Pourquoi 1=0.999999999...

Je recommence mon cher Grenouille verte...

J'ai un sac appellé A dans lequel il y a tous les entiers naturels...

J'ai un sac appellé B dans lequel il y a tous les entiers pairs...

Je sors de chaques sacs un élément avec lesquels je forme une paire...

Agissant sagement je constate que tous les éléments que je sors du sac B se retrouvent aussi dans le sac A et donc je sors l'élément identique du sac A et le mets en couple avec celui du sac B (première bijection)...

Je remarque aussi que pour chaque élément que je sors du sac A je dois en mettre un de côté pour retrouver celui qui est identique à celui du sac B...

Je mets donc cet élément devant chaque couple que je forme avec les sacs A et B (seconde bijection)...

Donc je sors 2 éléments du sac A pour chaque élément que je sors du sac B... Ainsi je fais 2 bijections avec les éléments de A et une seule avec ceux de B. Il y a donc 2 fois plus d'éléments dans A que dans B car A me permet de faire 2 fois plus de bijections que B... et ce en utilisant seulement les éléments présents dans chacun des sacs.

Ainsi à chaque élément de B il y a un seul correspondant dans A (qui se trouve à être le même) et à chaque paire formée il y a aussi un seul correspondant dans A (qui se trouve à être différent)...

Au final, on en arrive à quoi?

Pour l'exemple de mes billes,

Chaques boites de billes contiennent la meme quantité de billes, qui sont toutes du meme volume.

Quel que soit le nombre de billes par boites, le total de billes contenues dans les dix boites de billes est dix fois plus grand que le nombre de billes par 1 boite.

supose que chaque boites contient 1 billes,

1 bille X 10 boites de billes = 10 billes en tout dans 10 boites

x billes X 10 boites de billes = 10x billes en tout dans 10 boites

Divisé par x donne :

1 bille X 10 boites de billes = 10 billes en tout dans 10 boites

alors pourquoi, 1 infinité de billes par boite ne donnerait pas:

1 infinité de billes X 10 boites = 10 infinité de billes

L'infini n'est pas un nombre, mais est une valeur au meme titre que x.

Pour éliminer infini, tu divises par infini de la meme facon que x.

1 infini X 10 = 10 infini

1 X 10 = 10

10 =10

Ca marche non?

:blush:

Pour revenir à votre exemple de départ cher Sportdriver, vous semblez oublié que la multiplication par 10 décale la virgule d'un cran... donc il y aura un chiffre de moins après la virgule une fois multiplié par 10 car le dernier chiffre deviendra 0 plutôt que 9... mais encore faut-il qu'il y ait un dernier chiffre.

Donc je sors 2 éléments du sac A pour chaque élément que je sors du sac B... Ainsi je fais 2 bijections avec les éléments de A

Non, tu as mal compris le concept de bijection. Tu mélanges un peu tout.

Pour que ce soit une bijection vers A, il faut que tous les éléments de A soient atteint. Ainsi, quand tu prends un élément de B, et que tu l'associes à un élément de A (lui-même), tu ne fais pas une bijection de B vers A, car, dans ce cas, certaines éléments (comme 1) n'ont pas d'antécédent.

Pour qu'une fonction f soit une bijection de B dans A, il faut que pour tout y appartenant à A, il existe x appartenant à B tel que f(x)=y

J'ai dit que dans chaques boites il y a le meme nombre de billes.

Boite 1: Des billes à l'infini

Boite 2: Des billes à l'infini

ect... jusqua 10 boites

Et je dit que le total des 10 boites additionnées ensembles vont donner un resultat 10 fois supérieur à l'équivalent d'une seule de n'importe laquelles de ces 10 boites.

D'où l'explication de mon post precédent..

C'est pour ca que je crois que grenouille a raison de dire qu'il y a des infini plus grand que d'autres infini. Car l'infini est une valeur, une valeur infini, meme quand meme une valeur. C'est comme une valeur x.

x multiplié par 10 = 10x

infini multiplié par 10 = 10infini

Et pour le 0,99999999...

On ne peut calculer un nombre décimal à moitié écrit avec des "3 petits points".

C'est pouquoi le résultat en est changé.

Pour que ca marche, on doit écrire les 9 au complet à l'infini.

Sinon, écrit la fraction équivalente a 0,9... et transfert juste à la fin du calcul en format décimal.

1-0,9...=0,...1

comment vu tu calculer quoi que ce soit aike ca?

''...Pour que ce soit une bijection vers A, il faut que tous les éléments de A soient atteint. Ainsi, quand tu prends un élément de B, et que tu l'associes à un élément de A (lui-même), tu ne fais pas une bijection de B vers A, car, dans ce cas, certaines éléments (comme 1) n'ont pas d'antécédent...''

Pourquoi parlez-vous alors du fait que les ensembles des entiers naturels et celui des entiers pairs seraient en bijection dans ce cas cher Grenouille Verte...

Ne venez-vous pas de démontrer que ce n'est pas le cas puisqu'en associant les éléments semblables des 2 ensembles comme je viens de le faire ''...certaines éléments (comme 1) n'ont pas d'antécédent...''

Le problème serait sans doute dans le fait que vous considérez l'infini comme un tout achevé en soi qu'on peut prendre dans sa globalité avec des éléments présents au préalable plutôt qu'un processus inachevé qui serait toujours en construction.

J'aimerais bien débattre avec vous du fait que l'ensemble des réels serait plus grand que celui des entiers... sans doute utiliserez-vous l'argument de la diagonale de Cantor que je considère comme de la tricherie pour ma part.

Et pour le 0,99999999...

On ne peut calculer un nombre décimal à moitié écrit avec des "3 petits points".

C'est pouquoi le résultat en est changé.

Pour que ca marche, on doit écrire les 9 au complet à l'infini.

Il y a une noation pratique pour écrire une suite de chiffre "à l'infini" :

0,9

On souligne les chiffres qui se répètent à l'infini.

Ainsi 3,8724 = 3,872424242424242424...

1-0,9...=0,...1

comment vu tu calculer quoi que ce soit aike ca?

En fait, si tu pose la soustraction 1- 0,9999... tu obtiens 0,0000000....

Tu n'obtiens jamais de 1.

''...Pour que ce soit une bijection vers A, il faut que tous les éléments de A soient atteint. Ainsi, quand tu prends un élément de B, et que tu l'associes à un élément de A (lui-même), tu ne fais pas une bijection de B vers A, car, dans ce cas, certaines éléments (comme 1) n'ont pas d'antécédent...''

Pourquoi parlez-vous alors du fait que les ensembles des entiers naturels et celui des entiers pairs seraient en bijection dans ce cas cher Grenouille Verte...

Ne venez-vous pas de démontrer que ce n'est pas le cas puisqu'en associant les éléments semblables des 2 ensembles comme je viens de le faire ''...certaines éléments (comme 1) n'ont pas d'antécédent...''

Vous avez montrer qu'il existe une fonction des entiers pairs vers les entiers qui n'est pas une bijection.

Mais vous n'avez pas montré qu'il n'existait pas de bijection. Votre erreur est là.

C'est comme si vous me montriez un corbeau en disant "vous voyez, ce corbeau n'est pas un pigeon", donc, il n'existe pas de pigeon.

Ce résultat se généralise au cas où toutes les boîtes contiennent la même infinité de bille. Par contre, si la première boîte contient autant de bille que d'entiers, et que la deuxième contient autant de billes que de nombres réels(**), alors, il y a plus de billes dans la deuxième boîte que dans la première, et donc, il y a plus de billes dans les dix boîtes réunies que dans la première.

A mon avis c'est là qu'est le problème, on ne sait pas si il y a une relation entre les boîtes ou si elles sont indépendantes.

La somme de toutes est en tout cas plus grande que chacune individuellement, sinon je pense qu'il y a un dilème.

Et pour le 0,99999999...

On ne peut calculer un nombre décimal à moitié écrit avec des "3 petits points".

C'est pouquoi le résultat en est changé.

Pour que ca marche, on doit écrire les 9 au complet à l'infini.

Sinon, écrit la fraction équivalente a 0,9... et transfert juste à la fin du calcul en format décimal.

1-0,9...=0,...1

comment vu tu calculer quoi que ce soit aike ca?

Logiquement on peut écrire (0,0...) mais pour qu'il soit différent de 0 alors sa dernière décimale doit obligatoirement être différente de 0.

Et comme le plus petit chiffre en base 10 est 1 alors la dernière décimale de 0,0... doit obligatoirement être au moins un 1 pour que ce ne soit pas égal à 0,0.

Sinon ça revient à écrire 1,0 comme étant aussi précédé par une infinité de 0 comme ...00000000000000000001,0 ce qui serait inutile en tout point.

Vous n'avez qu'à vous dire que lorsque vous multiplier par 10 alors l'infinité de chiffre après le point devient comme pour les entiers naturels et pour les réels, soit qu'il y en a maintenant une plus petite infinité qu'avant que vous ne multipliez le tout par 10... :blush:

Comprenez bien que je n'endosse pas cette théorie mais si ça peut vous aidez à mieux comprendre...

C'est l'un des paradoxes de l'infini : la somme de deux infinis peut donner le même infini.

Quelques articles sur le sujet :

• Nombre transfini (regarder la partie sur les cardinaux)
  
• Nombres cardinaux
  

''... Vous avez montrer qu'il existe une fonction des entiers pairs vers les entiers qui n'est pas une bijection.

Mais vous n'avez pas montré qu'il n'existait pas de bijection. Votre erreur est là...''

Je vous ai montré qu'on pouvait en faire 2 en ne trichant pas... et vous qu'il n'y en a qu'une en trichant... car comme vous le dîtes si je peux en faire 2 alors c'est qu'il n'y a plus bijection.

Je vous ai montré que lorsqu'on fait les choses simplement et intuitivement soit en utilisant le principe d'identité alors la vérité apparait.

Que si j'ai ça d'un côté et que j'ai ça de l'autre alors c'est ça qui va avec ça, et c'est ça-même qui est à la base de mon raisonnement.

Pour votre part vous me montrer qu'en mélangeant tout avec n'importe quoi ou qu'en mettant n'importe quoi avec n'importe quoi on arrive à n'importe quoi... pour moi ça reste n'importe quoi quand même.

Je me contente de mettre les corbeaux avec les corbeaux et les pigeons avec les pigeons cher Grenouille Verte... c'est vous qui mélangez les corbeaux et les pigeons sous prétextes que tout serait noir.

Einstein disait que malgré toutes les expériences qui validaient la relativité il suffirait d'une seule qui l'infirmerait pour qu'elle soit fausse... Je constate que vous n'avez pas la même rigueur. :blush:

Ok mais je ne comprend pas leurs explications.

Pourrait-on dire que par nature il y aurait un infini entre vous et moi cher Grenouille verte... mais qu'en réalité ce serait une infinité d'infini... :blush:

Désolé mais j'ai vraiment l'impression que tu n'as toujours pas saisi c'était quoi une bijection!

Reprenons ce que tu as écrit plus haut, toujours avec A = {1, 2, 3, 4,...} et B = {2, 4, 6, 8,...} :

Agissant sagement je constate que tous les éléments que je sors du sac B se retrouvent aussi dans le sac A et donc je sors l'élément identique du sac A et le mets en couple avec celui du sac B (première bijection)...

Donc tu obtiens la relation 2-2, 4-4, 6-6, 8-8,... Où le premier élément de chaque paire est dans A et le second dans B.

Ce n'est pas une bijection, car comme tu le remarques toi-même des éléments de A restent "tout seuls", à savoir les impairs 1, 3, 5,...

Je remarque aussi que pour chaque élément que je sors du sac A je dois en mettre un de côté pour retrouver celui qui est identique à celui du sac B...

Je mets donc cet élément devant chaque couple que je forme avec les sacs A et B (seconde bijection)...

Si j'ai bien compris ce que tu veux dire, tu obtiens donc 1-(2-2), 3-(4-4), 5-(6-6),... C'est une relation entre des éléments de A (les impairs laissés "tout seuls" dans ta première "bijection") et des éléments de AxB (les paires de ta première "bijection").

Bref ce n'est pas non plus une bijection entre A et B (pas plus qu'entre A et AxB d'ailleurs).

Je vous ai montré qu'on pouvait en faire 2 en ne trichant pas... et vous qu'il n'y en a qu'une en trichant... car comme vous le dîtes si je peux en faire 2 alors c'est qu'il n'y a plus bijection.

Je vous ai montré que lorsqu'on fait les choses simplement et intuitivement soit en utilisant le principe d'identité alors la vérité apparait.

Tu n'as rien montré du tout vu que tes deux machins ne sont pas des bijections!

Et je ne trouve vraiment pas que tes tentatives soient plus simples et intuitives que la bijection 1-2, 2-4, 3-6, 4-8,... De cette manière tu as bien fait correspondre chaque élément de A à un et un seul élément de B et réciproquement (il y avait d'autres possibilités bien entendu).

Donc il y a "autant" de nombres dans A que dans B, car par définition deux ensembles sont de même taille lorsqu'il existe une bijection entre eux.

Ho la la, bijection, opposition et tout!!

jme suis pas rendu aussi loin en mathématique, mais je crois bien comprendre le principe de ces bijections pas associations, les nombres restant dans cet ensemble d'infini sont la preuve qu'il est plus grand que l'autre me semble bien.

Pour faire simple, ensemble A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,...)

ensemble B=(1,3,5,7,11,13,...)

on obtiens alors:(1et1),(3et3),(5et5),(7et7),....

Dans l'ensemble A, il reste 2,4,6,8,9,10,...

Ces nombres restant sont en surplus de l'ensemble B, donc l'ensemble A contient plus de nombres que l'ensemble B

Es-ce que j'ai bien compris Grenouille Verte? Ca ressemble un peu à ca?

PS, Je voulait bien dire 1-0,9...=0,0...1

comme tu me la présisée, j'avait oublier d'écrire le 0 apres ma virgule et pour le souligné en dessous du chiffre pour faire infini, je suis pas capable d'écrire ca avec mon clavier!!

Mais de toute maniere, c'est un peu une maniere incorecte d'écrire un nombre si on veut calculer avec lui!!

:blush:

Le but était justement de vous montrez qu'il n'y a pas bijection entre les entiers naturels et les entiers pairs cher Akarkop... comme je l'ai mentionné plus avant le problème est que vous considérez les 2 ensembles comme étant fini, soit comme contenant leur dernier terme et tous en même temps, et non comme une construction inachevée qui évolue dans le temps... comme une liste ouverte.

Je vous offre une façon simple de démontrer ce fait... le tout en créant les deux ensembles simultanément par étape en créant une liste pour chacun...

# étape............... contenu de ''entiers naturels''...................... contenu de ''entiers pairs''

1 ....................................1.

2.................................... 1,2.............................................................. 2................

3.................................... 1,2,3............................................................ 2................

4.................................... 1,2,3,4.......................................................... 2,4.............

5.................................... 1,2,3,4,5........................................................ 2,4.............

6.................................... 1,2,3,4,5,6..................................................... .2,4,6..........

Comme un entier pair (sous-ensemble) est contenu dans l'ensemble des entiers naturels alors un entier pair ne peut exister tant qu'il n'apparrait pas dans celui des entiers naturels on sait qu'il existera mais seulement lorsque son tour viendra (# étape)... et comme il n'y a pas de dernier terme posé pour l'ensemble des entiers naturels alors la liste demande toujours l'ajout d'un terme supplémentaire à chaque étape de la construction faisant que celle des entiers pairs doit sauter son tour une fois sur 2...

Ainsi à n'importe quel étape de la construction vous trouverez au moins 2 fois plus d'entiers dans l'ensemble des entier naturels que dans celui des entiers pairs et ce aussi loin que vous déroulerez la liste...

Vous ne pouvez dire qu'un terme est présent dans un sous-ensemble alors qu'il n'existe pas encore dans l'ensemble qui contient le sous-ensemble en question... ce ne serait pas logique du tout cher Akarkop.

"seulement lorsque son tour viendra", "alors qu'il n'existe pas encore", "une construction inachevée qui évolue dans le temps",...

C'est toi qui complique tout et vient nous parler de "temps"!

A est l'ensemble contenant {1,2,3,4,...} soit une infinité de nombres, je ne vois pas d'où tu vas chercher cette notion tirée par les cheveux d'ensemble "en construction perpétuelle". On n'a même pas défini la notion de temps!

Et même si tu veux absolument le voir comme un ensemble se construisant par "étapes", on pourrait aussi le faire comme ça :

étape		   contenu de A			contenu de B
#1			  {1}					 {2}
#2			  {1,2}				   {2,4}
#3			  {1,2,3}				 {2,4,6}
#4			  {1,2,3,4}			   {2,4,6,8}
...			  ...					...

Ainsi on voit bien que les deux ensembles sont en bijection. Tout ce que tu as fais c'est choisir une manière de lister les nombres qui ne fait pas apparaitre une bijection. Mais ça ne prouve pas qu'il soit impossible de trouver une autre manière de faire!

Je n'aime pas utiliser l'argument d'autorité mais le fait qu'il existe une bijection entre les entiers naturels et les entiers naturels pairs est quand même un fait mathématique connu depuis plus d'un siècle! C'est comme si tu nous soutenais que la terre est plate.

Ce que vous ne semblez pas comprendre c'est qu'on utilise une définition :

"A et B sont de même cardinal (= taille) s'il existe une bijection entre eux".

Il suffit donc de trouver une bijection pour qu'on décide d'appeler ces deux ensembles "de même taille" (même s'il peut exister d'autres relations qui elles ne seront pas des bijections, et même si un des ensembles est contenu dans l'autre!).

C'est selon cette définition qu'on dit qu'il y a autant d'entiers naturels que d'entiers naturels pairs, même si ça semble étrange, ce n'est qu'une question de vocabulaire.

Tu es libre de ne pas aimer cette définition en la trouvant contre-intuitive, mais alors que proposerais-tu comme définition pour "A et B sont de même taille"?

Pour faire simple, ensemble A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,...)

ensemble B=(1,3,5,7,11,13,...)

on obtiens alors:(1et1),(3et3),(5et5),(7et7),....

Dans l'ensemble A, il reste 2,4,6,8,9,10,...

Ces nombres restant sont en surplus de l'ensemble B, donc l'ensemble A contient plus de nombres que l'ensemble B

En utilisant cette méthode tu peux aussi prouver le contraire, à savoir que B contient plus de nombres que A :

Soit encore A = {1,2,3,4,...} et B = {1,3,5,7,...}.

On peut apparrier les éléments de A et B ainsi : 1-1, 2-5, 3-9, 4-13, 5-17,...

Dans l'ensemble A, il ne reste rien, on a tout utilisé.

Dans l'ensemble B, il reste 3, 7, 11, 15,...

Il y a donc des nombres en surplus dans B, donc B contient plus de nombres que A...

Bref ta méthode et ta définition de "plus grand" est inadaptée aux ensembles infinis.

Ho la la, bijection, opposition et tout!!

jme suis pas rendu aussi loin en mathématique, mais je crois bien comprendre le principe de ces bijections pas associations, les nombres restant dans cet ensemble d'infini sont la preuve qu'il est plus grand que l'autre me semble bien.

Pour faire simple, ensemble A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,...)

ensemble B=(1,3,5,7,11,13,...)

on obtiens alors:(1et1),(3et3),(5et5),(7et7),....

Dans l'ensemble A, il reste 2,4,6,8,9,10,...

Ces nombres restant sont en surplus de l'ensemble B, donc l'ensemble A contient plus de nombres que l'ensemble B

Es-ce que j'ai bien compris Grenouille Verte? Ca ressemble un peu à ca?

Là, ce que vous faîtes, c'est une [injection[/i] de B dans A.

Si vous reprennez mon post précédent, une injection, c'est comme une bijection, sauf qu'on n'a pas la propriété 3.

Une bijection d'un ensemble X vers un ensemble Y est une fonction f telle que :

• Pour tout b appartenant à Y, il existe a tel que f(a) = b (c'est la propriété 3 de la relation E)
  
• Pour tout a appartenant à X, il n'existe pas de a' différent de a et appartenant à X tel que f(a)=f(a'). C'est la propriété 5 de la relation E
  

Une injection d'un ensemble X vers un ensemble Y est une fonction f telle que :

• Pour tout a appartenant à X, il n'existe pas de a' différent de a et appartenant à X tel que f(a)=f(a'). C'est la propriété 5 de la relation E
  

Une bijection entre B et A montre qu'il y a "autant" d'élément dans A et dans B.

Une injection de B dans A, montre que dans B il y a moins (ou autant mais pas plus) d'éléments que dans A.

Dans le cas d'ensembles fini, s'il y a une injection de B dans A qui "laisse" des éléments de côté, alors, B est strictement plus petit que A.

Ce n'est plus vrai pour les ensembles infinis.

Exemple :

A = l'ensemble des entiers naturels

B = l'ensemble des entiers naturels impairs.

La fonction f définie par f(n) = 2n+1 est une bijection entre A et B.

La fonction g définie par g(n) = 4n+1 est une injection de A dans B qui laisse des éléments de côtés (3,7,11,15, etc...)

On ne doit pourtant pas en déduire qu'il y a strictement moins d'entiers que d'entiers impairs !

Le but était justement de vous montrez qu'il n'y a pas bijection entre les entiers naturels et les entiers pairs cher Akarkop..

C'est FAUX.

La fonction f, définie par f(n) = 2*n est une bijection des entiers naturels vers les entiers pairs.

Donc il existe bien une telle bijection.

Vous avez donc du faire une erreur de raisonnement quelque part.

En utilisant cette méthode tu peux aussi prouver le contraire, à savoir que B contient plus de nombres que A :

Soit encore A = {1,2,3,4,...} et B = {1,3,5,7,...}.

On peut apparrier les éléments de A et B ainsi : 1-1, 2-5, 3-9, 4-13, 5-17,...

Dans l'ensemble A, il ne reste rien, on a tout utilisé.

Dans l'ensemble B, il reste 3, 7, 11, 15,...

Il y a donc des nombres en surplus dans B, donc B contient plus de nombres que A...

Bref ta méthode et ta définition de "plus grand" est inadaptée aux ensembles infinis.

En fait, il faut prendre le "plus de" dans le sens large, autrement dit : S'il existe une injection de B dans A, A est de cardinal supérieur ou égal à B.

En effet, on peut prouver que s'il existe une injection de A dan B, et une injection de B dans A, alors il existe une bijection de A dans B.

''... A est l'ensemble contenant {1,2,3,4,...} soit une infinité de nombres, je ne vois pas d'où tu vas chercher cette notion tirée par les cheveux d'ensemble "en construction perpétuelle". On n'a même pas défini la notion de temps!...''

En posant les 3 petits points, cher Akarkop, ne dîtes-vous pas que l'ensemble n'est pas encore fini de construire... qu'il s'agrandit toujours, par ajout continuel d'éléments... Pouvez-vous me donner le dernier élément d'un ensemble infini? D'un ensemble qui n'a pas de fin?

On évoque ici un processus et non un produit fini.

De même un contenant peut-il contenir un contenant aussi grand que lui en même temps qu'un second contenant aussi de même taille... Comme pour l'ensemble des entiers naturels qui est formé par la présence du sous-ensemble des entiers pairs en même temps que celui des entiers impaires.

Serait-ce logique de comparer un de vos yeux avec l'ensemble de votre corps mais au moment où les deux yeux y sont encore présents... et de finir par conclure que le corps est aussi grand qu'un oeil.

Prenez votre petit tableau... et je considère ici que B est sous-ensemble de A évidemment.

Codeétape contenu de A contenu de B

#1 {1} {2}

#2 {1,2} {2,4}

#3 {1,2,3} {2,4,6}

#4 {1,2,3,4} {2,4,6,8}

... ... ...

é l'étape #1 il n'y a qu'un élément dans l'ensemble A (contenant) soit 1... B étant défini comme sous-ensemble (contenu) de A son élément (2) devrait se retrouver logiquement dans A... le voyez-vous quelquepart parmi les éléments de A à ce moment?

Il y a un manque de logique dans le fait de prendre les deux ensembles en même temps cher Akarkop, car l'ensemble des entiers pairs est constitutifs de celui des entiers naturels... si vous le prenez à part comme ensemble indépendant alors il ne reste que les nombres impairs car les deux sous-ensembles forment ensemble celui des entiers naturels...

Je ne vois pas de problème à utilisé la bijection pour des ensembles qui contiennent un premier et un dernier terme... car celà revient à créer une liste des 2 ensembles distincts et le fait que chaque ligne (#) de la liste contient un seul élément de chaque ensemble nous dit bel et bien que les deux sont de même taille. Je ne vois aucun problème de même à utiliser la bijection pour des ensemble indépendants...

Le contre-intuitif vient du fait que par définition un ensemble est déjà plus grand qu'un sous-ensemble, qu'un sous-ensemble est un élément qui ajouté à autre élément forment ensemble cet ensemble.

Votre façon de penser revient à dire qu'un tonneau contient autant d'eau qu'un dé à coudre... puisque si je les remplis et les vide un même nombre de fois jusqu'à l'infini dans des bacs séparés alors il y aura autant d'eau dans un bac que dans l'autre.

Ce n'est pas la bijection que je mets en cause cher Akarkop, mais l'infini. L'infini étant un processus alors il doit être considéré comme tel et non comme une quantité arrêtée et finie ou un contenant.

''... Ce que vous ne semblez pas comprendre c'est qu'on utilise une définition :

"A et B sont de même cardinal (= taille) s'il existe une bijection entre eux"...''

Dans ce cas si ce n'est qu'un jeu de définitions alors on réfère plus au roman qu'à une science... si on ne retrouve pas d'équivalence dans la réalité alors je préfère les histoires de dragons car ils sont définit logiquement dans plusieurs livres... un peu comme l'infini qui ne serait qu'un monstre du bestiaire mathématique.