Pour tout x appartenant à l'ensemble vide

L'ensemble vide a quelques propriétés étranges.

Notamment si, étant donné une propriété P, on considère les propriétés ∀x∈∅ P(x) et ∃x∈∅ P(x).

Qu'en pensez-vous ?

Puisqu'il est vide rien ne peut lui appartenir

Pour la 1) : Vu qu'il n'existe pas x appartenant à l'ensemble vide, et que c'est ce par quoi la ligne commence, ce n'est jamais vrai

Pour la 2) : pour moi, ce n'est pas défini, vu que "quel que soit x appartenant à l'ensemble vide"... c'est pas défini.

:blush:

Que ce soit dans le cas 1 ou dans le cas deux, il est possible, par l'absurde de démontrer que la propriété n'est ni vrai, ni fausse... simplement qu'elle n'est pas définie. A savoir :

Supposons

Il existe x € EV (esemble vide) telle que P(x) vrai (resp. fausse),

Alors, P(x) existe

Alors x existe

Alors l'ensemble vide n'est pas vide.

Contradiction.

Pour tout x de l'ensemble vide P(x) vraie (resp. fausse)

Alors P(x) existe

Alors il existe au moins un x € EV

Alors l'ensemble vide n'est pas vide

Contradiction.

Dans les deux cas, ce n'est pas défini.

La proposition n'a tout simplement pas de sens mathématique.

Exemple.

Soit X un élément de l'ensembel D tel D=[X tel que exp(X)=0) et X € IR]

D est l'ensemble vide.

Que dire de la proposition :

Pour tout x € D, x <0 ... vraie ou fausse ?

Il existe x € D : x<0 ... vraie ou fausse ?

Dans les deux cas, ce n'est pas défini.

Pour la 1) : Vu qu'il n'existe pas x appartenant à l'ensemble vide, et que c'est ce par quoi la ligne commence, ce n'est jamais vrai

Pour la 2) : pour moi, ce n'est pas défini, vu que "quel que soit x appartenant à l'ensemble vide"... c'est pas défini.

:blush:

J'suis d'accord

(ou +1 pour les intimes)

Mad World, pas d'accord : certes, dans les deux cas, on ne peut en effet pas se prononcer sur P.

En revanche, dire qu'il existe x appartenant à l'ensemble vide tel que (n'importe quelle proposition), c'est faux... puisqu'il n'existe pas x tel que x appartient à l'ensemble vide.

Non ?

(Enfin, c'est peut-être ce que tu voulais dire, et ton post ne portait alors que sur la non-définition de P et pas de l'ensemble de la phrase, mais ce n'est pas l'impression que j'ai eue).

En effet,... dans la mesure où il s'agit d'une démonstration par l'absurde. Je prend pour hypothèse supposée vraie, la proposition que je veux démontrer comme fausse.

Il est vrai que dans le cas "il existe" la proposition est d'emblée fausse puisque "il n'existe jamais x € ensemble vide". Ce qui ne signifie pas que la proposition P(x) soit fausse. Mais bel et bien que la proposition Q(x) telle que Q(x) = [il existe x € à l'ensemble vide tel que P(x) vraie] est fausse.

Démontrer que Q(x) est fausse, ne revient pas à démontrer que P(x) est fausse, mais qu'il n'existe pas x€ ensemble OU que cette existence n'implique pas P(x). En l'occurence, c'est le premier cas.

Mad World, pas d'accord : certes, dans les deux cas, on ne peut en effet pas se prononcer sur P.

En revanche, dire qu'il existe x appartenant à l'ensemble vide tel que (n'importe quelle proposition), c'est faux... puisqu'il n'existe pas x tel que x appartient à l'ensemble vide.

Non ?

(Enfin, c'est peut-être ce que tu voulais dire, et ton post ne portait alors que sur la non-définition de P et pas de l'ensemble de la phrase, mais ce n'est pas l'impression que j'ai eue).

Exactement Feuille.

En fait, x∈E est définit pour tout ensemble E, y compris l'ensemble vide. Par contre, x∈∅ est toujours faux, car rien n'appartient à l'ensemble vide.

C'est bien défini, mais c'est faux.

Il n'y a donc pas de problème à dire ∃x∈∅ P(x). Et, effectivement, c'est toujours faux, car il n'existe pas de x appartenant à l'ensemble vide, donc, a fortiori, il n'existe pas de x appartenant à l'ensemble vide tel que P(x).

La question qui reste est le ∀x∈∅ P(x).

Que signifie ce symbole ∀ ?

Il signifie qu'il n'existe pas d'exception. ∀x∈E P(x) signifie que tout élément qui serait dans E vérifie P(x), autrement dit il n'est pas possible de trouver dans E un élément qui ne vérifie pas P(x).

En fait, ∀x∈E P(x) signifie non [∃x∈E non P(x)].

On a vu précédemment que ∃x∈∅ Q(x) était bien défini. Donc ∀x∈∅ P(x) est bien défini aussi.

Maintenant qu'on sait que c'est bien défini, est-ce que c'est vrai, faux, ou est-ce que ça dépend de P ?

Oui mais non Grenouille.

∀x∈E P(x) signifie non [∃x∈E non P(x)] => là, ok. Et c'est faux quand E = é. On est d'accord. Mais je ne pense pas qu'on puisse s'arrêter là.

En effet, logiquement, si [∀x∈E P(x)] alors [∃x∈E P(x)]. Et c'est faux aussi quand E = é

Quand E = é on a à la fois (non [∃x∈E non P(x)]) et (non [∃x∈E P(x)]) => l'expression [∀x∈E P(x) ] n'a pas de sens, et n'est donc pas définie, selon moi...

Le problème, c'est que vous raisonnez sur un cas particulier. Le cas où E=ensemble vide.

Si je vous donne les proposition suivante :

Il existe x ¿ E Tel que P(x)

et

Pour tout x ¿ E, P(x)

Avec E un ensemble quelconque, à définir.

Imaginons que P soit en fait une fonction.

Disons par exemple que :

P <-> ln( )

On ne peut pas dire :

Pour tout x ¿ E, P(x) = ln(x)

pour un ensemble E quelconque.

Soit on cherche l'ensemble E par exemple dans IR et on peut prendre alors n'importe quel ensemble inclu dans ] 0; +inf [

Maintenant imaginons que je dise :

E C IR-

Pour tout x ¿ E, P(x) = ln(x)

Est ce faux ?

Non, ln(x) n'est pas définie. Ce n'est ni vrai, ni faux.

De même pour "il existe".

Certes, il n'existe pas de x ¿ E (définit inclu dans IR-) tel que ln(x) est définie, mais cela ne signifie pas que c'est faux... simplement que ce n'est pas défini.

La valeur "faux" en mathématique n'est pas égale à "non vrai". Quelque chose qui n'est pas vrai n'est pas forcément faux. quelquechose qui n'est pas vrai ET QUI EXISTE est faux.

faux = "non vrai" U existe (existe = défini).

Jusque là, feuille, grenouille, vous avez démontré des "non vrai"... je n'ai pas vue une seule démonstration de l'existence...

Je l'attends avec impatience.

Là, tu m'as perdue..; s'il n'existe pas de x, c'est que la proposition "il existe x tq f(x) = lnx" est fausse. C'est ln qui n'est pas définie sur l'intervalle considéré... non ? :blush:

Et j'ai un peu de mal à faire la nuance "faux" et "non vrai". Bref, j'essaie de suivre à mon niveau, et je décroche...

Là, tu m'as perdue..; s'il n'existe pas de x, c'est que la proposition "il existe x tq f(x) = lnx" est fausse. C'est ln qui n'est pas définie sur l'intervalle considéré... non ?

Et j'ai un peu de mal à faire la nuance "faux" et "non vrai". Bref, j'essaie de suivre à mon niveau, et je décroche...

Ce que je veux dire c'est :

"il existe x tq f(x) = lnx"

N'est pas une proposition vraie.

Mais cela n'implique pas qu'elle soit fausse.

Par exmple, ce n'est pas très méthématique, mais ce illustre bien mon propos :

si je dit :

"Toutes les poules qui ont des dents sont de couleur bleu"

Ce n'est pas vrai. Puisque les poules qui ont des dents n'existent pas.

Mais ce n'est pas faux non plus...

En fait, ça n'a pas de sens (la proposition, mathématiquement parlant, n'existe pas ou n'est pas définie). Donc, en réalité, la proposition n'est ni vraie ni fausse. Elle n'est pas définie.

Ce qui signifie, que notre proposition à nous, est clairement pas vrai.

Mais, imagine que tu l'introduise dans un programme informatique. Il ne sortira pas "1" parce que ce n'esst pas vrai. Mais il ne pourra pas sortir "0" puisqu'il ne peut pas vérifier la propriété. Pour la vérifier, il faut qu'elle existe. Or elle n'existe pas puisque ln(x), ici, n'est pas défini. Donc la proposition n'est pas fausse non plus. Elle n'existe pas. Elle n'est pas défini. L'ordinateur sortira "ERROR" .

C'est ce que je veux dire par :

faux = "non vrai" Union "Existe".

Pour être fausse, une proposition doit exister. Quand on veux montrer la valeur logique d'une propriété (vrai ou faux) on commence toujours par une démonstration de l'existence. Or, par l'absurde, si on admet l'existence de la propriété, on arrive sur une contradiction (ensemble vide est non vide), donc, la proposition n'existe pas, donc elle n'est pas définie.

C'est ce que je veux dire :blush:

Oui, mais là la proposition commence par "il existe". Si ce n'est pas vrai, c'est qu'il n'existe pas... et que c'est faux.

Je comprends le raisonnement des poules pour le "quel que soit"... mais avec le "il existe", ça donne "il existe une poule qui a des dents de couleur bleue" : ce qui est faux...

Donc :

"il existe x (strictement négatif) tq f(x) = lnx"

N'est pas une proposition vraie.

ET elle est fausse. (Puisqu'il n'y a pas existence ?)

En fait (bon, j'ai la flemme d'effacer ce que j'ai écrit ci-dessus) quand le "vrai ou faux" porte sur "il existe ou pas", c'est le fait qu'il n'existe pas qui fait que c'est faux (puisque le fait qu'il n'existe pas existe) ? Bon, je m'emmêle peut-être un peu, j'espère que j'arrive à te faire comprendre où je coince... :blush:

(En revanche "Pour tout x strictement négatif f(x) = ln(x) n'est ni vraie ni fausse, donc pas définie")

En effet, logiquement, si [∀x∈E P(x)] alors [∃x∈E P(x)]. Et c'est faux aussi quand E = é

En fait, de [∀x∈E P(x)] on ne peut pas en déduire [∃x∈E P(x)].

Il faut [∀x∈E P(x)] et non (E=é) pour en déduire [∃x∈E P(x)].

∀x∈E P(x) signifie que tout élément qui serait dans E vérifie P(x), autrement dit il n'est pas possible de trouver dans E un élément qui ne vérifie pas P(x).

Or, il n'est pas possible de trouver un élément dans l'ensemble vide. Donc, il n'est pas possible de trouver un élément, dans l'ensemble vide, qui ne vérifie pas P(x). Donc ∀x∈∅ P(x) est vraie ?

En fait, ∀x∈E P(x) signifie non [∃x∈E non P(x)].

On a vu précédemment que ∃x∈∅ Q(x) était bien défini. Donc ∀x∈∅ P(x) est bien défini aussi.

Maintenant qu'on sait que c'est bien défini, est-ce que c'est vrai, faux, ou est-ce que ça dépend de P ?

Si ∃x∈∅ Q(x) est fausse,

alors ∃x∈E non P(x) aussi.

Et donc non [∃x∈E non P(x)] est vraie.

Et donc ∀x∈∅ P(x) est vraie ?

Par exmple, ce n'est pas très méthématique, mais ce illustre bien mon propos :

si je dit :

"Toutes les poules qui ont des dents sont de couleur bleu"

Ce n'est pas vrai. Puisque les poules qui ont des dents n'existent pas.

J'ai mis en gras le noeud du problème.

Ta proposition ne dit pas que les poules qui ont des dents existent, mais seulement que si jamais elles existaient alors elles seraient bleues.

En fait, quand on dit "Pour tout x appartenant à E, P(x)", cela signifie "Si jamais il existe x dans P(x), alors il vérifie la propriété P(x)".

Or, il n'est pas possible de trouver un élément dans l'ensemble vide. Donc, il n'est pas possible de trouver un élément, dans l'ensemble vide, qui ne vérifie pas P(x). Donc ∀x∈∅ P(x) est vraie ?

Si ∃x∈∅ Q(x) est fausse,

alors ∃x∈E non P(x) aussi.

Et donc non [∃x∈E non P(x)] est vraie.

Et donc ∀x∈∅ P(x) est vraie ?

Exactement. Il s'agit de l'une des propriétés fondamentales de l'ensemble vide. Toute proposition commençant pas "pour tout x appartenant à l'ensemble vide..." est vraie.

Ta proposition ne dit pas que les poules qui ont des dents existent, mais seulement que si jamais elles existaient alors elles seraient bleues.

On ne peut pas pas démontrer le contraire. Peut-on pour autant qualifier de vraie cette proposititon ?

On ne peut pas pas démontrer le contraire. Peut-on pour autant qualifier de vraie cette proposition ?

Oui, bien sûr. Cette proposition dit que toutes les poules qui ont des dents sont bleues. Or comme il n'y a pas de poule avec des dents, cette affirmation n'affirme en fait rien, et est donc vraie.

Oui, bien sûr. Cette proposition dit que toutes les poules qui ont des dents sont bleues. Or comme il n'y a pas de poule avec des dents, cette affirmation n'affirme en fait rien, et est donc vraie.

une fois j'ai comparé la physique aux maths et j'ai supposé l'ensemble vide pour les maths ressemble au néant pour la physique ,

'NOUREDDINE2' date='lundi 27 décembre 2010 à 11h07'

je dirais:

- la pysique se limite à l'etude de l'energie-matiere

- les maths peuvent etudier l'imateriel ( non materiel ) , comme le neant ,

j'aimerai faire une comparaison entre les maths et l'univers .

en maths il y'a :

-l'ensemble N : entiers naturels

-Z : entier relatif

- D : decimaux

- Q : rationnels

- C : complexe

- l'ensemble vide .

en physique il y'a :

- les atomes

- les proton ; neutron ;electron

- les quark ; lepton ; boson etc

- les super-cordes

- le neant

je dis qu'un physicien qui neglige le neant , est comme un mathematicien qui neglige l'ensemble vide

j'aimerai savoir si mathematiquement l'ensemble vide ressemble au néant .

merci

La question qui reste est le ∀x∈∅ P(x).

Pour tout X appartenant à l'ensemble vide...

Pour tout X appartenant à l'assemble qui ne contient rien...

Pour tout X que contient l'ensemble qui ne contient rien...

Aussi absurde que de dire qu'il existe un X appartenant à l'ensemble qui ne contient rien et que ce X n'existe pas... qu'il existe un X qui n'existe pas.

Aussi absurde que de dire qu'il existerait un X appartenant à l'ensemble vide... alors que l'ensemble vide ne serait plus l'ensemble vide si un X lui appartenait.

Ni vrai ni faux... incomplet et absurde... si un X existe et que sa propriété est de ne pas exister alors ce X n'existe pas sinon ce serait un X qui n'existe pas et qui aurait la propriété d'exister... complètement illogique que d'affirmer qu'une chose serait ce qu'elle n'est pas.

Et si jamais par hasard on passait outre ce petit détail alors on en viendrait à dire que X n'est pas égal à X ce qui est toujours faux puisqu'une proposition qui affirme que X = X est toujours vraie... mais ce serait seulement si on passait outre la contradiction évidente dans ce qui dirait que ce qui existe aurait comme propriété de ne pas exister...