une théorie qui affirme sa propre consistance, est-elle consistante ?

Salut,

une théorie qui affirme sa propre consistance, est-elle consistante ?

Cordialement.

il y a 2 minutes, contrexemple a dit :

une théorie qui affirme sa propre consistance, est-elle consistante ?

La théorie : tous les cygnes sont blancs et certains ne sont pas noirs est cohérente. 

Il ne suffit pas d'affirmer que ma théorie est cohérente pour qu'elle le soit. Ou alors, n'importe quel tissu d'âneries peut devenir, par la magie du verbe, cohérent. 

il y a 3 minutes, Ooo a dit :

Ou alors, n'importe quel tissu d'âneries peut devenir, par la magie du verbe, cohérent. 

Comme ceci : 

 

Le 09/01/2020 à 14:50, Spontzy a dit :

Si ZFC est consistante, alors ZFC et l’axiome supplémentaire (qui dit qu’il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC) est également consistante !

Si ma théorie est cohérente, j'en ai la démonstration. Il s'ensuit logiquement que dire le contraire est possible mais faux. Poser un axiome qui dit que telle ou telle théorie est cohérente n'a pas de sens pour moi.

il y a 12 minutes, Ooo a dit :

Poser un axiome qui dit que telle ou telle théorie est cohérente n'a pas de sens pour moi.

Pourquoi ?

Pourtant, c'est simple partout où tu aurais repéré des contradictions, par hypothèse elle ne serait qu'apparente (des paradoxes), alors à toi de faire preuve de suffisamment d'imagination pour les levés.

C'est exactement comme cela que marche la logique, en effet chaque fois quelle a été confronté à des contradictions, elle a élargie sa perception pour n'en faire que des paradoxes (cf celui du menteur, du bateau de Thésée...) 

un axiome porte sur une affirmation générale que l'on ne peut pas démontrer et que l'on s'accorde pour en déduire une suite de manière cohérente. La cohérence est ce qui cherchée. Si tu poses que la cohérence est le fruit d'une décision arbitraire tu n'as plus besoin de démonstration ni d'axiomes. N'importe quel délire incohérent devient cohérent et n'importe quelle théorie cohérente devient incohérente. Tu détruis toute la logique. Cela n'a aucun sens de faire cela. Cela ne peut déboucher que sur la nuit où tous les chats sont gris. Maintenant, je dis cela sans démonstration. Une simple intuition vague et non fondée. 

il y a 27 minutes, Ooo a dit :

N'importe quel délire incohérent devient cohérent et n'importe quelle théorie cohérente devient incohérente.

Mais non, tu n'auras pas plusieurs générations de savants, pour réfléchir sur les "contradictions" d'un fou, par contre, tu mobiliseras facilement cela, dans le cas des divers contradictions qu'à connu la logique, que les savants on finit par rendre, des gentils paradoxes. 

 

PS : dire d' une théorie quelle est logique, n'est rien d'autre qu'elle est consistante, ainsi l'hypothèse de la consistance de la logique est "caché", dans le sens commun donnait au mot logique : la logique est logique = la logique est consistante.

il y a 48 minutes, contrexemple a dit :

tu mobiliseras facilement cela, dans le cas des divers contradictions qu'à connu la logique, que les savants on finit par rendre, des gentils paradoxes.

l'avenir le dira. Est-ce que cette nouveauté est récente et de quel logicien provient-elle?

Il y a 10 heures, contrexemple a dit :

Salut,

une théorie qui affirme sa propre consistance, est-elle consistante ?

Cordialement.

Hello

Le second theorème d'incomplétude démontre qu'aucune théorie consistante qui contient un certain degré de complexité arithmétique ne peut démontrer sa propre consistance.

On peut en revanche démontrer l'inconsistance d'une théorie a partir de ses principes.

@Spontzy n'evoque pas précisément ce point.

Il dit : SI ZFC est consistante (postulat)

Et si on ajoute a ZFC un axiome qui dit qu'il existe une preuve de son inconsistance dans zfc

Alors ZFC reste consistante 

On en a débattu, sémantiquement, s'il existe une démonstration de l'inconsistance d'une théorie alors évidemment la théorie est ... inconsistante 

Ce qui va a l'encontre de son énoncé

Mais on parle de ZFC qui est le socle des mathématiques 

Et si tu considères ce fait que la preuve de son inconsistance est peut-être indecidable.

Alors tu peux logiquement créer 2 théories alternatives consistantes ZFC + axiome de la preuve de sa Consistance ET ZFC consistante + axiome de son inconsistance 

Dans tous les cas, la preuve d'une inconsistance qui ne repère pas a partir de quoi une chose et son contraire peuvent être démontrés...ne permet pas...de le faire...

On est alors sur un jeu formel purement logique dont la signification est peu profonde contrairement à l'énoncé initial qui choque.

La preuve

Il y a 5 heures, zenalpha a dit :

Mais on parle de ZFC qui est le socle des mathématiques 

Ah d'accord,  je croyais que c'était un club de foot, j'ai dû confondre avec FC Barcelone.
 

S'lut.

Le 14/01/2020 à 07:05, zenalpha a dit :

On en a débattu, sémantiquement, s'il existe une démonstration de l'inconsistance d'une théorie alors évidemment la théorie est ... inconsistante 

Ce n'est pas ce que je disais.

L'existence d'une preuve d'inconsistance est une implication de la consistance.

"consistance" ==> "existence d'une preuve d'inconsistance".

C'est toute la beauté. Il faut donc trouver une explication, si elle existe, à ce que l'existence d'une preuve ne soit pas suffisante pour "être".

 

il y a 32 minutes, Spontzy a dit :

S'lut.

Ce n'est pas ce que je disais.

L'existence d'une preuve d'inconsistance est une implication de la consistance.

"consistance" ==> "existence d'une preuve d'inconsistance".

C'est toute la beauté. Il faut donc trouver une explication, si elle existe, à ce que l'existence d'une preuve ne soit pas suffisante pour "être".

Hello

De ce point de vue, et formulé comme tu viens de le faire, je ne suis pas convaincu.

Que dit Gödel ?

Qu'il est impossible de démontrer la consistance d'une théorie... à l'intérieur de ses propres principes.

Mais bien évidemment, il est possible de démontrer l'inconsistance d'une théorie à l'intérieur de ses propres principes.

Et dans ce cas, la théorie est simplement inconsistante.

Je reprends tes deux formulations :

"l'existence d'une preuve d'inconsistance est une implication de la consistance"

Non. la seule implication de la consistance d'une théorie complexe est qu'elle ne peut démontrer sa propre consistance.

En revanche, si il existe une preuve de l'inconsistance en utilisant ses principes, alors elle est simplement inconsistante

Heureusement sinon on ne pourrait jamais prouver l'inconsistance d'une théorie...

Ton problème me semble t'il est le suivant.

Tu décrètes la théorie consistante (donc....elle l'est) et... dans le même temps, tu dis que ça implique l'existence d'une preuve de son inconsistance.

Non, selon moi, si une théorie est potentiellement consistante alors, il n'est pas possible de démontrer sa consistance au sein de ses principes, c'est donc un indecidable, ce qui laisse concrètement uniquement des chances de démontrer son inconsistance et ce qui ne permet pas de la postuler consistante.

"Consistance => existence d'une preuve de son inconsistance"

Non.

Une théorie consistante implique l'impossibilité de le démontrer au sein de la théorie (on peut le faire dans une méta théorie) et ça implique que ZFC ne disposant pas de meta théorie, il reste impossible de démontrer sa consistance et que potentiellement ne peut y être que démontré son inconsistance si elle l'était 

Mais si tu postules zfc consistante alors ne peut exister une preuve de son inconsistance donc rajouter cet axiome va a l'encontre de ton postulat (zfc consistante)

Il y a 3 heures, zenalpha a dit :

Non. la seule implication de la consistance d'une théorie complexe est qu'elle ne peut démontrer sa propre consistance. 

En revanche, si il existe une preuve de l'inconsistance en utilisant ses principes, alors elle est simplement inconsistante

En fait, c'est un corolaire de Godel (2nd théorème de l'incomplétude) :

 

Si preuve de consistance => inconsistance (en fait : Si preuve de consistante => G est vrai => inconsistance)

Je prends la c

ontraposée :

non(inconsistance) => non (preuve de consistance)

ce qui équivaut directement à consistance => pas de preuve de consistance

 

Or, la preuve de la consistance, ça s’écrit ꓯn ¬ (n prouve 0=1)

Pas de preuve de consistance, ça s’écrit : ¬ (ꓯn ¬ (n prouve 0=1)) soit ⱻn (n prouve 0=1)

 

On a donc bien la consistance (hypothèse) qui implique formellement qu'il existe une preuve d'inconsistance.

J'avais du voir ça dans un épisode de Lê (science 4 all). Mais je ne suis plus sûr.

 

De ce que j'ai lu depuis, le débat (ça semble être ouvert) porte sur le fait que cette preuve qui "existe" n'est pas forcément accessible.

 

 

 

il y a une heure, Spontzy a dit :

En fait, c'est un corolaire de Godel (2nd théorème de l'incomplétude) :

Si preuve de consistance => inconsistance (en fait : Si preuve de consistante => G est vrai => inconsistance)

Je prends la contraposée :

non(inconsistance) => non (preuve de consistance)

ce qui équivaut directement à consistance => pas de preuve de consistance

Or, la preuve de la consistance, ça s’écrit ꓯn ¬ (n prouve 0=1)

Pas de preuve de consistance, ça s’écrit : ¬ (ꓯn ¬ (n prouve 0=1)) soit ⱻn (n prouve 0=1)

On a donc bien la consistance (hypothèse) qui implique formellement qu'il existe une preuve d'inconsistance.

J'avais du voir ça dans un épisode de Lê (science 4 all). Mais je ne suis plus sûr.

De ce que j'ai lu depuis, le débat (ça semble être ouvert) porte sur le fait que cette preuve qui "existe" n'est pas forcément accessible.

Hello

J'ai toujours un peu de mal

L 'énoncé G de Gödel se lit "G est démontrable si et seulement si G est faux"

Soit G est vrai et et donc il est indemontrable (incomplétude). On aborde pas le problème de consistance.

Soit G est faux et donc il est démontrable (inconsistance)

Et fort justement, cette merveilleuse astuce de Gödel débouche sur G est vrai

Et donc toute théorie axiomatiquement récursive a haut degré de complexité contient a minima une proposition vraie indémontrable.

C'est le premier théorème 

Tu ecris "si preuve de consistance => inconsistance"

Mais justement, la preuve de la consistance est impossible à l'intérieur des principes d'une théorie complexe (second theorème)

Donc d'ou vient cette relation ?

Selon moi, la consistance implique...l'incomplétude et non...l'inconsistance 

Oui, je serai intéressé par une présentation de ce problème que tu abordes.

Mais pour le coup, j'ai pas réussi à adhérer 

++ @Spontzy

Il y a 17 heures, zenalpha a dit :

L 'énoncé G de Gödel se lit "G est démontrable si et seulement si G est faux"

Soit G est vrai et et donc il est indemontrable (incomplétude). On aborde pas le problème de consistance.

Soit G est faux et donc il est démontrable (inconsistance) 

C'est une manière de présenter. Pas la mienne. Je ferai comme ça :

Premier théorème : l'énoncé de Godel est : G est défini comme "il n'existe pas de preuve de G". Puis, Godel démontre que si la théorie est cohérente, on ne peut pas prouver ni G ni le contraire de G. Donc il existe au moins une formule non démontrable dans la théorie.

 

Second théorème : il n'y a pas de preuve de la consistance de la théorie dans la théorie.

Un énoncé exact (on peut en trouver plein) : Si T est une théorie du premier ordre cohérente, récursivement axiomatisable et contenant l’arithmétique de Peano (PA), alors la formule « ConsT » (qui dans le langage de T exprime la cohérence de la théorie T ) n’est pas une conséquence des axiomes de T.

On a donc directement : si preuve de Cons(T), alors inconsistance (car Cons(T) n'est pas déductible des axiomes = improuvable). C'est vraiment une tautologie. Et à partir de là, le reste n'est que manipulation syntaxique.

 

Pour des liens explicatifs (par exemple, c'est de là que vient le second théorème tel que je l'ai cité), je trouve l'article de Alexandre Miquel très "lisible" (tout est relatif, hein !) : http://perso.ens-lyon.fr/natacha.portier/enseign/logique/GoedelParAlex.pdf

Par contre, je ne retrouve plus la vidéo d'origine qui m'avait présenté le sujet.

 

A+

 

 

 

Il y a 3 heures, Spontzy a dit :

C'est une manière de présenter. Pas la mienne. Je ferai comme ça :

Premier théorème : l'énoncé de Godel est : G est défini comme "il n'existe pas de preuve de G". Puis, Godel démontre que si la théorie est cohérente, on ne peut pas prouver ni G ni le contraire de G. Donc il existe au moins une formule non démontrable dans la théorie.

 

Second théorème : il n'y a pas de preuve de la consistance de la théorie dans la théorie.

Un énoncé exact (on peut en trouver plein) : Si T est une théorie du premier ordre cohérente, récursivement axiomatisable et contenant l’arithmétique de Peano (PA), alors la formule « ConsT » (qui dans le langage de T exprime la cohérence de la théorie T ) n’est pas une conséquence des axiomes de T.

On a donc directement : si preuve de Cons(T), alors inconsistance (car Cons(T) n'est pas déductible des axiomes = improuvable). C'est vraiment une tautologie. Et à partir de là, le reste n'est que manipulation syntaxique.

Pour des liens explicatifs (par exemple, c'est de là que vient le second théorème tel que je l'ai cité), je trouve l'article de Alexandre Miquel très "lisible" (tout est relatif, hein !) : http://perso.ens-lyon.fr/natacha.portier/enseign/logique/GoedelParAlex.pdf

Par contre, je ne retrouve plus la vidéo d'origine qui m'avait présenté le sujet.

A+

Merci, j'irai voir le lien mais ici, j'ai bien compris le raisonnement.

Cette formulation de départ est différente de la formulation initiale, les mécanismes qui mènent de ce point de départ à la formulation finale me restent obscurs.

En gros, ce qui est dit ici, c'est que comme la consistance d'une théorie T n'est pas démontrable au sein de l'axiomatique de T, 

Alors

Si une théorie T est présentée comme étant consistante, ça implique forcément que la preuve éventuelle de cette consistance ... soit... inconsistante.

Mais selon moi il y a des confusions.

Dire qu'une preuve démontre une inconsistance, celà signifie que la démonstration est... juste .... et qu'on est donc bien en face....d'une ... preuve...et donc que la théorie est ... inconsistante 

Or je pense qu'il y a un jeu logique basé sur une erreur.

A savoir à la fois postuler la cohérence de la théorie (on peut faire ce postulat), et postuler une PREUVE de son inconsistance.

En fait, si il y a une réelle preuve d'inconsistance, alors....la théorie est évidemment ... inconsistante...sinon ce n'est pas une preuve...

Et le "jeu de logique" exploite l'indecidabilité de la preuve de la... consistance (et non de l'inconsistance) pour appliquer une contraposée appliquée sur l'inconsistance 

Hors ce n'est pas parce que la preuve de la consistance est indecidable que la preuve de l'inconsistance est indecidable...

Si on a une preuve de l'inconsistance alors c'est ... inconsistant

Et heureusement sinon on ne saurait pas en arrivant a la conclusion que 1 = 0 par démonstration logique que....c'est faux.

Le 13/01/2020 à 21:17, contrexemple a dit :

Salut,

une théorie qui affirme sa propre consistance, est-elle consistante ?

Cordialement.

Bonjour,

Il existe, en logique formelle, un célèbre paradoxe :

« Cette phrase est fausse ».

Si cette phrase est vraie, alors cela signifie qu’elle est fausse.

Mais si elle est fausse, alors cela signifie qu’elle est vraie.

Etc…

Une proposition peut-elle traiter de sa propre valeur de vérité ?

En cela, on peut décomposer ce paradoxe en deux propositions :

A : « La phrase B est vraie. »

B : « La phrase A est fausse. »

La contradiction demeure nécessaire, et le paradoxe ne change pas.

 

La résolution de ce paradoxe réside dans la hiérarchisation des niveaux de langage :

Une proposition qui traite de la valeur de vérité d’une autre ne peut pas faire l’objet d’un procès en vérité de sa part.

 

Néanmoins, il existe en logique sémantique un phénomène rétroactif que l’on nomme la récursivité.

En quoi consiste-t-elle ?

Elle consiste en une auto-référence macroscopique de sa valeur de vérité ou de cognition.

Imaginez un extra-terrestre qui découvrirait un dictionnaire français sur le sol martien.

Comment pourrait-il comprendre cet ouvrage ?

Les mots du dictionnaire se définissent les uns les autres.

En d’autres termes, pour comprendre le dictionnaire, il faut, au préalable, comprendre le dictionnaire !!!

Les langues sont donc sémantiquement récursives, c’est-à-dire auto-référentes.

 

Or, on retrouve cette récursivité dans certaines notions.

Pourquoi le Bien est-il bien ?

Tout simplement parce que le meilleur est mieux que le pire !!!

Il est impossible de définir le Bien autrement que par lui-même.

Il est ainsi impossible de définir la notion du bien à un être qui n’en est pas pourvu.

La notion du bien ne traite pas de sa propre valeur de vérité, parce que la vérité n’est pas sa valeur essentielle, mais elle traite de sa propre valeur de vertu.

Et on pourrait en dire de même de la véracité qui traite de sa propre valeur mais pas de sa valeur de vérité.

Cordialement, Fraction

Il y a 2 heures, zenalpha a dit :

Cette formulation de départ est différente de la formulation initiale, les mécanismes qui mènent de ce point de départ à la formulation finale me restent obscurs.

Ce n'est pas volontaire de ma part.

En fait, je me rends compte que c'est impossible à creuser, comme ça, sans formaliser clairement. Le problème est qu'il faudrait, à chaque fois, préciser dans quel langage on cause. Ca devient impraticable.

Super intéressant ; mais il faudrait investir un max de temps pour creuser.