Pourquoi 1=0.999999999...

J'ai compris. :blush:

J'en ai une autre, que les bons en maths sauront résoudre assez facilement... Ou pas!

Mais s'il vous plait, si vous avez trouvés la solution, postez juste un "j'ai compris!" très frustrant pour ceux qui ne trouveront pas:

J'ai compris, ça m'a fait penser à Enzo, il aurait "mais si c'est vrai, dire le contraire c'est jouer sur les mots".

Je connais ce problème, je me permet d'en formuler une version alternative mais plus claire je trouve :

- la chambre d'hôtel est à 30¿

- 3 personnes se partagent la chambre et payent chacune 10¿ au garçon

- le garçon se rend compte qu'il y a erreur et que la chambre est en fait à 25¿

- pour rendre la monnaie équitablement, le garçon rend alors 1¿ à chacune des 3 personnes, et garde les 2¿ restants

Le "paradoxe" est : chaque personne a donc payé 9¿ ce qui fait 27¿, le garçon a gardé 2¿ donc le total est de 29¿.

On avait 30¿ au départ, où est passé l'euro manquant?

:blush:

0=1

Je connais ce problème, je me permet d'en formuler une version alternative mais plus claire je trouve :

- la chambre d'hôtel est à 30¿

- 3 personnes se partagent la chambre et payent chacune 10¿ au garçon

- le garçon se rend compte qu'il y a erreur et que la chambre est en fait à 25¿

- pour rendre la monnaie équitablement, le garçon rend alors 1¿ à chacune des 3 personnes, et garde les 2¿ restants

Le "paradoxe" est : chaque personne a donc payé 9¿ ce qui fait 27¿, le garçon a gardé 2¿ donc le total est de 29¿.

On avait 30¿ au départ, où est passé l'euro manquant?

En fait ils se font entuber... en payant 3 X 9 euros ils versent 27 euros sur une chambre qui en vaut maintenant 25... et les 2 euros de trop sont dans la poche du garçon... pourboire obligé disons! :blush:

3*10-3*1+2 doit se lire comme étant (3*10) - (3*1 + 2) et non (3*10) - (3*1) + 2... ceci dit entre paranthèses ... mais encore faut-il savoir ou les mettre.

C'est un problème intéressant qui mériterait un nouveau sujet.

Au risque de gâcher le suspense terrible, ma réponse est "ça dépend".

En effet, il existe des infinis plus ou moins grands.

Cependant, si dans chaque boîte il y a autant de billes (c'est à dire la même infinité de bille), alors, la réponse est "Non : il y a autant de billes dans la première boîte que dans la deuxième boîte".

Pour comprendre le problème, il faut voir comment on compte l'infini.

L'idée de base est que deux ensembles sont "aussi grands" s'il est possible d'appareiller les éléments des deux ensembles par paires 5cf le message Akarkop page précédente).

Exemple, on considère les ensembles {1,2,3} et {4,5,6}.

On peut les appareiller par paires :

1 <-> 4

2 <-> 5

3 <-> 6

On remarque qu'il y a plusieurs manières de faire, voici une autre façon :

1 <-> 4

2 <-> 6

3 <-> 5

D'un point de vue mathématique, "appareiller par paire" les éléments de l'ensemble X à ceux de l'ensemble Y, c'est définir un ensemble E de couples (a,b) tels que :

1. Pour couple (a,b) dans E, a appartient à X et b appartient à Y. Autrement dit, ce sont des couples constitué d'un élément de X suivit d'un élément de Y.
   
2. Pour tout élément a de X, il existe un élément b de Y tel que (a,b) est dans E. Autrement dit, tout élément de X est associé à au moins un élément de Y.
   
3. Pour tout élément b de Y, il existe un élément a de X tel que (a,b) est dans E. Autrement dit, tout élément de Y est associé à au moins un élément de X.
   
4. Pour tout couple (a,b) dans E, il n'existe pas de couple (a,b') appartenant à E tel que b soit différent de b'. Autrement dit, chaque élément de X n'est associé qu'à un seul élément de Y (et pas à deux ni trois éléments de Y).
   
5. Pour tout couple (a,b) dans E, il n'existe pas de couple (a',b) appartenant à E tel que a soit différent de a'. Autrement dit, chaque élément de Y n'est associé qu'à un seul élément de X.
   

E est une relation entre les ensembles X et Y.

Pour simplifier les choses, on considèreras la fonction f qui associe à chaque élément a de X, l'unique élément b de Y tel que (a,b) est dans E.

Cette fonction f est une bijection de X dans Y.

De même, la fonction g qui associe à chaque élément b de Y l'unique élément a de X tel que (a,b) est dans E est une bijection de Y dans X.

Reprenons l'exemple précédent :

1 <-> 4

2 <-> 5

3 <-> 6

Cela revient à dire que

f(1) = 4,

f(2)=5

et f(3)=6

et que g(4)=1,

g(5)=2

et g(6)=3

Remarque : On dit que g est la réciproque de f car, pour tout élément a de X, on a g(f(a))=a et pour tout élément b de Y on a f(g(b))=b.

Il est possible de définir directement une bijection, par la définition suivante :

Une bijection d'un ensemble X vers un ensemble Y est une fonction f telle que :

• Pour tout b appartenant à Y, il existe a tel que f(a) = b (c'est la propriété 3 de la relation E)
  
• Pour tout a appartenant à X, il n'existe pas de a' différent de a et appartenant à X tel que f(a)=f(a'). C'est la propriété 5 de la relation E
  

A partir d'une bijection f, il est possible de définir une relation E qui appareille les élément de X et Y par paires.

On prend l'ensemble des couples (a,b) tels que b=f(a).

Les autres propriétés de la relation E (les propriété 1,2 et 4) découlent du fait que f est une fonction.

Conclusion :

Deux ensembles X et Y (finis ou infinis) contienet autant d'élément, sont "aussi grand" s'il existe une bijection de X vers Y.

Dire qu'il existe une bijection de X vers Y, cela revient à dire qu'il existe une relation E qui vérifiée les propriétés 1,2,3,4 et 5.

Cher Grenouille Verte, supposons qu'un enfant regarde logiquement l'ensemble des entiers naturels et celui des nombres paires et qu'on lui demande de les mettres en couples... Il remarque que tous les entiers pairs se retrouvent dans l'ensemble des entiers naturels et alors pour faire simple il met les pareils ensemble... soit les 2 ensemble (2,2), puis les 4 ensemble (4,4), puis les 6 (6,6) et il continue en faisant des paires composées de nombres semblables... étrangement il se retrouve avec des nombres qu'il ne peux pas appareillés et qui sont uniquement dans l'ensemble des entiers naturels soit le 1, le 3, le 5, le 7... et tous les impaires!

Il décide donc d'un mettre un devant chaque paire de semblable qu'il a formées, la première devenant la 1 (2,2), la seconde la 3 (4,4), la troisième la 5 (6,6)... et il continue en remarquant qu'il peut mettre un nombre resté seul venant de l'ensemble des entiers naturels devant chaque paires de semblables sans jamais en manquer... c'est donc dire que pour chaque entier pair il peut sortir deux entiers naturels... de cette façon il constate que même en se rendant jusqu'à l'infini il aura pris deux fois plus de nombres dans un ensemble que dans l'autre... et concluera que l'ensemble des entier naturels contient plus de nombres que celui des entiers pairs, autant de plus qu'il y aura de paires de nombres en fait...

Les 2 ensembles contiennent-ils la même quantité de nombres dans ce cas... :blush:

il constate que même en se rendant jusqu'à l'infini il aura pris deux fois plus de nombres dans un ensemble que dans l'autre... et concluera que l'ensemble des entier naturels contient plus de nombres que celui des entiers pairs, autant de plus qu'il y aura de paires de nombres en fait...

Le "et conclura" est une déduction incorrecte.

Les deux ensembles sont aussi grands, il suffit de considérer la bijection qui a n associe l'entier pair 2*n.

Il aura fait deux bijections à partir de celui des entiers naturels pourtant... une sur celui des entiers pairs et une sur celui des paires d'entiers...

Un enfant ne se complique pas la vie cher Grenouille Verte :blush: ... il prend ce qu'il voit et ce qu'il voit c'est qu'en faisant des paires de semblables sans bla-blas il a encore assez de jouets dans les entiers naturels pour les ''bijecter'' avec les paires d'entiers.

Est-ce qu'il verrait double et aurait besoin de lunettes selon vous?

Alors c'est oui ou c'est non ?

Je penche pour dire que l'un est plus grand que l'autre, ça paraîtrait assez logique, à priori ...

''... Alors c'est oui ou c'est non ?

Je penche pour dire que l'un est plus grand que l'autre, ça paraîtrait assez logique, à priori ...''

Peut-être sont-ils aussi grand l'un que l'autre mais que l'un est plus large que l'autre après tout... qu'il aurait simplement plus de profondeur... :blush:

Logiquement si 2 personnes font 2 mètres de haut mais que l'un pèse 100 kilos alors que l'autre en pèse 80 alors on peut dire qu'il sont aussi grand l'un que l'autre... mais ils n'ont quand même pas le même gabarit.

Il aura fait deux bijections à partir de celui des entiers naturels pourtant... une sur celui des entiers pairs et une sur celui des pairs d'entiers...

Non, tu n'as fait aucune bijection sur les pairs d'entiers (il en existe une, mais elle est un peu plus complexe). Ainsi, dans ta description, aucun entier ne donne la paire (2,7).

Sinon, il est évident qu'il y a autant d'entiers pairs (0,2,4,6,8...) que de paires d'entiers pairs identiques ( (0,0),(2,2),(4,4),(6,6),(8,8),...).

En effet, iil suffit de considérer la bijection qui à n associe (n,n).

Un enfant ne se complique pas la vie cher Grenouille Verte

La vérité est inhumaine, elle ne dépend pas de nous, ne dépend pas du fait qu'on soit un enfant, un vieillard ou une médaille Fields.

Le point que tu soulèves est donc hors de propos.

Alors c'est oui ou c'est non ?

Je penche pour dire que l'un est plus grand que l'autre, ça paraîtrait assez logique, à priori ...

Que quoi est plus grand que quoi ?

Au final :

• Il y a autant de rationnel (de nombre qui s'écrivent sous la forme de fractions) que d'entiers.
  
• Il y a autant d'entiers que d'entiers pairs
  
• Il y a autant d'entiers que de couples d'entiers.
  
• Il y a plus de réels que d'entiers
  

''... Non, tu n'as fait aucune bijection sur les pairs d'entiers...''

Je vous décris le tout plus clairement cher Grenouille Verte et vous verrez que j'ai bien une bijection avec les paires d'entiers...

Bijection #1 (A-B) : de l'ensemble A vers l'ensemble B

Ensemble A (1,2,3,4,5,6,7,8,9,.....) Ensemble B (2,4,6,8,....)

2 2

4 4

6 6

8 8

et ainsi de suite... il reste (1,3,5,7,9,.....) dans A et il reste (.........) dans B à ce moment.

Bijection #2 A-(A-B) : de l'ensemble A vers la bijection #1 (A-B)

1 avec (2,2)

3 avec (4,4)

5 avec (6,6)

7 avec (8,8)

et ainsi de suite... alors il ne reste plus rien dans les 2 ensembles.

Donc j'ai assez d'éléments dans A pour faire 2 bijections alors que B est vide après la première bijection... A peut donc faire bijection avec B (A-B) et aussi avec la bijection A-B.

La bijection #1 (notons la, f1) part de B et arrive dans B.

Elle associe à chaque entier pair n, lui même.

Autrement dt : f1(n)=n.

La bijection #2 (notons là f2) part de l'ensemble des entiers impairs (A privé de B, notons le A-B) vers l'ensemble C des couples (n,n) pour n appartenant à B.

Plus formellement :

f2(n) = (n+1,n+1).

Quel est l'intérêt de la bijection #2 ?

Et surtout, quel est l'intérêt de l'ensemble C ?

La bijection #1 associe un élément de A avec un élément de B... soit (A-B).

La bijection #2 associe un élément de A avec la bijection #1... soit A-(A-B).

Donc 2 bijections partent de A et une arrive en B alors que l'autre arrive en (A-B).

A = entiers naturels.

B= entiers pairs.

Je peux donc faire 2 bijections en partant de A et 1 en partant de B... et ce avec les éléments de départ seulement.

''... La vérité est inhumaine, elle ne dépend pas de nous, ne dépend pas du fait qu'on soit un enfant, un vieillard ou une médaille Fields. Le point que tu soulèves est donc hors de propos...''

La réponse que je vous offre chère Grenouille Verte est aussi logique que 1 + 2 = 3 .... et vous ne serez ni le premier ni le dernier à y faire face.

Vous êtes un humain et vous me dîtes que la vérité est inhumaine :blush: ... donc en étant humain ce que vous me dîtes ne peut pas être la vérité et encore moins la vérité sur la vérité.. Alors ne m'en veuillez pas si je ne vous crois pas cher Grenouille Verte, ce serait tout à fait illogique de ma part sinon... surtout que c'est vous-même qui me dîtes que vous ne dîtes pas la vérité...

Pour ma part je préfère dire que la vérité est ce que l'on dit et ce que l'on fait tout simplement... car peu importe ce que l'on dit ou ce que l'on fait on le dit vraiment et on le fait vraiment... même si ce que l'on dit est un mensonge ou si on fait semblant... on dit vraiment quelquechose et on fait vraiment quelquechose... c'est la vérité de chacun d'entre-nous et nous sommes tous humains... l'humaine vérité.

Au final, on en arrive à quoi?

Pour l'exemple de mes billes,

Chaques boites de billes contiennent la meme quantité de billes, qui sont toutes du meme volume.

Quel que soit le nombre de billes par boites, le total de billes contenues dans les dix boites de billes est dix fois plus grand que le nombre de billes par 1 boite.

supose que chaque boites contient 1 billes,

1 bille X 10 boites de billes = 10 billes en tout dans 10 boites

x billes X 10 boites de billes = 10x billes en tout dans 10 boites

Divisé par x donne :

1 bille X 10 boites de billes = 10 billes en tout dans 10 boites

alors pourquoi, 1 infinité de billes par boite ne donnerait pas:

1 infinité de billes X 10 boites = 10 infinité de billes

L'infini n'est pas un nombre, mais est une valeur au meme titre que x.

Pour éliminer infini, tu divises par infini de la meme facon que x.

1 infini X 10 = 10 infini

1 X 10 = 10

10 =10

Ca marche non?

:blush:

La bijection #1 associe un élément de A avec un élément de B... soit (A-B).

La bijection #2 associe un élément de A avec la bijection #1... soit A-(A-B).

Donc 2 bijections partent de A et une arrive en B alors que l'autre arrive en (A-B).

A = entiers naturels.

B= entiers pairs.

Je peux donc faire 2 bijections en partant de A et 1 en partant de B... et ce avec les éléments de départ seulement.

Aucune de tes bijections ne part de A. Tu n'as donc pas 2 bijections qui partent de A.

La première ne part pas de A, mais uniquement de B, elle n'est donc pas une bijection à partir de A (en fait, elle viole la propriété 2 que j'ai rappelé dans mon précédent message).

J'ai l'impression que tu coupes A en deux sous ensembles, et que tu fais des bijections à partir de ces sous-ensemble (vers quoi ? c'est pas clair du tout).

Vous êtes un humain et vous me dîtes que la vérité est inhumaine :blush: ... donc en étant humain ce que vous me dîtes ne peut pas être la vérité et encore moins la vérité sur la vérité.. Alors ne m'en veuillez pas si je ne vous crois pas cher Grenouille Verte, ce serait tout à fait illogique de ma part sinon... surtout que c'est vous-même qui me dîtes que vous ne dîtes pas la vérité...

L'erreur de raisonnemnt est dans le donc que j'ai mis en rouge gras.

''... L'erreur de raisonnemnt est dans le donc que j'ai mis en rouge gras...''

Devrais plutôt conclure en disant que vous n'êtes pas humain cher Grenouille Verte... l'erreur serait de ne pas m'expliquer pourquoi ce donc serait une erreur... ou pourquoi donc ce serait une erreur.

Mais comme l'erreur est humaine je préfère conclure en disant à votre sujet ''donc en étant humain...'' :blush:

Au final, on en arrive à quoi?

Pour l'exemple de mes billes,

Chaques boites de billes contiennent la meme quantité de billes, qui sont toutes du meme volume.

Quel que soit le nombre de billes par boites, le total de billes contenues dans les dix boites de billes est dix fois plus grand que le nombre de billes par 1 boite.

supose que chaque boites contient 1 billes,

1 bille X 10 boites de billes = 10 billes en tout dans 10 boites

x billes X 10 boites de billes = 10x billes en tout dans 10 boites

Divisé par x donne :

1 bille X 10 boites de billes = 10 billes en tout dans 10 boites

alors pourquoi, 1 infinité de billes par boite ne donnerait pas:

1 infinité de billes X 10 boites = 10 infinité de billes

L'infini n'est pas un nombre, mais est une valeur au meme titre que x.

Pour éliminer infini, tu divises par infini de la meme facon que x.

1 infini X 10 = 10 infini

1 X 10 = 10

10 =10

Ca marche non?

:blush:

Et non, ça ne marche pas

Tu ne peux pas "diviser" par l'infini. En plus, il n'existe pas un mais plusieurs infinis.

Considérons le cas simple, dans lequel dans chaque boîte, il y a une infinité dénombrable de bille (autrement, il y a une bille par entier naturel).

Il est donc possible de numéroter(*) les billes de chaque boîte avec les entiers naturels.

On appelle donc b(i,n) la énième bille de la i^ième boîte.

Dans la première boîte, il y a donc les billes b(1,0),b(1,1),...,b(1,n),...

Dans la troisième boîte, il y aura les billes b(3,0), b(3,1), b(3,2), b(3,3), b(3,4), b(3,5), b(3,6), b(3,7), b(3,8), b(3,9), b(3,10), b(3,11), b(3,12), b(3,13), b(3,14), b(3,15),...

On considère maintenant la fonction f définie par :

f ( b(i,n) ) = b(1,10*n+ i-1)

Cette fonction associe à chaque bille des 10 boîtes une bille de la première boîte.

On vérifie (je passe les détail, mais si il y a des question, je peux préciser) qu'il s'agit bien d'une bijection.

Il y a donc autant de billes dans la première boîte que dans la deuxième boîte.

Ce résultat se généralise au cas où toutes les boîtes contiennent la même infinité de bille. Par contre, si la première boîte contient autant de bille que d'entiers, et que la deuxième contient autant de billes que de nombres réels(**), alors, il y a plus de billes dans la deuxième boîte que dans la première, et donc, il y a plus de billes dans les dix boîtes réunies que dans la première.

(*) Cette numérotation est en fait une bijection de l'ensemble N des entiers naturel vers l'ensemble des billes d'une boîte.

(**) Voir mon précédent message.