De la légitimité de l'emploi des équations différentielles en Physique

Posée abruptement la question peut sembler étrange. Quand on sait le développement qu’a connu l’analyse mathématique et combien les notions de limites, de dérivées et d’équations différentielles ont été productives, on peut même s’interroger sur l’état mental de celui qui ouvre un tel sujet de discussion. C’est pourquoi un petit préambule me semble indispensable pour expliquer le sens à donner à mon questionnement.

Le point de départ sera la définition même de la notion de limite (ou de dérivée) définie par 

f’(x₀) = lim [ ( f(x₀+h) - f(x₀) / h ) ]  avec h--> 0 et h ≠ 0

définition connue par tous les potaches dès la classe de 1ere. La fonction f(x₀) étant ici sensée remplir les conditions qui la rende dérivable en x₀.

Cela est bel et bon en mathématique car pour un mathématicien le résultat d’un quotient tel que 10 ^-2500 par 10 ¹²³⁴⁵ donne un nombre réel ayant une valeur claire et unique, et rien ne permet de mettre en doute la validité de la définition. Cependant si le passage à la limite s’opère de façon automatique et sans état d’âme d’origine métaphysique en mathématique, il n’en va plus de même lorsque l’on se sert de cette définition pour l’appliquer à des calculs sensés avoir une signification physique.

On sait que les physiciens dans leur sagesse, se sont imposés des limites à ne pas franchir quand les calculs les obligent à utiliser des quantités trop petites. Et cela quelques soient la nature de ces quantités. Les temps, les distances, quand ils deviennent infiniment petits, se sont plus accessibles aux investigations des physiciens. Pas un seul d’entre-eux n’oserait imaginer une durée inférieure à celle que mettrait la lumière, par exemple, pour franchir une distance égale au dix milliardième de la « taille » d’une particule élémentaire (pour autant qu’on puisse attribuer une « taille » à une particule. Guère plus nombreux seraient ceux qui accepteraient de diviser par 10 ²⁸⁰ la distance séparant un proton de son électron dans un atome d’hydrogène. Et on peut saluer la modestie qui leur fait dire qu’avec de tells quantités à manipuler, on se lancerait dans des spéculations qui feraient douter du sérieux de la Science au plus crédule des ignorants.

Et pourtant ! Un étudiant niveau seconde à qui on demanderait la valeur de la dérivée d’une simple fonction telle que f(x)= x², trouverait quelque chose comme f’(x)= 2x dx+dx². Il admettrait très bien que si dx est un infiniment petit, alors son carré doit être encore plus petit, donc serait négligeable. Ce serait une erreur bien entendu, mais combien pardonnable pour lui qui ne connaîtrait pas les infiniments petits des deuxièmes, troisièmes ou n sème ordres.

Or quiconque regarde la définition de la limite telle qu’elle est donnée en haut de ce post peut légitimement s’octroyer le droit de faire de h une quantité devenant de plus en plus petite et de voir cette quantité atteindre des valeurs qu’aucun physicien n’accepterait d’envisager. Et pourtant, ils dérivent et intègrent à tour de bras !

C’est là qu’apparaît le sens caché que la question posée : un physicien qui écrit une équation différentielle, qui peut être d’ordre 3 ou 4; ou plus même dans certaines théories, et qui mieux est souvent une équation aux dérivées partielles sait très bien que le résultat implique nécessairement le passage à des quantités qu’il s’interdit lui-même d’utiliser car il sait que ces quantités les plonge, lui, ses théories et ses calculs dans un monde où la réalité physique n’a plus aucun sens, où aucune mesure ne peut plus être faite et où peut-être règnent des lois dont nous ignorons absolument tout.

Merci, donc aux savants, j’entend à ceux qui savent, de bien vouloir éclairer ma lanterne.

Pourquoi les ODE et les PDE approchent de façon convenable les phénomènes physiques? Ben regarde le nombre de technologie qui marchent grâce à ça.

Oui, merci. Mais là n'est pas la question, tant que des équations différentielle, ordinaires ou partielles, servent à décrire des phénomènes macroscopiques, on peut sans risque les appliquer à la résolution de problèmes de la vie courante. Quel ingénieur mécanicien ira s'inquiéter d'une différence d'usinage de l'ordre du nanomètre dans l'usinage d'un vilebrequin de voiture ?  Ce n'est pas là l'objet de ma question.

D'ailleurs je voudrais la préciser par un petit exemple simple à comprendre.

Supposons un physicien un peu tête en l'air qui ne se souviendrait pas de la méthode à utiliser pour calculer une dérivée. Comme il connait (tout de même) la définition telle que je la rappelle dans mon post initial et qu'en outre in ne souhaite obtenir qu'une valeur numérique pour une certaine valeur de la variable, alors, muni d'une simple calculette il va se contenter de faire varier le terme h de la définition et le rendre de plus en plus petit.... Tôt ou tard, il finira par donner à h une valeur inférieure à ces fameuses valeur de Planck, dont il n'a pas oublié l'existence. Alors que doit-il faire ? Arrêter son calcul ou faire h encore plus petit ?

Et a fortiori, si ces petites valeurs de h laissent entrevoir l'apparition d'un phénomène devenu chaotique, va-t-il laisser passer sa chance de découvrir quelque chose d'inédit quitte pour cela à défoncer un des murs de Planck, le maçon ?

.... suite. Et continuons, plus fort encore. En faisant h de plus en plus petit, il va s'apercevoir que bien que semblant converger la série de ses calculs s'enrichit de termes de plus en plus grands, il s'attend donc à trouver, soit un point d'inflexion, soit un point de rebroussement, soit peut-être à voir sa série diverger. Mais il est déjà bien en dessous des fameuses limites. S'il s'était souvenu de sa table des dérivées élémentaires, il aurait obtenu la dérivée théorique donnant un résultat stable et rassurant sans remarquer ce phénomène... D'où ma question sur la légitimité.

Bonsoir,

Tout d'abord, deux petites précisions : 

J'ai l'impression que les choses sont floues dans ta tête. Tu mélanges dérivée et différentielle d'une fonction. 

Ce que le physicien fait souvent, c'est limiter ses résultats à un certain ordre, en négligeant les termes d'ordre supérieurs. ( Développement de Taylor par exemple) 

Pour répondre maintenant à ta question, les physiciens utilisent les équations différentielles/intégrales etc.. comme un outil. Les théorèmes mathématiques donnent des résultats en fonction d'hypothèses. On sait que si les hypothèses sont vérifiées, alors le résultat est forcément vérifié. (Reste à s'assurer que les physiciens pensent à vérifier les hypothèses... mais c'est un autre débat !) La physique moderne se base sur les mathématiques et l'abstrait. Ils donnent un cadre dans lequel calculer, puis seulement, avec le résultat, on peut tirer des conclusions. Les étapes intermédiaires d'un calcul ou d'un développement n'ont plus forcément de sens physique. 

Pas vraiment, j’utilise ces mots pour fixer les idées. Seule la notion de limite est en question.

D’autre part, je sais aussi que développer une fonction en série en se limitant à un ordre donné, soit parce que la série (Mac Laurin ou Taylor) obtenue converge suffisamment vite pour qu’on puisse se limiter à l’ordre choisi, soit parce que la précision souhaitée est atteinte, et un usage courant et souvent simplificateur de calculs. Mais vous ne semblez pas comprendre l’objet de ma question.

J’ai plus haut donné l’exemple puéril du physicien qui dans la formule de la limite, fait varier h par valeurs de plus en plus petites pour voir la suite obtenue converger vers ce que l’on appelle la dérivée de la fonction.

Et ma question reste toujours la même : quand h devient inférieur à l’une des limites de Planck, est il légitime de l’appliquer à la résolution d’un problème physique? 

Rien de plus, et personne n’a encore répondu à cette question toute simple.

Cela étant, je suis conscient du fait que le modèle de la MQ est une oeuvre grandiose, probablement même ce que l’homme a produit de plus grand comme outil d’investigation dans le domaine de l’infiniment petit. Conscient aussi, qu’en rien ce modèle ne prétende décrire une réalité physique. Et conscient enfin que les prédictions que permettent ce modèle sont non seulement vérifiées, mais qu’elles conduisent à des applications pratiques innombrables. Tant qu’on lui fait confiance en tant que modèle, toujours perfectible, et tant qu’on ne décide pas de l’appeler théorie physique, je ne puis que reconnaître ses mérites.

Donc merci de bien vouloir me dire, même par MP, si oui, ou non, la question formulée ici en gras est contradictoire avec la question du sujet de ce post. Merci.

Il a été déjà répondu que les mathématiques ne sont qu'un outil pour le physicien.

Un phénomène physique est étudié et on cherche à le mettre en équation cad, on cherche la "formule" mathématique qui le décrit le mieux ( ou le moins mal). Mais rien ne dit ue le phénomène étudié suit totalement les équation mathématiques dans ses retranchements aux limites !

En thermodynamique les dilatations sont décrites rapidement par des fonctions du type  a +bT. En réalité elles suivent une loi polynomiale où les valeurs de degré carré, cube... deviennent négligeables en pratique. Ce fut le casse tête des inventeurs de thermomètre à liquide : trouver une paroi et un liquide du thermomètre où le terme bT² et les suivants seraient négligeables !

 En chimie et en biochimie, les forces d'interaction moléculaires dépendent du degré de dilution et de la nature du solvant. Une équation qui donne satisfaction à une concentration donnée peut très bien être totalement fausse si la dilution et 100 ou 1000 fois plus faible. Que dire alors des dilutions "homéopathiques ?

Le 15/09/2017 à 22:52, azad2B a dit :

.... suite. Et continuons, plus fort encore. En faisant h de plus en plus petit, il va s'apercevoir que bien que semblant converger la série de ses calculs s'enrichit de termes de plus en plus grands, il s'attend donc à trouver, soit un point d'inflexion, soit un point de rebroussement, soit peut-être à voir sa série diverger. Mais il est déjà bien en dessous des fameuses limites. S'il s'était souvenu de sa table des dérivées élémentaires, il aurait obtenu la dérivée théorique donnant un résultat stable et rassurant sans remarquer ce phénomène... D'où ma question sur la légitimité.

Je vous conseille d'essayer de publier le résultat de vos cogitations ici : http://imstat.org/aihp/default.htm

http://imstat.org/aihp/mansub.html

Ca m'a l'air d'être la revue appropriée, d'autant plus que vous pouvez même publier en français.

Il fallait bien qu’un plaisantin se présente… chanou, coucou, le voilà.

Nulle part, je ne fais allusion à une quelconque découverte, faudrait tout de même pas me prendre pour un contre exemple en puissance !

Et Répy, que je salue, n’a pas, malgré sa rigueur habituelle, répondu à ma question, pourtant formulée (en gras) dans ma précédente intervention.

Encore que la petite observation que je cite

Mais rien ne dit que le phénomène étudié suit totalement les équations mathématiques dans ses retranchements aux limites

s’approche très près du coeur du sujet.

Un petit exemple. La vitesse, dérivée de l’espace parcouru par un corps en chute libre est v= dE/dt soit gt si l’on passe à la limite, mais si l’on s’arrêtait avant que h ne soit inférieur aux limites de Planck ce serait quelque chose de la forme v=gt + erf(t) (où erf serait une fonction d’erreur). En mécanique classique cette erreur peut être totalement éliminée car le passage à la limite y est parfaitement autorisé, mais cela n’est plus vrai (du moins je crois, et c’est là que je souhaite être corrigé) dans le monde d’ l’infiniment petit.

Bref, fermons le sujet puisque personne ne l’a compris ce qui doit être de ma faute, sans doute.

Merci.

Il y a 1 heure, azad2B a dit :

Il fallait bien qu’un plaisantin se présente… chanou, coucou, le voilà.

Nulle part, je ne fais allusion à une quelconque découverte, faudrait tout de même pas me prendre pour un contre exemple en puissance !

 

Mais je ne plaisantais nullement. Et vous n'avez apparemment aucune idée de la manière dont fonctionnent les recherches en sciences. Lorsqu'on émet une hypothèse, comme ce que vous faites au premier message, on essaie de la valider. Mais pas sur un forum généraliste...pas sur un forum du tout, d'ailleurs. La science quelle qu'elle soit,  ne se fait pas sur les forums. Et dans le cas d'espèce, elle se fait sur un tableau noir avec une craie.

Dans ce genre. https://www.ihes.fr/wp-content/themes/ihes/assets/img/soutien/ihes-soutien-priorites

Mon conseil était tout ce qu'il y a de plus sérieux.

Je ne fais aucune recherche et n'émet aucune hypothèse. Pas plus d'ailleurs que je ne prétend ici, faire de la science. Je posais une question, toute candide et n'espérais qu' une réponse, rien de plus. Si personne n'y peut répondre, tant pis.

Il y a 1 heure, azad2B a dit :

Je ne fais aucune recherche et n'émet aucune hypothèse. Pas plus d'ailleurs que je ne prétend ici, faire de la science. Je posais une question, toute candide et n'espérais qu' une réponse, rien de plus. Si personne n'y peut répondre, tant pis.

Azad tu as dit toi même que les physiciens se méfiaient du passage aux limites !

 effectivement une équation peut être traitée en mathématiques jusqu'aux limites genre zéo ou infini.

En physique le zéro en dimension n'existe pas puisqu'une particule a une "dimension", une masse ou une énergie ou une charge ou un spin ou un moment magnétique...non nul.

du côté de l'infini, ce n'est pas mieux : l'univers que l'on observe est fini, en dimension, en masse en énergie... Donc dès que le traitement mathématique de l'équation de références aborde les "limites" physiques, on arrête le calcul qui n'aurait plus aucune signification physique.

Hé bien Répy, enfin, je te retrouve ! C'est autour de cela que mon raisonnement ... déraisonne. A-t-on le droit, en Physique, de dériver une fonction ? Et par extension, de résoudre une équation différentielle en l'intégrant ? That is the question ?

ya pas un philosophe dans le coin ? BHL, au secours   tu es certainement ici, à nous lire en espérant trouver du grain à moudre .

Bonjour.

Je tente une réponse. Me dire si je pars hors sujet.

En quoi consiste le travail du physicien ? Il crée des modèles qui permettent de décrire la réalité (considérons ici que vous reconnaissez l’existence d’une réalité). Ces modèles sont des inventions pures. Pour formaliser ces modèles, formaliser au sens de sortir de son esprit pour le communiquer aux autres êtres pensants, il utilise le langage. Souvent, il a utilisé le langage courant (la langue parlée). Depuis Galilée, il utilise les maths. Il n’a jamais été dit que le « grec ancien » est la réalité. Ni que les maths sont la réalité. Le réel se comporte simplement comme je le formalise dans mon modèle. Il n’y a aucune volonté (ou en tout cas aucune possibilité) du scientifique de dire que la réalité est identique à son formalisme.

Mais par contre, son formalisme se comportant comme la réalité, il l’utilise. Si son langage est le grec ancien, le scientifique dira que les planètes orbitent sur tel ou tel cercle. Si son langage est les maths, le scientifique fera des dérivées. Calculera des limites, etc…

Deux remarques pour avancer :

1)      La question qui me travaille plus, c’est les mathématiques existent elles ou sont-elles invention humaine ? Car selon la réponse le lien entre le modèle du physicien et la réalité s’en verrait peut-être affecté.

2)      Pourquoi aller sur les dérivées ? Plus « simplement », utiliser des nombres réels en physique pose la même question. Il n’y a pas d’infini indénombrable (et les infinis dénombrables ?) en physique. Donc dire que la masse de la Terre est un nombre réel consiste à dire qu’il y a plus d’information dans un nombre décrivant une entité que dans tout l’univers lui-même. De même lorsqu’on utilise pi dans une équation (pi est peut être un nombre univers).

A+

Ce sujet m'intéresse ! Dans mes moments de loisir je m'intéresse à ces rapports entre les maths et la physique, ainsi qu'entre la physique et le "réel". Malheureusement je manque de temps pour approfondir ces sujets. 

Pour le physicien la réalité est ce qu'il peut observer. S'il existe une autre réalité il ne s'y intéresse pas. Le physicien s'intéresse à la relation entre l'homme et son environnement  (la nature) tel qu'il peut l'observer et tel que cet environnement agit sur nous et tel que nous pouvons agir sur lui. Il y a toujours ce principe de l'action derrière les recherches scientifiques. Observation, établissement de relations, action. Il ne faut pas confondre les mathématiciens et les physiciens. Le mathématicien est souvent un pur imaginatif, capable de créer des mondes qui n'ont aucun rapport avec le réel (observé). Il suffit de lire Gödel pour s'apercevoir qu'un logicien de génie comme lui finit par s'abimer dans des mondes connus de lui seul.

Cette remarque me permet de dire que, oui, les mathématiques sont bien une création humaine. Elles surgissent du génie humain. Les mathématiques, relèvent de l'art, c'est de l'art. 

Le mathématicien pur rejoint le philosophe ( Grec ancien ou Allemand de Kant à Heidegger) dans sa tension à imaginer d'autres mondes (les Idées, l'idéalisme). Non seulement à les imaginer mais à croire fermement qu'ils existent. Voici pourquoi les premiers philosophes furent aussi des mathématiciens, je pense à Pythagore par exemple.

Le physicien a besoin du mathématicien lorsqu'il veut établir des relations entre ses observations. Ces relations finissent toujours par des égalités mathématiques avec de part e t d'autre du signe égal des grandeurs en nombre limité. Ces équations tombent sous la compétence des mathématiciens. C'est Einstein qui, jusque là assez hautain vis à vis des mathématiciens, finit par demander à l'un d'entre eux de formaliser sa théorie de la relativité générale. C'est un mathématicien qui lui donne la trame mathématique de l'espace-temps. 

Reprenons le débat : est-ce que les équations différentielles sont légitimes en physique ? 

Cette question technique cache en fait la question générale qui engendre cette question particulière : est-ce que la continuité est légitime en physique ? 

Ce qui s'oppose en physique c'est le continu et le discontinu. Et cette opposition a surgi avec le développement de la physique quantique, avec Planck à l'origine. L'énorme découverte c'est bien cela, c'est que la nature fonctionne par quanta, du moins la nature vue dans l'infiniment petit. Le quanta (le quantum devrais-je écrire) c'est l'irruption du discontinu, l'irruption des variables discrètes.

Est ce que les techniques mathématiques affectées au continu sont légitimes en physique ? Je ne connais pas assez la physique quantique ! C'est dommage, il faut que je prenne le temps (mais je n'ai pas assez de temps) ! Dans la physique classique oui bien sûr c'est légitime. Pourquoi ? parce que ça marche ! parce que nous pouvons formuler des prédictions à partir des techniques mathématiques du continu. La question de la légitimité ne se pose pas pour un physicien si la continuité mathématique lui permet d'être prédictif.

Est-ce que c'est légitime en physique quantique ? Question intéressante. En effet s'il y a des quanta d'énergie nous ne devrions pas pouvoir utiliser le continu en physique quantique. A voir. J'ai ressorti  un livre de Schrödinger que j'ai feuilleté il y a quelques mois sans avoir eu le temps de le lire, où il parle du problème du continu opposé au discontinu (Physique quantique et représentation du monde). Il faudrait aussi que je commence à étudier le formalisme mathématique de la physique quantique, je verrai bien comme font les physiciens avec le problème du continu mathématique, mais je crains de ne pas avoir le temps. 

Bonjour.

Il convient tout de même de noter que vouloir discrétiser le temps, ou l’espace, ne va pas sans poser de nombreux problèmes. Cela ne peut pas se faire comme l’entendrait quelqu’un qui serait doté d’une approche logique cohérente. Par exemple on ne peut pas parler d’une discrétisation qui serait mesurable en termes d’éléments simples, eux-mêmes multiples de l’une des valeurs de Planck. Cela serait contradictoire avec l’expérience et même avec les résultats donnés par certains appareils de mesure tels ceux servant à l’analyse spectrale des atomes et dont on sait l’utilité réelle. Il faudrait donc admettre que si il existait une limite ultime à des notions telles qu’élément simple de temps, d’espace, de durées, cette limite serait encore bien plus subtiles (plus petites) que les dimensions de Planck.

Et d’ailleurs, même en Mathématiques l’intrusion de la théorie des catastrophes vient perturber - c’est du moins ce que j’ai cru comprendre - les mathématiciens eux-mêmes. Les pères de ces théories (dont le chaos) ont établis que la catastrophe ne peut survenir que si l’ensemble des nombres réels est lui même continu.

Ce que l’on appelle, la droite numérique achevée, ou même un segment de droite borné, n’a pas le caractère de continuité souhaité (semble-t-il). On l’a créé en le peuplant d’entiers naturels, on a comblé les « trous » en y adjoignant les nombres rationnels, puis les irrationnels et enfin les transcendants ont eu pour rôle d’assurer la continuité souhaitée. Et à chaque fois cela nous entraine dans l ‘apparition d’infinis, plus « grands » les uns que les autre (Cantor). Et surtout à l’apparition des phénomènes chaotiques. Même Leibniz avait entrevu la chose lui qui croyait à la continuité des choses ***. En fait notre droite numérique achevée, ne l’est que si l’on admet qu’entre deux points, il n’y a de la place que pour … rien et pas même pour un autre point. Or il est difficile d’imaginer deux points se touchant sans n’être plus qu’un, pas vrai ?

Aliochaverkiev, si tu souhaites te préparer à constater les effets de l’intrusion de la mécanique quantique dans les sciences cognitives, je te conseille la lecture de « Physique et philosophie de l’esprit » de Michel Bitbol (Flammarion, Champs).

*** Leibniz, attendait la découverte, d'un quelque chose, qui viendrait confirmer la réalité continue des choses. On attend encore....

La Mathématique, invention, ou, découverte ?

Voilà une question de plus à ajouter à celles dont je n’ai pas la moindre idée de par quoi pourrait commencer ma réponse.

Bien sûr, je me la suis posée, et cela m’a couté quelques sachets d’ Aspégic, (aspirine à super-dose) !! Sans qu’une réponse satisfaisante n’émerge. Mais partant du principe (hélas) universel qui dit que, ce n’est pas parce qu’on est con, et qu’on n’a rien à dire, qu’il faut pour autant fermer sa gueule, je suis parti sur une autre piste.

Comment sont nées nos Mathématiques ? Qui, le premier, a-t-il un jour découvert cette sécrétion de l’esprit qu’on appelle le concept ? Quel homme préhistorique a un jour examiné le produit de sa chasse, ou de sa cueillette ou de sa pèche, et, opérant la première division réalisée sur Terre sur l’objet qu’il avait devant les yeux et attribuant une part pour bobonne, une autre pour lui-même et d’autres pour papy, mamie et les enfants c'est dit, satisfait du résultat, bon "ça devrait suffire pour aujourd’hui" et a cessé sa quête de nourriture.

On sait le rôle de ces scribes qui dans l’ancienne Egypte, attribuaient aux fellahs les parcelles de terrain devenues disponibles après le repli des eaux du Nil. Et qui, grace a des approximations dont ils gardaient le secret, savait calculer les parts à payer sur la récolte et réservées aux Pharaons. Ces gens, ont inventés la Géométrie et aussi la façon de découper toute surface en éléments dont la superficie pouvait être approchée. Et puis sont venus les Mathématiciens, qui au cours des siècles ont faits de cette science, ce qu’elle est devenue aujourd’hui. La Nature utilise-t-elle la Mathématique, ou n’est-elle que parce que la Mathématique existe ? L’épeire qui tisse sa toile, sait-elle calculer la résultante de l’ensemble des vecteurs qui soutiennent son ouvrage, alors que Toto, qui vient de redoubler sa troisième, ne sait pas le faire ?

Je pense donc qu’il nous faudrait aujourd’hui, un génie, un vrai. Et qui, instruit tout de même, mais laissé dans l’ignorance totale des notions de nombres, d’ordres, d’arrangements de façon à n’avoir pas l’esprit pollué par  ce savoir qui dès l’enfance nous condamne à suivre les voies tracées, nous inventerait une nouvelle Mathématique (sans nombres, donc) qui peut-être nous ouvrirait les yeux.

Notez que cette intervention, n’a pour but, que de vous faire sourire, tout en répondant partiellement à la question posée par Spontzy. Que je salue.

il y a une heure, azad2B a dit :

Bonjour.

Il convient tout de même de noter que vouloir discrétiser le temps, ou l’espace, ne va pas sans poser de nombreux problèmes. Cela ne peut pas se faire comme l’entendrait quelqu’un qui serait doté d’une approche logique cohérente. Par exemple on ne peut pas parler d’une discrétisation qui serait mesurable en termes d’éléments simples, eux-mêmes multiples de l’une des valeurs de Planck. Cela serait contradictoire avec l’expérience et même avec les résultats donnés par certains appareils de mesure tels ceux servant à l’analyse spectrale des atomes et dont on sait l’utilité réelle. Il faudrait donc admettre que si il existait une limite ultime à des notions telles qu’élément simple de temps, d’espace, de durées, cette limite serait encore bien plus subtiles (plus petites) que les dimensions de Planck.

Et d’ailleurs, même en Mathématiques l’intrusion de la théorie des catastrophes vient perturber - c’est du moins ce que j’ai cru comprendre - les mathématiciens eux-mêmes. Les pères de ces théories (dont le chaos) ont établis que la catastrophe ne peut survenir que si l’ensemble des nombres réels est lui même continu.

Ce que l’on appelle, la droite numérique achevée, ou même un segment de droite borné, n’a pas le caractère de continuité souhaité (semble-t-il). On l’a créé en le peuplant d’entiers naturels, on a comblé les « trous » en y adjoignant les nombres rationnels, puis les irrationnels et enfin les transcendants ont eu pour rôle d’assurer la continuité souhaitée. Et à chaque fois cela nous entraine dans l ‘apparition d’infinis, plus « grands » les uns que les autre (Cantor). Et surtout à l’apparition des phénomènes chaotiques. Même Leibniz avait entrevu la chose lui qui croyait à la continuité des choses ***. En fait notre droite numérique achevée, ne l’est que si l’on admet qu’entre deux points, il n’y a de la place que pour … rien et pas même pour un autre point. Or il est difficile d’imaginer deux points se touchant sans n’être plus qu’un, pas vrai ?

 

Aliochaverkiev, si tu souhaites te préparer à constater les effets de l’intrusion de la mécanique quantique dans les sciences cognitives, je te conseille la lecture de « Physique et philosophie de l’esprit » de Michel Bitbol (Flammarion, Champs).

 

*** Leibniz, attendait la découverte, d'un quelque chose, qui viendrait confirmer la réalité continue des choses. On attend encore....

Je fois franchement dire que je commence à étudier la physique quantique par la...physique et les cours universitaires et non par le biais de la philosophie. J'ai là quelques ouvrages spécialisés de l'enseignement universitaire que je vais étudier (quand j'aurais le temps). Je possède le livre de Bitbol mais c'est l'expression mathématique de cette physique qui m'intéresse. Je suis avant tout un mathématicien versé non dans la spéculation mais dans l'action quotidienne, dans le pratique, dans ce que le quotidien exige comme connaissance mathématique.  Je fais partie des gens "pratiques" qui utilise le calcul infinitésimal, la théorie des limites etc. et comme cela marche dans les faits je ne m'interroge pas outre mesure. S'il y a des secteurs où cela ne marche pas nous verrons! et nous saurons inventer de nouveaux outils. Tant qu'un outil mathématique permet d'être prédictif quant aux évènements ça me suffit. La théorie du cahos ne m'intéresse pas non plus en tant que théorie, ce qui m'intéresse en revanche ce sont les équations mathématiques qui ouvrent sur ce que les profanes appellent le chaos, mais qui pour moi ouvrent tout simplement sur des singularités mathématiques étonnantes. Je ne cherche pas à connaître ce qui est manifestement au-delà, pour le moment, de la connaissance humaine. Allez au delà de nos possibilités actuelles c'est s'abimer dans des discussions sans fin, qui n'ouvrent sur rien. Je ne me sens pas frustré , ni inquiet de ne rien savoir sur quantité de sujets. Je sais de toute façon que la spéculation ne me donnera que l'illusion de la connaissance et jamais la connaissance certaine. 

il y a 31 minutes, azad2B a dit :

La Mathématique, invention, ou, découverte ?

Voilà une question de plus à ajouter à celles dont je n’ai pas la moindre idée de par quoi pourrait commencer ma réponse.

Bien sûr, je me la suis posée, et cela m’a couté quelques sachets d’ Aspégic, (aspirine à super-dose) !! Sans qu’une réponse satisfaisante n’émerge. Mais partant du principe (hélas) universel qui dit que, ce n’est pas parce qu’on est con, et qu’on n’a rien à dire, qu’il faut pour autant fermer sa gueule, je suis parti sur une autre piste.

Comment sont nées nos Mathématiques ? Qui, le premier, a-t-il un jour découvert cette sécrétion de l’esprit qu’on appelle le concept ? Quel homme préhistorique a un jour examiné le produit de sa chasse, ou de sa cueillette ou de sa pèche, et, opérant la première division réalisée sur Terre sur l’objet qu’il avait devant les yeux et attribuant une part pour bobonne, une autre pour lui-même et d’autres pour papy, mamie et les enfants c'est dit, satisfait du résultat, bon "ça devrait suffire pour aujourd’hui" et a cessé sa quête de nourriture.

On sait le rôle de ces scribes qui dans l’ancienne Egypte, attribuaient aux fellahs les parcelles de terrain devenues disponibles après le repli des eaux du Nil. Et qui, grace a des approximations dont ils gardaient le secret, savait calculer les parts à payer sur la récolte et réservées aux Pharaons. Ces gens, ont inventés la Géométrie et aussi la façon de découper toute surface en éléments dont la superficie pouvait être approchée. Et puis sont venus les Mathématiciens, qui au cours des siècles ont faits de cette science, ce qu’elle est devenue aujourd’hui. La Nature utilise-t-elle la Mathématique, ou n’est-elle que parce que la Mathématique existe ? L’épeire qui tisse sa toile, sait-elle calculer la résultante de l’ensemble des vecteurs qui soutiennent son ouvrage, alors que Toto, qui vient de redoubler sa troisième, ne sait pas le faire ?

Je pense donc qu’il nous faudrait aujourd’hui, un génie, un vrai. Et qui, instruit tout de même, mais laissé dans l’ignorance totale des notions de nombres, d’ordres, d’arrangements de façon à n’avoir pas l’esprit pollué par  ce savoir qui dès l’enfance nous condamne à suivre les voies tracées, nous inventerait une nouvelle Mathématique (sans nombres, donc) qui peut-être nous ouvrirait les yeux.

Notez que cette intervention, n’a pour but, que de vous faire sourire, tout en répondant partiellement à la question posée par Spontzy. Que je salue.

Là encore j'ai le sentiment que nous sommes différents dans notre approche. Vous êtes dans la spéculation, je suis dans l'action. Je ne cherche pas à savoir qui précisément est à l'origine des mathématiques, il me suffit de savoir que des hommes les ont créées. Il me suffit de savoir qu'il y a une origine. Et une progression des savoirs depuis l'origine. 

Quand j'explique à un enfant doué comment, à partir du seul raisonnement, il est possible d'acquérir des connaissances nouvelles sans recourir à l'expérience, je cherche à l'émerveiller sur la puissance de l'esprit humain, je lui fait toucher du doigt la puissance de l'esprit (c'est ce que Kant appelle les jugements synthétiques). Mon but n'est pas la spéculation mon but est de l'éveiller à sa propre puissance rationnelle d'enfant. 

Il me semble que c'est aussi ce qui sépare les intervenants ici : ceux qui sont dans l'action quotidienne sociale et professionnelle, et ceux qui en sont sortis. Cette différence explique sans doute la plupart des controverses. Les uns sont dans l'action avec tout ce que cela implique d' approches, d'erreurs, de victoires, d'hésitations, d'imperfections, etc. les autres sont dans un discours qui tend vers une perfection qui n'a  cependant pas d'effet dans l'action.

L’ennui, c’est que l’action, quand elle consiste à utiliser l’outil mathématique comme moyen de faire sortir de l’ombre l’ ébauche d’une vérité recherchée, va devoir imposer une foule de simplifications sans doute très fructueuses mais qui vont finir par faire oublier la nature de la vérité escomptée. C’est ainsi que de l’équation des télégraphistes on abouti à celles de Maxwell en passant par celle des cordes vibrantes. Et je ne pense pas qu’un Stradivarius ait jamais eu besoin d’appliquer cette méthode. Et c’est heureux pour les amateurs de musique.