Les mathématiques du coronavirus

Le 14/04/2020 à 15:29, Hérisson_ a dit :

Bonjour,

Lorsqu’une épidémie se développe dans une région dont les frontières sont fermées, la variation au cours du temps du nombre de cas cumulés de personnes contaminées est représentée par une portion de courbe sigmoïde, qui présente un point d’inflexion (I) en lequel la pente du graphe est maximale : c’est le pic de l’épidémie, attendu avec appréhension par chacune des nations concernées, caractérisé un maximum de la dérivée première et l’annulation de la dérivée seconde.

 

Les données relatives à la France ont été ici collectées depuis le 1^er mars, et traitées pour en tirer les valeurs moyennes, ainsi que celles des deux premières dérivées.

 

 

Si le graphe (tracé en rouge) du nombre de cas cumulés présente approximativement la forme attendue, celui de la première dérivée (en jaune) a un aspect plus complexe, avec non pas un seul mais plusieurs extremums ; la dérivée seconde, quant à elle, change plusieurs fois de signe.

 

Les écarts observés par rapport aux courbes idéales ont essentiellement deux origines :

a) l’épidémie se répand simultanément dans plusieurs régions très inégalement atteintes, et à des vitesses très différentes ;

b) la contagion est bridée depuis la mi-mars par des mesures de confinement drastiques, et imposées d’une manière de plus en plus stricte.

Il semble cependant (et c'est l'essentiel) que le plus dur de l'épidémie soit derrière nous.

Vous trouverez les données exploitées – et bien d’autres – sur les sites suivants :

https://www.gouvernement.fr/info-coronavirus/carte-et-donnees

https://www.lemonde.fr/les-decodeurs/article/2020/04/03/coronavirus-visualisez-la-surmortalite-en-france-par-departement-depuis-le-1er-mars_6035485_4355770.html

https://coronavirus.jhu.edu/map.html

 

si la courbe rouge était une vraie exponentielle comme on l'a souvent annoncé, sa dérivée (jaune) serait aussi de type exponentiel.

Or ce n'est pas le cas présenté. On voit-là toute la différence "mathématique entre une contagion totalement libre en milieu ouvert et ce que devient la contagion en milieu contraint en particulier par les précautions élémentaires d'hygiène et surtout par le confinement.

Mais quand le confinement sera levé, l'épidémie repartira d'une façon semi exponentielle dans les différents lieux totalemnt ouverts.

Dans tous les cas ce n'est jamais une "belle exponentielle" comme peut l'être une croissance microbienne dans une boite de Pétri (au début de l'ensemencement) ou bien une réaction en chaîne de fission nucléaire dans une bombe atomique A.

il y a une heure, Répy a dit :

si la courbe rouge était une vraie exponentielle comme on l'a souvent annoncé, sa dérivée (jaune) serait aussi de type exponentiel.

Ce n'est pas tout à fait exact ! Et je dirais même que c'est totalement faux. Au sens stricte selon sa définition  l'exponentielle est une fonction A Exp f(x) est une fonction continue, croissante ou décroissante, qui pour tout f(x) est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 quand f(x) = 0.

Lorsque l'on a affaire à un phénomène physique réel, il est évident que la cette définition même interdit l' existence d'une loi physique qui serait réellement exponentielle, car cela conduirai à ce qu'une des limites tende vers l' infini (impossible en physique) Il s'ensuit que tout phénomène dont l' étude se ramènerait à une équation exponentielle théorique serait en réalité  une fonction exponentielle impure telle que f(x) ne soit pas linéaire ce fait apparaître une asymptote (horizontale ou inclinée) dans la courbe A Exp f(x) et aussi un point d'inflexion ( signalé par Hérisson ) dans cette courbe. Car une exponentielle "parfaite" n'a pas de point d'inflexion et ses seules asymptotes deux droites horizontales et verticales aux limites des définition.

Je vois que Répy a d'ailleurs modéré son texte en ce sens, ce qui est parfait.

à l’instant, azad2B a dit :

Ce n'est pas tout à fait exact ! Et je dirais même que c'est totalement faux. Au sens stricte selon sa définition  l'exponentielle est une fonction A Exp f(x) est une fonction continue, croissante ou décroissante, qui pour tout f(x) est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 quand f(x) = 0.

Lorsque l'on a affaire à un phénomène physique réel, il est évident que la cette définition même interdit l' existence d'une loi physique qui serait réellement exponentielle, car cela conduirai à ce qu'une des limites tende vers l' infini (impossible en physique) Il s'ensuit que tout phénomène dont l' étude se ramènerait à une équation exponentielle théorique serait en réalité  une fonction exponentielle impure telle que f(x) ne soit pas linéaire ce fait apparaître une asymptote (horizontale ou inclinée) dans la courbe A Exp f(x) et aussi un point d'inflexion ( signalé par Hérisson ) dans cette courbe.

Je vois que Répy a d'ailleurs modéré son texte en ce sens, ce qui est parfait.

Tu fais des finasseries sur les limites de la courbe. La situation de la France n'est pas aux finasseries tout à fait légitimes en cours de math !

il y a 1 minute, Répy a dit :

Tu fais des finasseries sur les limites de la courbe. La situation de la France n'est pas aux finasseries tout à fait légitimes en cours de math !

Je te rappelle le titre du sujet : Les Mathématiques du coronavirus.

il y a 4 minutes, azad2B a dit :

Ce n'est pas tout à fait exact ! Et je dirais même que c'est totalement faux. Au sens stricte selon sa définition  l'exponentielle est une fonction A Exp f(x) est une fonction continue, croissante ou décroissante, qui pour tout f(x) est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 quand f(x) = 0.

Lorsque l'on a affaire à un phénomène physique réel, il est évident que la cette définition même interdit l' existence d'une loi physique qui serait réellement exponentielle, car cela conduirai à ce qu'une des limites tende vers l' infini (impossible en physique) Il s'ensuit que tout phénomène dont l' étude se ramènerait à une équation exponentielle théorique serait en réalité  une fonction exponentielle impure telle que f(x) ne soit pas linéaire ce fait apparaître une asymptote (horizontale ou inclinée) dans la courbe A Exp f(x) et aussi un point d'inflexion ( signalé par Hérisson ) dans cette courbe. Car une exponentielle "parfaite" n'a pas de point d'inflexion.

Je vois que Répy a d'ailleurs modéré son texte en ce sens, ce qui est parfait.

Hum la première moitié d'une sigmoïde est bien loin d'une exponentielle ne serait-ce parce que la pente max est capée (alors qu'avec l'exponentielle ça n'en finit pas).

Ce qui ressemble à l'exponentielle c'est la première moitié de la première moitié de la sigmoïde.

Et j'ai la flemme de triturer les équations pour démontrer que ce que je dis de façon intuitive est formellement vrai. 

il y a 2 minutes, azad2B a dit :

Je te rappelle le titre du sujet : Les Mathématiques du coronavirus.

Alors nous avons une maladie sans faux négatif et alors qu'il n'y a que 1% de faux positif parmi la population totale, un médecin généraliste apprend que le test le dit positif. Sachant que 1% de la population est atteinte à ce stade de l'épidémie :

Quelle est sa probabilité d'être vraiment malade ? 

(je m'en lasse pas).

il y a 3 minutes, Condorcet a dit :

Et j'ai la flemme de triturer les équations pour démontrer que ce que je dis de façon intuitive est formellement vrai. 

Et cela tombe bien parce que la sigmoïde n'est pas une exponentielle ! Le terme contenant l' exponentielle apparaît au dénominateur de la fonction e qui entraîne l'apparition d'une asymptote d' équation y = 1 et un point d'inflexion en x = 0

Donc ta flemme est providentielle.

il y a 7 minutes, azad2B a dit :

Et cela tombe bien parce que la sigmoïde n'est pas une exponentielle ! Le terme contenant l' exponentielle apparaît au dénominateur de la fonction e qui entraîne l'apparition d'une asymptote d' équation y = 1 et un point d'inflexion en x = 0

Donc ta flemme est providentielle.

En effet, ta contribution est dénuée d'intérêt car le seul propos intéressant que tu ne sembles pas avoir compris est : à quel point une exponentiel et le début d'une sigmoïde sont de même nature (ou proches tout du moins).

il y a 7 minutes, Condorcet a dit :

(ou proches tout du moins).

Hé oui, un ovoïde, c'est une ellipse, et une ellipse, c'est deux paraboles collées entre-elles....

Ta conception des maths est très particulière en effet. . Mieux vaut arrêter là: tu vas te ridiculiser et je n'aime pas çà quand ce n'est pas moi qui l' ai cherché. A une prochaine fois.

il y a 4 minutes, azad2B a dit :

Hé oui, un ovoïde, c'est une ellipse, et une ellipse, c'est deux paraboles collées entre-elles....

Ta conception des maths est très particulière en effet. . Mieux vaut arrêter là: tu vas te ridiculiser et je n'aime pas çà quand ce n'est pas moi qui l' ai cherché. A une prochaine fois.

C'est pas toi qui au sujet d'une discussion au sujet des rayonnements tenait des propos qui n'avaient pas le niveau bac ?

Pour ce qui est de ma conception des maths, c'est ce qui m'a parmi de réussir les concours des grandes écoles vu que j'étais feignant sur les matières dites secondaires. A part ça je fais des maths appliqués depuis très longtemps. En dernier lieu je ne vois pas ce qu'à de ridicule à trouver que le tracé d'une exponentielle ressemble visuellement à celui d'une sigmoïde au début.

Le fait est que tu ne traites pas des questions posées.

il y a 2 minutes, Condorcet a dit :

C'est pas toi qui au sujet d'une discussion au sujet des rayonnement tenait des propos qui n'avaient pas le niveau bac ?

Ha oui ? Et en rayonnement en plus ! Pourrais-tu indiquer le lien, je retirerais publiquement ce que j'ai pu dire à ton encontre. Juré !

il y a 1 minute, azad2B a dit :

Ha oui ? Et en rayonnement en plus ! Pourrais-tu indiquer le lien, je retirerais publiquement ce que j'ai pu dire à ton encontre. Juré !

Rien à mon encontre, quel rapport ?

Tu me semble jeune pour avoir des problèmes de mémoire. 

Ceci dit et je me répète, je n'ai rien fait d'autre que dire que le début d'une sigmoïde ressemble à une exponentielle. C'est quoi le problème que ça te pose ?

aucun : sauf que le mot "ressemble" ne fait pas partie du langage des mathématiques. Sauf peut-être dans celles que tu as étudiées pour tes concours d' entrées aux Grandes Ecoles et qui usent été plus profitables si elles t ' avaient permis.... d' en sortir 

il y a 5 minutes, azad2B a dit :

Ha oui ? Et en rayonnement en plus ! Pourrais-tu indiquer le lien, je retirerais publiquement ce que j'ai pu dire à ton encontre. Juré !

Alors ça c'est vraiment idiot. S'il est fondé que tu m'alpagues sur un truc erroné que je viens de dire, je ne vois pas en quoi tu devrait le retirer parce que par ailleurs j'aurais trouvé une erreur proférée de ta part.

C'est complètement débile.

Messieurs ( Azad et Condorcet) seriez vous infectés par le corona machin pour vous étriper pour des choses sans importance au regard des conséquences humaines, sanitaires, sociales et économiques de cette pandémie ?

Tout est parti des propositions de mise en équation d'une pandémie.

A première vue c'est du type d'équation exponentielle. Mais avec les données de terrain, l'équation est différente de la belle exponentielle y = a e^bt. Les populations ne sont pas homogènes, ne subissent pas la contagion de la même façon ni en même temps et enfin tout dépend des facteurs "contraignants" imposés à la propagation du virus.

De plus le cas de la France est sigulier pour plusieurs raisons :

- le rassemblement religieux du haut Rhin qui a contaminé le grand est

- le match de foot avec 3000 suporters italiens : contamination de Rhone-Alpes

- le retour des français de Chine par des militaires et personne a été contrôlé  cf l'Oise.

Tout ce beau monde a communiqué plus ou moins avec la région parisienne, région où tout le monde s'embrasse sans savoir pourquoi et où on circule dans des métros bondés.

 enfin dispersion d'une partie des parisiens dans les régions de leur résidence secondaire.

Cependant, il va falloir redouter la seconde vague qui va accompagner le relèvement du confinement. Le virus va retrouver un terrain presque vierge et "sans méfiance" sauf si on maintient les distances, les désinfections systématiques et surtout les masques.

@Répy tu as tout à fait raison. Mon intervention est due au fait que Hérisson a rappelé, fort innocemment et sans arrières pensées, la définition de l' exponentielle. Sur quoi, l'autre illuminé a embrayé sur le fait qu'une courbe pouvait "ressembler" à une autre courbe d' équation toute différente, puis c'est mis à mentir en m'inventant des erreurs (chose que j'assume entièrement si l'accusation est fondée) dans un post concernant "les rayonnements" et puis il part maintenant tous azimuts en nous racontant des exploits à des Concours et une carrière scientifique à humilier un Prix Nobel. Bref, il part en couilles et n' arrête pas de me relancer. Un comme çà, mieux vaudrait qu'il se déconfine pour de bon : une fois entubé, on la ferme et ça fait du bien aux autres.

Le 14/04/2020 à 15:29, Hérisson_ a dit :

Bonjour,

Lorsqu’une épidémie se développe dans une région dont les frontières sont fermées, la variation au cours du temps du nombre de cas cumulés de personnes contaminées est représentée par une portion de courbe sigmoïde, qui présente un point d’inflexion (I) en lequel la pente du graphe est maximale : c’est le pic de l’épidémie, attendu avec appréhension par chacune des nations concernées, caractérisé un maximum de la dérivée première et l’annulation de la dérivée seconde.

 

Les données relatives à la France ont été ici collectées depuis le 1^er mars, et traitées pour en tirer les valeurs moyennes, ainsi que celles des deux premières dérivées.

 

Si le graphe (tracé en rouge) du nombre de cas cumulés présente approximativement la forme attendue, celui de la première dérivée (en jaune) a un aspect plus complexe, avec non pas un seul mais plusieurs extremums ; la dérivée seconde, quant à elle, change plusieurs fois de signe.

 

Les écarts observés par rapport aux courbes idéales ont essentiellement deux origines :

a) l’épidémie se répand simultanément dans plusieurs régions très inégalement atteintes, et à des vitesses très différentes ;

b) la contagion est bridée depuis la mi-mars par des mesures de confinement drastiques, et imposées d’une manière de plus en plus stricte.

Il semble cependant (et c'est l'essentiel) que le plus dur de l'épidémie soit derrière nous.

Vous trouverez les données exploitées – et bien d’autres – sur les sites suivants :

https://www.gouvernement.fr/info-coronavirus/carte-et-donnees

https://www.lemonde.fr/les-decodeurs/article/2020/04/03/coronavirus-visualisez-la-surmortalite-en-france-par-departement-depuis-le-1er-mars_6035485_4355770.html

https://coronavirus.jhu.edu/map.html

 

Merci @Hérisson_de nous avoir orienté vers la sigmoïde qui est bien la courbe qui décrit une épidémie en milieu fermé qu'on laisserait faire.

https://www.techno-science.net/definition/4936.html l'explique très bien au paragraphe Interprétation générale concrète

En situation réelle , se produisent tous les phénomènes que tu évoques, en outre les chiffres journaliers ne sont pas exacts, les décès du week-end sont probablement décomptés tardivement car il est peu probable que les malheureux malades attendent le lundi pour périr. Les dispositions prises viennent fort heureusement modifier la sigmoïde. On pourrait sans doute avoir quelqntue chose de nettement  plus proche du réel en considérant une sigmoïde dont le coefficient lambda serait modifié en fonction des décisions gouvernementales: une première valeur avant mesures barrière, une deuxième valeur avec les mesures barrière, une troisième valeur correspondant au confinement et une quatrième valeur correspondant au déconfinement

il y a 38 minutes, Répy a dit :

Cependant, il va falloir redouter la seconde vague qui va accompagner le relèvement du confinement. Le virus va retrouver un terrain presque vierge et "sans méfiance" sauf si on maintient les distances, les désinfections systématiques et surtout les masques.

La seconde vague va aussi beaucoup se jouer sur la corrélation entre nombre de contaminés et nombre de morts.

On peut compatir au sort des marins du Charles de Gaulle et reconnaître en même temps qu'il nous donne une opportunité d'en savoir beaucoup plus sur les conséquences sanitaires du virus pour une population pas trop âgée qu'on peut supposer en bonne santé.

Il reste l'espoir que si les personnes vulnérables au virus se protègent la deuxième vague soit peu meurtrière.

Tiens, tes rayonnement :

Le 29/11/2019 à 13:02, azad2B a dit :

Tu as raison, j'ai parlé de "fréquences" en jeu, j'aurais dû parler en terme d' énergie transportée. Qu'ils soient alpha, béta ou gamma tous ces rayons sont de nature électromagnétiques, on a tendance à les attacher à des particules plus ou moins lourdes, donc plus ou moins énergétiques. Cette habitude vient de l' état de la physique du début du 20 ème siècle.

Alpha et béta sont de nature électromagnétiques.

Mais oui mais oui, t'as raison. 

Plus crétin tu meurs.

Désolée, je n'ai pas lu tout le fil.

Quelqu'un peut-il me dire si les spécialistes, à partir du nombre de contaminés connus, du taux de contamination, etc, ont fait une estimation du nombre total de contaminés ? 

Je voudrais savoir à combien on est loin de l'immunité collective. Non parce que le nombre ce contaminés connu, ça fait pas tripette, et ça fait peur, à l'idée, chiffre au hasard, qu'il n'y ait qu'un ou deux millions de contaminés.