Pourquoi 1=0.999999999...

Dans une même logique...

si 0,9 = 1,0

alors

0,8 = ?

0,7 = ?

Pourriez-vous me remplacer les ? par d'autres nombres... j'aimerais bien savoir la valeur équivalente pour ceux-ci également.

Seuls les nombres décimaux ont deux développements décimaux, l'un se finissant par un infinité de 0, l'autre par une infinité de 9.

0,8 n'est pas un nombre décimal, il n'a donc pas de deuxième développement décimal.

Au passage si on pose x= 0,8. On a alors 10x= 8+x. Cela nous donne x=8/9.

On a donc 0,8 = 8/9

En fait vous oubliez de mentionnez que la multiplication par 10 décale tous les chiffres d'un cran et ce du dernier jusqu'au premier...et donc qu'il y a un chiffre de moins (9) après la virgule suite à la mutiplication par 10

Faux.

Considérez la suite de décimales de 0,9

Cette suite (notons la u) est définie par : Pour tout n, u(n) = 9.

Je vous laisse calculer la suite des décimales de de 10*0,9 (notons la v).

Qu'obtenez-vous ?

Voici la définition de WIKIPéDIA cher Grenouille Verte...

''...Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la forme (où a et p sont des entiers relatifs). Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre qui possède cependant autant d'approximations décimales que l'on veut...''

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%C3%A9cimal

0,9 n'a pas un développement décimal limité aux dernières nouvelles... Renseignez-vous.

Votre raisonnement sur U n'a rien à voir... il y aura un 9 de moins puisque je décale la virgule d'un cran... et ce 9 en moins se retrouvera du côté des entiers...

Si vous posez que tous les n sont des 9 alors le dernier aussi est un 9 et si il y a un dernier alors la suite n'est pas infinie. Tout inclus le premier et le dernier sinon ce n'est pas tout...

Voici la définition de WIKIPéDIA cher Grenouille Verte...

''...Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la forme (où a et p sont des entiers relatifs). Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre qui possède cependant autant d'approximations décimales que l'on veut...''

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%C3%A9cimal

0,9 n'a pas un développement décimal limité aux dernières nouvelles... Renseignez-vous.

Pouvez vous le prouver ? Il est certain que 0.9999999... n'est pas un développement décimal limité, mais rien n'interdit que ce nombre est un AUTRE développement décimal.

Au contraire, 8/9, lui, n'est pas un décimal.

''... Pouvez vous le prouver ?...''

C'était votre affirmation et non pas le mienne... assumez vos dire dans ce cas et donnez-nous la preuve de ce que vous avancez...

Et comme votre argument ne tient pas alors remplacez les ? suivants...

0,8 = ?

0,7 = ?

C'était votre affirmation et non pas le mienne... assumez vos dire dans ce cas et donnez-nous la preuve de ce que vous avancez...

J'ai donné une preuve dans le message n°5 de ce sujet. :blush:

''... J'ai donné une preuve dans le message n°5 de ce sujet. :blush: ...''

De quelle preuve parlez-vous... celle qui dirait que parceque je tendrais vers quelquechose alors j'y serait parvenu.

Même si je m'approchais infiniment près de vous, je ne serai jamais à votre place vous savez... sinon vous ne seriez pas là... et je ne m'approcherais pas de vous alors puisque vous n'y seriez pas.

Tendre vers l'intelligence ne veut pas dire que l'on est intelligent... seulement qu'on s'en approche sans y être encore parvenu. Soit on l'est, soit on tend à l'être... mais on ne tend pas à être ce que l'on est... on l'est ou on ne l'est pas... ce n'est pas la même chose.

''... J'ai donné une preuve dans le message n°5 de ce sujet. :blush: ...''

De quelle preuve parlez-vous...

Un réel r peut se définir avec sa partie entière e et la suite infinie de ses décimales a_1 a_2... a_i...

On a alors r= e + (Somme pour i =1 à l'infini de a_i/10^i).

où 10^i signifie ici "10 puissance i".

La somme jusqu'à l'infini est défini comme une limite :

Somme pour i =1 à l'infini de a_i/10^i = limite lorsque n tend vers l'infini de (Somme pour i =1 à n de a_i/10^i)

Or, la limite lorsque n tend vers l'infini de (Somme pour i =1 à n de 9/10^i) vaut 1.

Donc 0.999999... vaut 1.

0,99999... est appelé le développement décimal impropre de 1.

Plus généralement, tout nombre décimal a un développement décimal propre (avec un nombre fini de chiffres après la virgule) et un dévellopement décimal impropre (avec une infinité de 9 après la virgule).

C'est ce qu'on appelle un axiome utile mais non vrai .

Non. C'est une définition.

En fait, un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique.

Cela se montre à partir de l'algorithme classique de la division.

En effet je me suis trompé sur ce coup :blush:

En fait j'aurais plutôt du dire qu'il n'est pas facile de prouver qu'un nombre a un développement décimal périodique, et donc il n'est pas facile de savoir s'il est rationnel.

Je pensais à des nombres comme pi + exp(1) ou la constante d'Euler-Mascheroni pour lesquels on ne sait toujours pas dire s'ils sont irrationnels.

Il est vrai que ce n'est pas forcément la meilleure méthode pour montrer qu'un nombre est rationnel ou irrationel.

Mais ça permet de montrer que

• 0,9 est rationnel (car périodique)
  
• 0,1212212221222212222212222221... est irrationnel (car apériodique)
  

Donc à proprement parler 0,9 et 1,0 ne sont pas égaux...

Mais si on parle improprement alors ils le sont... et lorsque l'on parle improprement on dit des bêtises ou des grossièretés, on peut même dire n'importe quoi en fait... en fait on dit approximativement les choses parce qu'on ne sais pas les dires, à proprement parler.

Mais tout n'étant que définition... on peut même définir un nombre tel qu'il n'est pas lui-même. Ce serait alors un nombre qui n'est pas lui-même un nombre... l'infini quoi!

Mais on peut dire n'importe quoi en mathématiques... on n'à qu'à définir n'importe quoi comme étant quelque chose de précis... et ainsi une chose bien précise devient n'importe quoi et n'importe quoi devient une chose bien précise.

Donc à proprement parler 0,9 et 1,0 ne sont pas égaux...

Ce "donc" signifie que tu as une preuve, quelle est cette preuve ?

Selon la définition usuelle des décimales, 0,9 est exactement égal à 1 (ça ne "tend" pas, c'est la constante 1).

Non. C'est une définition.

Ah une définition ,tiens donc ...

La définition de l'unité qui peut ne pas en être une entièrement ?

Il est vrai que ce n'est pas forcément la meilleure méthode pour montrer qu'un nombre est rationnel ou irrationel.

Mais ça permet de montrer que

• 0,9 est rationnel (car périodique)
  
• 0,1212212221222212222212222221... est irrationnel (car apériodique)
  

Non , c'est supposé être périodique mais l'infini en soi n'as pas cet aspect , pour 0,999999999 ,on suppose , c'est utile ,mais non vérifié car non vérifiable .

Ce "donc" signifie que tu as une preuve, quelle est cette preuve ?

Selon la définition usuelle des décimales, 0,9 est exactement égal à 1 (ça ne "tend" pas, c'est la constante 1).

Pardon :blush: , la constante 1 n'est exacte qu'à elle même ,c'est heureusement ,ce qui caractérise et rend possible les mathématiques .

Oups , je viens de m'apercevoir que j'ai écris "donc"

''... Ce "donc" signifie que tu as une preuve, quelle est cette preuve ?...''

Tout simplement que la totalité de leurs chifffres sont différent... et qui si aucun de leurs chiffres n'est identiques alors les deux termes ne peuvent être identiques.

a,b = c,d si a = c et que b = d.

mais comme a (0) n'égale pas c(1) et que b(0) n'égale pas d(9) alors ils sont différents.

Et ce qui est différent n'est pas identique cher Grenopuille Verte...

Contente de voir qu'on peut arriver à être d'accord, Grenouille ('sais plus si je te l'ai déjà dit ^^)

Réponse au "génie" sur un point d'il y a deux pages, Grenouille y a répondu avec une démonstration "propre", je vais le dire autrement :

En fait vous oubliez de mentionnez que la multiplication par 10 décale tous les chiffres d'un cran et ce du dernier jusqu'au premier...et donc qu'il y a un chiffre de moins (9) après la virgule suite à la mutiplication par 10 car le dernier passe en avant-dernière place puis son précédent fait de même... que celui en Xième position passe en (X-1)ième position et ce jusqu'au premier qui traverse la virgule... que si il y avait X chiffres après la virgule alors il y en aura maintenant X-1... donc qu'il n'y a plus autant de 9 avant qu'après la multiplication.

Qué décalage ?

Le nombre de 9 est infini ... donc, y'a pas de décalage. Parce qu'il n'y a pas de "dernier" chiffre, de "dernier 9". C'est parce que les décimales s'étendent à l'infini (à l'in-fini. La suite n'est pas finie, donc), que l'on peut avoir cette égalité... (0,9 = 1)

Dans ton raisonnement, tu imposes une valeur finie de décimale (oui, X, c'est fini) => tu ne parles donc pas de 0,9

En fait vous oubliez de mentionnez que la multiplication par 10 décale tous les chiffres d'un cran et ce du dernier jusqu'au premier...et donc qu'il y a un chiffre de moins (9) après la virgule suite à la mutiplication par 10 car le dernier passe en avant-dernière place puis son précédent fait de même... que celui en Xième position passe en (X-1)ième position et ce jusqu'au premier qui traverse la virgule... que si il y avait X chiffres après la virgule alors il y en aura maintenant X-1... donc qu'il n'y a plus autant de 9 avant qu'après la multiplication.

Non, il n'y a pas "x chiffres après la virgule" il y en a une infinité. Et l'infini -1 = l'infini.

Donc 0.9*10 a "autant" de chiffre après la virgule que 0.9.

Il faut lire ce qu'on écrit : cette égalité est la conséquence directe d'un nombre infini de décimal et n'est strictement pas valable si le nombre de décimale est fini !!

Voici la définition de WIKIPéDIA cher Grenouille Verte...

''...Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la forme (où a et p sont des entiers relatifs). Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre qui possède cependant autant d'approximations décimales que l'on veut...''

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%C3%A9cimal

0,9 n'a pas un développement décimal limité aux dernières nouvelles... Renseignez-vous.

Votre raisonnement sur U n'a rien à voir... il y aura un 9 de moins puisque je décale la virgule d'un cran... et ce 9 en moins se retrouvera du côté des entiers...

Si vous posez que tous les n sont des 9 alors le dernier aussi est un 9 et si il y a un dernier alors la suite n'est pas infinie. Tout inclus le premier et le dernier sinon ce n'est pas tout...

Voici la réponse de Wiki... puisqu'on en est là :

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9velopp..._l%27unit%C3%A9

''... Ce "donc" signifie que tu as une preuve, quelle est cette preuve ?...''

Tout simplement que la totalité de leurs chifffres sont différent... et qui si aucun de leurs chiffres n'est identiques alors les deux termes ne peuvent être identiques.

a,b = c,d si a = c et que b = d.

mais comme a (0) n'égale pas c(1) et que b(0) n'égale pas d(9) alors ils sont différents.

Et ce qui est différent n'est pas identique cher Grenopuille Verte...

Si a=c et b=d, alors a,b=c,d

Nous sommes d'accord,

Cela ne signifie pas que :

si a,b=c,d alors a=c et b=d

Puisqu'il s'agit de la réciproque... que vous ne démontrez pas... la démonstration n'est pas recevable

Je dis et répète que cette égalité est appellée paradoxe parce qu'il est impossible de concevoir l'infini.

Mais cette égalité est démontrable par plusieurs méthodes rigoureuse, et n'implique aucune contradiction mathématique.

Il ne s'agit pas d'un axiome. C'est une égalité démontrable et démontrée.

Non , c'est supposé être périodique mais l'infini en soi n'as pas cet aspect , pour 0,999999999 ,on suppose , c'est utile ,mais non vérifié car non vérifiable .

Donc pour vous la fonction :

IR -> IR

x -> cos(x)

est « supposée » périodique… bravo…

Pardon :blush: , la constante 1 n'est exacte qu'à elle même ,c'est heureusement ,ce qui caractérise et rend possible les mathématiques .

Oups , je viens de m'apercevoir que j'ai écris "donc"

0.9 est une écriture de la constante 1 qui n'est égale qu'à elle même... une écriture différente... mais c'est la même constante.

Tout comme 10 est en base deux une manière d'écrire 3(base 10), tout comme exp(1) est une manière d'écrire 0 tout comme, ...

0.9 = 1

... nous avons proposé plusieurs démonstration de cela alors :

soit vous nous démontrer la non recavabilité des démonstration (... bon courage.... on se rappelle dans 1000ans ??)

soit vous démontré l'inverse (contre exemple ou contre démonstration) en s'appuyant sur des théorèmes mathématiques

Tout simplement que la totalité de leurs chifffres sont différent... et qui si aucun de leurs chiffres n'est identiques alors les deux termes ne peuvent être identiques.

Depuis le début tu confonds un nombre et une représentation d'un nombre.

1 + 1 = 2

Pourtant, tous les symboles du membre de gauche sont différents de ceux du membre de droite.

Quand on écrit 0.999... = 1, on écrit en fait que :

lim(0 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...) = 1

Ce qui est connu et démontré depuis plusieurs siècles.

Enfin bref, ça fait plus de 10 pages qu'on le dit :blush:

1/3=0.33333333333333......

1/3*3=0.3333333333333......*3

1=0.9999999999999999......