Les théorèmes de Gödel et leurs implications

Le "truc" énorme que je ne vois pas, [ça me fait penser à la lettre volée d'Edgard Poe, et cela m'a inspiré pour la rédaction de mon post sur l'acticité consciente sélective) c'est que Spontzy (1) part de l'hypothèse que l'implication (P(n) implique P(n+1)) est vraie ! Je n'ai pas vu cette énormité !

Car comment forge-t-il l'hypothèse que l'implication est vraie ?

Soit il en démontre la vérité par l'extérieur de la logique de la récurrence et dans ce cas le raisonnement par récurrence est inutile : nous savons déjà que la proposition P est vraie sans la récurrence, nous savons que l'implication est vraie par le truchement d'un raisonnement qui ne s'appuie pas sur la logique même de la récurrence !

Soit il en démontre la vérité par la logique interne de la récurrence, donc par "l'intérieur" même de l'implication, et alors le raisonnement par récurrence est utile.

Etudions cette voie.

Comme la vérité ou la fausseté de l'implication dépend de la vérité ou de la fausseté  de P(n) et de P(n+1) il nous faut étudier  ces propositions.

Spontzy (1)ne l'oublions pas ne préjuge rien sur P(n).

Donc il nous faut étudier la proposition P(n+1).

(A suivre)

Comment allons-nous étudier la vérité ou la fausseté de P(n+1) ? Spontzy (1) [mais plus probablement Spontzy (0), car j'imagine mal le prof dire une telle énormité] donc Spontzy (indice incertain) étudie P(n+1) sans s'appuyer sur P(n) ! Mais si je peux prouver la vérité ou la fausseté de P(n+1) par un raisonnement extérieur à la récurrence je peux faire de même pour P(n) et je n'ai plus besoin de la récurrence pour démontrer la vérité ou la fausseté de la proposition en question. Donc rejetons cette voie d'étude.

Supposons que je démontre que P(n+1) est fausse. Dans ce cas il faut que P(n) soit fausse pour que l'implication soit vraie, mais nous ne devrions pas étudier cette voie puisque, si P(n+1) est fausse, la proposition n'est pas vraie quelque soit n et donc nous avons prouvé que la proposition est fausse. Toutefois pour les puristes il faut sans doute s'arrêter sur le fait que si P(n+1) est fausse et si je suppose que P(n) est fausse [je peux tout supposer quand à P(n) puisque pour Spontzy (1) on se fout de la vérité ou de la fausseté de P(n)] alors l'implication est vraie et je me retrouve dans les hypothèses de départ de Spontzy (1). Je reviendrai sur cette hypothèse ci-dessous.

(A suivre)

Supposons que je démontre que P(n+1) est vraie. Alors P(n) est soit vraie, soit fausse et, dans les deux cas, l'implication est vraie. 

J'ai donc les trois cas de figure à étudier, dès lors que je ramène la formule globale (P(n) implique P(n+1)) vraie à ses éléments :

P(n) vraie et P(n+1) vraie

P(n) fausse et P(n+1) vraie

P(n) fausse et P(n+1) fausse 

Si maintenant je  reformule les hypothèses de Sponzy (1) propres à conduire à la conclusion : "alors P(n) est vraie" quelque soit n plus grand que zéro, je dois écrire ceci :

Si P(0) est vraie pour n = 0, et si, pour tout n plus grand ou égal à zéro P(n) vraie implique P(n) vraie alors P(n) est vraie quelque soit n plus grand que zéro.

C'est-à-dire que je reformule les hypothèses de Spontzy (1) dans le langage actuel des manuels de mathématiques ! C'est-à-dire que je pose que P(n) est vraie ! Mais en étant plus rigoureux que Spontzy (1) j'évite de tomber dans les errements de Spontzy (0) à savoir la tentation de démontrer la vérité de l'implication (elle-même démontrée alors par la vérité de P(n+1))  en recourant à une démonstration extérieure à la récurrence (ce qui rendrait la récurrence totalement inutile).

Le lecteur peut alors se dire : tout ça pour en arriver là ! Car je me retrouve dans la même situation qu'au début de la "dispute" entre mes interlocuteurs et moi, à savoir : sachant que la formulation de Spontzy (1) et celle d'Aliocha sont identiques, à la différence près que la formulation d'Aliocha permet à l'étudiant de savoir comment commencer son raisonnement, comment commencer son devoir, son interro, sa bana, son épreuve de CAPES, etc. (il doit donc poser P(n) vraie et démontrer à partir de P(n) vraie que P(n+1) est vraie, ce que tout le monde fait dans le réel) quelque chose continue de pécher dans cette formulation mais quoi ?

(A suivre)

Je crois que je continuerai demain car là je suis fatigué. Heureusement que ce sont les vacances ! Sinon je n'aurais jamais eu le temps de dérouler un tel raisonnement. Ce qui est étonnant c'est que j'ai déroulé mon raisonnement sans savoir où j'allais arriver, et j'arrive à ma propre formulation de l'axiome de récurrence qui, en l'occurrence, est celle des manuels actuels. Celle de Spontzy (1) date mais je suppose qu'il ne doit pas être tout jeune le Spontzy (1).

Tout de même je me rends compte que je n'ai pas cherché là où il fallait l'incorrection de la formulation officielle de cet axiome. Car, dans ma formulation, celle qui a été actualisée aujourd'hui dans les manuels, nous avons toujours cette aberration :

Si, après initialisation à 0,  quelque soit n (la formule "plus grand que zéro" est inutile car n appartient à N) P(n) vraie implique P(n+1) vraie,  alors P(n) est vraie quelque soit n est toujours aussi aberrante. Car je déclare que P(n) est vraie sachant que P(n) est vraie !!!

Retour au point de départ.

Et j'ai la solution. Il y a erreur dans la formulation usuelle, l'erreur c'est d'écrire : si, quelque soit n P(n) vraie implique P(n+1) vraie, alors.... [on retrouve cette erreur dans la formulation de Spontzy (1)]. On retrouve même cette erreur dans les actuels manuels de mathématiques !!!

Pour déceler l'erreur il a tout de même fallu que j'étudie l'axiome lui même, dans sa formulation originelle, et que j'étudie les cours de master sur la logique ! Etude heureusement limitée à quelques pages, car dans ces pages les auteurs montrent l'origine de l'erreur. Origine liée au fait que les enseignants français ne sont pas instruits des attendus de la Logique (voir le post de "Déjà utilisé" où il cite Grenier).

Enfin puisque tu me lis Nicole je n'ai fait ce travail aujourd'hui que pour enseigner le petit. Samuel a droit au meilleur de moi. Il travaille tellement, et avec une telle confiance envers moi que je lui dois un travail parfait.

A suivre.

Il y a 16 heures, aliochaverkiev a dit :

Origine liée au fait que les enseignants français ne sont pas instruits des attendus de la Logique (voir le post de "Déjà utilisé" où il cite Grenier).

Bonjour,

J'attire ton attention sur le fait que dans ce document pdf, l'auteure construit ses raisonnements en partant de P(n) - comme il est donné - pour aboutir à P(n+1), et ainsi élaborer l'hérédité, elle n'introduit jamais d'hypothèse ad hoc, à tâtons, comme dans l'exercice du fiston, ce qui m'avait justement fait réagir.

D'ailleurs ce qui est intéressant, c'est qu'elle stipule bien d'emblée, que le principe de récurrence recouvre deux identités, celui de preuve et celui de raisonnement inductif pour construire, or pour ma part, ce n'est pas le principe en lui même qui me semble défaillant, dans son acceptation " théorique " en tant que principe, sous entendu tel que défini, constructif, mais son application effective dans les exercices, comme donnés dans " les mathématiques de A à Z, éd. Dunod " où il faut deviner la forme numérique de P(n) pour l'introduire/l'inoculer dans l'exercice, voilà ce qui me chagrine au plus haut point !

Et qui me fait me poser la question de la pertinence d'une telle procédure, il n'est pas impossible d'envisager que l'hypothèse introduite/extérieure/étrangère, puisse donner l'hérédité et en même temps être valide avec l'initiation, mais le doute demeure de savoir si on a résolu l'exercice donné/initial ou un autre avec l'introduction de cette hypothèse extrinsèque ? Qu'a-t-on prouvé au juste ?

Bonjour.

je ne sais pas si, en cette période de gastro, votre diarrhée verbale est terminée. Je me permets de vous donner un conseil (ce que mon grand age m'autorise à faire) : vous devriez utiliser le copier coller car cela évite d'oublier des lettres. Cela a de l'importance dans un énoncé mathématique.

C'est intéressant que vous citiez Grenier. Ma formulation du principe de récurrence :

SI

il existe un entier n0 tel que P(n0) est vraie (initialisation)

ET

pour tout n ≥ n0, P(n) ⇒ P(n+1) est vraie, (hérédité)

ALORS

pour tout n ≥ n0, P(n) est vraie.

Sa formulation (issue de son article "une étude didactique du concept de récurrence") : page 2, oh ben mince, elle est strictement la même que la mienne. J'ai vraiment de la chance, n'y connaissant strictement rien, de tomber mot pour mot sur la formulation d'une experte. Pourtant aliiochaverkiev annonce :

Citation

Il est probable que le prof de Spontzy a psalmodié cet énoncé des milliers de fois. Mais voilà il y a dans cet énoncé deux énormités [rappelons que l'énoncé de Peano, dans son texte d'origine, n'a rien à voir avec cet énoncé, j' y reviendrai]

Avez vous pensé à contacter Mme Grenier pour lui signifier qu'elle enseigne des énormités et que vous allez lui expliquer ses erreurs ?

A noter également les très bons exemples d'erreurs typiques dans la suite de l'article. On y retrouve les erreurs d'alliochaverkiev. Par exemple, il dit qu'il est nécessaire de supposer P(n) vraie :

Citation

Si nous en revenons à Peano, la récurrence est bien définie par l'initialisation à 0, puis par la constatation (faite comme on veut) que P(n) implique P(n+1) vraie, partant aussi que P(n) est vraie [sinon, je le répète, même si à l'issue d'un raisonnement je trouve P(n+1) vraie sans rien savoir de P(n) je ne rien inférer quant à l'implication elle-meme]

Je cite alors Grenier (page 3):

[Je ne réponds pas pour le moment aux intervenants car il est nécessaire que je ne me laisse pas distraire et que j'aille jusqu'au bout de ma recherche]

Tout d'abord, je vais trop vite : il n' y a pas identité entre la formule (P(n) implique P(n+1)) vraie et P(n) vraie implique P(n+1) vraie. Simplement quand je m'attèle, pratiquement, à utiliser le raisonnement par récurrence pour poser la vérité d'une proposition portant sur N, et quand, ce dont je dispose, c'est uniquement de cette assertion (P(n) implique P(n+1)) vraie, il faut bien que je commence mon travail pratique à partir de cette formule. Soit je la démontre par l'extérieur de la récurrence mais alors je n'utilise plus la récurrence pour asseoir ma démonstration, soit je la démontre par l'intérieur, et je dois alors la décomposer. Je la décompose alors sous les trois possibilités qui mènent à sa vérité (voir mon exposé ci dessus) et je ne retiens que la seule possibilité pouvant me permettre d'en arriver, éventuellement, à la conclusion : donc P(n) est vraie quelque soit n, c'est à dire la décomposition suivante  : P(n) vraie, en vue de démontrer  la vérité de la proposition P(n+1). 

Au demeurant, quiconque se penche sur toutes les annales des maths, tous niveaux confondus, voit que tous, dans la pratique, partent de ce point de départ.

Regardons maintenant comment nous procédons, pratiquement.

A suivre.

Citation

Tout d'abord, je vais trop vite : il n' y a pas identité entre la formule (P(n) implique P(n+1)) vraie et P(n) vraie implique P(n+1) vraie

C'est bien de vous rendre compte de cette erreur. Que je dénonce depuis 4 jours.

Citation

Ce dont je dispose, c'est uniquement de cette assertion (P(n) implique P(n+1)) vraie, il faut bien que je commence mon travail pratique à partir de cette formule.

Vous ne disposez pas de cette assertion. C'est l´objet même de la démonstration par récurrence que de démontrer cette assertion (en plus de demontrer qu'il y a possibilité de réaliser l'initialisation). On en est là, sérieusement ?

[Désolé toujours de ne pas répondre mais il est impératif que je termine mon raisonnement].

Comment donc travaillons-nous dans la pratique ?

Nous posons P(n) vraie pour k fixé. 

Ou encore : soit P(k) vraie pour k fixé.

Je peux bien sûr utiliser toute autre lettre que la lettre k, mais nous évitons d'employer la lettre n pour éviter cette confusion : croire, en utilisant la lettre n, que  la proposition est posée comme étant vraie pour toutes les valeurs possibles de N.

Or ce n'est pas du tout le cas, nous posons P(k) vraie pour une valeur fixée. Fixée mais non déterminée, d'où l'utilisation du calcul littéral (et là nous voyons toute la puissance du calcul littéral).

Puis une fois posée P(k) vraie pour une valeur k fixée nous démontrons que P(k+1) est vraie.

La puissance du calcul littéral, calcul que peu de personnes comprennent (et nous avons là un critère de distinction entre les "doués" en maths qui pigent immédiatement le calcul littéral, et les autres, qui finissent par savoir utiliser le calcul littéral, mais sans jamais le comprendre; n'oublions pas que les Grecs, pour doués qu'ils furent en maths, ne parvinrent jamais à concevoir le calcul littéral) est que je peux à partir, non d'un nombre, mais d'une lettre, opérer des démonstrations.

Une fois que j'ai réalisé ma démonstration, P(k) vraie implique P(k+1) vraie, pour k fixé, quelle démarche vais-je tenir ? (Dans la pratique nous sommes tellement habitués à ce raisonnement que nous omettons ensuite de dire ce que nous faisons mentalement).

Il me faut maintenant, bien sûr, trouver une occurrence dans laquelle P(k) est vraie. Sinon mon raisonnement s'écroule. Car, s'il n' y a aucune occurrence, je ne peux pas poser P(k) vraie. Or je la trouve, cette occurrence, je la trouve grâce à l'initialisation.

Supposons que l'initialisation à 0 fonctionne, si je remplace maintenant k par 0, je vois que P(0) vraie implique P(1) vraie, et donc j'ai maintenant, P(0) vraie et P(1) vraie. Mais si P(1) est vraie alors si je remplace k par 1, P(1) vraie implique P(2) vraie, et j'ai maintenant, P(0), P(1); P(2) vraies. Et, ainsi de suite, je construis la vérité progressive de ma proposition : P(0) vraie, P(1) vraie, P(2) vraie, P(3) vraie... Cependant je n'aurais jamais fini de construire la vérité de ma proposition, car N n'est pas fini. Je devrais construire, selon des opérations en nombre infini, la vérité de ma proposition sur tout N.

C'est là qu'est posé l'axiome de la récurrence. C'est qu'en effet je perçois comme étant vrai, grâce à cette construction progressive, le fait que P(n) sera vraie pour toutes les valeurs de l'ensemble N ! Mais il s'agit là d'une intuition, pas d'une démonstration. D'où la dénomination : axiome. 

(A suivre)

Nous devrions donc présenter le raisonnement par récurrence ainsi :

Soit P(n) une proposition établie sur N,

Si P(0) est vraie,

Si pour k fixé, P(k) vraie implique P(k+1) vraie,

Alors la proposition est vraie pour tout valeur successive construite à partir de 0 avec un pas égal à 1,

Alors (axiome) la proposition P est vraie pour tout n appartenant à N.

Au lieu de cela les rédacteurs écrivent le plus souvent ceci :

Soit P(n) une proposition établie sur N,

Si P(0) est vraie,

Si pour  tout n appartenant à N, P(n) vraie implique P(n+1) vraie, [ou, ce qui revient au même P(n) implique P(n+1) ) vraie]

Alors P(n) est vraie quelque soit n appartenant à N.

Formulation paresseuse, non rigoureuse, bâclée pour tout dire, prêtant en plus à confusion, car l'étudiant qui passe rapidement sur ce texte (en plus la récurrence il n'en a rien à faire le plus souvent, vu que ce raisonnement est rarement employé) se dit '"Tiens, le mec, là, il me dit que si P(n) est vraie quelque soit n, alors P(n) est vraie quelque soit n !!!"

Fin de l'étude.

Cette étude va me permettre d'étudier Gödel, parce que justement Gödel s'appuie sur la récurrence pour son premier théorème "il est impossible de vérifier une proriété P(n) pour chacun de ses entiers naturels : P(0), P(1), P(2) etc. et de démontrer la formule  etc. " puis ça continue, mais là je n'en suis qu'au début de cette étude. Content de me retrouver chez Gödel à l'issue de ce travail tout de même assez long.

Bon je lis Spontzy mais il tombe dans une polémique stérile, il n'apporte rien. Il n'est que dans le "contre", pas dans la création.

"Déjà utilisé" il faudrait que tu lises la fin de ma démonstration.

J'ai pris ici ce que je voulais, j'ai pensé des arguments pour mon propre enseignement. Je vais éditer mon étude et l'utiliser pour mes élèves. Après tout depuis que j'enseigne j'emmène tous mes élèves vers le succès, à commencer par mes fils. Je me juge sur les faits, pas sur le jugement d'un vieillard vexé.

Puis-je me permettre de vous demander qui vous traitez ainsi de "vieillard" ? J'attends votre réponse pour savoir si je dois du coup me sentir personnellement vexée ou non  Indirectement, certes, mais tout de même

il y a 52 minutes, Kretine a dit :

Puis-je me permettre de vous demander qui vous traitez ainsi de "vieillard" ? J'attends votre réponse pour savoir si je dois du coup me sentir personnellement vexée ou non  Indirectement, certes, mais tout de même

Vous n'êtes pas visée même si vous êtes une Ancienne. Vous pouvez bien avoir cent ans et je pourrais ne pas pour autant vous citer comme "vieillarde".

Vous pouvez me rappeler le nom de l'artiste qui vous a inspirée pour votre avatar ? Le fil d'hier, où nous conversions, a été supprimé, suite aux incandescences de mon frère sibérien.

il y a 2 minutes, aliochaverkiev a dit :

Vous n'êtes pas visée même si vous êtes une Ancienne. Vous pouvez bien avoir cent ans et je pourrais ne pas pour autant vous citer comme "vieillarde".

Vous pouvez me rappeler le nom de l'artiste qui vous a inspirée pour votre avatar ? Le fil d'hier, où nous conversions, a été supprimé, suite aux incandescences de mon frère sibérien.

http://www.kenart.net/portfolio/moonlight.htm

[fin du HS]

Il y a 13 heures, Kretine a dit :

http://www.kenart.net/portfolio/moonlight.htm

[fin du HS]

Oui Krétine, je trouve que votre nouvel avatar est plus attrayant que le précédent, celui que vous aviez temporairement choisi pour remplacer le bocal.

Je vous fais progresser, j'en suis heureux. Peut-être allez-vous sortir la tête du bocal ?

Peut-être même n'allez-vous plus vous désigner vous-même par ce vocable : Krétine ?

J'espère suffisamment vous agacer pour vous donner confiance en vous.

[Affectueusement]

Bonjour.

Donc fin de la démonstration d'aliochaverkiev. Grandiose. Festival. Dans une même démonstration, il admet qu'un raisonnement est faux mais l'utilise quand même. Il invente le concept mathématique de "diffère mais revient au même" (faut oser). Il cite Grenier qui (quelle chance j'ai eu) énonce la recurrence exactement comme moi. Cette Grenier est vraiment une nulle, elle ose évoquer dans son article des erreurs d'étudiants de premier cycle, et partis ces erreurs, on trouve celles que fait aliochaverkiev. Ce sont de sacrés clampins ces mathématiciens du CNRS.

A+

Pour aller plus loin, il y a une construction des nombres qui est intéressante. Celle des logicistes. 

Si on reste sur une logique de premier ordre, tout est clair (enfin sauf pour certains...). On axiomatise la recurrence. Déjà au 19ème, comme l'a évoqué déjà-utilise, il était connu que l'axiome de la récurrence n'était pas démontrable à partir de principes plus primitifs et du seul calcul des prédicats (contrairement au tiers exclus qui est démontrable à partir des calculs des prédicats et de l'axiome du choix). Bref, on doit axiomatiser l'induction. Ce que fait Peano, par exemple.

Il y a une seconde vision, très interessante. C'est de la logique de second ordre. Si des personnes la connaissent, j'aimerais la découvrir en détail. C'est basé sur la construction logiciste des nombres entiers. On part du principe de Hume (deux ensembles ont le même nombre d'éléments si on peut mettre chaque élément du premier en bijection avec chaque élément du second, ou autrement dit à chaque élément d'une famille, on peut faire correspondre un uniquement element de l'autre famille, et réciproquement) puis 3 axiomes (définition du zéro, du successeur immédiat et de la clôture transitive).

Dans cette logique, le principe de recurrence est démontré. Formellement. C'est un sujet super intéressant car du coup, pour justifier philosophiquement l'induction, on se limite à la nature même des entiers.

A creuser, si ça intéresse.

A+

Je vais maintenant en terminer avec la récurrence.

La définition du raisonnement par récurrence, présentée par Spontzy, existe en effet. Je la retrouve dans les manuels de prépa de mes fils, mais cette définition date. Depuis, la définition du raisonnement par récurrence a été modifiée par nos universitaires, celle qui prévaut aujourd'hui est celle que je mentionne.

La divergence entre ces deux définitions m'a intrigué. Je pars du principe que les mathématiciens qui pensent les programmes ne sont pas incohérents. Du coup je suis parti de la définition de Spontzy et je l'ai décortiquée. Bien sûr, ce fut long, mais même si mon exposé fut long, un esprit honnête verra que je ne fais que dérouler un raisonnement qui tient compte de toutes les possibilités. C'est donc un travail long.

J'arrive à cette conclusion que les deux définitions disent, in fine, la même chose. Nos universitaires sont donc cohérents. 

Mais je suis encore intrigué : pourquoi nos universitaires ont-ils corrigé cette définition ?

Du coup je regarde comment les exo sur la récurrence étaient traités lorsque prévalait la définition de Spontzy.

Ces exo étaient traités exactement de la même façon qu'aujourd'hui ! A la différence près qu'à l'époque de Spontzy nous ne posions pas que P(n) était vraie. (Mais tous les raisonnements partaient bien de la proposition  P(n) pour démontrer la proposition P(n+1) au contraire de ce qu'affirme Spontzy. Ceux qui possèdent chez eux les précis Bréal verront que dans le précis 2002, MPSI, cours d'Algèbre et géométrie, page 232, les corrigés partent bien de la proposition P(n) pour démontrer P(n+1)).

Comment a-t-on vu qu'il fallait ajouter cette condition ? 

Ils l'ont vu à ceci. Avant, nous démontrions, à partir de la proposition P(n) la proposition P(n+1) et nous trouvions que la proposition P(n+1) était vraie. Sans rien savoir sur P(n) [et je comprends mieux Spontzy, qui, sans doute est honnête car éduqué à l'ancienne ] nous en déduisions alors  que l'implication était vraie. Et c'est là que résidait l'erreur. Car la vérité de l'implication ne dépend pas du raisonnement mais de la valeur de vérité des deux propositions P(n) et P(n+1).

Traité de logique mathématique, licence, master, Dunod, par Cori et Lascar , page  33 :  "Il y a une autre difficulté dans l'implication, c'est que les mathématiciens (entendez les anciens) y voient en général une notion de causalité, dont le calcul propositionnel ne tient, lui, aucun compte". Le raisonnement, la causalité n'emporte pas la vérité de l'implication ! C'est la valeur de vérité des propositions qui emporte la valeur de vérité de l'implication. Si donc par le raisonnement je trouve que P(n+1) est vraie cela ne me permet pas de déduire que l'implication est vraie, il faut encore que je sache la valeur de vérité de P(n).

C'est pour cela que les universitaires posent maintenant que P(n) est vraie. "P(n) vraie et P(n+1) vraie" permet  du coup de poser que l'implication est vraie.

Cette habitude : prendre l'implication pour une relation de cause à effet est incrustée depuis des décennies dans les esprits !!!  J'ai commencé à déceler l'erreur de cette habitude en enseignant un petit de troisième. En voulant lui expliquer l'implication je me suis aperçu que cette habitude n'était pas fondée. Je me suis aperçu que l'implication ne peut pas être assimilée à une relation de cause à effet. Je l'ai remarqué parce que je m'efforce de transmettre à ce petit le meilleur de moi-même tant il est doué ! Mais avant, oui, j'étais comme Spontzy, je ne mettais pas en doute le fait que : implication et causalité était  obligatoirement liées. Remarquons que, dans les tous nouveaux programmes de maths du secodaire, l'implication a disparu.

Je reviens sur l'implication.

Les mathématiciens ont tellement été habitués à confondre raisonnement et implication qu'ils pensent qu'un raisonnement juste emporte une implication vraie. Sur ce point je sais que je ne pourrais pas faire réfléchir Spontzy ! 

Cette dernière remarque me conduit à explorer cette digression : l'argument d'autorité utilisé par Spontzy "je suis âgé donc j'ai raison" ne va pas avec les sciences exactes. C'est même un secteur, les sciences exactes, où les personnes jeunes sont toujours plus fortes que les personnes âgées. Dans ces secteurs-là c'est la puissance de calcul des neurones qui l'emporte, pas l'expérience. Or quand nous vieillissons nous perdons chaque jour des millions de neurones, nous sommes moins bons au fur et à mesure que nous prenons de l'âge, concernant les sciences exactes. L'âge permet de s'améliorer dans les connaissances humaines, dans les sciences humaines, même dans certaines activités de création artistique, grâce à l'accumulation d'expériences vécues humaines, pas dans les sciences exactes. Dans les sciences exactes l'argument d'autorité ne fonctionne pas.

Et là nouvelle digression. Je réfléchis à l'énervement de "déjà utilisé" quand je lui ai balancé la théorie de la falsification de Popper. Je lui ai balancé cette théorie pour avoir raison sur lui, mais dans mon for intérieur, cette théorie de Popper, je m'en bats l'œil. Pourquoi ? Parce que, utiliser Popper, c'est utiliser un argument d'autorité. Or, dans mon for intérieur, un argument d'autorité, dès lors que nous parlons de sciences exactes, n' aucune valeur.

Je reviens sur l'implication.

Mathématiques L1, sous la direction de T.P. Marco, Pearson, page xxiii, : " Dans la pratique, afin d'établir que (p implique q) est vraie, on suppose p vraie et on cherche à démontrer que q est vraie".

Cette habitude est tellement enracinée chez les mathématiciens qu'ils ne voient plus qu'ils posent que p est vraie. 

En effet, tout au cours de notre scolarité, quand nous devons démontrer un théorème ou le retenir, nous partons toujours de propositions supposées vraies. Quand nous démontrons le théorème de Pythagore nous partons toujours du principe que  "le triangle considéré est rectangle" est une hypothèse vérifiée (vraie). Et c'est toujours comme ça. Parfois nous pouvons employer la contraposée certes, mais alors nous savons que la proposition d'origine est fausse. C'est-à-dire que nous savons toujours si la proposition d'origine est vraie ou fausse. On peut bien sûr signaler les ruses des prof qui posent comme allant de soi (vraie) une proposition en fait fausse ! histoire de fourvoyer l'élève ! 

Or, est-ce qu'un raisonnement juste, qui conduit à établir la vérité d'une proposition (Q), permet d'écrire :

(P implique Q) est vraie ? Non, Car P peut être fausse et, du coup, P implique Q est fausse.

Prenons un exemple.

Soit la proposition P suivante :

n< n.

Elle est fausse (le plus petit est ici un plus petit "strict")

Pourtant je peux démontrer, à partir de cette proposition fausse, que la proposition Q : n+1 < n +1 est vraie. Elle est vraie intrinsèquement, c'est à dire vraie en tant que résultat d'une démonstration, c'est là la puissance d'une démonstration, c'est d'arriver à des conclusions "internes" vraies. Bien sûr si je me reporte au "réel" je dirai que n + 1 < n +1 est fausse, mais si je reste à l'intérieur de la démonstration (n +1 < n +1) est vraie.

Nouvelle digression (j'utilise manifestement le forum pour travailler, c'est-à-dire que j'utilise le forum comme un brouillon). Nous touchons là un point extrêmement important, c'est la question des connaissances a priori de Kant (qui s'appuie sur les connaissances a priori des Grecs) : si je pars d'une proposition vraie, et si mon raisonnement est vrai, je n'ai pas besoin de recourir à l'expérience pour être sûr que ma conclusion est vraie. Ca n'a l'air de rien mais c'est fascinant ! Mais il faut que je parte d'une proposition vraie pour avoir ce sentiment de certitude, que la conclusion est vraie.

Je pense à ça (digression) :quand je pose la question: est-on sûr qu'un raisonnement juste, appliqué à une proposition vraie conduit à une conclusion vraie (poser une telle question est un comble ! car je pose une question qui remet en cause le raisonnement mathématique dans ses fondements mêmes) nul ne peut me répondre ! 

Cela me rappelle les crises de nerfs de mon frère aîné quand je lui demandais, lorsque nous étions ado : "pourquoi les corps tombent-ils vers la terre ? ". Lui, physicien, s'énervait : "Parce que Newton !" et moi je continuais : "Oui, d'accord, mais dis-moi pourquoi les pommes tombent-elles vers la terre ?" Et lui de s'énerver et d'appeler ma mère (chimiste) à la rescousse, laquelle m'engueulait : " Mais enfin est-ce que tu te demandes pourquoi l'arbre que tu vois existe ?" Ca me fermait le bec, mais, une fois seul dans ma chambre, je me disais "Oui, mais pourquoi l'arbre que je vois existe" ? j'étais loin de savoir que je me posais les questions fondamentales de la philosophie ! La fameuse question "Pourquoi y a t il quelque chose plutôt que rien ?"

Je revient à mon implication :

Ma démonstration est juste, mais l'implication est fausse.

Bien sûr, si je suis de mauvaise foi je peux dire : " Oui mais dans le cadre de la récurrence, j'initialise, et gnan gnan gnan et gnan gnan gnan". Mais le problème n'est pas là ! Le problème est qu'un raisonnement juste ne permet pas d'être sûr qu'une implication est vraie ! Et que, dans les faits, nous partons sans le savoir, sans en prendre conscience, d'une hypothèse vraie pour démontrer qu'une conclusion est vraie.

Bon je crois que j'ai le tour de la question.