Un problème de maths

Il y a 8 heures, zebusoif a dit :

la figure en rouge est un polygone régulier; trouver x

 

 

Il est à droite de l'image dans le triangle.

il y a 8 minutes, obelix39 a dit :

Il me semble l'avoir déjà fait quelques messages plus haut ... ?

tu as prouvé graphiquement que le résultat est à peu près 30 degs, pourrais-tu prouver que le résultat est exactement 30 degs ?

il y a 2 minutes, zebusoif a dit :

tu as prouvé graphiquement que le résultat est à peu près 30 degs, pourrais-tu le prouver que le résulatat est exactement 30 degs ?

Il a appliqué les formules de trigo dans un triangle quelconque. C'est vrai que sa démonstration est pas pédagogique mais après vérification elle est juste, à une erreur de frappe près

Il y a 2 heures, obelix39 a dit :

En fait, si on ne connaît que quelques angles, c'est suffisant car on peut choisir une longueur au pif, puisque les angles restent les mêmes quelque soient les longueurs. C'est une question de proportionnalité ...

Partant de là, on peut choisir 1 comme mesure d'un des cinq côtés du pentagone. Avec deux angles et un côté, on peut résoudre le triangle en bleu sur le croquis et trouver le côté commun aux deux triangles qui nous intéressent (le triangle bleu et celui dont on doit trouver l'angle "X".

Voici les résultats (j'ai utilisé un calculateur sur internet pour ne pas m'embêter ...):

a = 1 × sin(24) ÷ sin(24 + 132)

a = 1 × sin(24) ÷ sin(156)

a = 1 × 0.4067366430758 ÷ 0.4067366430758

a = 0.55

 

c = 1 × sin(132) ÷ sin(24 + 132)

c = 1 × sin(132) ÷ sin(156)

c = 1 × 0.74314482547739 ÷ 0.4067366430758

c = 0.55

 

β = 180 − 24 − 24

β = 132°

Le côté commun aux deux triangle mesure donc 0,55. Nous avons maintenant pour résoudre le second triangle (celui dont on doit trouver l'angle X), un angle (108 - 24 = 84) et ses deux côtés adjacents. Résolvons donc ce triangle:

En connaissant 1 angle et les 2 côtés adjacents.

c = √(a² + b² − 2ab.cos(γ))

c = √(1 + 0.3025 − 0.11498130959442)

c = 1.09

α = 65.85°

β = 30.12°

 

La réponse est donc 30.12° pour l'angle X.

il y a plus simple, sans calculette !

Un indice : prouver que ABC est équilatéral (les deux triangles bleux sont identiques)

Il y a 2 heures, obelix39 a dit :

Maintenant, je vais te dire comment j'ai procédé pour obtenir très très rapidement ce résultat de 30°: J'ai pris un bout de papier qui traînait sur mon bureau et j'ai plié un des angles (90°) en trois parties égales pour fabriquer une équerre à 30°. Puis je l'ai appliquée sur l'écran de mon ordinateur pour avoir un ordre d'idée et coup de bol ou bonne intuition, ça collait pile poil! Mais ne le dis à personne ! 

Le plus simple, c'est la mesure!

C'est ce que j'ai fait en 2 mn maxi; plier un bout de papier en trois et l'appliquer sur l'écran ... 

il y a 26 minutes, obelix39 a dit :

Le plus simple, c'est la mesure!

C'est ce que j'ai fait en 2 mn maxi; plier un bout de papier en trois et l'appliquer sur l'écran ... 

Effectivement mais le résultat reste approximatif, car il n'y a pas de mesure dont la précision soit infinie. De plus les mathématiques ne sont pas une science expérimentale  

Il y a 5 heures, Frank_N a dit :

Comment est-ce que vous arrivez à 30° ? Tout ce qu'on connaît sur ce triangle c'est l'angle de 84° (108 - 24). Après, sincèrement je sèche.

Frank_N a suggéré une donnée importante, peu remarquée: l'angle au sommet d'un polygone régulier de (N) sommets vaut 180° - 360°/N

soit ici: 180 - 360/5 = 180 - 72 = 108°.

Avec le dernier tuyau fourni, la réponse devient évidente et simple (je n'avais pas pensé à la construction proposée).

Où zebusoif a-t-il trouvé son sujet ?

Oui, 108 - (2 x 24) = 60°

Il y a 6 heures, zebusoif a dit :

Effectivement mais le résultat reste approximatif, car il n'y a pas de mesure dont la précision soit infinie. De plus les mathématiques ne sont pas une science expérimentale  

Dans l'énoncé de départ, il était juste question de "trouver X", il n'y avait pas de méthode imposée ... 

Il y a 5 heures, Hérisson_ a dit :

Frank_N a suggéré une donnée importante, peu remarquée: l'angle au sommet d'un polygone régulier de (N) sommets vaut 180° - 360°/N

soit ici: 180 - 360/5 = 180 - 72 = 108°.

Avec le dernier tuyau fourni, la réponse devient évidente et simple (je n'avais pas pensé à la construction proposée).

Où zebusoif a-t-il trouvé son sujet ?

mes élèves

Il y a 8 heures, zebusoif a dit :

il y a plus simple, sans calculette !

Un indice : prouver que ABC est équilatéral (les deux triangles bleux sont identiques)

 

Effectivement, bravo pour la solution et pour celui qui a inventé ce problème piegeux.

Sinon on peut prouver l'equilateralite en calculant (comme l'a indiqué obelix) l'angle 108-24*2=60, et sachant que deux côtés sont identiques par construction, on sait que les deux angles à la base d'un triangle isocèle sont identiques, et que la somme des 3 angles fait 180.

D'où 180-60/2 = 60, ce qui montre que les angles sont tous les trois égaux à 60 degrés. Ce qui ne se voit que dans un triangle équilatéral. Etc.. Etc.. 

NB : Il reste toutefois à montrer qu'on a bien affaire à une bissectrice de l'angle du triangle équilatéral, ce qui permet de dire que x = 60 / 2 = 30.

J'ai trouvé comment mais je dirais pas, na!

Il y a 22 heures, zebusoif a dit :

On ne peut passer de l'étape 4 à l'étape 5 que en supposant que

a - b ≠ 0

C'est contradictoire avec la première ligne. 

Toutes les lignes sont justes, même la dernière. N'étant pas matheux, j'ai mis un bout de temps à comprendre. a est simplement égal à 0. C'est absurde comme truc mais j'aime bien.

C'est tout aussi absurde que la démonstration arithmétique qu'une flèche ne peut jamais atteindre sa cible. Si la flèche doit parcourir 10 mètres, il faudra qu'elle commence par en faire la moitié soit 5m. Pour parcourir les 5m qui restent, il faudra qu'elle en couvre d'abord la moitié puis la moitié de la moitié qui reste et ainsi de suite. C'est idiot mais mes compétences en maths s'arrêtent à ce niveau parce que ça me fait marrer et je trouve que c'est déjà bien.

Le 23/01/2019 à 08:15, Frank_N a dit :

Paru dans un journal d'entreprise en 1953

 

On ne peut passer de l'étape 4 à l'étape 5 que en supposant que

a - b ≠ 0

C'est contradictoire avec la première ligne. 

Comme l'a remarqué zebusoif, les deux dernières égalités sont fausses, parce qu'on n'a pas le droit de diviser par zéro (l'opération n'a dans ce cas aucun sens).

On m'avait fait connaître cette énigme au collège, dans les années cinquante ... il y a fort longtemps.

Autre curiosité assez intéressante.

Posons A=0.9999999... (une infinité de 9)

Donc :

10*A = 9+A

<=> 9*A = 9

<=> A = 1

Ce qui est contraire à notre hypothèse de départ selon laquelle A = 0.99999....

Citation

A = 1

Ce qui est contraire à notre hypothèse de départ selon laquelle A = 0.99999....

Pas du tout. Tu viens de (re)démontrer que 0.999999999... = 1 .

Et plus généralement que toute valeur comportant un nombre fini de décimales admet une double représentation: 3.518 = 3.517 999 999 999 ...

Les points de suspension indiquent (d'une façon assez désinvolte) l'intervention d'une série (somme d'un nombre infini de termes); par ex.:

A = 0.999 999 ... = 0.9*(1.111 111 ...) = 0.9*(1 + 0.1 + 0.1² + 0.1^3 + 0.1 ^4 + ...) = 0.9*S

où la somme vaut: S = 1/(1 - 0.1) = 1/0.9

ce qui donne A = 0.9/0.9 = 1 .

Il y a 6 heures, Hérisson_ a dit :

Comme l'a remarqué zebusoif, les deux dernières égalités sont fausses, parce qu'on n'a pas le droit de diviser par zéro (l'opération n'a dans ce cas aucun sens).

Que je sache, là-dedans il n'y a pas de division ni par zéro ni par quoi que ce soit.

il y a 28 minutes, Frank_N a dit :

Que je sache, là-dedans il n'y a pas de division ni par zéro ni par quoi que ce soit.

Toute simplification par un facteur donné implique une division par ce facteur.

Autre développement possible:

(a + b - b)(a - b) = 0

a(a - b) = 0

Or ce résultat est vrai compte tenu de l'égalité initiale (a = b);

il n'y a donc aucune conséquence imposée à l'autre facteur (a).

Le calcul n'aboutit à rien de nouveau parce que l'on a écrit dès la troisième ligne (et sans s'en apercevoir) un truisme stérile:

0 = 0 .

Qu'est-ce qui gène avec a = b = 0 ???

il y a 33 minutes, obelix39 a dit :

Qu'est-ce qui gène avec a = b = 0 ???

Dès que l'on part de l'égalité a = b ,

alors la différence (a - b) est nulle,

et l'on n'a pas le droit de diviser par (a - b) , ou toute autre expression qui serait égale à zéro.

Ce qui est fautif dans la conduite du calcul (et de ce point de vue le piège apparaît cousu de fil blanc), c'est de croire (ou de laisser croire) que l'on peut trouver autre chose que ce qui est donné au départ, à savoir:

a = b .