Divagations autour des points de Lagrange ...

Comme indiqué dans le titre, ceci est juste le fruit de mon imagination, donc toute ressemblance avec des faits existants ou ayant existé serait tout à fait fortuite. Il s'agit juste d'un exercice de pensée ...

Dans un système en rotation à deux corps, comprenant par exemple une étoile et une planète, il existe 5 points remarquables où les forces gravitationnelles en jeu s'annulent. Voici une petite explication toute faite:

Citation

Les points de Lagrange sont ceux où un corps d'épreuve soumis ici à l'attraction du Soleil et de la Terre suit une orbite autour du Soleil à la même vitesse angulaire que la Terre, sous l'action conjointe des attractions du Soleil et de la Terre. Les points L1 et L2 sont situés à proximité de la Terre (au premier ordre, le rapport des distances est proportionnel à la racine cubique du rapport des masses), le point L3 est symétrique de la Terre par rapport au Soleil, et les points L4 et L5 sont aux sommets de triangles équilatéraux ayant le segment Soleil-Terre pour base. Malgré ce que pourrait laisser penser la figure, où les équipotentielles dans le repère tournant sont tracées, les orbites autour de L4 et L5 sont stables, les trois autres instables, à cause de la force de Coriolis.

Les points L1, L2, et L3 sont légèrement instables, mais les points L4 et L5 sont stables. C'est à dire qu'un corps peu massif par rapport aux deux astres en rotation n'a aucune raison de s'échapper de la zone où se situent le point L4 ou L5. C'est le cas des astéroïdes "troyens" et "grecs" situés sur l'orbite de Jupiter par exemple. On pourrait imaginer que les corps ainsi piégés sur cette orbite, en voyant leur masse augmenter au fil du temps s'agglutinent et se mettent à osciller autour de l'orbite de Jupiter jusqu'à effectuer un rotation autour cet axe (l'orbite) et enfin quitter cette position pour soit se satelliser autour de Jupiter, soit adopter une orbite autour du Soleil, inférieure ou supérieure à celle de Jupiter ... Voilà, c'est tout !

Je peux comprendre les points L1 à L3, mais pas les points L4 et L5 ! D'autant plus que L4 et L5 ne dependent pas de la masse des 2 gros corps (soleil et Terre) !

Comment expliquer l'équipotentialité de L4 et L5 ? 

Pour L4 et L5 il faut faire intervenir la force centrifuge. Ces deux points sont légèrement décalés par rapport à la perpendiculaire à l'axe terre/soleil dont l'intersection se situe en L1 ce qui désigne une zone neutre par rapport à l'attraction de la terre et du soleil. Je suppose que la position excentrée par rapport à l'axe terre/soleil est due principalement à la force centrifuge et la coïncidence des points L4 et L5 avec l'orbite terrestre au fait que la force motrice est celle du soleil. Je ne suis pas assez calé en maths pour en donner une analyse plus poussée ...

Bonjour,

La répartition des points de Lagrange est assez bien décrite et illustrée par obelix39 dans le cas du couple Soleil-Jupiter; on les a aussi envisagés pour les couples Terre-Lune et Terre-Soleil - il s'agissait dans ce dernier cas du positionnement d'un satellite d'observation de l'étoile.

Ces 5 points sont les solutions géométriques d'un problème dont l'énoncé est relativement simple: étant donnés deux corps ponctuels (A, B) tournant autour de leur barycentre (G) sous l'effet de l'attraction gravitationnelle, un troisième corps (C) de masse négligeable peut-il se déplacer dans le plan orbital du système binaire de telle sorte que le triangle formé (ABC) présente des angles constants, et reste semblable à lui-même ?

Deux types de solutions apparaissent, que les trajectoires soient circulaires ou elliptiques:

a) deux triangles équilatéraux (ABL4, ABL5), conduisant à une position d'équilibre stable (a = b = c = 60°);

b) trois dispositions alignées, pour lesquelles la position de (C) sur (AB) est donnée par une équation du 3me degré - ce sont alors les points (L1, L2, L3); les équilibres sont dans ce cas instables (je crois).

C'est le seul cas (très particulier) du problème à 3 corps rigoureusement soluble.

Merci pour cet éclaircissement, Hérisson !

Voici un site qui me paraît assez complet au sujet des cinq points de Lagrange: Cliquez ici !

On y trouve ce schéma qui montre les trois forces exercées sur un objet placé aux points L4 ou L5 où on voit très bien la force centrifuge qui compense les deux forces d'attraction des deux objets massif. 

Il y a 5 heures, obelix39 a dit :

Voici un site qui me paraît assez complet au sujet des cinq points de Lagrange: Cliquez ici !

On y trouve ce schéma qui montre les trois forces exercées sur un objet placé aux points L4 ou L5 où on voit très bien la force centrifuge qui compense les deux forces d'attraction des deux objets massif. 

 

Si en L4 la force centrifuge se trouve dans cette direction, quelle est est la force qui equilibre L5 (en position opposée de L4) ?  

il y a une heure, shyiro a dit :

Si en L4 la force centrifuge se trouve dans cette direction, quelle est est la force qui equilibre L5 (en position opposée de L4) ?  

Si la force centrifuge est dirigée vers la droite pour L4 elle devrait logiquement être dirigée vers la gauche pour L5 à cause du fait que le système est en rotation (ici en rotation horaire, donc le haut vers la droite et le bas vers la gauche). Mais en fait la force la plus importante étant celle du soleil, il est probable que la force centripète s'applique elle aussi au point O qui est le barycentre des forces Terre/Soleil et que la force centrifuge soit dirigée vers la droite aussi. Ce qui fait que le schéma des forces de L5 doit être le symétrique de celui de L4 par rapport à l'axe Terre/Soleil ... à vérifier ...

 en suivant les travaux de  A Einstein la solution devrait  être trouvée .

Ce problème, traité d'une manière complète au cours du XVIIIme siècle par Lagrange, relève de la mécanique classique.

La relativité n'apporte aucune simplification dans l'étude du mouvement de 3 corps en interaction gravitationnelle, dont la difficulté intrinsèque n'a commencé à être surmontée qu'à partir du début du XXme siècle.

On trouve plusieurs articles riches en informations concernant la présence d'astéroïdes et de sondes spatiales au voisinage des points de Lagrange relatifs à plusieurs systèmes:

# Histoire de l'astronomie

# Points de Lagrange

# Troyen

Pour la question plus vaste du problème à (N) corps, voir

N_Corps

L'article cité par  obelix39 présente des développement intéressants au sujet de la stabilité des divers points d'équilibre, quoiqu'on puisse regretter l'insuffisance de la typographie pour la notation des dérivées partielles et des vecteurs, surtout lorsqu'intervient un produit vectoriel (la force de Coriolis).

Le sujet amené ici est cependant passionnant, et débouche sur beaucoup d'autres questions.

Le 09/01/2019 à 06:44, obelix39 a dit :

Si la force centrifuge est dirigée vers la droite pour L4 elle devrait logiquement être dirigée vers la gauche pour L5 à cause du fait que le système est en rotation (ici en rotation horaire, donc le haut vers la droite et le bas vers la gauche). Mais en fait la force la plus importante étant celle du soleil, il est probable que la force centripète s'applique elle aussi au point O qui est le barycentre des forces Terre/Soleil et que la force centrifuge soit dirigée vers la droite aussi. Ce qui fait que le schéma des forces de L5 doit être le symétrique de celui de L4 par rapport à l'axe Terre/Soleil ... à vérifier ...

 

 

C'est ça qui est bizarre ... Puisque l'ensemble des corps sont en rotation horaire, la force centrifuge du "3è corps" (L4 ou L5) devrait etre dirigée dans la meme direction, non ? Càd force centrifuge de L5 a la meme direction que L4, non ? Donc pour L5 la force centrifuge a une direction vers l'attraction combiné de soleil+Terre, donc ne compense pas l'attraction de soleil+Terre, non ? 

Dans un repère tournant autour d'un centre (O), la force centrifuge s'exerçant sur un point donné (M) est colinéaire au segment (OM), et dirigée vers l'extérieur: F = mω².OM .

Elle doit compenser, en toute position d'équilibre, la résultante des forces d'attraction gravitationnelle: il faut donc bien voir quelle est l'orientation de cette résultante .

Par ailleurs, la droite (AB) (étoile-planète ou planète satellite) est l'axe de symétrie du système: les forces centrifuges (F4, F5) s'exerçant aux points correspondants sont donc disposées symétriquement par rapport à cet axe.

Le 09/01/2019 à 00:13, obelix39 a dit :

Voici un site qui me paraît assez complet au sujet des cinq points de Lagrange: Cliquez ici !

On y trouve ce schéma qui montre les trois forces exercées sur un objet placé aux points L4 ou L5 où on voit très bien la force centrifuge qui compense les deux forces d'attraction des deux objets massif. 

 

Sur le schéma ci-dessus O est le barycentre de l'attraction exercé par M et Mo. C'est donc dans l'alignement de ce point O et du corps C que s'exerce la force centrifuge (vers l'extérieur du corps m). Le principe restant le même pour le point de Lagrange L5, c'est aussi dans l'alignement de ce même point O avec le corps situé en L5 que s'exercera la force centrifuge. Nous avons donc un symétrique par rapport à l'axe Terre/ Soleil (Mo/M). 

Un petit dessin valant mieux qu'un grand discours, voici donc la représentation de la force centrifuge équilibrant un objet situé en L5 (ne considérer que la flèche rouge partant de L5 vers l'extérieur).

Une petite erreur s'est glissée dans le dessin: lire L5 au lieu de F5. (Non, je n'ai pas bu ...)

(...)

il y a une heure, Hérisson_ a dit :

Dans un repère tournant autour d'un centre (O), la force centrifuge s'exerçant sur un point donné (M) est colinéaire au segment (OM), et dirigée vers l'extérieur: F = mω².OM .

Elle doit compenser, en toute position d'équilibre, la résultante des forces d'attraction gravitationnelle: il faut donc bien voir quelle est l'orientation de cette résultante .

Par ailleurs, la droite (AB) (étoile-planète ou planète satellite) est l'axe de symétrie du système: les forces centrifuges (F4, F5) s'exerçant aux points correspondants sont donc disposées symétriquement par rapport à cet axe.

Il me semble que le dessin que tu présentes est faux; La force centrifuge devant s'appliquer en réaction au barycentre des deux corps massifs et non uniquement au centre de la masse la plus importante, le Soleil. (voir le dessin que je viens de poster plus haut)

Voilà une petite modif destinée à rectifier le dessin que tu nous a fait. La correction est faite en bleu ...

OK merci, je vois mieux l'equipotientialité et l'equivalence entre L4 et L5. 

L'objection est fondée, mais l'image que je voulais compléter ne me laissait pas le choix: si (A) occupe le centre de la trajectoire circulaire de (B), c'est qu'il s'agit d'une étoile de masse très supérieure à celle de la planète (M0>>M);  les points (A) et (O) sont confondus, et cette superposition n'explique pas bien l'orientation exacte des forces.

Le schéma correct est celui que tu as donné 3 messages auparavant (mis à part qu'il a fallu échanger les positions de A et B ... mais on ne va pas s'attarder à ces détails de notation !):

Sur la dernière image modifiée, (A) et (B) devraient se trouver sur deux cercles centrés en (O) ... il n'est pas facile de corriger ce genre de document.

Il y a 4 heures, Hérisson_ a dit :

L'objection est fondée, mais l'image que je voulais compléter ne me laissait pas le choix: si (A) occupe le centre de la trajectoire circulaire de (B), c'est qu'il s'agit d'une étoile de masse très supérieure à celle de la planète (M0>>M);  les points (A) et (O) sont confondus, et cette superposition n'explique pas bien l'orientation exacte des forces.

Le schéma correct est celui que tu as donné 3 messages auparavant (mis à part qu'il a fallu échanger les positions de A et B ... mais on ne va pas s'attarder à ces détails de notation !):

 

Sur la dernière image modifiée, (A) et (B) devraient se trouver sur deux cercles centrés en (O) ... il n'est pas facile de corriger ce genre de document.

Voilà, ce schéma de principe me paraît parfait .

Maintenant, on peut se poser des questions sur le fait que cette géométrie semble trop parfaite pour être vraie. Quels sont les paramètres qui font que ces points d'équilibre se trouvent en même temps sur l'orbite de B et au sommet du triangle équilatéral? Pourquoi seul un corps de masse négligeable par rapport aux deux autres peut se trouver en équilibre? Et surtout que se passerait-il si on augmentait progressivement la masse d'un corps se situant en L4 ou en L5 ? A partir de quelle masse il quitterait ces points et que deviendrait-il ? Serait il capté et mis en orbite par un des deux corps ?

Maintenant, on peut se poser des questions sur le fait que cette géométrie semble trop parfaite pour être vraie.

Les positions d'équilibre sont les solutions géométriques du problème posé, et la stabilité de certaines d'entre elles permet d'en observer des réalisations approchées, de longue durée de vie. Voir les Grecs et les Troyens, en résonance 1:1 avec Jupiter qu'ils accompagnent dans son mouvement orbital - c'est la première image que tu as postée, et la meilleure illustration des points de Lagrange (L4, L5).

Quels sont les paramètres qui font que ces points d'équilibre se trouvent en même temps sur l'orbite de B et au sommet du triangle équilatéral?

Les trajectoires des points d'équilibre peuvent croiser celles des deux corps massifs (A, B), mais il n'y a jamais de rencontre du fait qu'à tout instant les distances (AB, BC, CA) ne sont jamais nulles.

La trajectoire des points (L4) est une ellipse (C1C2C3C4) parcourue comme les deux autres dans le sens antihoraire, est dont le grand axe est légèrement incliné (je n'ai pas pu la tracer avec Paint).

Pourquoi seul un corps de masse négligeable par rapport aux deux autres peut se trouver en équilibre?

Un troisième corps de masse non négligeable devant celles des deux autres, et ne vérifiant plus (m << Min(Ma, Mb) = Mb) affecterait le mouvement du système binaire (AB); les deux composantes de ce dernier s'écarteraient d'autant plus vite des trajectoires initiales fermées (cercles ou ellipses) que la masse  du troisième serait plus élevée.

Et surtout que se passerait-il si on augmentait progressivement la masse d'un corps se situant en L4 ou en L5 ?

On observerait une déformation de plus en plus rapide du triangle (ABC), et la disparition de la configuration initiale su système; il ne serait plus possible de décrire les mouvements à l'aide de solutions explicites car ceux-ci deviendraient imprévisibles et apériodiques.

A partir de quelle masse il quitterait ces points et que deviendrait-il ? Serait il capté et mis en orbite par un des deux corps ?

Il n'y a pas de limite fixe: la déformation du triangle (ABC) amènerait la figure hors du domaine initial (Min(a, b, c) > 59° - limite arbitraire) au bout d'un nombre de périodes d'autant plus faible que la masse serait plus élevée. Tout est alors possible: l'éjection de l'un des corps (en principe le plus léger: C), sa capture par l'un des deux autres, sans exclure des échanges ultérieurs.

La stabilité du système n'est aucunement assurée, la description de son mouvement est purement numérique, et les erreurs dues au cumul d'arrondis augmentent rapidement au cours du temps.

# Pour les solutions (très) particulières de 3 corps massifs (Euler, Lagrange, Moore et tous les autres ...) voir

19/05/2007
https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/physique-probleme-trois-corps-orbite-choregraphique-relativite-generale-11770/

21/03/2013
https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/astronomie-probleme-trois-corps-suggere-nouvelles-orbites-exotiques-45269/

http://www.tangentex.com/TroisCorps.htm

http://rouxph.blogspot.com/2012/10/une-solution-exacte-du-probleme-trois.html