Aide mathématique

Bonjour, pouvez-vous m'aider pour réaliser cet exercice car je ne comprends pas du tout ce qui est demandé. Je vous en remercie d'avance 

Un fournisseur a livré une quantité importante de plantes, parmi lesquelles 29 % présentent un défaut.
On prélève au hasard un échantillon de 40 plantes afin de contrôler la livraison.
On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de plantes défectueuses dans l'échantillon.

On veut déterminer la probabilité d'avoir moins de 4 plantes défectueuses dans l' échantillon,
en utilisant l'approximation qui convient.

Pour cela, effectuez un changement de variable :

L'espérance de X et l'écart type de X seront arrondis à 10 -2 près
Le résultat, sera arrondi à 10 -2 près.
Pour les nombres décimaux, utilisez le point et non la virgule.
Réponse : u = 

Dans le cas présent, pour pouvoir utiliser la table de la loi normale centrée réduite, il faut déterminer :

Réponse :

@Nutkin

Pour commencer, Eduardo22200, le changement de variable est toujours le même. Z=(X- μ )/σ

Il y a 5 heures, eduardo22200 a dit :

Bonjour, pouvez-vous m'aider pour réaliser cet exercice car je ne comprends pas du tout ce qui est demandé. Je vous en remercie d'avance 

Un fournisseur a livré une quantité importante de plantes, parmi lesquelles 29 % présentent un défaut.
On prélève au hasard un échantillon de 40 plantes afin de contrôler la livraison.
On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de plantes défectueuses dans l'échantillon.

On veut déterminer la probabilité d'avoir moins de 4 plantes défectueuses dans l' échantillon,
en utilisant l'approximation qui convient.

Pour cela, effectuez un changement de variable :

L'espérance de X et l'écart type de X seront arrondis à 10 -2 près
Le résultat, sera arrondi à 10 -2 près.
Pour les nombres décimaux, utilisez le point et non la virgule.
Réponse : u = 

 

Dans le cas présent, pour pouvoir utiliser la table de la loi normale centrée réduite, il faut déterminer :

Réponse :

C'est une loi binomiale de parametre n=40, p=0,29 q=1-p=0,71

l'espérance c'est n*p=11,6   l'ecart type est racine( n*pq) =2,87

et la probabilité d'avoir moins de 4 plantes defectueuses est :

C(40,1)*p*q^(39)  + C(40,2*p^2*q^38 + C (40,3)*p^3*q^37

Pas fait le calcul

Apres dans cette exercice on demande vraisemblablement de faire une approximation de la loi binomiale par la loi normale.

pour l'approximation de la loi binomiale par la loi normale :

E=n*p=40*0,29

ecart type=e= racine(n*p*q)

On cherche la probabilité binomiale discrete P(X<4 ) soit P(X<=3,5) selon la loi normale continue

Mais pour cela il faut faire le changement de variable Z= (X-E(X))/e  pour lire le résultat dans la table de la loi normale centrée réduite

Tout cela est dans le cours normalement.

L'esperance de X est 11,6, l'écart type est 2,87

Et la variable centrée réduite est (3,5-11,6)/2,87  =-2,82

On cherche ensuite dans la table de la loi normale centrée reduite la probabilité qui est 0,5-0,4976= 0,033

et ceci est une approximation de la loi binomiale qui elle donne 0,0327

Ici X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B (40, 0,29)

Il est permis d’utiliser l’approximation normale [centrée réduite] fournie par le théorème de Moivre-Laplace car n ⩾ 30, np = 11,6 ⩾ 5 et n(1-p) = 28,4 ⩾ 5

Changement de variable Z = (X-μ)/σ avec μ = np = 11,6 et σ =√np(1-p) = 2,87

Nous devons calculer la probabilité qu’il y ait moins de 4 plantes défectueuses.

Soit P (0 ⩽ X ⩽ 3) = P ( (0-11,6)/2,87 ⩽ Z ⩽ (3-11,6)/2,87 ) = P (-4,04 ⩽ Z ⩽ -3 )

Et nous trouvons avec la calculatrice que P = 1,32 x 10^-3