraie, alors P(n) est vraie pour tout n. 

Dans ce libellé nous ne préjugeons pas de la vérité de P(n). Mais c'est un fait que , dans l'enseignement, il est supposé que P(n) est vraie. Cette façon de présenter la récurrence provient de deux causes possibles : soit l'enseignant n'a pas étudié la logique pure (ce qui est probable) soit il préfère présenter les choses ainsi, ce qui lui évite d'entrer trop loin dans les principes de la logique pure, plutôt complexes (ce qui est tout aussi probable).

Présenter les choses en supposant que P(n) est vraie est un abus de langage, mais bon, difficile de faire autrement.

Revenons à la récurrence.

Je démontre que l'implication P(n) implique P(n+1) est vraie. Bien. Je ne sais toujours pas si, pour autant, P(n) est vraie [pour le lecteur profane ce que j'écris là est incompréhensible mais je vais y revenir].

Maintenant je transporte cette implication (vraie donc) sur le premier terme de la suite dont je dois démontrer la vérité. Soit le terme de rang 0. J'ai, comme on dit, initialisé mon raisonnement c'est-à-dire que j'ai démontré que la propriété est vraie pour n = 0. En transportant mon implication réputée vraie sur le premier terme cela me donne les deux assertions suivantes :

L'implication P(n) implique P(n+1) est vraie

 et P(0) est vraie. 

Or de la conjonction de ces deux hypothèses il ressort que P(n+1) est vraie, soit ici P(0+1) soit P(1).

 

Pourquoi peut me demander le profane ? Parce que, par définition, nous avons au préalable défini une table de vérité pour l'implication. Cette table de vérité est la suivante :

P vraie, Q vraie, P implique Q vraie

P vraie, Q faux, P implique Q faux

P faux, Q vraie, P implique Q vraie

P faux, Q faux, P implique Q vraie

C'est à dire que, si nous juxtaposons les trois formules, P, Q, P implique Q, nous n'avons que les possibilités écrites ci-dessus.

Par exemple, si P est vraie et si P implique Q est vraie, nous voyons alors que Q est forcément vraie, nous n'avons que cette possibilité là dans cette table de vérité [il faut que le lecteur accepte cette définition, cette table de vérité, il s'agit d'une définition, pas d'une démonstration, d'un axiome en quelque sorte].

Donc la juxtaposition des deux assertions suivantes :

L'implication P(n) implique P(n+1) est vraie

 et P(0) est vraie, 

nous permet d'écrire que P(0 +1) est vraie (en remplaçant n par 0, qui est une opération de substitution, opération qui est un principe de la logique mathématique).

Maintenant que nous avons démontré que la proposition est vraie pour n = 1, nous pouvons continuer pour n + 2, et ainsi de suite. Nous avons notre démonstration.

Où est le problème alors (s'il y en a un) ?

Il est dans la démonstration de l'implication :

P(n) implique P(n+1).

Sans rien savoir sur la vérité ou non de P(n) nous démontrons l'implication. 

Et nous pouvons en effet démontrer que l'implication est vraie sans rien savoir sur P(n), sans savoir si elle vraie ou fausse.

Le lecteur profane va dire : "Bon si P(n) est faux on ne pourra jamais démontrer que l'implication est vraie !

Faux.

Prenons l'implication  0 = 1 implique 1 =2, les deux termes de l'implication 0 = 1 et 1 = 2 sont faux mais le raisonnement est juste, donc l'implication est vraie ! Cela ressort de la table de vérité citée ci-dessus, si P est faux et si P faux implique Q faux, alors P implique Q est vraie.

Mais dans ce cas là nous voyons que Q est faux, donc logiquement si P(n) est faux nous devrions trouver que P(n+1) est faux et donc en déduire que la récurrence est impossible. 

Mais il y a un autre cas de figure, redoutable.

En regardant la table de vérité je constate que P faux implique Q vraie est une implication  vraie ! Et là je reste perplexe.

Est-ce que, ne sachant donc rien sur P(n), c'est-à-dire ne sachant pas si elle est vraie ou fausse, et opérant des opérations de calcul sur P(n) vais-je forcément trouver que P(n+1) est faux dans le cas où P(n) est faux ? Je n'en suis absolument pas sûr ! Enfin pour l'instant  cette faille je ne l'ai pas encore comblée. Car si je trouve, après mes opérations de calcul que P(n+1) est vraie alors que P(n)est faux , alors pour moi  l'implication sera vraie (voir table de vérités) et je vais me planter ! 

Logiquement si P(n) est faux, je dois trouver que P(n+1) est faux. Mais voilà, je suis en train de traiter une récurrence qui est vraie pour n = 0 mais qui est fausse pour n = 3 (2^n plus grand ou égal à n²). Or je peux très bien démontrer que l'implication est vraie ! ce qui ne me permettra pas de détecter qu'elle est fausse pour n = 3. (En fait P(n+1) ne sera vraie que pour certaines valeurs de n, donc en principe tout va bien, sauf que les valeurs de n refusées ne comprennent pas la valeur 3 ! problème!).

 

 

Bon pour en revenir aux remarques de "Déjà utilisé" il a raison. Présentée comme elle est présentée la récurrence est un raisonnement circulaire. Mais elle ne devrait pas être présentée comme elle est présentée. L'erreur vient de l'enseignement lui-même. Nous ne devrions pas partir du principe que que P(n) est vraie dans le raisonnement.

Intéressante critique de "déjà utilisé" qui m'a permis d'approfondir le problème. Et du coup d'aller plus loin dans la compréhension des théorèmes de Gödel. Quand je possèderai bien la compréhension des théorèmes de Gödel, j'en ferai l'exposé ici car les théorèmes de Gödel sont en effet importants sur le plan philosophique. Mais il est nécessaire de bien comprendre le processus de la pensée de Gödel pour en tirer quelque chose qui tienne la route et non pas toutes les fantaisies que j'ai pu lire plus haut.

 

Tout de même savoir que "déjà utilisé" n'est pas un spécialiste des maths et constater que lui seul soulève un vrai problème est remarquable.  Bravo. "Déjà utilisé' va pouvoir dire à son fils que l'enseignement du secondaire fait  une erreur de logique ! Cela dit qu'il n'aille pas critiquer son enseignant ! Celui-ci fait ce qu'il peut avec les programmes écrits comme ils sont écrits.

Modifié le 21 décembre 2017 par aliochaverkiev

Bonjour.

Citation

Mais en l'occurrence nous parlons d'arithmétique, domaine dans lequel opère le tiers exclus.

Ah bon ? Il n'est donc pas possible pour un constructiviste de faire de l'arithmétique ? faudrait peut-être le signaler à tous ceux qui perdent leur temps...

 

Citation

moi je veux bien que vous créiez d'autres mondes, alors je vous dis : allez bossez, montrez nous ce que vous savez faire. 

Puis-je vous demander quel est votre problème avec moi ? Il n'a jamais été question de moi, sauf pour vous qui n'arrêtez pas de me mettre au centre du sujet. Pourriez-vous vous limiter à m'attaquer personnellement en messages privés, c'est dommage de polluer les files.

A+