Pourquoi 1=0.999999999...

Dans ce cas là, 0 n'a pas de prédécesseur. Il n'y a rien "juste avant" 0.

@pascalin : Pi et racine carrée de 2 sont finis.

Je tiens à préciser que 0.9999999999... est un nombre fini, tout comme n'importe quel ombre s'écrivant avec une infinité de décimales (Pi ou racine carrée de 2 par exemple).

Dans ce cas là, 0 n'a pas de prédécesseur. Il n'y a rien "juste avant" 0.

@pascalin : Pi et racine carrée de 2 sont finis.

Pourquoi me renvoyer à cela ?

On en est à 0,9999999999... tu vois le chiffre neuf et les petits points après ,ça renvois à la valeur infini les petits points :blush: .

''...Dans ce cas là, 0 n'a pas de prédécesseur. Il n'y a rien "juste avant" 0...''

Et juste avant ''juste avant 0'' chère Grenouille Verte... qu'est-ce qu'il y a... et si on continuait comme ça en demandant encore ce qu'il y aurait juste avant, croyez-vous qu'on remontrait jusqu'au début ou qu'on se buterait plutôt à une infinité de ''juste avant''...

Pourquoi me renvoyer à cela ?

On en est à 0,9999999999... tu vois le chiffre neuf et les petits points après ,ça renvois à la valeur infini les petits points :blush: .

Pour Pi, c'est pareil, il y a une infinité de décimales. Pourtant Pi est fini.

Dans 0.99999... il y a une infinité de décimales, pourtant, c'est un nombre fini. Par exemple, il est plus petit que 2.

''... Dans 0.99999... il y a une infinité de décimales, pourtant, c'est un nombre fini. Par exemple, il est plus petit que 2...''

Lorsqu'on tend vers un objectif c'est qu'on ne l'a pas atteint sinon on dit qu'on y est chère Grenouille Verte...

Un nombre serait-il fini lorsque sa mesure elle-même prend une éternité avant d'être déterminée?

Si 2 est plus grand 1 pour la même raison que 1 est plus grand que 0... celà revient à dire que 1 est plus grand que 0,9. Donc que 0,9 n'est pas égal à 1,0

était-ce le point que vous souteniez auparavant?

étre plus petit serait-il un critère permettant de dire qu'une quantité est finie... Que dire de l'hypothèse voulant que l'infini des entiers soit plus petit que l'infini des réels... que l'infini des entiers serait fini?

Pour Pi, c'est pareil, il y a une infinité de décimales. Pourtant Pi est fini.

Dans 0.99999... il y a une infinité de décimales, pourtant, c'est un nombre fini. Par exemple, il est plus petit que 2.

Alors dans ce cas ,1 n'est pas égale à 0,999999999... car ils n'ont pas la même nature ,la même valeur .

Tu sais ce que 0,999999999... n'est pas , mais tu ne sais pas vraiment ce qu'il est puisqu'il est indéterminé et indéterminable dans la continuité de ses décimales à l'infini ; de ce fait ,tu ne peux lui prêter une équivalence avec un autre nombre différent de lui même.

''... Dans 0.99999... il y a une infinité de décimales, pourtant, c'est un nombre fini. Par exemple, il est plus petit que 2...''

Lorsqu'on tend vers un objectif c'est qu'on ne l'a pas atteint sinon on dit qu'on y est chère Grenouille Verte...

Un nombre serait-il fini lorsque sa mesure elle-même prend une éternité avant d'être déterminée?

Ben non, prenez l'exemple de la flèche de Zénon. Vous tirez une flèche sur une cible qui est à une distance de 1.

Vous considérez ensuite que la flèche va parcourir des étapes avant de toucher la cible. Une étape, c'est parcourir la moitié du trajet restant. Ainsi, la première étape, c'est de parcourir une distance de 1/2. Il reste alors un trajet de 1/2. La deuxième étape sera donc de parcourir une distance de 1/2*1/2, etc...

Cela donne la suite :

U_1 = 1/2

U_2 = 1/2 +1/4

U_3 = 1/2 + 1/4 +1/8

U_4 = 1/2 + 1/4 +1/8 +1/16

...

Cette suite infinie converge vers 1.

1 est fini, pourtant vous n'y arrivez qu'en une infinité d'étapes.

Si 2 est plus grand 1 pour la même raison que 1 est plus grand que 0... celà revient à dire que 1 est plus grand que 0,9. Donc que 0,9 n'est pas égal à 1,0

En effet, le passage à la limite conserve les inégalité large mais pas les inégalités strictes.

Que dire de l'hypothèse voulant que l'infini des entiers soit plus petit que l'infini des réels...

Ce n'est pas une hypothèse, c'est prouvé (Cf messages précédents).

Alors dans ce cas ,1 n'est pas égale à 0,999999999... car ils n'ont pas la même nature ,la même valeur .

Tu sais ce que 0,999999999... n'est pas , mais tu ne sais pas vraiment ce qu'il est puisqu'il est indéterminé et indéterminable dans la continuité de ses décimales à l'infini ; de ce fait ,tu ne peux lui prêter une équivalence avec un autre nombre différent de lui même.

Ce n'est pas parce qu'un nombre a une infinité de décimales qu'il est "indéterminable dans la continuité de ses décimales à l'infini".

Exemple : 1/7 a une infinité de décimales, mais il n'est pas "indéterminable".

''... Cette suite infinie converge vers 1.

1 est fini, pourtant vous n'y arrivez qu'en une infinité d'étapes...''

Vous n'y arriverez jamais car ça vous prendrait une éternité pour le faire cher Grenouille Verte...

De plus votre exemple propose comme procédure de séparer toujours la distance restante en deux or si vous atteignez votre but c'est que vous ne séparez plus la distance restante et la franchissez d'un seul pas, et donc que vous ne suivez plus la procédure... que vous trichez tout simplement. En fait pour parvenir à 1 vous devrez répéter deux fois le terme de la fin et si il se répète c'est qu'il n'est pas 2 fois plus petit que son prédesseur... en vous interdisant de le faire par la définition de la procédure elle-même vous posez à la base l'impossibilité de l'atteindre.

Si il existait une plus petite quantité absolue alors vous parviendrez au but mais alors on ne parlerait plus d'infini mais d'une quantité maximale de division possible...

Mais si vous y réfléchissez bien alors il faudrait conclure que si la flèche atteint la cible c'est que l'infini n'existe pas car il y aurait une plus petite distance indivisible et qu'il est impossible de diviser à l'infini tout simplement.

''... Exemple : 1/7 a une infinité de décimales, mais il n'est pas "indéterminable"...''

Je ne vois pas d'infinité de décimales... seulement un 1 et un 7 séparé par une barre oblique. :blush:

Le principe veut que vous terminiez jamais votre division car il y aura toujours un reste, alors comment pourriez-vous dire que vous le déterminé puisque vous ne pouvez donner l'ensemble des termes qui le constituent...

D'autant plus que pour savoir et prouver que vous en avez bien 7 parties égales alors il vous faudra bien mesuré jusqu'à la dernière décimale.

Je vous ferez remarquez que le principe de multiplication veut que l'on commence à multiplier par le dernier chiffre... Quel est ce dernier chiffre qui multipliez par 7 donnera un résultat se terminant par 0?

Alors faîtes l'exercice cher Grenouille verte... montrez nous quelle nombre multiplié par 7 donnera 1 au final... Offrez-nous cette multiplication.

''... Ce n'est pas une hypothèse, c'est prouvé (Cf messages précédents)...''

étant donner que vous ne pouvez transformer le dernier terme de la diagonale de Cantor alors je ne vois pas où il y aurait une preuve... puisque pour être valide le procédé demande à ce que tous les termes soient transformé et que cette procédure est impossible à réaliser dans son intégralité.

Montrez-moi l'ensemble de ses termes et alors je vous direz simplement si il est ou non dans la liste... mais en attendant, quoi que vous fassiez, il sera toujours le suivant sur la liste et de ce fait il s'y trouve bel et bien... car son dernier terme ne sera jamais différent du dernier terme du dernier nombre figurant sur cette liste... il seront tous les deux inexistant et de ce fait exactement semblable.

Commencez la création de la diagonale par la fin et vous verrez... l'important étant que tous les termes soient transformés alors que l'on commence par le début ou par la fin ne compte pas puisqu'ils doivent tous passer dans le tordeur.

''... Exemple : 1/7 a une infinité de décimales, mais il n'est pas "indéterminable"...''

Je ne vois pas d'infinité de décimales... seulement un 1 et un 7 séparé par une barre oblique. tongue.gif

Le principe veut que vous terminiez jamais votre division car il y aura toujours un reste, alors comment pourriez-vous dire que vous le déterminé puisque vous ne pouvez donner l'ensemble des termes qui le constituent...

D'autant plus que pour savoir et prouver que vous en avez bien 7 parties égales alors il vous faudra bien mesuré jusqu'à la dernière décimale.

Si on calcule les décimales de 1/7, on constate bien qu'il y en a une infinité.

De plus, pour calculer les décimales de 1/7, il faut les calculer toutes, mais pas "la dernière", car il n'existe pas de "dernière" décimale de 1/7.

Je vous ferez remarquez que le principe de multiplication veut que l'on commence à multiplier par le dernier chiffre

C'est FAUX.

Vous confondez deux choses :

• La multiplication
  
• Un algorithme particulier qui permet de calculer la multiplication en partant de la dernière décimale (cet algorithme ne marche donc pas pour les nombres ayant une infinité de décimales)
  

Quand vous calculez l'aire d'un disque, vous faites une multiplication par Pi, qui a une infinité de décimales. C'est donc bien que c'est possible.

Alors faîtes l'exercice cher Grenouille verte... montrez nous quelle nombre multiplié par 7 donnera 1 au final... Offrez-nous cette multiplication.

0.142857 = 0.142857142857142857142857142857142857142857142857142857...

Si tu multiplies par 7, tu obtiens à,9=0,9999999.... = 1

Quand vous calculez l'aire d'un disque, vous faites une multiplication par Pi, qui a une infinité de décimales. C'est donc bien que c'est possible.

En effet. Seulement il faut bien prendre en compte que nous ne multiplions jamais par Pi mais par une valeur approchée de Pi. Quand il faut passer du littéral à son application, la valeur approchée est la seule solution.

NB : je n'ai pas lu le reste, ni du problème dont il est question dans ce topic.

''...Quand vous calculez l'aire d'un disque, vous faites une multiplication par Pi, qui a une infinité de décimales. C'est donc bien que c'est possible...''

Et la valeur obtenue est ''arrondie'' ce qui montre que l'on tourne les coins ronds cher Grenouille Verte... que le résultat est approximatif.

De même si vous faîtes comme si 0,9 était la même chose que 1,0 qui se trouve à être sa valeur de proximité supérieure immédiate alors pourquoi ne pas dire que 0,9 serait aussi la même chose que sa valeur de proximité inférieure immédiate... et ainsi de suite de proximité immédiate en proximité immédiate...

Si 9*0,1 = 0,9 et que 0,9 vaut en fait 1,0... une infinité de 9 suivi d'un 10 pour finir soit 0,9(10).

alors que dire de :

8*0,1 = 0,8... vaudrait-il 0,8 mais suivi d'un 9 pour finir soit 0,8(9)

''... De plus, pour calculer les décimales de 1/7, il faut les calculer toutes, mais pas "la dernière", car il n'existe pas de "dernière" décimale de 1/7...''

Dans ce on commence avec l'avant-dernière et on remonte jusqu'à la première... l'avant-dernìère n'est pas la dernière vous savez... quelle est-elle au fait cette avant-dernière décimale? é moins qu'il n'y ait pas d'avant-dernière non plus... et que si on remonte encore à contre-courant on finisse par dire qu'il n'y aurait pas de première non plus...

Il serait donc logique de croire que ''toutes'' est un concept qui ne s'applique pas à l'infini... car si on parle de ''toutes sauf'' c'est qu'on ne les a pas toutes... et qu'encore pire si on les a toutes alors c'est que la quantité est finie et donc pas infinie.

Mais on peut toujours se fermer les yeux et faire ''comme si''.

Et la valeur obtenue est ''arrondie''

Pas forcément.

Que répondre sinon... pas forcément.

Ce n'est pas parce qu'un nombre a une infinité de décimales qu'il est "indéterminable dans la continuité de ses décimales à l'infini".

Exemple : 1/7 a une infinité de décimales, mais il n'est pas "indéterminable".

Bien sur que si , il est indéterminable dans la continuité de ses décimales à l'infini ,c'est ce qui caractérise l'infini ;qu'on ne peut déterminer.

Pourquoi renvoies-tu un autre exemple ,celui de 1/7 ?

Parles d'abord de la soi-disante égalité de ce sujet stp ,merci

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1 est L'unité par excellence ,

est-ce que 0.999999999... est une unité ? :blush:

ou plutôt une approximation de l'unité?

Que représente pour toi l'écriture 0.999999... ?

Pour moi ça représente la limite de la série 0 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...

Avec cette définition, 1 et 0.999... sont deux écritures différentes du même nombre.

Il peux exister plusieurs écritures différentes pour représenter le même nombre.

Par exemple 1.00000... est encore une autre écriture de 1.

Salut, j'en ai une bonne à vous proposer!

Si je prends le nombre (0,999999999... à l'infini) qui est en réalité une infime partie plus petite que le nombre 1.

Attribuez: x=0,999999999...

Amusons-nous!!

x=0.999999999...

10x=9.999999999... (10 multiplié par x egal 10 multiplié par0.999999999...)

10x-x=9.9999999999... - 0.9999999999...

9x=9

x=1

Donc si x=1 et x=0.999999999...

alors 1=0.999999999...

Qu'en pensez-vous!? :blush:

Que tu as fait une chose qui n'a pas de sens mathématiquement (qui est interdite) dans ta démonstration, à une étape tu as divisé par 0 :

Pour comprendre il est plus simple d'utiliser x=y que x=0,999999999...

Supposons que x = y.

Alors,

x² = xy.

Si nous ajoutons x2de chaque côté de l'équation, nous obtenons

x² + x² = x² + xy.

Après simplification, nous obtenons

2 x² = x² + xy.

Otons 2xy de chaque côté et nous obtenons

2 x²- 2xy = x² + xy - 2xy.

Après simplification, nous obtenons

2 x²- 2xy = x²- xy.

En factorisant (x²- xy), nous obtenons

2 (x²- xy) = 1 (x²- xy).

Divisons chaque côté de l'équation par (x²- xy) et nous obtenons

2 = 1.

Solution:

L'erreur de notre démonstration se trouve à l'étape 8 :

8. Divisons chaque côté par (x²- xy) et nous obtenons

2 = 1.

A l'étape 1, nous avions supposé que x = y, de sorte que (x²- xy) = 0, or il est impossible de diviser par 0.

Avec cette définition, 1 et 0.999... sont deux écritures différentes du même nombre.

:blush:

Ca c'est encore plus n'importe quoi, 1 et 0,9999... ne sont pas deux écritures différentes du même nombre, 1 est une approximation de 0,9999... ça s'arrête là ! Ils ne sont surtout pas égaux !