Pourquoi 1=0.999999999...

Certains devraient réviser la notion de limite sur un espace topologique, ce me semble.

Un conseil appuyé.

Non... "viser" ... par "réviser" je pense... :blush:

''... Non : il faut le démontrer quelque soit n...''

Voici la définition textuelle du raisonnement par récurrence, que j'avais mentionnée auparavant et pour laquelle j'ai suivi les étapes exactement comme demandé...

Dites-moi, à quel endroit vous voyez qu'il faudrait démontrer quelque soit n cher Mad World?

Redéfinieriez-vous cette définition.

Pour ma part je n'ai pas à démontrer quoique ce soit en suivant cette procédure puisque sa conclusion me dit que la propriété est automatiquement vraie pour tous les entiers naturels.

Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants :

• Une propriété est satisfaite par l'entier 0 ;
  
• Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle doit être satisfaite par son successeur, c'est-à-dire, le nombre entier n+1.
  

Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

Mais peut-être que Wikipédia serait dans l'erreur une fois de plus... alors je vous laisse le soin de me citer une autre source qui serait plus digne de confiance cher Mad World.

''... Non : il faut le démontrer quelque soit n...''

Voici la définition textuelle du raisonnement par récurrence, que j'avais mentionnée auparavant et pour laquelle j'ai suivi les étapes exactement comme demandé...

Dites-moi, à quel endroit vous voyez qu'il faudrait démontrer quelque soit n cher Mad World?

Ici :

• Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle doit être satisfaite ...
  

Ce qui signifie la chose suivante.

Je prends ma propriété Y(N) <=> N*N=N

Je la suppose vraie dans un premier temps.

Je montre que cette hypothèse permet de conclure que Y(N+1) <=> (N+1)*(N+1)=N+1 est vraie

Or :

(N+1)*(N+1) = N² + 1 + 2N

Par hypothèse, N²=N (puisqu'on suppose Y(N) vraie)

Donc (N+1)*(N+1) = N+1 + 2N

Donc pour que Y(N+1) soit vraie, IL FAUT ET IL SUFFIT que 2N soit nul.

Ce qui signifie que la propriété Y(N) vraie, implique Y(N+1) vraie SI ET SEULEMENT SI N=0

Il ne s'agit donc pas d'une récurrence.

Pour information, la récurrence est un théorème, non pas une définition. Voici le théorème en question (le vrai... celui qu'on trouve dans un livre de math... ) :

Définition des Termes

Soit P(n) une propriété mathématique

Hypothèses :

Si

- Il existe n0 appartenant à IN tel que P(n0) vraie (<---- initialisation)

- Pour tout n>n0, P(n) => P(n+1) ( <---- hérédité)

Conclusion :

Alors

Pour tout n de IN, n>n0, P(n) (<---- Conclusion sur P(n) quelque soit n)

Votre erreur, dans votre raisonnement, est de remplacer le "pour tout" en rouge par un "il existe" ... ce qui modifie donc les hypothèse du théorème, et ferait appel à un nouveau théorème, qui en l'occurrence est faux.

Wiki ne se plante pas, il manque de rigueur dans l'énoncé, mais l'énoncé n'est pas faux. Vous l'avez mal interprété.

Maintenant, si vous estimez que Wiki est une source plus sérieuse que n'importe quel livre de math, alors faites donc ce que vous voulez...

''... "on peut choisir un t positif arbitrairement petit, on pourra toujours trouver un entier N tel que si n>N, alors |1 - (9*10^-1 + 9*10^-2 + ... + 9*10^-n)| < t".

Tu remarqueras que dans la phrase précédente, il n'y a cette fois aucune somme infinie (vu qu'apparemment c'est ça qui te troublait).

Voici la citation exacte de Akarkop cher Grenouille Verte, j'ai choisi un t positif arbitrairement petit... et ma réponse demeure t = 10^-n tel que n est le nombre de 9 suivant la virgule... à vous de trouver un N tel que si n>N, alors |1-(9/101 + 9/102 + ... + 9/10n)| < t soit vrai.

Facile, j'ai trouvé un tel N.

Il suffit de prendre N=n+1.

CQFD.

''... Pour tout...''

Pour tout x... qui est plus grand que moi.

Quel que soit le x... qui est plus grand que moi.

Pour n'importe quel x... qui est plus grand que moi.

Un parmi tous les x... qui est plus grand que moi.

Dîtes-moi cher Mad_World... parle-t-on du fait que tous les x sont plus grand que moi ou encore d'un seul quel qu'il soit qui le serait.

Quel que soit le chapeau que vous portez veut-il dire que vous les porteriez tous... Pour tout chapeau que vous porteriez veut-il dire que vous les porteriez tous... Pour toute réponse que je vous donnerais voudrait-il dire que je vous les donnerais toutes...

Lorsque l'on veut exprimer le fait que ''tous les x sont'' en logique, n'écrit-on pas plutôt '' il n'existe pas de x qui n'est pas''...

Pourquoi ne faire plus simple en disant que si la propriété s'applique à 0 et que 2 entiers, (quel qu'ils soient) (N'importe lesquels) (Pris parmi tous les entiers), et qui sont consécutifs, partagent cette même propriété, alors ce sont tous les entiers qui la partagent avec eux.

Facile, j'ai trouvé un tel N.

Il suffit de prendre N=n+1.

CQFD.

On parle d'un entier N tel que si n>N, et aux dernières nouvelles n+1 > n... la seule chose que vous nous démontrez c'est que vous vous êtes mis un doigt dans l'oeil cette fois-ci cher Grenouille Verte... c'est sans doute ce pourquoi vous auriez mal lu. Mettez des lunettes la prochaine fois ça protège contre ce genre de d'accident.

Je redonne, en détails, la finition de la limite d'une suite u_n.

La limite de u_n est l, si, et seulement si :

Pour tout t, il existe N tel que pour tout n si n>N alors |u_n-l|<t

Cette définition peut évidemment s'écrire sous cette autre forme :

Pour tout t, il existe N tel que pour tout m si m>N alors |u_m-l|<t

En effet, on a toujours le droit de renommer les variables liées.

Vous pouvez voir la définition donné sur Wikipédia (la même).

On parle d'un entier N tel que si n>N, et aux dernières nouvelles n+1 > n...

Non, vous confondez votre n, et celui de la définition.

Vous avez choisi t=10^-n pour un n à vous (vous n'avez pas précisé de quel n il s'agit).

Il faut ensuite trouver un N tel que pour tout m, si m>N alors |1-(9*10^-1 + 9*10^-2 + ... + 9*10^-m)|<m

C'est facile, je prend N=n+1.

|1-(9*10^-1 + 9*10^-2 + ... + 9*10^-m)| = 10^-m

Si m>N, alors m>n+1, et donc |1-(9*10^-1 + 9*10^-2 + ... + 9*10^-m)| < 10ⁿ = t

CQFD

''... ⁽ⁿ⁾ = nombre de 9.''

Précision déjà donnée, à votre attention cher Grenouille vert, dans le message #190...

Comme dans votre exemple il est inscit comme étant m alors n = m... et ma réponse demeure 10^-n.

Cessez de vous mettre les doigts dans la figure vous êtes en train de perdre littérallement la face...

[/b]Précision déjà donnée, à votre attention cher Grenouille vert, dans le message #190...

Comme dans votre exemple il est inscit comme étant m alors n = m...[/i]

Je suis d'accord que 1 x 0.999... = 0.999...

Il y a vraiment des gens bornés c'est grave Vous ne pensez pas aussi que la terre est plate tant qu'on y est?

Il n'y a pas de honte à ne rien comprendre aux maths, chacun son truc, mais de là à dire que tous les mathématiciens se trompent depuis des siècles...

Merci de reconnaitre que cet énoncé purement mathématique est vrai :blush:

Je ne suis pas borné ,justement je met en parallèle différentes façons de voir ;

et pour ce qui est de la compréhension mathématique ,certains chercheurs en mathématiques s'accordent à dire qu'ils ne savent pas ce que sont vraiment les mathématiques .

Mais encore vous semblez considérer les mathématiques comme si c'était une religion... vous tenez le même discours que ceux qui disent que la bible et ses dogmes seraient inattaquables... mais eux aussi construisent sur du non-vérifiable dans le réel... et leur logique se base aussi sur des définitions qu'ils inventent eux-même.

Assez d'accord ,certaines notions en mathématiques sont intuitives .

La "Démonstration" suivante :

1*0.99999.... = 0.99999....

donc, de part la neutralité de l'unité, 0.99999.... est different de 1.

Merci de le reconnaitre

Prends pour hypothèse que 0.9999.... est différent de 1...

Je m'explique :

Je fais la même démonstration : supposons : 1=0.9999....

1*0.999999.... = 0.999......

1*0.99999.... = 1*1 = 1

donc 0.999.... = 1

Est ce une démonstration ?

Non... parce que ma conclusion EST mon hypothèse... ce qui ne démontre rien.

Tu confonds démonstration et énoncé vrai ,car démontré vrai par les propriétés basiques des mathématiques ;au passage ,je signale que les mathématiques s'appuient sur les notions établies graduellement ; ce sont les notions premières ,donc ce qui est démontré avec les bases ,l'est toujours .

est-ce que cet énoncé est vrai ?:

1 x 0,999999999... = 0,999999999...? vrai ou faux ?

En aucun cas c'est une hypothèse ,c'est une réalité mathématique qui paradoxalement dit le contraire mais cela arrive parfois en mathématique;

prenons 0° ,parfois cela peut donner 1 et parfois cela peut ne pas être défini ;

alors dans le cas ou ça donne 1 , est-ce que 0° = 0,999999999... ?

Je l'ai dit , le nombre 1 est un bouche trou et le zéro est un bouche trou noir ;

Dire que

1*0.99.... = 0.9... différent de 1

c'est partir du fait que 0.9999..... est différent de 1.

Dans le cas présent tu ne peux démontrer l'inverse et dire que c'est faux ,car sinon nous aurions 1 comme résultat.

Dans cet énoncé ,c'est le cas , 1 est différent de 0,999999999...

Il en va de même pour 0.9999.... Ce nombre, c'est, aussi choquant que cela puisse paraitre, c'est "1". On ne peut ni écrire entièrement, ni dénombrer le nombre de caractère de 0.99999.... Et pourtant, comme "pi" il représente bien quelque chose de concret. Il s'agit d'une représentation abstraite de quelque chose de concret... comme "pi", comme "i" .

Oui comme 1,99999999... correspond au nombre directement supérieur ,soit 2 ,; et c'est pareil pour 2,99999999... c'est 3 , etc etc ...

c'est un postulat

1 x 0,999999999... = 0,999999999... est une intuition ?

Ne pas confondre propriété d'un nombre et sa valeur ,c'est en cela qu'il y a différence .

Mais puisque l'on peut considérer d'après toi , x,999999999... comme étant un nombre , et lui apporter la même propriété,

que dire de cela :

1-0,999999999... = ?

C'est zéro ? merci l'illustre indien qui l'a inventé .

Je te renvois tes certitudes car les mathématiques sont en partie intuitives ,le zéro en est un bon exemple .

au fait au passage , ne prends pas les autres de haut , on peut parler même de maths sans pour cela se faire traiter de nuls , mêmes des mathématiciens illustres se sont plantés et heureusement que d'autres ne les ont pas cru parce que c'était simplement écrit ,; non ils se sont interrogés ,car le raisonnement mathématique vient justement de triturer ,de confondre les résultats ,car rien n'est sur à 100% .

Qué blabla pour un concept somme toute très simple.

Quand une notion est mal maîtrisée, elle donne toujours lieu à des ratiocinations qui tendent vers l'infini par valeur négative. Les médecins de Molière, quoi.

La question est pourtant d'une limpidité évianesque, on peut la poser sous sa déclinaison géométrique, une droite asymptote à une courbe rencontre-t-elle oui ou non sa courbe ? ou encore algébrique, 1/x = 0 admet-elle une solution réelle ?

Diafoirus du monde entier, à vos claviers !

Tu confonds démonstration et énoncé vrai ,car démontré vrai par les propriétés basiques des mathématiques ;au passage ,je signale que les mathématiques s'appuient sur les notions établies graduellement ; ce sont les notions premières ,donc ce qui est démontré avec les bases ,l'est toujours .

Je ne confonds rien du tout :

1*0.9999.... = 0.9999.....

oui, cela ne contredit pas 0.999.....=1

ce ne contredit pas non plus 0.99999.... différent de 1

Cela ne démontre rien... point barre...

est-ce que cet énoncé est vrai ?:

1 x 0,999999999... = 0,999999999...? vrai ou faux ?

Vrai... et alors ?

En aucun cas c'est une hypothèse ,c'est une réalité mathématique qui paradoxalement dit le contraire mais cela arrive parfois en mathématique;

Qui dit le contraire de quoi ?? Oo

prenons 0° ,parfois cela peut donner 1 et parfois cela peut ne pas être défini ;

alors dans le cas ou ça donne 1 , est-ce que 0° = 0,999999999... ?

Oui.

Dans le cas présent tu ne peux démontrer l'inverse et dire que c'est faux ,car sinon nous aurions 1 comme résultat.

Dans cet énoncé ,c'est le cas , 1 est différent de 0,999999999...

Ah non... en effet... ce truc là ne démontre rien...

Mais par contre :

Soit u(n) = Somme (sur n) [ 9*10^-n]

lim[u(n)] = 1

de plus,

Pour tout n de IN u(n) = 0.999999999 (avec "n" fois "9")

Donc

lim(u(n) = 0.99999999999... (avec une infinité de décimales)

Mais encore, je peux aussi dire :

soit x=0.9 le nombre 0.9999......

10*x = 0.9 * 10 = 9.9

10*x = 9 + 0.9

10*x = 9 + x

9x = 9

x=1

Cette démonstration est rigoureuse et repose sur le fait que 10*0.9 = 9.9. Cette propriété découle des propriété de la notion d'infini.

ou encore

Soit 0.9999.... < x < 1 (strictement).

SI 0.999.... différent de 1 alors il existe une infinité de réel x : x est défini sur l'interval ouvert ]0.99999.... ; 1[

La dimension de cet intervale est Delta = 1-0.99999....... = 0.000000......00001 avec une infinité de 0. Or le nombre 0.0000....0001 n'existe pas, car il a à la fois une infinité de décimales (les "0") et une dernière décimale (le "1") ce qui est, par définition, strictement contradictoire.

L'intervale ]0.99.... ; 1[ n'a pas de dimension. Il s'agit donc de l'ensemble vide.

Donc

SI 0.9999999... est différent de 1 ALORS il existe une infinité de réels dans l'ensemble vide

Mais aussi :

0.33333...... * 3 = 0.9999999..............

or :

1/3 = 0.3333........

et 3*1/3 = 1

Donc 0.9999........ = 1

Oui comme 1,99999999... correspond au nombre directement supérieur ,soit 2 ,; et c'est pareil pour 2,99999999... c'est 3 , etc etc ...

c'est un postulat

Mais je vous en prie... citez donc son nom, à ce postulat. Son auteur, son justificateur... c'est le gros inconvénient du postulat ça... il faut citer une référence justificative... contrairement à une démonstration... A moins que vous ne soyez vous même l'auteur du dit postulat... auquel cas, je vous invite à le publier ... juste histoire de rigoler...

1 x 0,999999999... = 0,999999999... est une intuition ?

C'est une conséquence directe d'une définition.

Ne pas confondre propriété d'un nombre et sa valeur ,c'est en cela qu'il y a différence .

Ne pas non plus confondre la valeur d'un nombre avec son écriture...

1/2 et 0.5 sont deux écriture du même nombre.

0.99999.... est l'écriture impropre de "1"

"1" est l'écriture dite propre de 0.99999......

Mais puisque l'on peut considérer d'après toi , x,999999999... comme étant un nombre , et lui apporter la même propriété,

que dire de cela :

1-0,999999999... = ?

C'est zéro ? merci l'illustre indien qui l'a inventé :blush: .

Oui c'est zéros... j'ai démontré ici même plusieurs fois que 1-0.99999..... = 0 = 0.00 = 0.00000......

(enfin ... j'ai démontré que 1=0.9999..... ... ce qui est strictement équivement).

Et je ne vois pas ce que les inventeurs du "0" viennent faire ici...

Je te renvois tes certitudes car les mathématiques sont en partie intuitives ,le zéro en est un bon exemple .

au fait au passage , ne prends pas les autres de haut , on peut parler même de maths sans pour cela se faire traiter de nuls , mêmes des mathématiciens illustres se sont plantés et heureusement que d'autres ne les ont pas cru parce que c'était simplement écrit ,; non ils se sont interrogés ,car le raisonnement mathématique vient justement de triturer ,de confondre les résultats ,car rien n'est sur à 100% .

Ah oui ?

Mais je te renvoies alors à tes connaissances en mathématiques. Le principe des mathématiques, comme tu l'a dit, est d'apporter une démonstration absolue. Ce qui me turlupine un peu, c'est que tu veux parler de maths mais n'accepte pas les bases même des mathématiques. Ormis les rares axiomes (qui sont des cas particuliers), en math tout est faux jusqu'à preuve du contraire... Et l'à, on vous apporte plusieurs preuves... mais cela ne vous va pas... Je vous le demande... si vous voulez faire des math, prenez un papier, un stylo, et trouver une erreur dans toutes les démonstrations posées ici.

Alors j'accepterais qu'elles sont fausses, et à moins de ne pouvoir les corriger, je continuerai à considérer que 0.099999... = 1 n'est pas démontré et donc mathématiquement faux...

Mais j'attends encore... j'attends...

Je ne prends personne de haut. car, ce qui est démontré est, je m'excuse, sûr à 100% ... ce sont des mathématiques, ce nn'est pas de la physique. ce n'est pas une science expérimentale ou une manip peut tout remettre en cause. On peut ouvrir de nouvelle porte, mais on ne peut pas fermer celle qui sont déjà ouverte, car ce qui est démontrer est démontrer dans un cadre précis et (à condition que la démonstration soit juste) est toujours vrai dans ce cadre... On est sûr à 100% puisqu'on ne considère pas le cas " les axiomes sont faux".

Puisque je pars du principe que les axiomes sont vrai.

Je suis sûr à 100% que x²=-1 ,n'admet pas de solution appartenant à IR

Je suis sûr à 100% que qu'une suite bornée est convergente

Je suis sûr à 100% que le carré de l'hypothénuse d'un triangle rectangle est la somme des carrés des deux autres cotés

je suis sûr à 100% qu'il n'y a pas de relation d'ordre dans l'espace complexe

La place de l'intuition en math existe oui. Elle ne tient pas place de démonstration de quoi que ce soit. Elle permet de partir "par intuition" sur une piste, un idée... (par exemple, quand je vois certaines primitive, par intuition, je pars vers une technique, de changement de variable ou d'intégration par partie,... )... mais il s'avère que parfois mon intuition est veai, parfois non. L'intuition aide, mais ne constitue pas une démonstration.

Qué blabla pour un concept somme toute très simple.

Quand une notion est mal maîtrisée, elle donne toujours lieu à des ratiocinations qui tendent vers l'infini par valeur négative. Les médecins de Molière, quoi.

La question est pourtant d'une limpidité évianesque, on peut la poser sous sa déclinaison géométrique, une droite asymptote à une courbe rencontre-t-elle oui ou non sa courbe ? ou encore algébrique, 1/x = 0 admet-elle une solution réelle ?

Diafoirus du monde entier, à vos claviers !

Je dis non !

Et vu que je suis un lâche, je m'accorde tout de même un degré de confiance de 10^-50.

une droite asymptote à une courbe rencontre-t-elle oui ou non sa courbe ?

L'ouverture d'esprit nous force à répondre qu'on ne peut pas conclure si la question reste posée telle quelle... Rien n'empèche la courbe d'osciller autour de son assymptote, auquel cas, elle la rencontre une infinité de fois... :blush:

D'après Zénon d'Elée et son paradoxe, 1 n'équivaut pas à 0,9999999999 et c'est ce qui justifie la théorie de Parménide sur l'immuabilité de l'être.

Je n'ai que peu de connaissances mathématiques mais il me semble que les limites infirment ce paradoxe.

Bon Morok', je compte sur toi pour m'éclairer.

En fait, 1 n'équivaut pas à 0.9999999, tant que le nombre de "9" est fini . Tout simplement parce que, quelque soit le nombre de "9" après la virgule (disons qu'il y a "n" 9 après la virgule), tant que "n" est une valeur réelle (donc finie) je pourrait toujours rajoutter un nouveau "9" à la fin. Exemple :

Je prends 0.9999999 il y a sept "9".

Ce nombre n'est pas égal à "1", parce que je peux rajoutter un 8ième "9" à la fin, et j'aurais un nombre à la fois plus grand que 0.9999999 et plus petit que "1". Donc, avec cette méthode, je suis capable de trouver une infinité de nombres entre 0.9999999 et 1.

Là où le sujet devient intéressant, c'est quand je considère le nombre : 0.99999.... tel que je ne peux pas rajouter une décimale supplémentaire. Ce cas n'est pas possible tant que le nombre de "9" est fini. Il correspond donc à une infinité de décimale.

On entre alors dans une notion quelque peu complexe, malgré ce que pourra dire cercle rouge :blush:

La notion de l'infini. Cette notion, en mathématique, est différente de celle qu'on peut en avoir dans des sciences expérimentales comme la physique. Par exemple, en optique de base, l'infini, c'est quelques mètres... En nano science, l'infini, c'est quelques mm, ... En mathématique, l'infini n'est pas une valeur. Ce n'est pas un nombre, mais un concept. Ses propriétés sont particulière, par exemple :

infini +1 = infini

infini - 1 = infini

infini * 15 = infini

...

Même si on a tendance à lui appliquer ce genre d'oppération, il faut toutefois toujours garder en tête que ce n'est pas un nombre !! Il n'appartien pas à l'ensemble des nombres réels.

C'est pour cela, entre autre, qu'on dit souvent qu'une courbe n'atteind jamais son assymptote. Parce que en math, les mot on des sens très clairs. Ici, le mot "atteindre" signifie qu'on "peut trouver un nombre (un rang) au niveau duquel la courbe atteind l'assymptote" . En effet, on ne peut pas en trouver, parce que elle n'atteint l'assymptote QUE en l'infini, et l'infini n'est pas un nombre.

Voila pour l'infini. La notion de limite est elle aussi particulière. Je ne vais parler des limite divergente (+/- infini) mais des limite finie. Une limite finie est un nombre. C'est la valeur de l'assymptote si nous parlons d'assymptote. C'est à dire, la valeur qu'atteint la courbe au niveau de l'infini. Nous ne sommes pas capable d'observer mathématiquement cet infini. Donc, nous ne verrons jamais la courbe atteindre cette valeur. Mais la limite, elle, représente justement ce que nous ne pouvons pas observer.

Exemple :

Je prends la série* suivante

S(n) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...... + 1/ (2^n)

*) Une série est une somme de termes (typiquement la somme des termes d'une suite).

La série peut s'écrire :

Somme ( 1/2^i) quand i va de 0 à n .

On dit :

Cette série TEND vers le nombre 2 ce qui signifie qu'elle n'atteind jamais "2" mais s'en rapproche indéfiniement.

La limite de cette série EST EGALE à 2 (ce qui signifie... la même chose...) qu'on écrira :

Lim (S(n)) = Somme ( 1/2^i) quand i va de 0 à infini = 2

La deuxième écriture est un peu abusive. En effet, l'infini n'étant pas un nombre, on n'est pas sensé avoir le droit de l'écire comme borne d'une sommation... mais disons qu'on le tolère, puisque qu'il n'y a pas de confusion possible. Ce type de somme représente une limite.

Je vous rappelle que le mot "atteindre" à un sens très clair qui dit, mathématiquement que si la série S(n) atteint la valeur x alors, il existe un entier naturel n0 tel que S(n0)=x et ceci ne vaut évidemment pas pour "S(infini)" puisque infini n'est pas un nombre...

C'est pour cela qu'on ne peut pas dire que la série atteint la valeur "2".

Revenons à notre cas à nous. Le nombre 0.9999.... avec une infinité de décimale. Ecrit comme cela, ce n'est pas très mathématique. On préfère représenter se nombre comme ceci : 0.[9] ou 0.9 qui est plus rigoureux, puisque les "..." peuvent laisser place à la confusion. les [ ] représente le fait qu'il y a une INFINITE de décimale. En fait, ce nombre est issue d'une série :

0.9 = 9E-1

0.99 = 9E-1 + 9E-2

...

0.[9] = 9e-1 + 9e-2 + .... (à l'infini).

Soit : 0.[9] = Somme ( 9e^-i) quand i va de 1 à infini .

Nous avons déjà vu que cette somme, écrite telle quelle, ne représente pas autre chose qu'une limite, puisque théoriquement, comme l'infini n'est pas un nombre, on ne doit pas l'écrire comme borne d'une sommation. Donc en fait :

0.[9] = lim (S(n))

Où S(n) = Somme ( 9e^-i) quand i va de 1 à n

Si je calcul cette limite, j'obtiens "1" :

La série TEND vers 1 (mais ne l'atteint jamais : rapellez vous le sens du mot "atteindre" )

La limite de la série EST EGALE à 1

Pour tout n de IN (donc n n'est PAS égale à l'infini !!) S(n) sera différent de "1", car 0.9999... aura une quantité FINIE de décimale (en l'occurence, il y aura "n" décimale).

Mais si n accède à l'infini (chose non observable !!) S(infini) = 1 (attention, la notation S(infini) est abusive)

Donc en fait,

0.9

0.99

0.999

0.9999

...

TEND vers "1" (c'est la série, il n'y a qu'un nombre de FINI de décimales)

Mais

0.[9], qui EST la limite est EGALE à "1"

Donc en plus clair :

0.[9] = 1

Il s'agit de ce qu'on apelle un développement décimal impropre. TOUT nombre possède un développement décimal impropre.

Par exemple :

1.86 = 1.8[5] (avec une infinité de "5")

ou encore : Pi ...

Certains, comme pi, n'ont qu'une seule écriture possible : celle en décimale impropre.

D'autres, par contre, comme 1 (en fait, tout ceux qui appartiennent à l'ensemble des décimaux, c'est à dire tous ceux qui ont un nombre FINI de décimales) possèdent DEUX écritures. L'écriture dite en décimale propre : 1 ou 1.86 ou 89,565654654 ou , ..;

Et une autre écriture en décimales impropre (avec une infinité de décimales) 1=0.[9], ou 1.86 = 1.8[5] ou

89,565654654 = 89,56565465[3]

Lorsqu'on change de base (ici, on étais toujours en base 10), il arrive que des nombres en décimales impropre deviennes des nombres en décimale propre et inversement :

Exemple : 1/3 = 0.[3] en base 10

Mais en base 3

1/3 = 0.1

Voila.

J'espère avoir éclairée la lanterne de tous ici, quelque soit leur niveau en math...

Sur ce...

A+

Mad_

Définition de l'infini... selon Wiki.

''...L'infini (du latin finitus, « limité », noté habituellement ∞) est un concept qui s'attache à quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille...''

En résumé on dit qu'il y a une infinité de 9 dans 0,9 parce qu'il n'y a pas de limite au nombre de 9 (décimales) qu'il contient... que je peux toujours rajouter une décimale supplémentaire.

Citation Mad_World...

''... Là où le sujet devient intéressant, c'est quand je considère le nombre : 0.99999.... tel que je ne peux pas rajouter une décimale supplémentaire...''

J'y vois une contradiction flagrande... car si je ne peux rajouter de décimales c'est qu'il y a une limite au nombre de décimales que je peux rajouter.

Ce serait donc comme de dire que je considère le nombre X comme si il n'était pas le nombre X.

Ou encore que je considère l'infini comme si ce n'était pas l'infini...

''... En effet, l'infini n'étant pas un nombre, on n'est pas sensé avoir le droit de l'écire comme borne d'une sommation... mais disons qu'on le tolère, puisque qu'il n'y a pas de confusion possible...''

En effet Mad_World, ce n'est pas parce qu'on n'est pas sensé avoir le droit qu'on ne peut pas le prendre... surtout lorsque l'on définit l'infini au préalable comme étant ce qu'il n'est pas, ou comme n'étant pas ce qu'il est...

Mais lorsque qu'on est pas sensé... ne produit-on pas des résultats qui ne sont pas sensés également?

Si je définis un concept comme pouvant remplacer un nombre comme borne de sommation alors je peux dire :

Somme des Xⁿ pour n allant de 0 jusqu'à ce qu'il n'y en ait ''jamais trop'' mais en considérant ''jamais trop'' comme voulant dire assez... ou allant de 0 jusqu'à encore mais en considérant encore comme voulant dire suffisamment.

Je me dis que 1/2 vaut 0,5 et que je ne peux pas lui ajouter de décimales supplémentaire... sinon il ne vaudrait plus 1/2... serait-ce à dire qu'il a une infinité de 5 parceque il est tel que je ne peux pas lui rajouter une décimale supplémentaire...

Je pourrais aussi vous demandez quelle quantité représente l'étape venant juste avant le point ou je ne pourrais plus rajouter une décimale de plus à 0,9. Puis la quantité venant avant cette quantité et voir si je pourrais remonter aussi à contre-courant jusqu'à 0...

Mais il n'y a pas de limite à ce que les mathématiques peuvent produire... même de mettre une limite à ce qui n'en a pas...

Pour mettre un point final à cette affaire (j'espère !)

Salut, j'en ai une bonne à vous proposer!

Si je prends le nombre (0,999999999... à l'infini) qui est en réalité une infime partie plus petite que le nombre 1.

Attribuez: x=0,999999999...

Amusons-nous!!

x=0.999999999...

10x=9.999999999... (10 multiplié par x egal 10 multiplié par0.999999999...)

10x-x=9.9999999999... - 0.9999999999...

9x=9

x=1

Donc si x=1 et x=0.999999999...

alors 1=0.999999999...

Qu'en pensez-vous!?

En fait, commençons par donner un nombre fini de décimal pour x , par exemple :

0,999 .

Si l'on multiplie par 10, cela fait 9,99 .

On voit bien avec cette exemple qu'en multipliant x par 10, on passe d'un nombre à 3 décimales à un nombre à 2 décimales.

Inserons maintenant la notion d'infini, c'est à dire le fait, dans ce cas précis, d'ajouter des décimales à l'infini :

lorsque l'on ajoute indéfiniment une décimale au premier nombre, on en ajoute une autre simultanément au deuxième nombre (sinon ça n'a pas de sens).

De fait, et c'est là la subtilité, quelquesoit le nombre de décimales ajoutées, il subsiste toujours entre les deux nombres un décalage d'une décimale.

Pour le résumer de façon plus mathématique,

10x aura toujours n décimales,

tandis que x aura toujours n + 1 décimales.

Et ce quelquesoit le nombre n , même si on l'imagine le plus grand possible (ce qui est la définition même de l'infini).

Donc, suite à ce décalage, 9,999999... - 0,9999999... n'est pas égal à 9 , mais à 8,99999...91 (avec une infinité de 9 à la place des "...")

En fait, dans ce calcul, la notion d'infini sert à masquer le fait qu'on égalise de façon erronée les nombres respectifs de décimales de x et de 10x , c'est là que réside l'erreur de raisonnement.

1= 1/3 *3 =0.333333333... * 3 = 0.99999999.....

donc 1=0.99999999....

démonstration moins élégante que celle de grenouille verte mais faciles a comprendre

c'est une des subtilités basique des maths

Dans ce cas-là, c'est un peu différent je trouve.

En fait, 1/3 est un nombre rationnel (ou une fraction si vous préférez, pour les non-matheux ) qui ne peut pas s'écrire sous forme décimale (sous forme de nombre quoi), du coup on ne peut en donner qu'un nombre qui s'en rapproche indéfiniment sans atteindre un nombre exact (de la même façon que pi).

Ainsi 0,3333333... n'est PAS égal à 1/3 , ce n'est qu'un nombre approximatif, qui tend sans cesse vers la valeur de 1/3 sans jamais vraiment l'atteindre.

Donc, lorsque l'on multiplie ce nombre approximatif par 3, on tombe sur un nombre tout aussi approximatif qui tend vers 1 sans jamais vraiment l'atteindre non plus.

Voilà

J'espère que c'est assez clair :blush:

Malheureusement RainfallCaesia, cet argument a déjà été apporté (page #7 message #62), mais avec moins d'élégance je vous le concède, ce qui n'a toutefois pas clos le débat pour autant, comme vous pouvez le remarquer...

Je n'ai pas eu le courage de lire tout le topic...

Et je ne vois pas ce qu'il y a à débattre :blush:

Les mathématiques sont une science exacte, une fois la démonstration établie, ça ne souffre d'aucune contestation.

Ce sont des calculs, pas de la philo...