Pourquoi 1=0.999999999...

Moi je peux pas te répondre , Je suis pas très bon en maths :blush:

''... Ce que vous ne semblez pas comprendre c'est qu'on utilise une définition :

"A et B sont de même cardinal (= taille) s'il existe une bijection entre eux"...''

Dans ce cas si ce n'est qu'un jeu de définitions alors on réfère plus au roman qu'à une science... si on ne retrouve pas d'équivalence dans la réalité alors je préfère les histoires de dragons car ils sont définit logiquement dans plusieurs livres... un peu comme l'infini qui ne serait qu'un monstre du bestiaire mathématique.

Pourtant c'est bien ça les mathématiques : on part de définitions choisies arbitrairement, et on regarde ce qu'on peut construire comme propositions à partir de celles-ci.

Ensuite on peut, si on le désire (car des maths pures théoriques et inutiles, ce n'est pas inintéressant), faire des analogies avec des situations de la "vraie vie" afin de donner un sens à ce qui n'est sinon qu'un petit "jeu" avec des symboles.

Pour parler de la "taille" d'un ensemble, toi tu utilises la relation d'ordre "est contenu dans". A étant plus petit que B si A est contenu dans B. C'est une définition qui est défendable, mais sa limite est qu'on ne peut comparer deux ensembles entre eux que si l'un est contenu dans l'autre.

Si tu tiens absolument à utiliser cette définition, alors oui il y a plus d'entiers que d'entiers pairs, mais tu ne peux pas dire lequel des ensembles {1,2,3} et {4,5,6,7,8,9} est le plus grand. C'est donc une définition insuffisante pour capturer ce qu'on pense intuitivement en disant qu'un ensemble est plus grand/petit qu'un autre.

Nous ici nous utilisons la définition "traditionnelle" en mathématique, qui dit que A est plus petit ou de même taille que B s'il existe une injection de A dans B, plus ou grand ou de même taille s'il existe une surjection de A sur B, et de même taille s'il existe une bijection entre A et B (en espérant ne pas avoir dit de bêtises, mais l'idée est là). Je suis d'accord que cette définition est moins simple que celle basée sur l'inclusion, mais je ne la trouve pas moins "naturelle" : si j'ai deux sacs de billes, on dira qu'ils contiennent autant de billes si à chaque bille du premier sac correspond une bille du second sac.

Dans cette définition, il y a autant d'entiers que d'entiers pairs, et l'ensemble {1,2,3} est plus petit que l'ensemble {4,5,6,7,8,9}.

Il existe bien entendu encore d'autres définitions de la "taille" d'un ensemble, par exemple en se basant sur la notion de "mesure" (dont on ne donnera pas la définition formelle ici car c'est déjà plus avancée). Par exemple au sens de la théorie de la mesure, l'intervalle [1,2] (tous les nombres réels de 1 à 2) est plus petit que l'intervalle [10,100]. Mais, au sens ensembliste (càd avec la définition utilisant la bijection), ces deux ensembles sont de même taille. Et au sens de l'inclusion, on ne peut pas comparer les deux ensembles entre eux (vu que [1,2] n'est pas contenu dans [10,100] et réciproquement).

Pouvez-vous me donner le dernier élément d'un ensemble infini?

La réponse est très facile : il n'y en a pas! Celà n'est pas un problème en mathématiques.

Serait-ce logique de comparer un de vos yeux avec l'ensemble de votre corps mais au moment où les deux yeux y sont encore présents... et de finir par conclure que le corps est aussi grand qu'un oeil.

(...)

Votre façon de penser revient à dire qu'un tonneau contient autant d'eau qu'un dé à coudre... puisque si je les remplis et les vide un même nombre de fois jusqu'à l'infini dans des bacs séparés alors il y aura autant d'eau dans un bac que dans l'autre.

Tu compares des choses qui n'ont rien à voir entre elles. On ne parle pas de quelque chose de matériel, mais de la notion très abstraite d'ensemble de tous les nombres entiers. Déjà rien qu'un nombre entier, c'est une abstraction : as-tu déjà rencontré le nombre 18 dans la vraie vie?

Même les nombres entiers ont une définition formelle en mathématiques : si on veut vraiment être exact, avant de parler du nombre 18, il faut définir le nombre 18, dire "c'est quoi" (et celà se fait, même si ça n'a qu'un intérêt purement théorique).

Donc si x=1 et x=0.999999999...

alors 1=0.999999999...

Qu'en pensez-vous!? :blush:

Salut !

On peut aussi écrire : " 1=0,999999999999..." ou " 1=0,9..." ou même "1 =0,99......." en variant le nombre de "9" et le nombre de points de suspension. Ce sont des conventions d'écriture pour désigner le réel "1" qui, étant entier, peut s'écrire avec un chiffre unique ou suivi d'une virgule et d'un nombre arbitraire de zéros.

Donc l'égalité proposée est une identité vraie, puisqu'on désigne le même nombre avec deux conventions différentes. D'ailleurs, le résultat de la soustraction, quel qu'en soit le signe, pourra s'écrire "0" avec l'écriture habituelle ou, pourquoi pas, "0,00.....0001" ou encore "-0,000.........1" sans varier d'un iota, puisqu'il s'agit d'une simple option de transcription.

Par contre, si l'on supprime tous les points de suspension, il n'y a plus d'ambigüité : on désigne clairement deux nombres différents, selon une convention universellement reconnue, et leur différence est déterminée par les règles de calcul que tout le monde connaït.

''... Si tu tiens absolument à utiliser cette définition, alors oui il y a plus d'entiers que d'entiers pairs, mais tu ne peux pas dire lequel des ensembles {1,2,3} et {4,5,6,7,8,9} est le plus grand...''

Là il faudra m'expliquer cher Akarkop... vous dîtes que oui, il y a plus d'entiers que d'entiers pairs... mais que je ne peux pas dire lequel des ensembles formés serait le plus grand... ne serait-ce pas seulement celui qui en contient le plus!!!

Pour ce qui est de votre exemple qui utilise des ensembles finis... je vous réfère à ma dernière réponse quant à l'utilité de la bijection... soit :

''Je ne vois pas de problème à utilisé la bijection pour des ensembles qui contiennent un premier et un dernier terme... car celà revient à créer une liste des 2 ensembles distincts et le fait que chaque ligne (#) de la liste contient un seul élément de chaque ensemble nous dit bel et bien que les deux sont de même taille.''

Si vous voulez mettre de l'avant le fait que les ensembles seraient des contenant donc la taille ou la caractéristique est indépendante de la quantité ou de la qualité des objets qu'ils contiennent alors nous en viendront à parler de l'ensemble de tous les ensembles qui serait un objet qui contient des ensembles... ou encore de parler de l'ensemble des objets qui ne seraient contenus dans aucun ensemble...

Si 1 + 2 = 3 et donc que 3 est plus grand que 1 ou 2... alors que dire de (l'ensemble des pairs) + (l'ensemble des impaires) = (l'ensemble des entiers)... sinon que (l'ensemble des entiers) est plus grand que (l'ensemble des pairs) ou (l'ensemble des impairs).

Faudrait-il comprendre que 3 est aussi grand que 2 qui est aussi grand que 1... peut-être y-a-t-il présence d'entité abstraite mais celà voudrait-il dire que la logique de cohérence serait elle aussi une quantité abstraite dans le sens où il en serait fait abstraction...

Peut-on dire d'une entité qu'elle est ensemble si elle est seule...

Peut-on dire qu'un verre qui flotte dans l'espace contient de l'espace alors que c'est l'espace qui le contient...

Au-delà de la définition donnée il y a le sens des termes... serait-ce la définition qui donne un sens aux termes ou les termes qui donnent un sens à la définition...

''... si j'ai deux sacs de billes, on dira qu'ils contiennent autant de billes si à chaque bille du premier sac correspond une bille du second sac...''

Que faire lorsque le second sac est dans le premier et qu'il y a des billes à côté de lui comme pour les entiers pairs et l'ensemble des entiers naturels cher Akarkop... quand ce sont des mêmes billes dont on parle... Si vous sortez le second sac du premier alors son contenu sort également et on se retrouve à dire que les deux sacs contiennent le même nombre de billes, mais alors ce sont les pairs et les impairs qui deviennent objet de comparaison car il ne reste que les impairs dans l'ensemble des entiers naturels... son identité n'est plus la même.

Peu importe la façon de le considéré, l'ensemble des entiers pairs demeurera toujours un sous-ensemble de celui des entiers naturels cher Akarkop... il portera toujours cette caractéristique. Vous ne pouvez le considérer comme indépendant sinon ce serait illogique de dire de lui qu'il serait un sous-ensemble.

D'où mon exemple sur le fait de comparer un oeil avec le corps dont il est tiré mais qui le contiendrait encore en disant que l'oeil est aussi grand que le corps... c'était la logique qui était mis de l'avant et non le caractère physique ou abstrait des entités en question... simplement la logique.

Pouvez-vous me donner le dernier élément d'un ensemble infini?

Que signifie "dernier" ?

Cela présuppose un ordre, cela présuppose qu'on puisse dire qu'un élément st avant un autre.

Dans ensemble des entiers naturels {0,1,2,3...} il n'y a pas de "dernier" élément.

Dans l'ensemble [0,1] (l'ensemble des érels compris entre 0 et 1), le dernier élément est 1 : après 1, il n'y a plus rien.

Dans l'ensemble {0,1,2...} union {omega} (l'ensemble des entiers naturels auquel on a ajouté un élément appelé "omega"), ordonné par la relation classique sur les entiers, et tel que oméga est plus grand que tout le monde, le dernier élément est oméga.

Les éléments sont classés ainsi : 0,1,2,3,4,5,... omega.

On peut remarquer que le même ensemble peut être ordonné de manière différentes. Ainsi, considérons A l'ensemble des puissances de 2 auquel on a ajouté 0.

A = {0,2,4,8,16,32,64,128,256,...}

Ordonné par l'ordre classique sur les entiers, il n'y a pas de "dernier" élément.

Ordonné par l'ordre de divisibilité (a est plus petit que b si et seulement si il existe c tel que a*c =b), il y a un plus grand élément (un "dernier" élément), appelé 0.

''... Que signifie "dernier" ?

Cela présuppose un ordre, cela présuppose qu'on puisse dire qu'un élément st avant un autre...''

Celà signifie tout simplement que vous en voyez la fin... que c'est complet et d'un seul tenant et non pas inachevé ou en cours de processus...

''... Ainsi on voit bien que les deux ensembles sont en bijection. Tout ce que tu as fais c'est choisir une manière de lister les nombres qui ne fait pas apparaitre une bijection. Mais ça ne prouve pas qu'il soit impossible de trouver une autre manière de faire!...''

Je vous renvoie la balle cher Akarkop... et revoyant la méthode de la diagonale de Cantor pour la liste des nombres (décimaux) compris entre 0 et 1.

Il est en effet possible de faire une bijection entre l'ensemble des entiers naturels et celui des décimales possibles...

1 ---- 0,1

2 ---- 0,2

...

9 ---- 0,9

10 ---- 0,01

11 ---- 0,11

...

20 ---- 0,02

21 ---- 0,21

...

99 ----- 0,99

100----- 0,001

101----- 0,101

...

110 ---- 0,011

111----- 0,111

...

900---- 0,009

901---- 0,901

...

990---- 0,099

991---- 0,991

...

999---- 0,999

1000--- 0,0001

1001--- 0,1001

...

Ainsi en plaçant la virgule directement devant la suite de chiffres composant l'entier naturel, et en inversant simplement les suites de chiffres se terminant par 0, on obtient une façon de lister toutes les possibilités de compositions des décimales et de les dénombrés.

C'est donc que si il y a une façon possible de faire une bijection alors il y a autant d'entiers naturels que de nombres décimaux... Mais même si on peut ajouter 1 infiniment aux entiers naturels vous me direz surement qu'un entier naturel ne peut être composé d'une infinité de 1...

L'argument de la diagonale pose pour sa part une combinaison de chiffres mais oublie que la liste posée pour sa création est infinie... le nombre transformé composé à partir de la diagonale ne peut donc pas posséder de dernier chiffre et celui-ci ne peut donc être objet d'une transformation puisqu'il n'existe pas... si vous posez que ce dernier chiffre peut être transformé alors c'est que ce nombre composé possède une quantité finie au niveau de ses décimales et ceci va à l'encontre de la définition de la liste elle-même sur laquelle il doit sa composition... puisqu'il n'y a pas de dernier terme à une liste infinie par définition.

Le dernier terme ne peut donc être différent de lui-même puisqu'il n'existe pas par définition... de cette façon le terme crée à partir de la diagonale est bel et bien présent dans la liste en tant que dernier terme... c'est à dire qu'il n'existe pas en réalité et qu'il est impossible de le créer à la base car sa définition elle-même est une erreur.

De même pour le théorême de Cantor...

« Soit un cahier comportant autant de pages que l'on veut. On numérote chaque page, et, sur chacune d'entre elles, on écrit un ensemble d'entiers (tous différents), de telle sorte à ne jamais écrire deux fois le même ensemble.

On dit qu'un nombre N est ordinaire si l'ensemble écrit à la page N ne contient pas N ; dans le cas contraire, on dit que N est extraordinaire. Supposons que l'on ait écrit sur ce cahier tous les ensembles possibles. La question est : à quelle catégorie appartient l'entier sur la page duquel on a écrit l'ensemble des nombres ordinaires ? »

La supposition fait état du fait que l'on peut écrire tous les ensembles possibles... ce qui est une fausse induction à la base puisque l'ensemble des nombres entiers est posé comme infini et que l'on peut du même fait générer une infinité d'ensemble... qu'il n'y a pas de dernière page possible au livre et donc qu'aucune d'elle ne peut contenir, par définition, l'ensemble des nombres ordinaires puisqu'il y a toujours une page suivante sur laquelle sera inscrit un nombre qui pourra être ordinaire, car le nombre prend sa caractéristique en fonction du contenu de la page et ne peut de ce fait être inclus à priori dans celui-ci...

Ce serait comme de dire que les mathématiques admettent le fait qu'un nombre ne soit pas égal à lui-même. Que X ne soit pas égal à X.

Si je vous demande de choisir obligatoirement un nombre qui n'existe pas... lequel choisirez-vous? en choisir un fait de lui automatiquement un nombre et alors il existe... ce qui ne le qualifiera jamais comme étant un nombre qui n'existe pas.

Si on pose que tous les ensembles d'entiers peuvent être écrit dans un cahier alors c'est que le concept même de l'infini n'existe pas à ce moment. Or on ne travail pas avec l'infini en posant qu'il n'existe pas à la base... ce serait plus qu'absurde, même ridicule en fait.

Les nombres décimaux sont ceux qui peuvent s'écrite avec un nombre fini de décimales.

Si on s'autorise un nombre infini de décimal, on peut représenter tous les nombres réels.

L'argument diagonal de cantor permet de montrer qu'il n'existe pas de bijection entre les entiers naturels et les nombres réels compris entre 0 et 1.

Par contre, il existe une bijection entre l'ensemble des entiers et les décimaux.

En effet, un nombre décimal peut toujours s'écrire sous la forme n*10^(-m). Il y a donc une bijection entre les nombres décimaux et les couples d'entiers (n,m).

Comme il existe une bijection entre les entiers et les couples d'entiers, on en conclu qu'il existe une bijections entre les décimaux et les entiers.

''... et revoyant la méthode de la diagonale de Cantor pour la liste des nombres (décimaux) compris entre 0 et 1...''

Je parlais de nombres compris entre 0 et 1 chère Grenouille Verte... ceux qui s'écrivent avec l'aide de chiffres après la virgule... ne connaissant pas la dénomination pour remplacer ''Chiffres après la virgule'' j'ai utilisé ''décimaux''... mais si vous préférez ''réels'' alors celà me va... Mais ça ne change rien à la façon proposée pour lister les réels proposée dans mon précédent message... à moins qu'un nombre ne puisse être représenté par une quantité de 1 se poursuivant jusqu'à l'infini comme on se permettrait de le faire avec ceux qui seraient placés après la virgule.

Celà voudrait-il dire qu'un nombre peut posséder une infinité de chiffres après la virgule mais qu'il ne pourrait pas posséder une infinité de chiffre devant la virgule... qu'il pourrait être représenté par une somme infinie de puissances de dix négative mais pas par une somme infinie de puissances de 10 positives...

Excusez mon manque de vocabulaire... côté mathématiques il est réel. Mais j'espère que vous comprendrez maintenant ce que je voulais exprimer.

L'argument de la diagonale pose qu'on peut et doit transformer tous les termes de la diagonale traversant la liste... et comme la liste est infinie alors elle n'a pas de dernier terme et de ce fait même on ne peut pas transformer le dernier terme de la diagonale car ce terme n'existe pas... on ne peut ainsi effectuer la transformation demandée sur tous les termes de la diagonale et l'opération demandée est irréalisable dans sa définition.

Le résultat obtenu par la diagonale ne sera jamais une suite finie, vous devrez le construire éternellement et donc ne saurez jamais sa valeur exacte... comment pourrez-vous dire qu'il n'appartient pas à la liste en question si il vous est impossible de connaître sa valeur exacte?

Celà voudrait-il dire qu'un nombre peut posséder une infinité de chiffres après la virgule mais qu'il ne pourrait pas posséder une infinité de chiffre devant la virgule...

C'est fini d'un côté, et infini de l'autre.

et comme la liste est infinie alors elle n'a pas de dernier terme

Ce n'est pas parce que c'est infini qu'il n'y a pas de dernier terme. C'est parce que c'est une suite indexée par les entiers naturels, et que dans les entiers naturels il n'y a pas de dernier terme.

Il y a des ensembles infinis qui ont un dernier terme. Exemple : X = N union {+infini}. X est l'ensemble qui contient tous les entiers naturels ainsi qu'un élément supplémentaire, "+infini". Cet élément supplémentaire est le dernier élément de X.

Un peu plus tôt je vous ai posé cette question cher Grenouille Verte :

''Pouvez-vous me donner le dernier élément d'un ensemble infini?...''

Et voici ce que vous m'avez répondu :

''...La réponse est très facile : il n'y en a pas! Celà n'est pas un problème en mathématiques...''

Reviendriez-vous sur vos dires cher Grenouille Verte... Il n'y aurait donc qu'à ajouter un élément qui serait tel que tous les entiers naturels seraient plus petit que lui pour contourner le problème... mais qui ne serait pas lui-même un entier naturel ou un nombre... C'est d'une logique à tout casser dîtes-moi, ainsi on pose un élément qui aurait une quantité plus grande d'unité de base que n'importe quelle nombre mais qui n'aurait pas de valeur en unité de base puisque ce ne serait pas un nombre, qui serait, en tant que dernier élément d'une liste, représenté par un nombre qui par définition n'existera jamais... une orange qui serait plus pomme que la plus grosse pomme imaginable...

Prenez l'argument de la diagonale et commencer le processus à partir du dernier terme en remontant jusqu'au premier dans ce cas et dîtes-moi si vous pouvez connaître la valeur de l'avant-dernier terme... puis de celui qui le précède... et ainsi de suite jusqu'au premier... puis ensuite le transformer dans son intégralité et me dire que ce terme identifié comme étant X n'est pas dans la liste... car que l'on commence par le début ou par la fin, le processus reste le même, il n'y a qu'à remplacer la Xième décimale du Xième terme par une autre...

Prenons un autre exemple.

Considère l'ensemble Y qui contient tous les 1-(1/2)^n et aussi 1.

Y est un ensemble de nombres rationnels qui contient :

0 = 1-(1/2)^0

1/2=1-(1/2)^1

3/4= 1-(1/2)^2

...

...

...

1

1 est le "dernier" élément de cet ensemble.

Un peu plus tôt je vous ai posé cette question cher Grenouille Verte :

''Pouvez-vous me donner le dernier élément d'un ensemble infini?...''

Et voici ce que vous m'avez répondu :

''...La réponse est très facile : il n'y en a pas! Celà n'est pas un problème en mathématiques...''

Reviendriez-vous sur vos dires cher Grenouille Verte...

Au contraire, je vous avais déjà, à l'époque, expliqué qu'en ensemble infini pouvait avoir un dernier élément.

Voici quelle était ma réponse, vous devrier la relire :

Pouvez-vous me donner le dernier élément d'un ensemble infini?

Que signifie "dernier" ?

Cela présuppose un ordre, cela présuppose qu'on puisse dire qu'un élément st avant un autre.

Dans ensemble des entiers naturels {0,1,2,3...} il n'y a pas de "dernier" élément.

Dans l'ensemble [0,1] (l'ensemble des érels compris entre 0 et 1), le dernier élément est 1 : après 1, il n'y a plus rien.

Dans l'ensemble {0,1,2...} union {omega} (l'ensemble des entiers naturels auquel on a ajouté un élément appelé "omega"), ordonné par la relation classique sur les entiers, et tel que oméga est plus grand que tout le monde, le dernier élément est oméga.

Les éléments sont classés ainsi : 0,1,2,3,4,5,... omega.

On peut remarquer que le même ensemble peut être ordonné de manière différentes. Ainsi, considérons A l'ensemble des puissances de 2 auquel on a ajouté 0.

A = {0,2,4,8,16,32,64,128,256,...}

Ordonné par l'ordre classique sur les entiers, il n'y a pas de "dernier" élément.

Ordonné par l'ordre de divisibilité (a est plus petit que b si et seulement si il existe c tel que a*c =b), il y a un plus grand élément (un "dernier" élément), appelé 0.

Je pense que vous me confondiez avec un autre intervenant :

La réponse est très facile : il n'y en a pas! Celà n'est pas un problème en mathématiques.

A l'avenir, merci de citer précisément les posts, comme cela, vous éviterez de vous tromper.

Et alors... 1 ne faisant pas parti du premier ensemble on peut aussi l'écrire en premier : que je place les oranges avant les pommes ou les pommes avant les oranges, ça reste quand même des pommes et des oranges.

1

0

1/2

3/4

...

...

éa donnera un ensemble infini au final quand même... il n'y aura toujours pas de dernier terme. Le tout ramène encore une fois à un processus de production et comme le processus n'a pas de fin par définition alors vous ne pouvez mettre un terme qui suivrait la fin de ce processus même en attendant une éternité...

De plus une suite de décimales est une série de sommes des puissances négatives de 10... A/10 + B/100 + C/1000 et ainsi de suite... en posant que vous pouvez faire une série infinie de somme de puissances négatives et non une série de sommes des puissances positives alors il y a incohérence...

Effectivement chère Grenouille Verte... il y a eu méprise et je m'en excuses... c'était bien Akarkop qui avait tenu ces propos... je ferai plus attention à l'avenir. :blush:

''... On peut remarquer que le même ensemble peut être ordonné de manière différentes. Ainsi, considérons A l'ensemble des puissances de 2 auquel on a ajouté 0.

A = {0,2,4,8,16,32,64,128,256,...}

Ordonné par l'ordre classique sur les entiers, il n'y a pas de "dernier" élément.

Ordonné par l'ordre de divisibilité (a est plus petit que b si et seulement si il existe c tel que a*c =b), il y a un plus grand élément (un "dernier" élément), appelé 0...''

Par contre ces propos sont de vous et vous ne faîtes que changer le mal de place avec votre exemple... vous avez un dernier terme mais pas de premier, on sait où ça finit mais pas où ça commence... on en reste encore avec un ensemble ouvert, dire qu'il n'y a pas de premier ou pas de dernier reviens à la même chose vous savez... C'est le même problème avec la diagonale de Cantor, il vous en manquera toujours un bout qui ne vous permettra pas de dire que vous avez réalisé la procédure d'un bout à l'autre.

''... On peut remarquer que le même ensemble peut être ordonné de manière différentes. Ainsi, considérons A l'ensemble des puissances de 2 auquel on a ajouté 0.

A = {0,2,4,8,16,32,64,128,256,...}

Ordonné par l'ordre classique sur les entiers, il n'y a pas de "dernier" élément.

Ordonné par l'ordre de divisibilité (a est plus petit que b si et seulement si il existe c tel que a*c =b), il y a un plus grand élément (un "dernier" élément), appelé 0...''

Par contre ces propos sont de vous et vous ne faîtes que changer le mal de place avec votre exemple... vous avez un dernier terme mais pas de premier, on sait où ça finit mais pas où ça commence...

Ben si, ça commence à 2, puis il y a 4, puis 8, pis 16... et à la fin il y a 0. :blush:

Pourquoi 1=0.999999999...?

1 ne peut pas être égale à l'infini.

1 est un nombre , ∞ n'en est pas un

Il est égal à lui même peut-être mais c'est tout ;encore que.. une comparaison n'a pas d'équivalence ,elle est unique de part les deux comparatifs.

De plus , puisque l'on ne peut avoir un nombre déterminé ,on ne peut lui donner d'équivalence .

Je tiens à préciser que 0.9999999999... est un nombre fini, tout comme n'importe quel ombre s'écrivant avec une infinité de décimales (Pi ou racine carrée de 2 par exemple).

Première nouvelle :blush:

Relis bien ce que tu as écris

''... Ben si, ça commence à 2, puis il y a 4, puis 8, pis 16... et à la fin il y a 0. :blush: ...''

Vous me faites bien rire chère Grenouille Verte... refaîtes-moi le décompte à partir de 0 dans ce cas... quel est le nombre qui vient juste avant la fin...

Vous pouvez donc mettre quelquechose à la fin d'un processus qui n'en a pas... bravo c'est d'une logique exemplaire.