Pourquoi 1=0.999999999...

Les maths pure c'est pas mon truc mais -corrige moi si je me trompe - il me semble qu'il a ete prouve qu'il existait des infinis plus grand que d'autre, non? Si par exemple, le nombres de billes dans la premiere boite correspond au nombre d'entiers naturels et que le nombres de billes dans la secondes boites correspond au nombres de fraction ( du genre 1/2, 1/3, 1/4 etc..) alors logiquement, il devrait y avoir plus de billes dans la secondes boites que dans la premiere.

Qu'en penses-tu?

Je pense que tu as à moitié raison.

La différence entre la boite de nombre entier et nombre de fraction et tu peux meme ajouter une autre boite de nombre premiers; est que proportionnellement parlant il y aurait logiquement une infinité d'infinité d'infinité...(dire à l'infini) de plus de nombres fractionnaires comparé aux nombre entier et que la boite contenant des nombres premiers seraient la boite en contenant le moins.

Mais puisqu'il n'y a pas plus grand que l'infini, alors on dit qu'ils ont tous la meme quantité.

1 infini = 2 infini = 1/2 infini = un infini d'infini

:blush:

En faite, pour savoir si deux nombres ou deux suites de nombres sont identiques, en generale ont les soustraits. Donc dans le cas ou l'on aurait une boite contenant autant de billes qu'il y a de nombres naturels (B1) et l'autre une boite contenant autant de billeS qu'il y a de nombres naturel et de fraction (B2), si l'on soustrait ces deux suites l'on obtiendrait B1-B2= suite contenant seulement les fractions (a l'exception de 1/1, 2/2, etc..). Par consequent, le nombres de billes dans ces deux "infinis" ne sont pas les memes et donc une infinite peut etre plus grand qu'une autre infinite. Si ce n'etait pas le cas, alors B1-B2 devrait etre egale a zero. Ce qui n'est pas le cas.

Par consequent, le nombres de billes dans ces deux "infinis" ne sont pas les memes et donc une infinite peut etre plus grand qu'une autre infinite. Si ce n'etait pas le cas, alors B1-B2 devrait etre egale a zero. Ce qui n'est pas le cas.

Dans ce cas , quelle est la valeur de plus grand que l'infini?

Ce n'est pas logique.

B1=l'infini

B2=l'infini

mais B2 est une infinité mois grande B1

Alors 2 X infini n'est pas égal à l'infini.

2 X infini donne 2 infini; 2 infini est plus grand que l'infini ou 1 infini.

Ca n'a plus de sens

Donc il y a plus de billes dans 10 boites d'infini que dans une boite d'infini.

Il y a 10 fois plus de billes à l'infini que dans 1 boite de billes à l'infini.

Donc l'infini n'existerais pas...

:blush:

x-1=0.999999999...-1

x-1= -0.999999999...

Je ne comprend pas.

J'avais fait une erreur de signe mais pour moi

x-1=0.999999999...-1

x-1= -0.0...01

De toute façon on peut directement écrire 1=0.999... étant donné le post de Grenouille verte.

J'ai une autre question dans le meme sens... :blush:

J'ai 10 boites sur la table.

Dans chacunes de ces boites, il y a un nombre infini de billes.(En supposant que les billes n'ont pas de volume).

Question

Y'a t'il plus de billes dans la premiere boite que dans le total des 10 boite?

Je pense que non, c'est impossible. Sinon on peut dire que "a > b > a"

Donc l'infini n'existerais pas...

:blush:

Non ca veut dire que l'infinit peut avoir differente taille tout en etant..infini!

C'est pas tres intuitif mais je pense que c'est un peu comme cette histoire de 0.99999...=1. L'esprit humain a du mal a conceptualiser l'infini.

Deux valeurs peuvent croître différemment et tendre vers l'infini, c'est cela le sens de comparer deux valeurs qui tendent vers l'infini.

Je ne comprend pas.

J'avais fait une erreur de signe mais pour moi

x-1=0.999999999...-1

x-1= -0.0...01

Hum... ouins,

x = 0,999999999...

x-1=0.999999999...-1

x-1=-0,111111111...

Le nombre de 9 et de 1 apres la virgule devrait rester le meme parce que j'enleve 1 entier.

Si je multiplie par 10

x-1=-0,111111111...

10x-10=-1,11111111... (Ici, la décimale serait 1 à l'infini mais avec une décimale en moins, c'est-à-dire que la valeur décimale est 10 fois moins grande que -0,111111111...(tous les 2 à l'infini quand meme))

Continuons

10x-10=-1,11111111...

10x-10+10=-1,11111111...+10

10x=9,11111111...

x=0,91111111...

La j'pense chu tout melé... :blush:

1= 1/3 *3 =0.333333333... * 3 = 0.99999999.....

donc 1=0.99999999....

démonstration moins élégante que celle de grenouille verte mais faciles a comprendre

c'est une des subtilités basique des maths

Il me semble que si tu dis 1/3=0.3333... tu utilises déjà la règle du 1=0.999999999 non?

C'est un peu: je demontre qqch par ce qqch.

Je suis pas sûr de ce que je dit, Gallium devrait nous en dire plus ^^.

0,999... - 1 = 0,0...01 = 0

Attention !

Un réel est représenté par :

• Sa partie entière
  
• Une suite infinie de décimales
  

0,999... est une suite infinie de décimale. On la nate parfois 0,9 (le souligné veut dire qu'on répètre les décimales à l'infini, par exemple 0,55648=0,5564848484848484848... ).

Par contre 0,0...01 n'est pas un réel. En effet, la suite des décimale n'est pas définie : il n'est pas possible de mettre un chiffre après les trois petits points.

Pour l'histoire des infinis de tailles différentes :

Un ensemble A est de la même taille qu'un ensemble B si on peut faire correspondre chaque élément de A à un élément de B.

Par exemple les ensembles {2, 4, 6, 8} et {20, 21, 22, 23} sont de même taille vu qu'on a la correspondance suivante :

2 - 20

4 - 21

6 - 22

8 - 23

De même l'ensemble des nombres entiers {1, 2, 3,...} et l'ensemble des nombres premiers {2, 3, 5,...} sont aussi de même taille :

0 - 2

1 - 3

2 - 5

3 - 7

4 - 11

5 - 13

etc...

Il y a donc autant de nombres entiers que de nombres premiers (même si les nombres premiers font partie des nombres entiers). L'infini des nombres entiers et celui des nombres premiers sont donc "de même taille".

Il y aussi autant de nombres entiers que de couples de nombres entiers (mais c'est moins facile à voir) :

0 - (0, 0)

1 - (1, 0)

2 - (0, 1)

3 - (2, 0)

4 - (1, 1)

5 - (0, 2)

6 - (3, 0)

7 - (2, 1)

8 - (1, 2)

9 - (0, 3)

etc...

Et comme on peut voir les fractions comme des couples de nombres a/b, il y a en fait autant de fractions que de nombres entiers (contrairement à ce qui a été dis plus haut). Donc là encore l'infini des fractions est le même que celui des entiers (on parle d'infini dénombrable pour un infini de même taille que celui des entiers).

Par contre, on peut prouver qu'il n'est pas possible de trouver une telle correspondance entre les entiers et les réels (c'est à dire les fractions mais aussi les racines, pi, etc, bref tous les "nombres à virgule" imaginables).

Il y a donc plus de réels que d'entiers ; l'infini des réels (appelé infini indénombrable) est "plus grand" que l'infini des entiers.

Il existe donc plusieurs infinis de tailles différentes. Il est aussi possible d'imaginer des ensembles encore plus grand que celui des réels.

Parce-que rien n'est parfait :blush:

C'est un problème intéressant qui mériterait un nouveau sujet.

Non, l'infini n'est pas un nombre, donc pas de relation d'ordre dire "il y a plus de billes dans la premiere boite que dans le total des 10 boite" ou inversement n'a donc mathématiquement pas de sens.

10*infini = infini

Mais l'infini n'est pas un nombre.

Maintenant, vous allez nous demandez :

"Puisque les billes ont un volume nul, et que les boite sont remplies de billes, alors les boites ont un volume nul ?"

Non, toujours pas, c'est une forme indéterminée mathématiquement, (0*infini).

Au risque de gâcher le suspense terrible, ma réponse est "ça dépend".

En effet, il existe des infinis plus ou moins grands.

Cependant, si dans chaque boîte il y a autant de billes (c'est à dire la même infinité de bille), alors, la réponse est "Non : il y a autant de billes dans la première boîte que dans la deuxième boîte".

Pour comprendre le problème, il faut voir comment on compte l'infini.

L'idée de base est que deux ensembles sont "aussi grands" s'il est possible d'appareiller les éléments des deux ensembles par paires 5cf le message Akarkop page précédente).

Exemple, on considère les ensembles {1,2,3} et {4,5,6}.

On peut les appareiller par paires :

1 <-> 4

2 <-> 5

3 <-> 6

On remarque qu'il y a plusieurs manières de faire, voici une autre façon :

1 <-> 4

2 <-> 6

3 <-> 5

D'un point de vue mathématique, "appareiller par paire" les éléments de l'ensemble X à ceux de l'ensemble Y, c'est définir un ensemble E de couples (a,b) tels que :

1. Pour couple (a,b) dans E, a appartient à X et b appartient à Y. Autrement dit, ce sont des couples constitué d'un élément de X suivit d'un élément de Y.
   
2. Pour tout élément a de X, il existe un élément b de Y tel que (a,b) est dans E. Autrement dit, tout élément de X est associé à au moins un élément de Y.
   
3. Pour tout élément b de Y, il existe un élément a de X tel que (a,b) est dans E. Autrement dit, tout élément de Y est associé à au moins un élément de X.
   
4. Pour tout couple (a,b) dans E, il n'existe pas de couple (a,b') appartenant à E tel que b soit différent de b'. Autrement dit, chaque élément de X n'est associé qu'à un seul élément de Y (et pas à deux ni trois éléments de Y).
   
5. Pour tout couple (a,b) dans E, il n'existe pas de couple (a',b) appartenant à E tel que a soit différent de a'. Autrement dit, chaque élément de Y n'est associé qu'à un seul élément de X.
   

E est une relation entre les ensembles X et Y.

Pour simplifier les choses, on considèreras la fonction f qui associe à chaque élément a de X, l'unique élément b de Y tel que (a,b) est dans E.

Cette fonction f est une bijection de X dans Y.

De même, la fonction g qui associe à chaque élément b de Y l'unique élément a de X tel que (a,b) est dans E est une bijection de Y dans X.

Reprenons l'exemple précédent :

1 <-> 4

2 <-> 5

3 <-> 6

Cela revient à dire que

f(1) = 4,

f(2)=5

et f(3)=6

et que g(4)=1,

g(5)=2

et g(6)=3

Remarque : On dit que g est la réciproque de f car, pour tout élément a de X, on a g(f(a))=a et pour tout élément b de Y on a f(g(b))=b.

Il est possible de définir directement une bijection, par la définition suivante :

Une bijection d'un ensemble X vers un ensemble Y est une fonction f telle que :

• Pour tout b appartenant à Y, il existe a tel que f(a) = b (c'est la propriété 3 de la relation E)
  
• Pour tout a appartenant à X, il n'existe pas de a' différent de a et appartenant à X tel que f(a)=f(a'). C'est la propriété 5 de la relation E
  

A partir d'une bijection f, il est possible de définir une relation E qui appareille les élément de X et Y par paires.

On prend l'ensemble des couples (a,b) tels que b=f(a).

Les autres propriétés de la relation E (les propriété 1,2 et 4) découlent du fait que f est une fonction.

Conclusion :

Deux ensembles X et Y (finis ou infinis) contienet autant d'élément, sont "aussi grand" s'il existe une bijection de X vers Y.

Dire qu'il existe une bijection de X vers Y, cela revient à dire qu'il existe une relation E qui vérifiée les propriétés 1,2,3,4 et 5.

Et comme on peut voir les fractions comme des couples de nombres a/b, il y a en fait autant de fractions que de nombres entiers (contrairement à ce qui a été dis plus haut). Donc là encore l'infini des fractions est le même que celui des entiers (on parle d'infini dénombrable pour un infini de même taille que celui des entiers).

Par contre, on peut prouver qu'il n'est pas possible de trouver une telle correspondance entre les entiers et les réels (c'est à dire les fractions mais aussi les racines, pi, etc, bref tous les "nombres à virgule" imaginables).

Il y a donc plus de réels que d'entiers ; l'infini des réels (appelé infini indénombrable) est "plus grand" que l'infini des entiers.

Il existe donc plusieurs infinis de tailles différentes. Il est aussi possible d'imaginer des ensembles encore plus grand que celui des réels.

Oui, tout a fait!

Merci a toi et a grenouille pour la demonstration! :blush:

Par contre, on peut prouver qu'il n'est pas possible de trouver une telle correspondance entre les entiers et les réels (c'est à dire les fractions mais aussi les racines, pi, etc, bref tous les "nombres à virgule" imaginables).

En effet.

Supposons qu'il existe une telle correspondance.

Alors on a une suite r_n qui parcours tous les réels (c'est à dire qu'à chaque entier n, on peut associer le réel r_n, et que tout réel r est, pour un certain m, égal à r_m).

On considère alors le réel t= 0,a_1...a_n... = Somme pour n allant de 1 à l'infini de a_n/10^n, où les a_n sont définis par :

Si le n ième chiffre après la virgule de r_n est 0, alors a_n vaut 1, sinon a_n vaut 0.

En gros, les a_n sont les chiffres, en base 10, de t.

On montre ensuite que pour tout n, t n'est pas égal à r_n (car t et r_n ont au moins un chiffre de différent).

Hum... ouins,

x = 0,999999999...

x-1=0.999999999...-1

x-1=-0,111111111...

Non, pour moi x-1=-0,0000...1

Mais encore une fois, c'est faux, il a été dit qu'on ne peut écrire 0,0...1.

Oui cé vrai, jviens d'allumé, cé vraimant trop mélant aike les positif et les négatif :blush:

Je ne comprendrai décidément jamais le canadien mwé ... :blush:

Hahahaha!! Mad_World, j'pense stencow pir q'ca, "mwé", cé vra kon parl mal pour kekzun m'ein parzempe spa toulmonde!! :blush:

:) :) :D :D :p :D

J'en ai une autre, que les bons en maths sauront résoudre assez facilement... Ou pas!

Mais s'il vous plait, si vous avez trouvés la solution, postez juste un "j'ai compris!" très frustrant pour ceux qui ne trouveront pas:

Un mec et deux filles vont dormir à l'hotel. La chambre est à 30 euros. Le mec n'est pas gallant, il veut partager la note. Ils paient donc chacun 10 euros.

Une fois montés dans leurs chambre, le patron de l'hotel dit au garcon de chambre que les chambres sont maintenant à 25 euros, et non 30 euros, et lui demande d'aller rendre les 5 euros aux derniers clients.

Dans l'escalier, le garcon se dit que ca risque de dégénérer si il leur rend 5 euros, car ca n'est pas divisible par 3. Il décide donc de garder 2 euros et de leurs en donner 3 euros, 1 euros à chacun.

La chambre leur aura donc couté en tout 28 euros qu'ils se seront divisés en trois parties égales et entières. Mais 28 n'est pas divisible par 3!

EDIT: Miiiiince!! je ne me rappelle plus comment on fait! Ne me frustrez pas s'il vous plait, postez la réponse si vous l'avez trouvés :blush: