Les mathématiques...

Je suis heureux de vous voir (Scénon) parler de chimie ou de philosophie "appliquées) avant que

les mots mêmes de chimie et de philosophie n'exist(ass)ent !

Vos soucis étymologiques réitérés n'étaient donc que des trompe l'oeil !

D'où Molière et son bourgeois gentilhomme qui pratiquait la prose sans en connaître l'existence !

Cela nous emmène à une réflexion sur la structuration, formation, élaboration de l'esprit.

Le principe de classification au centre de ce qu'est la pensée.

Comme un chaos originel de l'esprit (et du monde).

Avant que la mathématique ne se dissocie de la philosophie, elle y était mêlée.

Il a fallu qu'elle s'en sépare pour progresser.

Et devenir un art à part

C'est l'analyse (Descartes).

Aujourd'hui nous voyons les effets négatifs de cette avancée de l'esprit des spécialistes.

La spécialisation des différentes discipline semble être devenue un obstacle...

Et l'on privilégie les approches pluridisciplinaires, nécessaires à un nouveau pas en avant de la pensée.

C'est la synthèse (Descartes et Hegel)...

La leçon (modestement) est que l'esprit a une histoire.

A l'instar de l'Univers.

Le temps change (fait ou voit évoluer) non seulement le monde, mais notre esprit.

C'est encore le terme de modestie que je vois surnager...

Je suis heureux de vous voir (Scénon) parler de chimie ou de philosophie (appliquées) avant que les mots mêmes de chimie et de philosophie n'exist(ass)ent! Vos soucis étymologiques réitérés n'étaient donc que des trompe-l'œil!

Tant mieux si je fais des heureux. Pour les «trompe-l'œil», je ne vous comprends pas.

C'est juste une blague !

Comme une connaissance bien affichée qui masquerait un questionnement...

C'est juste une blague !

Décidément, vous êtes très “blague”... Vous étiez déjà blague hier.

1-Chacun son tour,

Tu n'ignores pas qu'il existe des propositions dont la véracité est indécidable! Sans compter les problèmes avec tiers non exclus ( logique floue )

" Cette assertion est fausse! " Est-elle vraie ou fausse?

1) Oui, je vois très bien ce que tu veux dire. Et bien ce principe, que l'on retrouve dans le théorème de Gödel, stipule que si ces axiomes particuliers sont compatibles avec le reste des axiomes (c'est ce dont je voulais parler en évoquant le système "autosuffisant" des mathématiques telles que nous les connaissons), alors la théorie restera cohérente.

C'est un choix arbitraire qu'a fait Euclide lorsqu'il a énoncé le 5ème axiome de ses Eléments. Et nous ne pouvons pas montrer si cet axiome est vrai ou faux. On peut le vérifier par un dessin, comme dans le reste des axiomes qui sont des évidences de l'esprit. Mais dans ce cas pathologique, on a gardé ce théorème puisqu'il se vérifie et qu'il est en accord avec le reste des axiomes. S'il chamboulait tout le reste de la géométrie euclidienne, il est sûr qu'on l'aurait évincé depuis longtemps.

Eh bien l'assertion "Cette assertion est fausse" est fausse si l'assertion est vraie, mais elle est vraie si l'assertion est fausse.

2) Il ne s'agit pas d'un problème de physique mais un problème d'automatique et de logique. La solution est binaire : Si l'ouvrant touche le dormant, la porte est fermée. Sinon, elle est ouverte.

Dans le sinon, nous envisageons toutes les situations possibles où l'ouvrant ne touche pas le dormant. Si nous simplifions le problème pour n'admettre qu'un seul degré de liberté en rotation autour de l'axe de pivot, il n'y a pas 36000 solutions. La porte est dite ouverte lorsque l'ouvrant ne touche pas le dormant, c'est-à-dire lorsque l'angle que fait la porte avec le cadre confondu avec l'axe Ox vaut θ ≠ 0 [2π], avec l'angle θ appartenant à ]0,2π[ (voire même dans un intervalle plus petit si l'on assujettit la porte à tourner jusqu'à cogner contre un obstacle fixe.

Bref, la discussion n'est pas physique. On peut se fixer d'autres conditions pour la situation "ouvert" ou "fermé". Par exemple, on prend l'épaisseur d'un homme vu de profil et on fixe un angle pour lequel cet homme pourra passer. Pour un angle supérieur strictement à cet angle critique, on définit la position "ouvert", et pour un angle plus petit ou égal à cet angle critique, la porte sera "fermée".

Il ne reste plus qu'à programmer.

Avant que la mathématique ne se dissocie de la philosophie, elle y était mêlée.

Il a fallu qu'elle s'en sépare pour progresser.

Et devenir un art à part

C'est l'analyse (Descartes).

Aujourd'hui nous voyons les effets négatifs de cette avancée de l'esprit des spécialistes.

La spécialisation des différentes discipline semble être devenue un obstacle...

Et l'on privilégie les approches pluridisciplinaires, nécessaires à un nouveau pas en avant de la pensée.

C'est la synthèse (Descartes et Hegel)...

La leçon (modestement) est que l'esprit a une histoire.

A l'instar de l'Univers.

Le temps change (fait ou voit évoluer) non seulement le monde, mais notre esprit.

Je partage cette partie.

C'est aussi une vision du monde qu'il a fallu disséquer au scalpel pour en comprendre le fonctionnement partie par partie qui entre en contradiction avec une vision holistique du monde et notamment de la montée en complexité des systèmes eux mêmes.

L'homme est davantage que la somme des atomes ou des organes qui le composent par exemple.

Et en ce sens, je pense que la vision occidentale s'est focalisée sur la partie analytique quand l'orient a pris en compte cette partie holistique ou le tout est différent et plus complexe que la somme des constituants.

Les sciences physiques en particulier montrent bien comment différents aspects convergent les uns vers les autres comme la magnétisme et l'électricité par exemple et le graal de la physique est bien une théorie du tout.

1) Oui, je vois très bien ce que tu veux dire. Et bien ce principe, que l'on retrouve dans le théorème de Gödel, stipule que si ces axiomes particuliers sont compatibles avec le reste des axiomes (c'est ce dont je voulais parler en évoquant le système "autosuffisant" des mathématiques telles que nous les connaissons), alors la théorie restera cohérente.

Je me permets une petite intervention sur la présentation, ce n'est pas exactement ce que dit Kurt Godel.

Il ne s'agit pas d'une problématiques de compatibilité des axiomes entre eux pour justifier la cohérence globale de la théorie, parce que, bien évidemment, si des axiomes n'étaient pas compatibles la théorie ne pourrait être cohérente.

Je ne me penche que sur le théorème qui a le plus d'implication au niveau philosophique :

Le théorème démontre que, dans un système d'arithmétique cohérent et non contradictoire (donc reposant sur une axiomatique juste), il existera toujours des propositions et des énoncés dites indécidables donc qu'on ne peut démontrer par la seule théorie s'ils sont vrais ou faux

Ce théorème est une extrapolation mathématique complète de ce qu'on appelle les propositions auto-référentielles comme par exemple un crétois qui dirait que tous les crétois sont des menteurs.

On voit que cette proposition est indécidable puisque s'il dit la vérité il ment donc il ne dit pas la vérité.

Et bien une arithmétique cohérente est elle même autoréférentielle par ses axiomes et donc, il existera forcément un énoncé mathématique qui se heurtera à ce paradoxe et qui ne pourra par conséquent être démontré.

La conséquence directe est qu'on ne peut démontrer qu'un système est cohérent et non contradictoire sur la seule base des axiomes contenus dans le système.

Et cela signifie que pour ce faire, il faut sortir du système et lui imposer des axiomes qui en seraient extérieurs.

Aucun dispositif d'axiomes cohérent n'est complet d'ou le nom de théorème d'incomplétude.

Philosophiquement, cela signifie qu'aucun système mathématique complet et définitivement cohérent ne peut exister.contrairement à l'ambition d'Hilbert qui avait lancé pour thématique de recherche en 1900 à Paris l'idée de trouver une procédure générale permettant de dire de tout énoncé mathématique s'il était vrai ou faux et par delà cette thématique l'idée de placer toute l'arithmétique sur une seule base logique cohérente.

En d'autre termes, la vérité ne peut exister dans un système fini dans le sens où il existera des propositions qui ne pourront être qualifiées de vraies

Et qu'en ce sens justement, "l'auto suffisance" n'est pas possible

Décidément, vous êtes très “blague”... Vous étiez déjà blague hier.

Oui ! c'est un mot que j'emprunte à mon petit fils (5 ans).

Quand on lui dit quelque chose qui le surprend, il demande :

"C'est une blague ?"

Des fois c'est oui, et d'autres non.

L'autre blague qui semble amuser beaucoup de monde en ce moment c'est la fameuse "tous les crétois son menteurs...", je crois ?

Je crois (encore!) que Lacan avait résolu ce problème en séparant le discours du locuteur ou quelque chose comme ça...

J'ai été étonné il y a quelques temps de voir dans l'émission 'On n'est pas couché", Onfray faire des gorges chaudes de cette prétendue énigme logique et philosophique.

Qui me fait l'effet d'un truc pour épater les gogos.

C'est le nombre d'or de la logique !!!

(Onfray dit parfois des trucs bien, et parfois non.)

“Tous les Crétois sont menteurs”... Je crois que Lacan avait résolu ce problème...

Saint Paul aussi:

«Quelqu'un parmi eux [les Crétois], leur propre prophète, a dit: “Les Crétois sont toujours menteurs...” Ce témoignage est vrai.» (Tite 1, 12)

Bref, quand il témoigne de la vérité, le prophète est par définition un sacré menteur. C'est d'ailleurs ce que Platon avait déjà affirmé bien avant Paul.

Oui, la résolution impossible de l'énoncé ne remet pas en cause la véracité du témoignage éventuel.

Mais ce type d'énoncé autoréférentiel est par définition insoluble.

Si tous les crétois sont des menteurs il ment donc les crétois ne sont pas des menteurs donc il dit la vérité donc tous les crétois sont des menteurs dont il ment et ainsi de suite...

Une autre ?

Si ma phrase est fausse, elle est vraie, amusons nous la dessus

Encore une ?

Un habitant de Séville est rasé par le barbier de séville si et seulement si il ne se rase pas lui même

Est ce que le barbier de Séville se rase lui même ?

C'est toujours amusant de voir que l'auto référence implique la non résolution.

Ce qui est perturbant, c'est d'imaginer que ça reste exact pour le plus complexe des systèmes d'arithmétique.

Ce n'est d'ailleurs pas bien important puisque le nombre d'énoncés indécidables dieu merci ne sont pas légion....

Ce qui fait qu'une mathématique récursivement axiomatique cohérente permet l'avancée de la connaissance.

C'est une petite fenêtre qui lui empêche de détenir la vérité complète.

Saint Paul aussi:

«Quelqu'un parmi eux [les Crétois], leur propre prophète, a dit: “Les Crétois sont toujours menteurs...” Ce témoignage est vrai.» (Tite 1, 12)

Bref, quand il témoigne de la vérité, le prophète est par définition un sacré menteur. C'est d'ailleurs ce que Platon avait déjà affirmé bien avant Paul.

Cet été, on projette d'aller en Crète et je révise "mon" grec... à part ça, des conseils ?!!!

(La solution de St Paul quoi que catégorique me semble assez légère !)

Tous les crétois sont des menteurs : si ce qu'il dit est vrai, il ment, et c'est tout, parce que c'est suffisant.

Si ce qu'il dit est faux, il ment, ça s'arrête aussi.

Du coup... ?

"la résolution impossible de l'énoncé ne remet pas en cause la véracité du témoignage éventuel."

Il ne me semble pas qu'il soit possible de dissocier l'énoncé du témoignage ou de l'énonciateur puisque le paradoxe vient de leur intrication ; et c'est cette même intrication qui permet sa résolution.

Tous les crétois sont des menteurs : si ce qu'il dit est vrai, il ment, et c'est tout, parce que c'est suffisant.

Si ce qu'il dit est faux, il ment, ça s'arrête aussi.

Du coup... ?

Attention on parle de mathématiques et de cohérence logique.

Le point d'arrêt n'existe donc que si les conséquences du raisonnement sont définitifs.

Il est Crétois (ne pas oublier ce point)

Il dit que tous les crétois sont des menteurs (au sens systématique genre ils ne savent dire que des mensonges et pas ils mentent une fois de temps en temps)

S'il dit la vérité, il ment selon ses propres propos puisqu'il est crétois et que tous les crétois sont des menteurs

Donc s'il a menti, tous les crétois ne sont pas des menteurs et disent bien la vérité

Mais dans ce cas, lui aussi dit la vérité étant toujours crétois

Et donc tous les crétois sont bien des menteurs et disent des mensonges tel qu'il le dis dans ses propos

Donc il ment étant lui même crétois...

Retour à la case départ c'est sans fin

On ne peut conclure ni sur lui même si sur les crétois.

S'il dit un mensonge, c'est que les crétois ne mentent pas et que ces propos ne dont pas exacts

Donc il dit la vérité étant crétois si ces propos sont faux

Donc tous les crétois sont bien des menteurs puisqu'il le dit.

Donc il ment puisqu'il est crétois et qu'il dit que tous les crétois sont des menteurs

Donc tous les crétois ne sont pas des menteurs

Donc il dit la vérité...

retour à la case départ et c'est sans fin encore une fois.

Ce paradoxe des propositions auto-référentielles est bien connu.

Et ce n'est pas vraiment une affaire de point de vue.

C'est de la logique, là, on est sur un plan indiscutable sauf erreur de logique.

Bon, je donne "l'explication littérale développée" mais rien ne vaut le fait de se faire cet exercice tranquillement soi même la tête bien reposée car ce n'est pas la solution qui compte plus que le fait d'en comprendre la logique.

Ceci étant, ça dépasse ma logique.

Ce qu'à démontré Kurt Godel si on donne crédit à ce mathématicien et aux vérifications qui ont suivi et si on considère comme c'est le cas pour tous les mathématiciens qu'il s'agit d'une si ce n'est la plus grande découverte logique de ce siècle en faisant confiance aux mathématiciens, ils disent exactement la même chose que notre raison peut reconstituer par ce simple petit de jeu de logique.

Sauf qu'ils en disent un peu plus quand même.

Bon, je donne la traduction littérale mais rien ne vaut le fait de se faire cet exercice tranquillement la tête bien réposée car ce n'est pas la solution qui compte plus que le fait d'en comprendre la logique.

Oui oui j'ai compris l'aspect paradoxal, et justement hier soir en m'endormant "PAF" ! Si ce qu'il dit est vrai, le Crétois ment, et donc ce qu'il dit reste vrai, tout en faisant de lui un menteur, et parce que ça fait de lui un menteur. Et du coup je ne vois pas pourquoi rajouter une couche là dessus, la boucle est bouclée non ?

Ce qu'à démontré Kurt Godel si on donne crédit à ce mathématicien et aux vérifications qui ont suivi et si on considère comme c'est le cas pour tous les mathématiciens qu'il s'agit d'une si ce n'est la plus grande découverte logique de ce siècle en faisant confiance aux mathématiciens, ils disent exactement la même chose que notre raison peut reconstituer par ce simple petit de jeu de logique.

Sauf qu'ils en disent un peu plus quand même.

j’essaie de traduire cette découverte en des termes autres, je pense qu'on peut réfléchir à partir d'une distinction entre l'être déterminé (ce qui existe, existe en tant que c'est déterminé) et un autre niveau, celui de la représentation, qui ne répond pas à la logique traditionnelle, ou A peut aussi être non A, et A et non A, etc. Peut-être que Godel nous apprend qu'on a pris les choses à l'envers et qu'on pourrait renverser la pyramide

Et pour faire le lien avec le théorème d'incomplétude justement, c'est que dans le paradoxe du menteur il ne faut pas oublier un point essentiel:

C'est que pour être un menteur il suffit de mentir 1 fois, et donc l'énoncé peut fort bien être une proposition vraie indémontrable/indécidable puisque l'on ne saura pas si c'est sur cette proposition précise que le mensonge a lieu! Tout comme en mathématiques, ce qui est dit c'est qu'il existe une, au moins, proposition que l'on ne pourra pas démontrer vraie ou fausse, mais que l'on ne sait pas laquelle! ( Gödel s'étant appuyé sur la diagonale de Cantor pour sa démonstration mais en des termes de logique formel, et qui prouve l'existence de tels énoncés indécidables/indémontrables, mais n'en dit pas plus, exactement comme avec le crétois menteur!)

Si ce qu'il dit est vrai, le Crétois ment, et donc ce qu'il dit reste vrai, tout en faisant de lui un menteur, et parce que ça fait de lui un menteur. Et du coup je ne vois pas pourquoi rajouter une couche là dessus, la boucle est bouclée non ?

C'est ici que se situe le problème de logique qui te bloque.

Donc bien intégrer ce point ci-dessous

Etre un menteur = Mentir systématiquement

Dire la vérité = Ne jamais mentir

Avec cette grille de lecture, je reprends ta phrase

1. "Si ce qu'il dit est vrai, le Crétois ment" Exact

2. "et donc ce qu'il dit reste vrai" -> Faux. puisqu'il est crétois or le crétois ment selon la conclusion du point 1

3. "et donc ce qu'il dit reste vrai, tout en faisant de lui un menteur" -> Faux. S'il est un menteur, il ne peut dire quelque chose de vrai

4. Et du coup je ne vois pas pourquoi rajouter une couche là dessus, la boucle est bouclée non ? -> Par deux erreurs de logique, une seule suffirait

Etre un menteur = Mentir systématiquement

Dire la vérité = Ne jamais mentir

Zenalpha, Je ne vois pas les choses parfaitement ainsi ( Cf au-dessus ), mais plutôt comme:

Dire la vérité = tableau blanc sans tache ou le courant ne passe pas dans une ampoule

Menteur = avoir au moins une tache sur le tableau, jusqu'à ce qu'il soit totalement noir ou un courant passe dans le circuit ( de la non émission de lumière jusqu'à l'incandescence "blanche" du filament )

Le mensonge pour ma part s'apparente à l'honnêteté, c'est à dire soit on l'est absolument, soit on ne l'est pas avec toutes les graduations qu'il y a à être malhonnête, de moralement insignifiant, acceptable ou condamnable!

Ça ne change pas le résultat global du paradoxe du menteur, mais son interprétation " fine " y est plus subtile encore.

Et pour faire le lien avec le théorème d'incomplétude justement, c'est que dans le paradoxe du menteur il ne faut pas oublier un point essentiel:

C'est que pour être un menteur il suffit de mentir 1 fois, et donc l'énoncé peut fort bien être une proposition vraie indémontrable/indécidable puisque l'on ne saura pas si c'est sur cette proposition précise que le mensonge a lieu! Tout comme en mathématiques, ce qui est dit c'est qu'il existe une, au moins, proposition que l'on ne pourra pas démontrer vraie ou fausse, mais que l'on ne sait pas laquelle! ( Gödel s'étant appuyé sur la diagonale de Cantor pour sa démonstration mais en des termes de logique formel, et qui prouve l'existence de tels énoncés indécidables/indémontrables, mais n'en dit pas plus, exactement comme avec le crétois menteur!)

Si nous en étions resté sur un paradoxe que les mathématiciens pensaient relever de la sémantique, on serait resté dans une démonstration marginale connue d'experts.

Or c'est bien parce que ces deux théorèmes d'incomplétude nous en disent d'avantage qu'un simple paradoxe de logique qu'ils ont gagné le statut de découverte logique majeure du 20 ème siècle.

Ce que j'explique en faisant référence aux propositions auto-référentielles, c'est que la nature du phénomène qui fait qu'aucune mathématique cohérente récursivement axiomatisable ne peut être complète et le fait qu'il existera toujours des énoncés qui, au sein de la théorie, ne pourront être qualifiés de vrai ou de faux est du même ordre.

C'est une image simplificatrice afin de faire toucher du doigt la nature du problème.

Mais l'enseignement entre le paradoxe du menteur et le théorème d'incomplétude n'est pas le même.

Le mensonge pour ma part s'apparente à l'honnêteté, c'est à dire soit on l'est absolument, soit on ne l'est pas avec toutes les graduations qu'il y a à être malhonnête, de moralement insignifiant, acceptable ou condamnable!

En logique, une règle fondamentale est que RIEN ne doit être l'objet d'une interprétation, tout doit être défini.

Le postulat et l'axiome initial du paradoxe du menteur est

Un menteur ne peut dire une vérité

Une vérité ne peut être dite que par un non menteur

Evidemment, si on sort de la logique axiomatique du paradoxe du menteur, on sort de son périmètre.

Ce n'est alors plus le sujet.

En logique, une règle fondamentale est que RIEN ne doit être l'objet d'une interprétation, tout doit être défini.

Le postulat et l'axiome initial du paradoxe du menteur est

Un menteur ne peut dire une vérité

Une vérité ne peut être dite que par un non menteur

Evidemment, si on sort de la logique axiomatique du paradoxe du menteur, on sort de son périmètre.

Ce n'est alors plus le sujet.

C'est bien pour cela qu'en théorie des ensembles, on a l'ensemble A où on ne dit strictement que la vérité ( inclusion ), et ce qui ne fait pas partie de cette ensemble ( exclusion ), qui va de dire sporadiquement un mensonge à en dire en permanence! Il n'y a pas lieu de créer un autre ensemble B restreignant les cas de figures à dire systématiquement un mensonge, cet ensemble B ayant un cardinal bien moindre que l'ensemble non-A! Qui plus est, ne remet pas en cause ce que tu énonces, au contraire le complète naturellement, et le rend plus raffiné.

D'autres part, pour un Intuitionniste comme moi, on ne peut pas faire que des mathématiques avec tiers-exclu! Et donc il y a une logique autre que dualiste/dichotomique! Et ce sont des mathématiques aussi ( Poincaré Brouwer ).

C'est ici que se situe le problème de logique qui te bloque.

Donc bien intégrer ce point ci-dessous

Etre un menteur = Mentir systématiquement

Dire la vérité = Ne jamais mentir

Avec cette grille de lecture, je reprends ta phrase

1. "Si ce qu'il dit est vrai, le Crétois ment" Exact

2. "et donc ce qu'il dit reste vrai" -> Faux. puisqu'il est crétois or le crétois ment selon la conclusion du point 1

3. "et donc ce qu'il dit reste vrai, tout en faisant de lui un menteur" -> Faux. S'il est un menteur, il ne peut dire quelque chose de vrai

4. Et du coup je ne vois pas pourquoi rajouter une couche là dessus, la boucle est bouclée non ? -> Par deux erreurs de logique, une seule suffirait

Vraiment, je comprends la logique, et je comprends l'infraction que je commet en ajoutant un troisième niveau : il peut et dire la vérité et mentir à la fois. Je souhaitais surtout montrer que le paradoxe ne vient pas tant de l'énoncé que de la logique qu'on applique, et qu'il suffit de sortir de cette logique pour que le paradoxe ne soit plus. Je trouve cela plus intéressant encore, de voir dans quelle mesure "de la" logique peut se maintenir, sans être formellement logique... Est-ce que tu perçois la "résolution" à laquelle j'aboutis, et sa viabilité (qui n'est certes pas "complète" mais qd même) ?

Mais, sinon, oui, je te suis.

Vraiment, je comprends la logique, et je comprends l'infraction que je commet en ajoutant un troisième niveau : il peut et dire la vérité et mentir à la fois. Je souhaitais surtout montrer que le paradoxe ne vient pas tant de l'énoncé que de la logique qu'on applique, et qu'il suffit de sortir de cette logique pour que le paradoxe ne soit plus. Je trouve cela plus intéressant encore, de voir dans quelle mesure "de la" logique peut se maintenir, sans être formellement logique... Est-ce que tu perçois la "résolution" à laquelle j'aboutis, et sa viabilité (qui n'est certes pas "complète" mais qd même) ?

Mais, sinon, oui, je te suis.

Je trouve intéressante ta réflexion.

Permets moi de la pousser.

Les règles de la logique ne sont ni malléables ni souples.

La logique EST la logique et répond à des règles strictes.

Si A implique B et si C est inclu dans A alors C implique B par exemple.

Est ce que nous sommes d'accord jusqu'ici ?

En revanche, l'axiomatique d'un système est relatif et dépend du point de vue selon lequel on se place.

Par exemple, je peux très bien décréter l'axiome que deux droites ne se coupent jamais (euclide).

Et donc en utilisant cet axiome, la logique qui est UNIQUE va déboucher sur des théorèmes et des démonstrations précises.

Mais je peux très bien décréter l'axiome que deux droites parallèles se coupent une infinité de fois dans le cadre par exemple de la géométrie hyperbolique de Poincaré ou encore une vision différente dans la géométrie sphérique de Rieman ou toutes les droites parallèles sont sécantes (regarde sur terre les parallèles qui se rjoignent)

L'exploitation par la seule et unique logique de dispositifs d'axiomes différentes donnera donc des démonstrations et des théorèmes complètement différents.

Cela n'est pas dû à l'utilisation d'une logique différente (il n'en existe qu'une) mais d'une axiomatique différente.

Le dispositif d'axiome répondant d'ailleurs a quelque chose de non démontré mais de raisonnable à décréter (droites parallèles non sécantes sur le plan, une infinité de parallèles appliquées à une hyperboles et toutes sécantes sur une sphère)

Et ces axiomes répondent à une perception du monde différente.

Bref, quand tu dis qu'on peut appliquer une autre logique, en réalité, tu prends une autre représentation et un autre dispositif d'axiomes.

La ou je disais un menteur ne peut que mentir, un non menteur ne peut que dire la vérité

tu passes à

un menteur peut avoir menti ce qui ne présume pas qu'il mentira de nouveau

Et sur la base de cette axiomatique différente, en appliquant des raisonnements logique (car il n'en existe qu'une), tu arrives à des démonstrations différentes.

Bien.

Finalement, tu viens de montrer ce que dit Godel.

Un dispositif d'axiome ne permet pas intrinsèquement de dire si un énoncé mathématique est vrai ou faux (dans l'axiomatique que j'ai proposé, en tout cas, cet énoncé est indécidable)

Et il a fallu intuitivement que tu introduises une autre axiomatique pour trouver une solution dans un système qui, fermé, était indécidable.

Dans ton axiomatique à toi, cet énoncé n'est pas forcément indécidable (même si pour le cas qui nous intéresse, je ne serai pas d'accord sur tes conclusions en utilisant ton axiomatique mais peu importe) et dans mon axiomatique, il est indécidable.

Tu viens de faire une petite démonstration amusante de ce que dis Gödel.

tu n'es pas sorti de la logique (il n'en existe qu'une) mais tu as du introduire un axiome extérieur au système pour donner une réponse VRAIE ou FAUX à l'énoncé initial.