Notation à reprendre dans le texte précédent, concernant la constante de contamination

u_{n + 1} – u_n = K_cont(u_{n - 5} – u_{n - 15})

N₀.e^{m(k + 1)} - N₀.e^mk = K_cont(N₀.e^{m(k - 5)} - N₀.e^{m(k – 15)})

on en tire : K_cont = e^5m( ...) = 0.91

# La linéarité de la relation fonctionnelle:

u_{n + 1} – u_n = K_cont(u_{n - 5} – u_{n - 15})

a pour conséquence que toute combinaison linéaire

u_n = λ.v_n + μ.w_n

exprimée à partir de deux solutions particulières (v_n, w_n) est elle aussi solution de la même équation - cela se vérifie très facilement.

# On peut envisager comme autre solution particulière une fonction affine, de la forme:

u_n = a + b.n ;

l'injection de cette expression dans la relation fonctionnelle conduit à l'équation:

b.(10K_cont - 1) = 0 ,

et fait apparaître deux possibilités:
a) K_cont= 1/10 - les termes (a) et (b) dépendant alors des conditions initiales;
b) b = 0 , ce qui ramène la solution à une constante u_k = a , solution triviale dépourvue d'intérêt.

# Rien n'interdit enfin de recourir aux exponentielles complexes, et de reprendre l'expression de la constante réelle:

K = e^5m(e^m – 1)/(1 – e^-10m)

en posant m = i.φ ;
il vient alors un résultat d'un simplicité déconcertante: Sin(5φ) = 0
dont je n'ai pas exploré les conséquences.
Ces solutions périodiques pourraient expliquer les oscillations que présente la vitesse de propagation; la prudence s'impose cependant, car il pourrait s'agir d'un fait illusoire lié à la trop grande simplicité du modèle (et au rapport entier intervenant entre les bornes de la période de contamination: 15/5 = 3 , PGCD(5, 15) = 5).

Ci-dessous le graphe (mis à jour le 27/04) des variations du nombre de cas cumulés (en rouge) et de la vitesse de contamination (en jaune); il confirme la présence d'oscillations dont la période est de l'ordre de 7 jours ... Les fugueurs du week-end réactiveraient-ils la contagion ?

Pour évaluer l'effet du confinement sur l'évolution de l'épidémie, il faut envisager une constante de contamination (K_cont) dépendant du temps.
Nous nous limiterons au cas de la France et supposerons que la grandeur considérée:
a) présente jusqu'au 17 mars inclus une valeur fixe (K_ini) correspondant à l'expansion libre de la contagion,
b) prend dès le lendemain (le 18, date d'entrée en vigueur du confinement) une valeur plus faible (K₁), elle aussi constante.
On supposera de plus que le nombre de cas détectés dans la phase initiale d'expansion (0 < x < 18) suit une loi exponentielle de la forme:

Ncas = A*B^x ;

et retiendra les moyennes entières approchées résultant d'une régression semi-logarithmique sur les données officielles relatives aux 17 premiers jours de mars;
la tambouille numérique, incontournable mais dépourvue d'intérêt, a été déléguée à la calculatrice; on trouve ainsi, à partir de la relation

Ln(Ncas[x]) = a + b.x :
a = 4.766 949 355 1408 ; A = Exp(a) = 117.560 060 377 67 ;
b = 0.260 409 300 8936 ; B = Exp(b) = 1.297 461 029 966 ;
K = E(5b)(E(b) - 1)/(1 - E(-10b)) = 1.181 072 956 4867 ,

et pour la déclaration des constantes

CONST NtotJ = 60; Jlim = 17; Kini = 1.1810729564867; K1 = 0.0; // valeur modifiable
 TYPE Tab_E = ARRAY[1..NtotJ] OF Z_32;     // Z_32 = LongInt

 CONST LstIni: ARRAY[1..Jlim] OF Z_32 =
// mars 1      2      3      4      5      6      7      8      9     10
   (  153,   198,   257,   333,   432,   561,   728,   944,  1225,  1589,
     2062,  2675,  3471,  4504,  5844,  7582,  9837);

C'est à partir du 18me jour qu'intervient une forme généralisée de la relation fonctionnelle évoquée dans les précédents messages; l'augmentation observée du jour actuel par rapport à la veille du nombre de personnes contaminées est désormais donnée par la somme de 10 termes proportionnels au nombres de cas apparus 5 à 15 jours auparavant, soit:

N_k - N_{k - 1} = Σ_i=5¹⁵(Kcont(K1, k - i - 1)*(N_{k - i - 1} - N_{k - i - 2}) ;

La progression de l'épidémie à partir de la même séquence initiale (sur les 17 premiers jours) a été calculée et représentée sur 60 jours dans deux cas particuliers:
a) celui du confinement idéal et absolu, caractérisé par un taux de contamination nul (K1 = 0);
b) celui correspondant à une progression linéaire de l'épidémie, et une constante de contamination K1 = 1/10 (voir le message précédent); chaque personne atteinte en contaminant en moyenne une autre sur toute sa période contagieuse.

Voici les graphiques correspondants
a) au confinement absolu:

remarquer que le pic de l'épidémie arrive 5 jours après le début du confinement, et que le nombre de cas est presque triplé sur cet intervalle; le caractère ravageur de l'épidémie est bien lié à la période d'incubation silencieuse, au cours de laquelle la personne a transmis la maladie;

b) à la progression quasi-linéaire: le graphe (rouge) des variations du nombre de cas se confond alors pratiquement avec une droite.

Le tracé d'un faisceau de graphes permet de mieux comprendre l'évolution temporelle du nombre de personnes contaminées (N_cas) et de la vitesse de propagation de la maladie pour diverses valeurs de la constante de contamination (K_cont).

Celles-ci restent relativement faibles, car elle correspondent une évolution modérée et maîtrisée de l'épidémie, dont il est hors de question d'envisager l'extension à toute la population; le nombre total de cas détectés reste limité

(N_cas ≤ 500E³ env.)

pour que l'équation de propagation reste valide.

On envisage donc pour la constante de contamination une série de nouvelles valeurs inérieures à la valeur initiale:

K₁ = C_f * K_ini

comme le définit l'extrait suivant du programme source

PROCEDURE Calc_Mat_Im2(La, Ha: Z_32; VAR K_1: Reel; VAR Ma1, Ma2: Tab_Pix);

CONST Nmax = 8;

Cf: ARRAY[0..Nmax] OF Reel

= (0.00, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12);

VAR k: Byte; Xm, Ym: Z_32;

BEGIN

ZeroM(Matrice_2);

Axes_Grad(Xcen, Ycen, Larg_Image, Haut_Image);

FOR k:= 0 TO Nmax DO BEGIN

K_1:= Kini * Cf[k]; P0;

TraceG1(k/Nmax, 0, Nval - 1, Haut_Image, LstN1);

// TraceG2(k/Nmax, 1, Nval - 1, Haut_Image, LstV1);

END

END;

On retrouve parmi les 9 cas représentés celui du confinement total (K₁ = 0) et celui du régime quasi-linéaire:

K₁ = 0.08 * K_ini = 0.08 * 1.181073 = 0.0944858 ~ 0.1 .

On constate
a) que le contrôle de l'épidémie implique une réduction de la constante de contamination à un niveau suffisamment faible:

K₁ <~ 0.8 * K_ini ,

conformément à l'intuition, et
b) que la vitesse de propagation présente des rebonds intrinsèques, indépendants de toute entorse illégitime aux règles de confinement.

La géométrie, une alliée dans la recherche de médicaments contre le SARS-CoV-2

Un nouveau modèle mathématique identifie les zones des protéines du nouveau coronavirus particulièrement vulnérables à d’éventuels traitements.

Michael Dhar ( 25 mai 2020)

Lorsqu’un virus infecte vos cellules, il modifie votre organisme. Mais pour ce faire, l’agent pathogène, et plus particulièrement certains de ses constituants, change aussi de forme. Un nouveau modèle mathématique repère les régions des protéines virales qui permettent ce changement de forme, révélant une nouvelle façon d’identifier des cibles potentielles pour des médicaments et des vaccins. Cette approche mathématique inédite a été appliquée avec le SARS-CoV-2.

https://www.pourlascience.fr/sr/covid-19/la-geometrie-une-alliee-dans-la-recherche-de-medicaments-contre-le-sars-cov-2-19505.php?from=EMA20STD&utm_source=email&utm_medium=email&utm_campaign=nl_pls_covid19_N13